Grundlagen der Elektrotechnik 3 - Nachrichtentechnische Systeme ...

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Grundlagen der Elektrotechnik 3 - Nachrichtentechnische Systeme ...

Grundlagen der Elektrotechnik

3

Prof. Dr.-Ing. Ingolf Willms

und

Prof. Dr.-Ing. Adalbert Beyer

und basierend auf dem Script von

Prof. Dr.-Ing. Ingo Wolff

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 1

N T S


Grundlagen der Elektrotechnik 3

Inhalt

1 Einleitung

2 Grundlagen der Signaltheorie determinierter Signale

3 Schaltvorgänge

4 Einführung in die Theorie linearer Netzwerke

5 Fernleitungen

6 Operationsverstärker

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S. 2

N T S


Literatur

• Literatur zur Vorlesung:

R. Paul Elektrotechnik 2, Grundlagenbuch Netzwerke

Springer-Verlag, Heidelberg 1994

I. Wolff Grundlagen der Elektrotechnik 4

Vorlesungs-Script

• Weiterführende Literatur :

W. Ameling Grundlagen der Elektrotechnik II

G. Bosse Grundlagen der Elektrotechnik IV

B.I. Wissenschaftverlag Mannheim, Wien Zürich 1996

R. UnbehauenGrundlagen der Elektrotechnik I

Springer-Verlag, Heidelberg 1994

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Nachrichtentechnische Systeme

S. 3

N T S


1 Einleitung

• GET3 enthält überwiegend theoretische Grundlagen zu

informationstechnischen Fragestellungen

• Informationstechnik: Entstanden aus Informatik (I-

Verarbeitungstechnik) und Nachrichtentechnik (I-

Übermittlungstechnik)

• IT: Effiziente Datenverarbeitung, Speicherung und

Transport

• IT beinhaltet 4 Gruppen:

Grundlagen und Technologien (G1)

– Strukturen, Verfahren, Programme (G2)

– Geräte, Einrichtungen, Anlagen (G3)

– Anwendungen (G4)

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S. 4

N T S


1 Einleitung

–G1: Theoretische Grundlagen, Methoden, SW- und

HW-Technologien, Physiologische Grundlagen

–G2: Rechensysteme, Softwaresysteme, Architekturen,

Aufnahme-, Wiedergabe und Speicherung, Vermittlungsund

Übertragungsverfahren

–G3: Rechenanlagen, Einrichtungen zu Ein- und

Ausgabe, End- und Meßeinrichtungen, Einrichtungen zur

Automatisierung, Vermittlung und Übertragung,

–G4: Kommerzielle, administrative, industrielle

Anwendungen, Prozeßdaten,

Technisch/wissenschaftliche Anwendungen,

Kommunikation, Ortung und Navigation

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Fachgebiet

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S. 5

N T S


2 Grundlagen der Signaltheorie determinierter

Signale

Kapitelübersicht:

• 2.1 Vorbemerkungen

– Modell für die Informations-Übertragung

– Signalklassen

• 2.2 Beschreibung nichtsinusförmiger, periodischer

Zeitvorgänge

– Approximation von Funktionen mit Fourier-Reihe

– Anwendungen auf Netzwerke

• 2.3 Beschreibung aperiodischer Zeitvorgänge

– Das Fourier-Integral in verschiedenen Formen

– Beispiele dazu

– Eigenschaften der Fourier-Transformation

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S. 6

N T S


2.1 Vorbemerkungen

Störer

Quelle Sender Kanal

Bereich der elektrischen orts- und zeitabhängigen Signale

Signale: Träger der Informationen

Empfänger Senke

Signalklassen: Determinierte, stochastische Signale

Wertkontinuierlich, Wertdiskret

Zeitkontinuierlich, zeitdiskret

Periodisch, aperiodisch

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S. 7

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2.2 Beschreibung nichtsinusförmiger, periodischer

