Grundlagen der Elektrotechnik 3 - Nachrichtentechnische Systeme ...

Grundlagen der Elektrotechnik
3
Prof. Dr.-Ing. Ingolf Willms
und
Prof. Dr.-Ing. Adalbert Beyer
und basierend auf dem Script von
Prof. Dr.-Ing. Ingo Wolff
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Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 1
N T S

Grundlagen der Elektrotechnik 3
Inhalt
1 Einleitung
2 Grundlagen der Signaltheorie determinierter Signale
3 Schaltvorgänge
4 Einführung in die Theorie linearer Netzwerke
5 Fernleitungen
6 Operationsverstärker
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S. 2
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Literatur
• Literatur zur Vorlesung:
R. Paul Elektrotechnik 2, Grundlagenbuch Netzwerke
Springer-Verlag, Heidelberg 1994
I. Wolff Grundlagen der Elektrotechnik 4
Vorlesungs-Script
• Weiterführende Literatur :
W. Ameling Grundlagen der Elektrotechnik II
G. Bosse Grundlagen der Elektrotechnik IV
B.I. Wissenschaftverlag Mannheim, Wien Zürich 1996
R. UnbehauenGrundlagen der Elektrotechnik I
Springer-Verlag, Heidelberg 1994
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S. 3
N T S

1 Einleitung
• GET3 enthält überwiegend theoretische Grundlagen zu
informationstechnischen Fragestellungen
• Informationstechnik: Entstanden aus Informatik (I-
Verarbeitungstechnik) und Nachrichtentechnik (I-
Übermittlungstechnik)
• IT: Effiziente Datenverarbeitung, Speicherung und
Transport
• IT beinhaltet 4 Gruppen:
– Grundlagen und Technologien (G1)
– Strukturen, Verfahren, Programme (G2)
– Geräte, Einrichtungen, Anlagen (G3)
– Anwendungen (G4)
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S. 4
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1 Einleitung
–G1: Theoretische Grundlagen, Methoden, SW- und
HW-Technologien, Physiologische Grundlagen
–G2: Rechensysteme, Softwaresysteme, Architekturen,
Aufnahme-, Wiedergabe und Speicherung, Vermittlungsund
Übertragungsverfahren
–G3: Rechenanlagen, Einrichtungen zu Ein- und
Ausgabe, End- und Meßeinrichtungen, Einrichtungen zur
Automatisierung, Vermittlung und Übertragung,
–G4: Kommerzielle, administrative, industrielle
Anwendungen, Prozeßdaten,
Technisch/wissenschaftliche Anwendungen,
Kommunikation, Ortung und Navigation
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S. 5
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2 Grundlagen der Signaltheorie determinierter
Signale
Kapitelübersicht:
• 2.1 Vorbemerkungen
– Modell für die Informations-Übertragung
– Signalklassen
• 2.2 Beschreibung nichtsinusförmiger, periodischer
Zeitvorgänge
– Approximation von Funktionen mit Fourier-Reihe
– Anwendungen auf Netzwerke
• 2.3 Beschreibung aperiodischer Zeitvorgänge
– Das Fourier-Integral in verschiedenen Formen
– Beispiele dazu
– Eigenschaften der Fourier-Transformation
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2.1 Vorbemerkungen
Störer
Quelle Sender Kanal
Bereich der elektrischen orts- und zeitabhängigen Signale
Signale: Träger der Informationen
Empfänger Senke
Signalklassen: Determinierte, stochastische Signale
Wertkontinuierlich, Wertdiskret
Zeitkontinuierlich, zeitdiskret
Periodisch, aperiodisch
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2.2 Beschreibung nichtsinusförmiger, periodischer
Zeitvorgänge
2.2.1 Approximation von Funktionen
– Motivation: Kennfunktionen, Extraktion von Kenndaten
Datenkompression
– Ansatz: Gegeben sei f(t)
Gesucht ist g(t),die f(t) im Intervall approximiert mit
0
g(t)
n
g() t = ∑αigi()
t bei Vorgabe der gi( t)
i=
1
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f(t)
t
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2.2.1 Approximation von Funktionen
- Anforderung: Möglichst kleiner Fehler der Approximation
- Definition Fehlerfunktion: Φ () t = f() t −g()
t
1
t − t ∫
t2
- Mittlerer Fehler: Φ = [ () − () ]
m t
- Mittlerer absoluter Fehler :
f t g t dt
⏐ min ⏐min
1
2 1
2
1
Φ = f () t −g()
t dt
ma⏐
min ⏐min
t2 − t1
t1
∫
Φ mq
1
=
t − t
t2
2
f () t −g()
t dt
t1
∫
- Mittlerer Quadratischer Fehler : [ ]
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t
⏐ min ⏐min
2 1
- Vorteile/Nachteile der Fehlermasse
• Aufheben der Fehler möglich bei mittlerem Fehler
• Absol. Fehler ergibt Unstetigkeiten (beim part. Differenzieren)
• Quadr. Fehler ist häufigste Anwendung
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S. 9
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2.2.1 Approximation von Funktionen
– Bestimmung der Koeffizienten αυ
– Hieraus folgen die unten angegebenen Schritte:
∂φ mq
= 0 i= 1,2,..., n
∂α
i
2
⎡ ⎤
1
∂α −
⎡
() −
⎤
() = 0
⎣ ⎦
n
∂ t2
⎢ f t
t
jg j t dt
t t ∫ ⎢ ∑α
⎥ ⎥
⎢ 1
j=
1 ⎥
i 2 1 ⎣ ⎦
1
t t
∫
t
⎡ n ⎤
2 ( ) ( ) ( ) 0
2
− ⎢f t − α
t
jg j t ⎥ gi t dt =
1
2 − 1 ⎣ j=
1 ⎦
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∑
⎡ ⎤
f() t gi() t dt = gi() t ⎢∑α jg j()
t ⎥ dt
⎣ 1 ⎦
t2 t
n
2
∫t∫ 1
t
j=
1
Dies entspricht einem Gleichungssystem, das nach den
Koeffizienten aufgelöst werden kann
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S. 10
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2.2.1 Approximation von Funktionen
t2 ∫ 1
t2 = α1∫ 2
1
t2 + α2∫ 1 2 +
t2 + αν∫ 1 ν +
t2
+ αn∫
1 n
t t t t t
f () tg() tdt g () tdt g() tg() tdt... g() tg() tdt... g() tg() tdt
1 1 1 1 1
t t t t t
2 2 2 2 2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
f () t g () t dt = α g () t g () t dt + α g () t g () t dt + ... + α g () t g () t dt + ... + α g () t g () t dt
2 1 1 2 2 2 2 ν 2 ν
n 2 n
t t t t t
1 1 1 1 1
.
.
.
t t t t t
2 2 2 2 2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
f() t g () t dt = α g () t g () t dt+ α g () t g () t dt+ ... + α g () t g () t dt+ ... + α g () t g () t dt
n 1 1 n 2 2 n ν ν n n n n
t t t t t
1 1 1 1 1
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S. 11
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2.2.2 Approximation mittels orthogonaler
Funktionensysteme
• Definition orthogonaler Funktionen in
Intervall ( t1, t2)
mittels reeller Funktionen
g(t) . Diese Funktionen sollen stetig im
Intervall sein.
• Dabei wird Chronecker‘sche Deltafunktion
benutzt:
• Ansatz für die Approximation:
• Damit folgt für die Koeffizienten
(infolge Wegfalls aller Integrale
je Zeile bis auf zwei Integrale):
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δ
µν
α
=
t
t
2
∫
1
g () t g () t dt = δ ⋅h
µ ν µν µ
und geeignetem h
⎧0
für µ ≠ν
= ⎨
⎩1
für µ = ν
g() t α g () t
t
2
∫
t1
i t
2
1
= ∑ n
i=
1
2
i
i i
f () tg() tdt
∫
t
g () tdt
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i
µ
S. 12
N T S

