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II Theoretische Grundlagen 25
II.8.1 EINFÜHRUNGSBEISPIEL: FEDER
Gegeben sei das unten dargestellte System. Die Feder im Grundsystem staucht sich entsprechend
ihrer Steifigkeit k um den Betrag u = F/k zusammen (Zustand I). Im veränderten
System drückt sich die Feder infolge der modifizierten Federsteifigkeit k c = k+∆k auf
u c zusammen (Zustand II). Gesucht ist die Verformungsänderung ∆u?
Zustand I
Zustand II
u
F
u c
F
k
k c =(k+∆k)
Zustand I: Grundsystem
Zustand II: Verändertes System c (crack)
c
G , G sind Einflussfunktionen; k, k sind Federsteifigkeiten
0 0 c
F ist die äußere Last; u, u sind Verformungen infolge äußerer Last
c
Die Einflussfunktionen für die Wege lauten:
Originalsystem
Verändertes System
∫
u = G ⋅ Fdx= G ⋅F
0 0
"1"
F = k⋅G → G =
0 0
k
c
c
uc
= G ⋅ Fdx= G ⋅F
0 0
G
c
0
∫
"1"
=
k
c
Die Verformungsänderung ergibt sich zu:
c
c
Δ u = uc
− u = G ⋅F −G ⋅ F = F( G −G
)
0 0 0 0
1 1 k− kc
Δk Δk
Δ u = F( − ) = F =− F =− u
kc k kc⋅k kc⋅k kc
Δ u =−Δk⋅u ⋅G
Δ u =−Δk⋅u⋅G
c
c
0
0
Die Verformungsänderung ∆u lässt sich einerseits über die Differenz (u c -u) oder andererseits
mittels einfacher Multiplikation der Faktoren (-1), u (Anfangsverschiebung), G c
(Einflussfunktion im geschwächten System) und ∆k (Differenzsteifigkeit) bestimmen.