Zeitvorgänge

2.2.1 Approximation von Funktionen

– Motivation: Kennfunktionen, Extraktion von Kenndaten

Datenkompression

– Ansatz: Gegeben sei f(t)

Gesucht ist g(t),die f(t) im Intervall approximiert mit

0

g(t)

n

g() t = ∑αigi()

t bei Vorgabe der gi( t)

i=

1

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f(t)

t

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S. 8

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2.2.1 Approximation von Funktionen

- Anforderung: Möglichst kleiner Fehler der Approximation

- Definition Fehlerfunktion: Φ () t = f() t −g()

t

1

t − t ∫

t2

- Mittlerer Fehler: Φ = [ () − () ]

m t

- Mittlerer absoluter Fehler :

f t g t dt

⏐ min ⏐min

1

2 1

2

1

Φ = f () t −g()

t dt

ma⏐

min ⏐min

t2 − t1

t1


Φ mq

1

=

t − t

t2

2

f () t −g()

t dt

t1


- Mittlerer Quadratischer Fehler : [ ]

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t

⏐ min ⏐min

2 1

- Vorteile/Nachteile der Fehlermasse

• Aufheben der Fehler möglich bei mittlerem Fehler

• Absol. Fehler ergibt Unstetigkeiten (beim part. Differenzieren)

• Quadr. Fehler ist häufigste Anwendung

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 9

N T S


2.2.1 Approximation von Funktionen

– Bestimmung der Koeffizienten αυ

– Hieraus folgen die unten angegebenen Schritte:

∂φ mq

= 0 i= 1,2,..., n

∂α

i

2

⎡ ⎤

1

∂α −


() −


() = 0

⎣ ⎦

n

∂ t2

⎢ f t

t

jg j t dt

t t ∫ ⎢ ∑α

⎥ ⎥

⎢ 1

j=

1 ⎥

i 2 1 ⎣ ⎦

1

t t


t

⎡ n ⎤

2 ( ) ( ) ( ) 0

2

− ⎢f t − α

t

jg j t ⎥ gi t dt =

1

2 − 1 ⎣ j=

1 ⎦

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⎡ ⎤

f() t gi() t dt = gi() t ⎢∑α jg j()

t ⎥ dt

⎣ 1 ⎦

t2 t

n

2

∫t∫ 1

t

j=

1

Dies entspricht einem Gleichungssystem, das nach den

Koeffizienten aufgelöst werden kann

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S. 10

N T S


2.2.1 Approximation von Funktionen

t2 ∫ 1

t2 = α1∫ 2

1

t2 + α2∫ 1 2 +

t2 + αν∫ 1 ν +

t2

+ αn∫

1 n

t t t t t

f () tg() tdt g () tdt g() tg() tdt... g() tg() tdt... g() tg() tdt

1 1 1 1 1

t t t t t

2 2 2 2 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

f () t g () t dt = α g () t g () t dt + α g () t g () t dt + ... + α g () t g () t dt + ... + α g () t g () t dt

2 1 1 2 2 2 2 ν 2 ν

n 2 n

t t t t t

1 1 1 1 1

.

.

.

t t t t t

2 2 2 2 2

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

f() t g () t dt = α g () t g () t dt+ α g () t g () t dt+ ... + α g () t g () t dt+ ... + α g () t g () t dt

n 1 1 n 2 2 n ν ν n n n n

t t t t t

1 1 1 1 1

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S. 11

N T S


2.2.2 Approximation mittels orthogonaler

Funktionensysteme

• Definition orthogonaler Funktionen in

Intervall ( t1, t2)

mittels reeller Funktionen

g(t) . Diese Funktionen sollen stetig im

Intervall sein.