2.2.2 Approximation mittels orthogonaler
Funktionensysteme
Man erhält orthonormale Funktionensysteme mittels der Festlegungen
g () t g () t
gν() t gn() t
G ( t) = , G ( t) = ,..., Gν( t) = ,..., Gn( t)
=
h h h h
1 2
1 2
1 2
Für diese gilt dann:
t
2
∫
t
1
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ν
⎧0
für µ ≠ν
Gµ () t Gν () t dt = δ µν =⎨
⎩1
für µ = ν
Damit lässt sich eine Funktion f(t) im Intervall mit Hilfe von geeigneten
Koeffizienten in eine Reihe von orthonormalen Funktionen entwickeln.
Das Ergebnis der Approximation ist dann eine Funktion G(t).
n
Zusammenfassend gilt: f() t ≅ G() t =∑AG
i i()
t
Die Koeffizienten A sind
die sog. verallgemeinerten
Fourierkoeffizienten:
t
2
1
i=
1
Ai = ∫
f() t Gi() t dt
t
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n
S. 13
N T S

2.2.3 Approximation von periodischen, nichtsinusförmigen
Funktionen
Beispiel einer Funktion mit der Periodendauer T. Diese Funktion ist als
Wiederholung einer Periode interpretierbar.
0
f(t)
T
T 2T
Für eine periodische Funktion gilt: f( t) = f( t± νT) ν = 0,1,2,...,
Nach Fourier kann eine beliebige Funktion, die die Dirichlet‘schen
Bedingungen erfüllt, u.a. in der folgenden trigonometrischen Form
dargestellt werden:
∞ a0
f () t = + ∑[
aν cos( νωt) + bν sin( νωt)
]
2
ν = 1
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t
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S. 14
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2.2.2 Approximation von periodischen, nichtsinusförmigen
Funktionen (Fourier-Reihe)
• Dirichlet‘sche Bedingungen (in der Praxis erfüllt)
– Funktion f(t) ist im Intervall entweder stetig oder hat endlich viele
Unstetigkeitsstellen
– Endliche Grenzwerte von f(t) existieren, wenn t von rechts oder von links
gegen die Unstetigkeitsstelle strebt
– Das Intervall lässt sich derart in Teile zerlegen, so dass dort f(t) monoton ist
• Satz von Dirichlet
– Bei Erfüllung der Dirichlet‘schen Bedingungen konvergiert die Fourierreihe
im gesamten Intervall
– Der Wert der Fourier-Reihe ist identisch mit Funktion f(t) an stetigen Stellen
– An Unstetigkeitsstellen ist der Wert gleich: 0.5 f( t+ 0) + f( t−0)
– An Endpunkten des Intervalls ist der Wert gleich:
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[ ]
[ f t + + f t −
]
0.5 ( 0) ( 0)
1 2
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S. 15
N T S

2.2.3 Fourier Reihe
Analogie zur Reihenentwicklung orthogonaler Funktionen
• Für die Reihenentwicklung gilt bei
orthogonalen Funktionen
• Für die benutzten Funktionen
läßt sich die Orthogonalität
zeigen:
• Ansonsten gilt wie o.a. :
• Dadurch ist gesichert, dass Fourier-
Reihe die bestmögliche
Approximation im quadratischen
Mittel ist (auch bei abgebrochener
Reihe)
t = t + T t = t + T
T
sin( µωt)sin( νω t) dt = cos( µωt)cos( νωt) dt = δµν
2
2 0 2 0
∫ ∫
t = t t = t
1 0 1 0
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t
t
2
∫
1
g () t g () t dt = δ ⋅ h
µ ν µν µ
g() t α g () t
= ∑ n
i=
1
i i
mit
α =
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t
2
∫
t1
i t
f () tg() tdt
2
∫
t
1
g () tdt
a
f t a t b t
∞
0 () = + ∑ ν cos( ) + ν sin( )
2 ν = 1
2
i
[ νω νω ]
Es sind 2 Koeffizientensätze nötig, damit
gerade und ungerade Funktionsanteile
dargestellt werden können.
S. 16
i
N T S

2.2.3 Fourier Reihe
Damit gilt für die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten der trigonometrischen Form:
a0
2
t = t + T
2 0
∫
f()1 t ⋅ dt
t 1
1= t0
= =
t2= t0+ T
T
2
1 dt
2 0
∫
t = t
1 0
t = t + T
∫
1 0
2
cos ( )
t = t + T
2 0
∫
t = t
1 0
f() t dt
f()cos( t µωt)
dt t2= t0+ T
t 2
1= t0
aν= = ()cos( )
t2= t0+ T
∫ f t µωt
dt
T t1= t0
µωt
dt
∫
t = t
t = t + T
2 0
∫
f()sin( t µωt)
dt t2= t0+ T
t 2
1= t0
bν= = ()sin( )
2 0
∫ f t µωt
dt
T t1= t0
tdt
t = t + T
∫
t = t
2
sin ( µω )
1 0
Dies ist der Gleichanteil (arithm.
Mittelwert)
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S. 17
N T S

2.2.4 Die Polar-Form der Fourier Reihe
(Fourier-Cosinus-Reihe)
• Mittels der Beziehung
A x B x A B x B A
2 2
cos( ) + sin( ) = + cos( −arctan(
/ ))
lässt sich die trigon. Fourier-Reihe umschreiben von
∞
a0
f( t) = + ∑[
aν cos( νωt) + bν sin( νωt)
] zu
2
ν = 1
∞
f() t = d0+ ∑dν
cos( νωt+ ψν) mit
ν = 1
0
0 =
2
und
a
d
dν =
2 2
aν + bν
;
⎛b⎞ ν
ψν =− arctan ⎜ ⎟
⎝aν⎠ ( + / −π
für negative aν
)
Darüber hinaus ist obige Formel auch in der Version der Fourier-Sinus-
Reihe bekannt:
∞
f( t) = e + e sin( νωt+ ϕ ) mit e = d sowie ϕ = π / 2 + ψ
0
∑
ν = 1
ν ν ν ν ν ν
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S. 18
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-
Reihe mit symmetr. Funktionen
• B1: f(t) ist eine gerade Funktion mit f ( − t) = f( t)
und
-T/2
-f(t) f(t)
-t
f(t)
t
T/2
Die Fourier-Reihe hat damit die Form:
Grund:
Darstellbarkeit gerader Funktionen nur durch
andere gerade Funktionen
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T
t
T
2
T
2
22 ⋅
aν = f ()cos( t νωt)
dt
T ∫
2
bν= f()sin( t νωt)
dt = 0
T ∫
T
t0
=−
2
a
f t a t
∞
0 () = +∑νcos(
νω )
2 ν = 1
Fachgebiet
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0
S. 19
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-
Reihe mit symmetr. Funktionen
• B2: f(t) ist eine ungerade Funktion mit f () t = −f( −t)
und
-T/2
-t
f(t)
f(t)
-f(t)
t
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T/2
t
a
2
0 = = 0
a ν
Somit resultiert:
∞
f() t = ∑bνsin(
νωt)
ν = 1
T
2
Fachgebiet
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4
bν = f ()sin( t νωt)
dt
T ∫
0
S. 20
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der
Fourier-Reihe mit symmetr. Funktion
• B3: f(t) ist vollsymmetrische Funktion mit f(t)= - f(t + T/2)
f(t+T/2)
f(t)
t
t+T/2
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
T
Fachgebiet
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S. 21
t
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der
Fourier-Reihe mit symmetr. Funktion
Es gilt dafür :
oder nach Aufteilung
des Intervalls:
für ν = 2k gilt:
2
aν= f()cos( t νωt)
dt
T ∫
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T
0
T
⎡ ⎤
2
T
2 ⎢ ⎥
aν= f()cos( t νωt) dt f()cos( t νωt)
dt
T ⎢∫ + ∫
⎥
o
T
⎢
⎣
⎥
2
⎦
T
⎡ ⎤
2
T
2 ⎢ ⎥
a2k= f( t)cos(2 kωt) dt f( t)cos(2 kωt) dt 0
T ⎢∫ + ∫
⎥
=
o
T
⎢
⎣
⎥
2
⎦
T
2
4
sowie für ν = 2k+ 1 : a2k+ 1 f ()cos(2 t [ k 1) ωt]
dt
T 0
= + ∫
Grund: Geradzahlige k ergeben sich nach T/2 wiederholende cos-Funktionen.
Auslöschung der Terme wegen zu T/2 negativen und sich wiederholendem f(t) !
Fachgebiet
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S. 22
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-
Reihe mit symmetr. Funktion
- Auf ähnlicher Weise läßt sich die Gültigkeit folgender Aussagen einsehen
(auch sin-Funktion wiederholt sich für gerade k nach T/2):
2
4
b 2k
= 0 b2k+ 1 f()sin t [ (2k 1) ωt]
dt
T 0
= +
und ∫
- Es kommen daher in dieser Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Schwingungen vor,
für die ν = 2k+ 1 gilt:
∞
∑
k = 1
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T
{ 2k+ 1 [ ω ] 2k+ 1 [ ω ] }
f () t = a cos(2k+ 1) t + b sin (2k+ 1) t
Fachgebiet
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S. 23
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe
mit symmetr. Funktion
• B4 : Funktion ist vollsymmetrisch mit f(t) = f(t + T/2 ) . Daraus folgt dann:
f(t)
8t
#
0
t
T/2
t+T/2
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T
t
T
2
4
a2kf()cos(2 t kωt) dt
T
= ∫ und a 2k+ 1 = 0
0
T
2
4
b2kf()sin(2 t kωt) dt
T
= ∫ und b 2k+ 1 = 0
Grund: Nach T/2 erfolgt Wiederholung der cos/sin-Funktionen mit den Indizes 2k.
Cos/sin-Funktionen mit Indizes 2k+1 haben bei T/2 Abstand jeweils andere Halbwelle!
Die Fourier-Reihe von f(t) hat dann eine Form mit allein geradzahligen Koeffizienten:
∞ a0
f ( t) = + ∑{ a2k cos [ (2 k) ωt] + b2k sin [ (2 k) ωt]
}
2
k = 1
0
Fachgebiet
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S. 24
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-
Reihe mit symmetr. Funktion
• B5 : f(t) ist gerade und vollsymmetrisch [ f(t) = - f(t + T/2) ] :
0
Resultat: Nur ungeradzahlige Kosinusschwingungen kommen vor
f(t)
T/2
T
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t
a0
2
Somit lautet die entsprechende Fourier-Reihe hier:
∞
∑
k = 0
( )
f () t = a2k+ 1cos⎡⎣2k+
1ωt⎤⎦
= a = 0 und bν = 0
2k
T
4
8
a2k+ 1 f ()cos[(2 t k 1) ωt]
dt
T
= + ∫
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
0
S. 25
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-
Reihe mit symmetr. Funktion
• B6 : f(t) ist ungerade und vollsymmetrisch [ f(t) = -f(t + T/2) ] :
0
Hier treten in der Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Sinuschwingungen auf
f(t)
T/2
T
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t
a
2
= aν = und b 2 = 0
0 0
Für die Fourier-Reihe läßt sich hier schreiben :
∞
∑
k = 0
( )
f() t = b2k+ 1sin⎡⎣2k+
1ωt⎤⎦
T
4
8
b2k+ 1 f()sin[(2 t k 1) ωt]
dt
T
= + ∫
0
Fachgebiet
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k
S. 26
N T S

2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-
Reihe mit symmetr. Funktion
• B7: f(t) wird auf der Zeitachse
verschoben :
Beträgt die Verschiebung ±∆t dann gilt mit t'= t±∆t a
gt f t t a t t b t t
∞
0
( ') = ( ±∆ ) = + ∑ ν cos[ ( ±∆ )] + ν sin[ ( ±∆ )]
2 ν = 1
Ein einfacherer Ausdruck resultiert für die
kompl. Koeffizienten:
{ νω νω }
Dieser Ausdruck ermöglicht es, die Fourier-Reihenentwicklung für
den neuen Koordinatenursprung zu ermitteln.
Es ist oft von Vorteil, den Koordinatenursprung zu verschieben, z.B. wenn sich
damit symmetrische Eigenschaften der Funktion ergeben.
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jvωt { n }
f( t±∆t) ergibt c ⋅e ∓
S. 27
N T S

2.2.6 Fourier-Analyse
• Es besteht die Möglichkeit , eine periodische nicht-sinusförmige Funktion
hinsichtlich ihres “Informationsgehaltes” auf zwei Arten darstellen:
1 ) Im Zeitbereich ( s. folgendes Bild)
-T/4
f(t)
d
0 T/4 3T/4
t
-A
T/2
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T
2 ) Im Spektralbereich (Frequenzbereich): Darstellung der Amplituden aν, bν
bzw. der cos-Amplitude dν und der Phase ψν in
Abhängigkeit von der Frequenz.
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S. 28
N T S

2.2.6 Fourier-Analyse
Weitere Beispiele
Fourier-Analyse der Trapezfunktion
Diese ist gerade und vollsymmetrisch (s. B5) mit T
4
a
8
0 = a2k= 0, bν= 0
a2k+ 1 f()cos[(2 t k 1) ωt]
dt
2 T
= +
und ∫
Für f(t) gilt in der ersten Viertelperiode:
⎧ ⎛T⎞ ⎪ A = const für 0 ≤ t < ⎜ −d⎟
⎪ ⎝ 4 ⎠
f() t = ⎨
⎪ A⎛T ⎞ ⎛T ⎞ ⎛T ⎞
⎜ −t⎟ für ⎜ − d ⎟< t ≤ ⎜ + d
⎪ ⎟
⎩ d ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
Damit resultiert:
T T
⎧ −d
⎫
4 4
8 ⎪ AT
⎪
a2k+ 1=
⎨ ∫ Acos[(2k+ 1) ωt] dt+ ∫ ( − t)cos[(2k+ 1) ωt]
dt⎬
T ⎪ 4
0
T d
−d
⎪
⎩ 4
⎭
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0
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S. 29
N T S