• Dabei wird Chronecker‘sche Deltafunktion

benutzt:

• Ansatz für die Approximation:

• Damit folgt für die Koeffizienten

(infolge Wegfalls aller Integrale

je Zeile bis auf zwei Integrale):

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δ

µν

α

=

t

t

2


1

g () t g () t dt = δ ⋅h

µ ν µν µ

und geeignetem h

⎧0

für µ ≠ν

= ⎨

⎩1

für µ = ν

g() t α g () t

t

2


t1

i t

2

1

= ∑ n

i=

1

2

i

i i

f () tg() tdt


t

g () tdt

Fachgebiet

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i

µ

S. 12

N T S


2.2.2 Approximation mittels orthogonaler

Funktionensysteme

Man erhält orthonormale Funktionensysteme mittels der Festlegungen

g () t g () t

gν() t gn() t

G ( t) = , G ( t) = ,..., Gν( t) = ,..., Gn( t)

=

h h h h

1 2

1 2

1 2

Für diese gilt dann:

t

2


t

1

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ν

⎧0

für µ ≠ν

Gµ () t Gν () t dt = δ µν =⎨

⎩1

für µ = ν

Damit lässt sich eine Funktion f(t) im Intervall mit Hilfe von geeigneten

Koeffizienten in eine Reihe von orthonormalen Funktionen entwickeln.

Das Ergebnis der Approximation ist dann eine Funktion G(t).

n

Zusammenfassend gilt: f() t ≅ G() t =∑AG

i i()

t

Die Koeffizienten A sind

die sog. verallgemeinerten

Fourierkoeffizienten:

t

2

1

i=

1

Ai = ∫

f() t Gi() t dt

t

Fachgebiet

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n

S. 13

N T S


2.2.3 Approximation von periodischen, nichtsinusförmigen

Funktionen

Beispiel einer Funktion mit der Periodendauer T. Diese Funktion ist als

Wiederholung einer Periode interpretierbar.

0

f(t)

T

T 2T

Für eine periodische Funktion gilt: f( t) = f( t± νT) ν = 0,1,2,...,

Nach Fourier kann eine beliebige Funktion, die die Dirichlet‘schen

Bedingungen erfüllt, u.a. in der folgenden trigonometrischen Form

dargestellt werden:

∞ a0

f () t = + ∑[

aν cos( νωt) + bν sin( νωt)

]

2

ν = 1

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t

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S. 14

N T S


2.2.2 Approximation von periodischen, nichtsinusförmigen

Funktionen (Fourier-Reihe)

• Dirichlet‘sche Bedingungen (in der Praxis erfüllt)

– Funktion f(t) ist im Intervall entweder stetig oder hat endlich viele

Unstetigkeitsstellen

– Endliche Grenzwerte von f(t) existieren, wenn t von rechts oder von links

gegen die Unstetigkeitsstelle strebt

– Das Intervall lässt sich derart in Teile zerlegen, so dass dort f(t) monoton ist

• Satz von Dirichlet

– Bei Erfüllung der Dirichlet‘schen Bedingungen konvergiert die Fourierreihe

im gesamten Intervall

– Der Wert der Fourier-Reihe ist identisch mit Funktion f(t) an stetigen Stellen

– An Unstetigkeitsstellen ist der Wert gleich: 0.5 f( t+ 0) + f( t−0)

– An Endpunkten des Intervalls ist der Wert gleich:

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[ ]

[ f t + + f t −

]

0.5 ( 0) ( 0)

1 2

Fachgebiet

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S. 15

N T S


2.2.3 Fourier Reihe

Analogie zur Reihenentwicklung orthogonaler Funktionen

• Für die Reihenentwicklung gilt bei

orthogonalen Funktionen

• Für die benutzten Funktionen

läßt sich die Orthogonalität

zeigen:

• Ansonsten gilt wie o.a. :