2.2.6 Fourier-Analyse
Als Endergebnis ergibt sich (nach part. Integration etc.):
4A
T
a2k+ 1 cos[(2k 1) ω(
d)]
2
π(2k 1) ωd
4
= + −
+
bzw. nach Auflösung des Arguments im cos in zwei Ausdrücke und
Umschreiben des damit resultierenden Terms cos (x-y) in cos und sin
Produktterme:
4Asin[(2k+ 1) ωd] π
a2k+ 1 = sin[(2k+ 1) ]
2
π(2k+ 1) ωd
2
Die Fourier-Reihe der Trapezfunktion lautet damit:
4A1 1
f( t) = [sin( ωd)cos( ωt) − sin(3 ωd)cos(3 ωt) + sin(5 ωd)cos(5 ωt)...
+ ...)
πωd
9 25
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S. 30
N T S

2.2.6 Fourier-Analyse
• Sonderfall 1 der Trapezfunktion : Die Dreiecksfunktion (d = T/4) :
-T/4
f(t)
A
0
d
T/4
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
T/2
3T/4
T
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 31
t
N T S

π /2
2.2.6 Fourier-Analyse
• Dafür ergibt sich das folgende Amplituden und Phasenspektrum:
0
1
2
d
v
8A
=
π ² v²
3
7
ν
ν = 2k+ 1
Endergebnisse :
Koeffizienten der Sinus-Reihe erfordern
π
Phase von:
2
8A a2k+ 1 = , 2 2
π (2k+ 1)
bk = 0,
8A
d2k+
1 = , 2 2
π (2k+ 1)
π
ϕ2k+ 1 = ,
2
ψ2k+
1 = 0
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
π
2
π
−
2
0
ϕv
1
3
5
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
7
ν
S. 32
N T S

2.2.6 Fourier-Analyse
• Sonderfall 2 der Trapezfunktion : Rechteckfunktion mit d → 0
-T/4
f(t)
0
A
d
T/4
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
T/2
3T/4
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
T
S. 33
t
N T S

2.2.6 Fourier-Analyse
• Bildung des Grenzüberganges mittels der Regel von Bernoulli-
L’Hospital:
c
ϕv
v
0
c
v
4A
=
vπ
1 3 5 7 9 v -π
−
2
'
sin[(2k + 1) ωd]
{ sin[(2k + 1) ωd]
}
lim = lim = lim si((2k + 1) ωd
) = si(0)
= 1
d→0 0
'
(2k + 1) ωd d→ d→0
(2k + 1) ωd
Damit folgt: 2 + 1
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π
2
{ }
0
a k
4 A
π
= sin[(2k + 1) ],
π (2k + 1) 2
bk
= 0
4 A
d2k+ 1 = ,
π (2k +
1)
π π
ϕ2k+ 1 =± sin[(2k + 1) ]
2 2
, ψ 2k+ 1 = 0
1
3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
5
7
v
S. 34
N T S

2.2.7 Die komplexe Form der Fourier-
• Allgemein gilt für die
Fourierreihen-Darstellung
Reihe
a
f t a t b t
∞
0 () = + ∑ ν cos( ) + ν sin( )
2 ν = 1
[ νω νω ]
jνωt − jνωt e + e
e − e
Ausserdem gilt: cos( νωt
) = sin( νωt)
=
2
2 j
und damit :
bzw.
∞ jνωt − jνωt jνωt − jνωt 0 f() t = + ∑ aν + bν
2 ν = 1 2 2j
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
jνωt − jνωt a ⎡ e + e e −e
⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
a ⎡ a + jb a − jb ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∞
0
ν ν − jνωt ν ν jνωt f() t = + ∑ e + e
2 ν = 1 2 2
S. 35
N T S

2.2.7 Die komplexe Form der Fourier-
Reihe
• Nunmehr werden auch negative Werte für ν einbezogen.
a0
c0
= ,
Mit den Abkürzungen 2
aν − jbν
cν
= für positive ν
2
aν + jbν
cν
= für negative ν
2
erhält man Paare von Koeffizienten.
Dies lassen sich in der sehr kompakten
Darstellung der Fourier-Reihe in ihrer
komplexen Form schreiben:
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
Also: c = c−
∞
j t
f() t c e νω
= ∑ ν
ν =−∞
S. 36
*
ν ν
N T S

2.2.7 Die komplexe Form der Fourier-
Reihe
Es gilt ausserdem: a = 2 ℜ ( c ) b =−2 ℑ( c ) ∀ > 0
• Für die komplexen Koeffizienten resultieren damit die
Bestimmungsgleichungen:
t0+ T
a0
1
c0= = () ,
2 ∫ f t dt
T
t
0
ν ν ν ν ν
t + T t + T
0 0
aν − jbν
1 1
− jνωt cν= = ( )[cos( ) − sin( )] = ( ) ,
2 ∫ f t νωt j νωt
dt ∫ f t e dt
T T
t t
0 0
t + T
0
1
− jνωt cν= f( t) e , ν = 0,1,2,...
T ∫
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
t
0
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 37
N T S

2.2.8 Interpretation der
Fourier-Koeffizienten
Meist werden folgende Darstellungen Fourier-Reihen benutzt:
a
f t a t b t
∞
0 () = + ∑ ν cos( ) + ν sin( )
2 ν = 1
oder
f() t = c e
oder
∞
∑
ν =−∞
0
ν
∞
∑
ν = 1
[ νω νω ]
jνωt f() t = d + d cos( νωt+ ψ )
ν ν
Verabredung ab hier: c statt c ν
ν
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 38
N T S

2.2.8 Interpretation der
Fourier-Koeffizienten
- Gleichanteil des Signals :
a0
= c0 2
= d0
- Scheitelwerte oder Amplituden der Fourier-Komponenten: a , b , c und d
- Nullphasenwinkel (Phase) der cosinusförmigen Schwingungen: ψν
- Grundschwingung: d1⋅ t+
1
cos( ω ψ
)
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
ν ν ν ν
S. 39
N T S

2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
• Bei cosinus-förmiger Spannung u () t = uˆcos( νωt+ ϕuv
)
wird üblicherweise ein
komplexer Scheitelwert
zugeordnet:
Nun kann man ansetzen:
Auch bei elektrische Netzwerken nutzt
man die Darstellung (der Spannungen
und Ströme) in Kosinusform:
jϕuν jωt uˆ = ue ˆ mit u( t) = Re{ ue ˆ }
ut () = u + uˆ cos( νωt+ ϕ )
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
∞
j t
ut () = ∑ ue v mit
νω
ν
=−∞
0
0
∞
∑
ν = 1
∞
∑
it () = i + iˆ cos( νωt+ ϕ )
ν = 1
v uν
v iν
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
1 *
uˆ v , für ν 1
⎧ ≤ −
⎪ 2
⎪
uv= ⎨ u0für ν = 0
⎪ 1
⎪⎩
uˆ ≥1
2 v für ν
S. 40
N T S

2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
0 () u t
i(t)
R
einem Netzwerk
Beispiel-Netzwerk:
Reihen-Schwingkreis
uL() t
C
Hier ist gegeben :
Daraus folgt:
Zu berechnen sind : it () und u () t
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
0
û
0
0 () u t
T/2
0 2
π k = 1 π k
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
T
u () t = uˆsin( ωt) mit ω=2 π/T
∞ 2uˆ 4uˆ
u () t = −∑
cos(2 kωt) (4 −1)
L
S. 41
t
N T S

2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
• Lösungsansatz :
einem Netzwerk
- Verwendung der Impedanz für jede Frequenz kω :
- Angabe der Fourier-Reihe zu 0 ()
∞ 2uˆ
u () t =−∑
e
(4 −1)
0 2
k=−∞π
k
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
uˆ
= k
u t in komplexer Form mit: k
2
π k
j2kωt iˆ
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
Z
k
k
uˆ
S. 42
=−
4uˆ
(4 −1)
N T S

2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
• Impedanz bzw. Strom des Reihen-Schwingkreises für eine
bestimmte Frequenz kω :
Zk = R+ jXk mit
1
Xk= kωL− kωC und i = u / Z
Dann gilt für den Strom :
∞
it () = ∑ ik ∞ 2uˆ1 =−∑
. 2
π (4k − 1) R+ jX
j2kωt e
k=−∞ k=−∞ 2k
Mit der Euler’schen Formel resultiert:
∞ 2uˆ1 it ( ) =− ∑ . .[cos(2 kωt) + jsin(2 kωt)] π k − R+ jX
2
k =−∞ (4 1)
2k
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
k k k
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 43
N T S

2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
einem Netzwerk
• Nach einer Umformung (per konjugiert komplexer Erweiterung des Nenners)
ergibt sich :
∞ 2uˆ
⎡ Rcos(2 kωt) + X2ksin(2 kωt) Rsin(2 kωt) −X2k
cos(2 kωt) ⎤
it () =− ∑
j
2 ⎢ +
2 2 2 2 ⎥
k=−∞π (4k − 1) ⎣ R + X2k R + X2k
⎦
Werden die Eigenschaften der Funktionen ( cos , sin ) für +/- k ausgenutzt, so gilt
mit X X (mit Wegfall der Imaginärteils!):
− k k =−
it () =−
4uˆ
Rcos(2 kωt) + X sin(2 kωt) ∞
2k
∑ 2 2 2
k = 0 π (4k − 1) R + X2k
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 44
N T S

2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei
• Die Spannung an der Spule erhält
man über:
einem Netzwerk
u () t =
L
di() t
uL() t = L
dt
4uˆ
2 kωL[ Rsin(2 kωt) − X cos(2 kωt)] ∞
2k
∑ 2 2 2
k = 0 π (4k − 1)
R + X2k
Die Ergebnisse lassen sich auch in Polarform darstellen:
∞ 4uˆ2kωL R
uL( t) = ∑ . cos[(2 kωt) + arctan( )]
π (2k − 1) +
X
2 2 2
k = 0 R X2k
2k
4uˆ1 it k t
∞
2k
( ) = ∑
. cos[(2 ω ) −arctan(
)]
2 2 2
k = 0 π (2k − 1) R + X
R
2k
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
X
S. 45
N T S

2.2.10 Formulierung der Parseval’schen
Gleichung
- Betrachtet werden zwei im allgemeinen nicht-sinusförmige periodische
Funktionen 1 () f t 2 () und f t mit gleicher Periodendauer T:
- Die entsprechenden Fourier-Reihen lauten:
∞
t0+ T
jνωt 1
− jνωt 1() = ∑ ν ν = ∫ 1()
ν =−∞
T t
f t C e mit C f t e dt
und
∞
t0+ T
jµω t 1
− jµωt 2() = ∑ µ µ = ∫ 2()
µ =−∞
T t
f t D e mit D f t e dt
- Für das Produkt beider Funktionen gilt : 1 2
und zugleich
da periodisch :
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
0
0
f () t f () t C e . D e
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
∞
jνω t
∞
jµωt ν µ
ν =−∞ µ =−∞
⋅ = ∑ ∑
∞
t0+ T
jkωt1−jkωt 1() ⋅ 2() = ∑ k mit k =
1() 2()
k =−∞
T ∫
t
f t f t E e E f t f t e dt
0
S. 46
N T S

2.2.10 Formulierung der Parseval’schen
• Weiterhin gilt:
Gleichung
t0+ T
1 ⎡ ∞ ∞
jνω t jµωt⎤ − jkωt Ek= Cν e . Dµ e e dt
T ∫ ⎢∑ ∑ ⎥
t ⎣ν =−∞ µ =−∞ ⎦
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
0
t0+ T
⎡ ⎤
1
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
∞ ∞
j( ν + µ −k)
ωt
Ek∑ Cν ∑ Dµ e dt
ν =−∞ µ =−∞ T ∫
bzw.
⎣ t0
⎦
∞ ∞
t0+ T
1 j( ν + µ −k)
ωt
Ek = ∑ CI ν mitI= ∑ Dµ e dt
ν =−∞ µ =−∞ T ∫
t
• Man kann zeigen, dass I verschieden von Null ist nur bei:
(wg. Orthogonalität von cos(nx) und sin(nx) )
Damit wird der Integrand
identisch mit 1 und es gilt:
∞ ∞ 1
I= ∑ D ⋅ T = ∑
D
T
µ µ
µ=−∞ µ=−∞
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
0
ν + µ − k = 0
S. 47
N T S

2.2.10 Formulierung der Parseval’schen
∞ ∞ ∞
∑ ∑ ∑
Gleichung
die Fourier-Koeffizienten des Produktes f1() t f2() t
E = C D = C D
k ν µ ν k−ν
ν =−∞ µ =−∞ ν=−∞
Bestimmung des Gleichanteils (zeitl. Mittelwert) E
des Produktes f ( t) f ( t) über k = 0 :
1 2
t + T
∞
0
1
E = f (). t f () t dt = ∑ C . D
∫
0 1 2
T t
0
ν =−∞
ν −ν
infolge ν + µ − k = 0
bzw. µ = k − v
Es gibt diverse Anwendungen dieser Beziehung (Bestimmung des
Integrals im Zeit- oder Frequenzbereich)!
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
0
S. 48
N T S

2.2.10 Formulierung der Parseval’schen
Gleichung
• Alle komplexen Fourier-Koeffizienten besitzen die Eigenschaft :
C
*
= C und D
*
= D
ν −ν ν −ν
Damit läßt sich die folgende Formel umschreiben von
t0+ T
∞ −1 ∞
1
E0 = f1() t f2() t dt = ∑ CνD−ν = ∑ CνD−ν + C0D0 + ∑CνD−v=
T ∫
zu:
t
0
ν=−∞ ν=−∞ ν=
1
∞
∑C−νDν CD 0 0
∞
∑CD ν −v CD 0 0
∞
∑(
C−νDv * *
C−vDv) ν= 1 ν= 1 ν=
1
∞ ∞
*
= CD 0 0 + ∑( C−νDv + ( C−vDv) ) = CD 0 0 + ∑2Re{
C−νDv} ν= 1 ν=
1
+ + = + + =
∞ ∞
* *
∑ { ν ν} ∑ { ν ν}
E0= Re C ⋅ D = Re C ⋅D
ν=−∞ ν=−∞
Dies ist die Parseval’sche Gleichung
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 49
N T S

2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen
Die elektrische Energie pro Periode (Wirkleistung) an einem
ohmschen Widerstand beträgt:
t0+ T t0+ T t0+ T
()()
2
()
2
()
1 1 1 1
PW= u t i t dt u t dt R i t dt
T ∫ = =
R T ∫ T ∫
t t t
0 0 0
Anwendung der Parseval’schen Gleichung für diesen Sonderfall:
ergibt:
f () t = f () t = f () t
1 2
0
f t f t f t
2
1() 2()
= ()
t0+ T
∞ ∞
1 2 *
E0= f ( t) dt Re C C Re C e
T ∫ = ∑ = ∑
t
ν=−∞ ν=−∞
∞
2
∑ Cν 2
C0 ∞
2
2∑
Cν
ν=−∞ ν=
1
= = +
und damit
{ } {
2 j( �C −�C
) }
ν ν ν
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
v v
S. 50
N T S

2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen
• Mit
1
T
0
a a − jb
= = , = = ≥1 folgt:
2 2
0
ν ν
c0 C0 cν Cν ν
t0+ T
∞ 2 ∞ 2 2 2 ∞ 2 2
2 2 2 ⎛a0 ⎞ av + bv ⎛a0 ⎞ av + bv
∫ f () t dt = c0+ 2∑ cν
= ⎜ ⎟ + 2∑
= ⎜ ⎟ + ∑
1 2 1 4 2 1 2
t
ν= ⎝ ⎠ ν= ⎝ ⎠ ν=
Wenn f(t) Spannungs- oder Stromcharakter hat, werden die entsprechenden
Spektralgrößen aν, bν und cν
die Wirkleistungsverhältnisse des
entsprechenden Netzwerkelementes beschreiben.
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 51
N T S

2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen
Betrachtet wird nun ein Eintor (nicht nur ohmsch) mit nichtsinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen u(t) und i(t):
1
i(t)
U(t) Eintor
1’
Für die Wirkleistung gilt:
0 0
und
u( t) = f ( t) = C e
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
2
1
ν =−∞
i( t) = f ( t) = D e
t + T t + T
∞
ν = 1
0 0
ν =−∞
0 0
1 1
PW = utitdt ()() f1() t f2() tdt CD 0 0 2 ReC
D
T ∫ = = + ∑
T ∫
t t
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
∞
∑
∞
∑
ν
µ
* { ν ν}
ν = 1
S. 52
jνωt jϖωt * { ν ν }
= CD + 2 Re CD
∞
∑
N T S

2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen
periodischen Netzwerkgrößen
Unter Berücksichtigung der Zusammenhänge entsprechend S. 40
C0 folgt :
= U0 , D0 = I0 ,
1
C = ˆ ν uν 2
,
1
D = iˆ
ν ν
2
* *
{ ˆ ˆ } { ˆ ˆ }
∞ ∞
1 1
P = U I + Re u ⋅ i = U I + Re u ⋅i
∑ ∑
W 0 0 v v 0 0
v v
2 ν= 1 2 ν=
1
Damit ist die Gesamtleistung über die Summe aller
Einzelleistungen jeder Spektrallinie zu bestimmen!
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 53
N T S

2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom
sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen
Definition des Effektivwerts einer periodischen Funktion:
t0+ T
1 2
() eff = ∫ ()
T t
f t f t dt
Die Parseval’sche Gleichung gestattet die Bestimmung des Effektivwerts
über die Fourier-Koeffizienten (bzw. über die zugehörigen Effektivwerte):
∞ 2 ∞
2 2
2 ⎛a0⎞ ⎡⎛ a ⎤
ν ⎞ ⎛ bν
⎞
f() t eff = ∑ cν = ⎜ ⎟ + ∑⎢
+ ⎥
=−∞ 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ν ν=
1 2 2
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
0
⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 54
N T S

2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom
sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen
- Der Effektivwert für eine periodische Spannung u(t) beträgt:
U 0 : Gleichanteil von u(t)
û ν
: Scheitelwert
∞
2
∞
2 ⎛ uˆ
ν ⎞
2
eff = 0 + ∑⎜ ⎟ = ∑ eff ν
ν= 1 2 ν=
0
U U U
⎝ ⎠
U ˆ ν = uν/ 2 : Effektivwert der ν -ten Teilspannung (Frequenz: νω)
eff
- Der Effektivwert für einen periodischen Strom beträgt sinngemäß:
2
∞ ˆ
∞ ∞
2 ⎛ i ⎞ ν
2 2 2
eff 0 ∑⎜ ⎟ 0 ∑ eff ν ∑ eff ν
ν= 1 2
ν= 1 ν=
0
I = I = I + = I + I = I
⎝ ⎠
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 55
N T S

2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom
sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen
Bei reinen Wechselgrössen, also ohne Gleichanteil gilt: 0
Ansonsten ist f(t) eine Mischgrösse
(Gleichanteil und Wechselanteil der nicht-periodischen Funktion f(t)
ist zugleich vorhanden).
0
Also gilt für Mischgrößen: 0
s
∞
2
∑Ueff ν
∞
2
∑Ueff
ν
ν= 1 ν=
1
Ueff
∞
2
∑U
eff ν
ν = 0
= =
a
≠
2
Dafür ist der Schwingungsgehalt s definiert (Anteil AC am Gesamtsignal):
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
a 0 =
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 56
N T S

2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom
sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen
Die Abweichung vom sinusförmigen Ablauf kann durch den
Grundschwingungsgehalt g beschrieben werden:
g
k
U U
= =
U
eff 1 eff 1
eff ∼
∞
∑ U
ν = 1
2
effν
Der Oberschwingungsgehalt k ( Klirrfaktor ) beträgt:
∞
2
∑ U eff ν
∞
2
∑ U effν
ν = 2 ν = 2
U eff
∞
2
∑ U effν
ν = 1
= =
∼ 2 2
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
g + k = 1
S. 57
N T S

2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom sinusförmigen
Verlauf periodischer Funktionen
Zusätzlich gibt es weitere Definitionen mit Formfaktor und Scheitelfaktor:
Formfaktor :
k
=
2
eff ν
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
1
T
0
∞
∑
ν =
f T
∫
0
U
u ( t ) d t
Scheitelfaktor für Signale ohne Gleichanteil:
Bei rein sinusförmigen Verlauf erhält man:
π
k f = ≈ 1,11
2 2
und ka
= 2 =
1, 41
=
ut ()
ν = 1
max
2
eff
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
k
a
∞
∑
U ν
S. 58
N T S

2.2.13 Zusätzliche Eigenschaftern der Fourier-Reihe
· Linearität
· Zeitverschiebung
· Spiegelung
k⋅s( t) ergibt Reihe mit k⋅cv a⋅ s ( t) + b⋅s (t) ergibt Reihe mit a⋅ c + b⋅c 1 2 v1 v2
st ( −t) ergibt Reihe mit c⋅e Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
1
s( t) ergibt Reihe mit c
*
− v
− jvωt Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
v
1
S. 59
N T S

Grundlagen der
Elektrotechnik 3
Kapitel 2.3
Beschreibung aperiodischer Zeitvorgänge
mittels der Fourier-Transformation
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 60
N T S

2.3.1 Vorbemerkungen
Ansatz: Entwicklung der Fourier-Transformation aus der Fourier-Reihe
durch Überführung periodischer Funktion in aperiodischen Impuls
Beispiel : Betrachtet wird ein periodischer Rechteckimpuls
tρ −
2
0
f(t)
tρ 2
u(t) sei hier eine gerade Funktion
tρ T-
2
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
t
⎧
t t
⎪U
für − < t <
= ⎨
⎪⎩ 0 sonst
i i
()
0
2 2
ut
Es soll eine Fourier-Analyse dieses
Signals durchgeführt werden
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 61
N T S

• Lösung :
2.3.1 Vorbemerkungen
t
ti
2
1 0
=+
Ut
c = ∫ U dt =
T T
0 0
ti
t=−
2
ν = 0
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i
ti
t=
ti
2
1 2
0 sin( νω )
∫ 0 cos( νω )
T t
t
T νω i
i
−
t=−
2
2
aν − jbν aν U t
cν= = = U t dt =
2 2
b
2π
mit ω =
T
⎛2πv ti ⎞ ⎡2πv⎛ ti
⎞⎤ sin −sin −
⎛ ti
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ sin
0 2
⎢
2
⎥ ⎜νπ U
⎟
⎝ T ⎠ ⎣ T ⎝ ⎠⎦
U0ti = =
⎝ T
c
⎠
ν
T νω
T ti
νπ
T
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 62
N T S

zw:
a c
Ut
⎛ ti
⎞
sin ⎜νπ ⎟
⎝ T ⎠
νω
T
Ut
si
t
0 i 0 i i
ν = 2 ν=
2 = 2 ( νω )
T ti
T T
C0
0
C1
C2
C3
5
2.3.1 Vorbemerkungen
C4
0 C = C 10 = 0
5
Skizze des Spektrums von u(t) für den Fall
1
0
sin( ν x)
ν x
Damit
gilt:
= 0, 2
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15
C = 0
15
ν
ti
T
ν =∞ Ut 0 i ⎛ ti
⎞
ut () = ∑ si⎜νπ
⎟e
T ν =−∞ ⎝ T ⎠
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 63
jνωt N T S

2.3.2 Das Fourier-Integral
• Im folgenden wird weiter die Fourier-Reihe einer
periodischen Funktion f(t) untersucht. Die Periode sei hier:
-To/2 0
f(t)
T0/2
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t
Dabei sollen die nachstehenden Voraussetzungen gemacht werden :
1 ) f(t) sei stetig
T
. 2 ) In jeder endlichen Periodendauer − 0 T
≤ t ≤ 0 möge die Funktion
2 2
den Dirichlet’schen Bedingungen genügen
3 ) Bei unendlicher Periodendauer sei f(t) absolut integrierbar
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
T
0
∞
0
f() t = ∑ c e νω
ν
ν =−∞
S. 64
=
2π
ω
0
j t
N T S

2.3.2 Das Fourier-Integral
Die folgende Darstellung geht aus von einem periodischem
Signal welches in ein nicht-periodisches Signals überführt
wird. Ansatz: Vergrößerung der Periodendauer - also per: lim
T0
→∞
Jeder Term in komplexer Fourier-Reihe entspricht einer Linie im
Spektrum. Die Linienabstände betragen: ω = 2 π / T
In einem Intervall ∆ω um einen beliebigen Frequenzpunkt ω liegen m
Linien mit der Anzahl:
m
∆ω
T
ω
0 = = ∆
ω02π 0 0
Bei genügend kleinem Intervall resultiert dann nur geringer Unterschied
der m einzelnen Terme der komplexer Fourier-Reihe zueinander.
Konsequenz: Zusammenfassung dieser Terme ist erlaubt!
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Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 65
N T S

2.3.2 Das Fourier-Integral
• In jedem Intervall mit m Linien gilt damit für dessen Beitrag zur Reihe:
jvω0tT0jvω0t m⋅ c ve = ∆ω⋅c ve
2π
0 → ∞ T Für kann man dann die Intervalle infinitesimal klein wählen
(wenn m unverändert bleiben soll)
Damit ergibt sich für den Beitrag jedes Intervalls zur Reihe:
T0 T0
d c ve v 0
c ve
d
2π2π jvω0t jωt ω ⋅ mit ω →ω
daher:
ω
Außerdem läßt sich abkürzend schreiben:
Insgesamt resultiert damit:
T0 c v = F ( ω
)
1
jωt f () t = ( )
2 ∫ F ω e dω
π
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+∞
−∞
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 66
N T S

Damit gilt auch:
{ }
2.3.2 Das Fourier-Integral
∞ ∞
1 jωt1 * − jωt () = ( ) ( )
2π ∫ +
2π
∫
0 0
f t F ω e dω F ω e dω
oder
+∞
0 0
1
jωt 1
− jνωt f() t = F( ω) e dω
2π
∫
mit c ν = f ( te ) dt
T ∫
Nunmehr folgt wegen
Tc 0 v=
Fω ( ) und lim :
F
+∞
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−∞
− jωt ƒ( t) = F( ω)
= ∫ f ( te ) dt
−∞
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
0
t= t + T
Das Fourierspektrum bzw. die Fourier Transformierte der Funktion f(t)
kann auch dargestellt werden über:
T
0
→∞
t= t
Das Symbol dazu:
0
f() t F( ω)
S. 67
N T S

2.3.3 Die Fourier-Rücktransformation
Die Funktion f(t) läßt sich also mittels ihres Fourierspektrums darstellen über:
1
jωt f () t = ( )
2 ∫ F ω e dω
π
Die (Rück)Transformation zwischen Bildbereich und
Originalbereich kennzeichnet man so: F( ω ) f () t
F ( ω ) hat nicht Amplitudencharakter (wie bei F.-Reihe), sondern
es ist eine Amplitudendichte mit der Dimension :
Amplitude x Zeit oder Amplitude
Frequenz
Die Existenz des Fourier-Integrals ist dann
gesichert wenn f(t) absolut integrierbar ist:
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+∞
−∞
+∞
∫
−∞
f () t dt ≤ S = const
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S. 68
N T S

2.3.4 Interpretation und
Zusammenfassung
Betrachtung eines Signals s(t) aus dem per idealer BP-Filterung nur Anteile
innerhalb eines bestimmten Frequenzbandes extrahiert werden. Die Filterung
erfolge so schmalbandig, dass sich darin das Spektrum (und die
Exponentialfunktion) nur unwesentlich ändert. Für diesen extrahierten Anteil
g(t) folgt:
+∞ 0
+∞
jωt jωt jωt 1
gt ( ) = S( ω) e
2π ∫
−∞
1
dω = S( ω) e
2π ∫
−∞
1
dω+ S( ω) e
2π
∫
0
dω
∆ω
− jω0t jω0t ≈ ( S( − ω0) e + S( ω0)
e )
2π
∆ω
jω0t *
= Re{ S( ω0) e } wegen S( − ω0) = S ( ω0)
π
∆ω =
π
S ω0 e e
∆ω
= S ω0 π
ω0t+ �S
ω0
j�S( ω0) jω0t Re{ ( ) } ( ) cos( ( ))
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Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 69
N T S

2.3.4 Zusammenfassung und
Interpretation
• Die Fouriertransformation ist (unter gegebenen Vorr.) also unter Bezug auf die
betrachtete Bandbreite und bei der betrachteten Frequenz ein Maß für die
Amplitude und die Phasenlage einer Signalanteils (Signalkomponente).
• Die Anwendung der Fouriertransformation erlaubt:
1 ) Ein im Zeitbereich bekanntes Signal gleichwertig im Frequenzbereich
über die zugeordnete Fouriertransformation zu beschreiben
2 ) Aus einer bekannten Fourier-Transformierten die Zeitfunktion
zurückzugewinnen
Die Fouriertransformation ist ein wichtiges Werkzeug der Elektrotechnik,
Regelungstechnik, Physik ( Optik, Mechanik , …).
Zugleich bildet diese die Grundlage der Laplace-Transformation, Z-
Transformation und der diskreten Fouriertransformation incl. der FFT.
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 70
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
• Beispiel 1 :
−
t ρ
2
0
f(t)
U
−
0
t ρ
2
t
tρ tρ
2
∫
tρ
−
2
0
− jωt − jωt e 2
0
− jω
t
−
2
F( ω)
= U e dt = U
= U
t t
− jω jω
2 2
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0
ρ ρ
e − e
− jω
⎛ tρ
⎞
sin ⎜ω⎟ 2
( )
⎝ ⎠ ⎛ tρ
⎞
F ω = U0tρ = U0tρ si
t
⎜ω ⎟
ρ
⎝ 2
ω
⎠
2
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
ρ
S. 71
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
• Untersuchung der Hüllkurve von
• 90% der Impulsenergie innerhalb
roten Bereichs
−
2π
tρ 0.64
−
π
tρ 1
0
F ( ω )
π
tρ 90%
2π
t ρ
ω
⎛ t ρ ⎞
F( ω) = U 0tρsi⎜ω
⎟
⎝ 2 ⎠
90%
2π
t ρ
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
−
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
0
F( ω)
2π
ω
t ρ
S. 72
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
• Beispiel 2 : Der Diracimpuls
A
tρ − −
2
'
tρ 2
'
A
−
"
t ρ
2
f () t
"
A
1
"
t ρ
1
'
t ρ
1
t ρ
"
0 t ρ
'
t ρ tρ t
2 2 2
1 t
δ () t = lim rect(
)
t p →0
tp tp
1 1 1
A= A'= A'' = t . = t . = t = ... = 1
' ''
ρ
tρ ρ '
tρ ρ ''
tρ
+∞ +∞
− jωt 0
∫ ∫
F( ω) = δ() te dt= δ()
tedt=
1
−∞ −∞
Also gilt:
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
1
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
δ () t 1
ω
S. 73
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
δ(t) hat diverse Namen: Stoßfunktion, Dirac-Distribution oder Diracimpuls etc.
f ( x)
x1
x0 −
2
x0
x1
x1
x 0 +
2
1
h =
x
Weiterhin gilt : f ( xdx ) = 1
x
1
f x
1
rect
x−x ⎧
⎪
0
⎪ 1 für
für
x
1
−∞≤ x < ( x0 − x1)
2
1 1
x x x x
⎪
⎪
⎪
⎩
0 für
1
( x0 + x1) < x ≤+∞
2
0
( ) = ( ) = ⎨ ( 0 − 1) < < ( 0 + 1)
x x
1 x1
1
2 2
∞
∫
−∞
f x = δ x−x0 Normale Schreibweise:
( ) ( )
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 74
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
Beispiel 3 :
F
{ }
⎧0
für − ∞≤ t < 0
f() t = ⎨ −at
⎩e
für 0 < t ≤∞
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
und endlichem a
+∞ 0
+∞
− jωt − jωt −at − jωt ∫ ∫ ∫
f() t = F( ω)
= f() t e dt = 0⋅
e dt+ e e dt
−∞ −∞
∞ − ( a+ jω) t
− ( a+ jω) t e
1
= ∫ e dt = =
− ( a+ jω) a+ jω
0 0
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
∞
0
S. 75
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
Die Spektralfunktion in reeller Form lautet damit für:
∞ ∞
∫ ∫
− jωt F( ω) = f( t) e dt = f( t)(cos( ωt) − jsin( ωt)) dt= a( ω) − jb(
ω)
−∞ −∞
+∞
∫
a( ω) = f ( t)cos( ωt)
dt
−∞
{ F ω }
= Re ( )
Für die Transformierte auf der letzten Seite gilt:
b( ω) = f( t)sin( ωt)
dt
{ F ω }
=−Im
( )
1 a−jω a ω
F( ω) = . = − j = a( ω) − jb(
ω)
a+ jω a− jω a² + ω² a²
+ ω²
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
+∞
−∞
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
∫
!
S. 76
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
Die Spektralfunktion in reeller Form:
a(
ω)
=
b(
ω)
=
a
a²
+ ω²
ω
a²
+ ω²
a( ω)
−a 0 a
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
0
1 a
b( ω)
S. 77
ω
ω
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
• Beispiel 4 : Sprungfunktion
1
f () t () t ε =
Hier gilt nicht:
0
0 t
+∞
∫
−∞
f t dt ≤ S = const
0 ()
• Daher besonderer Ansatz mit Grenzwertbildung zur
Beschreibung der Sprungfunktion
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 78
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
• Ansatz für die Sprungfunktion:
⎧0
für − ∞≤ t < 0
f() t = ⎨ −
e für 0 < t ≤∞
⎩ at
Die Sprungfunktion ergibt sich damit zu : f0() t ε () t lim { f() t }
1
F ( ω ) =
a + jω
a ω
F( ω ) = − j
a² + ω ² a²
+
ω ²
= = a
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
→0
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 79
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
a ) Bestimmung des Realteils der Fourier-Transformierten für den Einheitssprung :
a
Re { F(
f( t))
} =
a²
+ ω²
a ⎧ →∞ für ω = 0
lim Re { F(
f( t))
} = lim =⎨
a→0 a→0
a²
+ ω²
⎩0
für ω ≠ 0
Dies läßt sich mittels eines Diracstoßes beschreiben.
Dazu Bestimmung dessen Flächeninhaltes (Gewichtes) A:
∞
a
⎛ω ⎞ π ⎛ π ⎞
A= ∫ dω=
arctan ⎜ ⎟ = −⎜− ⎟=
π
a² + ω²
⎝ a ⎠ 2 ⎝ 2⎠
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
+∞
−∞ −∞
Damit gilt : { F
0 }
Re ( f ( t)) = πδ( ω)
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 80
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
b ) Bestimmung des Imaginärteils der Fourier-Transformierten
für den Einheitsprung:
⎛ ω ⎞ 1
Im { F( f0( t)) } = lim Im { F(
f( t))
} = lim ⎜− ⎟=−
a→0 a→0⎝
a²
+ ω² ⎠ ω
Damit gilt: F{
}
0
1
f0 () t = πδ ( ω)
− j
ω
{ F{
f0 t } }
Re ( )
πδ( ω)
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
ω
0
{ F{
f0 t } }
Im ( )
ω
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
S. 81
N T S

2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation
Beispiel 5 :
−α
t
f() t = f ⋅ e für α > 0
0
+∞
− jωt F( ω)
= ∫ f( t) e dt
−∞
+∞ +∞
f0 −at − jωt ∫ e e dt f0 −at − jωt ∫
e ( e
jωt e ) dt
−∞
0
−at − jωt fe 0 e ∞
−at
jωt fe 0 e ∞ f0 f0
0 0
= = +
= + = +
−a− jω − a+ jω a+ jω a− jω
F( ω)
= f
a
2a
+ ω
0 2 2
− 1
α
Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3
α
−
f0
2 f0
α
Fachgebiet
Nachrichtentechnische Systeme
3
f () t
0 1 t
α
F{
jω}
0
S. 82
f0
3f
0
e
2α
α ω
3
N T S