• Dadurch ist gesichert, dass Fourier-

Reihe die bestmögliche

Approximation im quadratischen

Mittel ist (auch bei abgebrochener

Reihe)

t = t + T t = t + T

T

sin( µωt)sin( νω t) dt = cos( µωt)cos( νωt) dt = δµν

2

2 0 2 0

∫ ∫

t = t t = t

1 0 1 0

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t

t

2


1

g () t g () t dt = δ ⋅ h

µ ν µν µ

g() t α g () t

= ∑ n

i=

1

i i

mit

α =

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

t

2


t1

i t

f () tg() tdt

2


t

1

g () tdt

a

f t a t b t


0 () = + ∑ ν cos( ) + ν sin( )

2 ν = 1

2

i

[ νω νω ]

Es sind 2 Koeffizientensätze nötig, damit

gerade und ungerade Funktionsanteile

dargestellt werden können.

S. 16

i

N T S


2.2.3 Fourier Reihe

Damit gilt für die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten der trigonometrischen Form:

a0

2

t = t + T

2 0


f()1 t ⋅ dt

t 1

1= t0

= =

t2= t0+ T

T

2

1 dt

2 0


t = t

1 0

t = t + T


1 0

2

cos ( )

t = t + T

2 0


t = t

1 0

f() t dt

f()cos( t µωt)

dt t2= t0+ T

t 2

1= t0

aν= = ()cos( )

t2= t0+ T

∫ f t µωt

dt

T t1= t0

µωt

dt


t = t

t = t + T

2 0


f()sin( t µωt)

dt t2= t0+ T

t 2

1= t0

bν= = ()sin( )

2 0

∫ f t µωt

dt

T t1= t0

tdt

t = t + T


t = t

2

sin ( µω )

1 0

Dies ist der Gleichanteil (arithm.

Mittelwert)

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Nachrichtentechnische Systeme

S. 17

N T S


2.2.4 Die Polar-Form der Fourier Reihe

(Fourier-Cosinus-Reihe)

• Mittels der Beziehung

A x B x A B x B A

2 2

cos( ) + sin( ) = + cos( −arctan(

/ ))

lässt sich die trigon. Fourier-Reihe umschreiben von


a0

f( t) = + ∑[

aν cos( νωt) + bν sin( νωt)

] zu

2

ν = 1


f() t = d0+ ∑dν

cos( νωt+ ψν) mit

ν = 1

0

0 =

2

und

a

d

dν =

2 2

aν + bν

;

⎛b⎞ ν

ψν =− arctan ⎜ ⎟

⎝aν⎠ ( + / −π

für negative aν

)

Darüber hinaus ist obige Formel auch in der Version der Fourier-Sinus-

Reihe bekannt:


f( t) = e + e sin( νωt+ ϕ ) mit e = d sowie ϕ = π / 2 + ψ

0


ν = 1

ν ν ν ν ν ν

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Fachgebiet

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S. 18

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-

Reihe mit symmetr. Funktionen

• B1: f(t) ist eine gerade Funktion mit f ( − t) = f( t)

und

-T/2

-f(t) f(t)

-t

f(t)

t

T/2

Die Fourier-Reihe hat damit die Form:

Grund:

Darstellbarkeit gerader Funktionen nur durch

andere gerade Funktionen

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T

t

T

2

T

2

22 ⋅

aν = f ()cos( t νωt)

dt

T ∫

2

bν= f()sin( t νωt)

dt = 0

T ∫

T

t0

=−

2

a

f t a t


0 () = +∑νcos(

νω )

2 ν = 1

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

0

S. 19

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-

Reihe mit symmetr. Funktionen

• B2: f(t) ist eine ungerade Funktion mit f () t = −f( −t)

und

-T/2

-t

f(t)

f(t)

-f(t)

t

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T/2

t

a

2

0 = = 0

a ν

Somit resultiert:


f() t = ∑bνsin(

νωt)

ν = 1

T

2

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

4

bν = f ()sin( t νωt)

dt

T ∫

0

S. 20

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der

Fourier-Reihe mit symmetr. Funktion

• B3: f(t) ist vollsymmetrische Funktion mit f(t)= - f(t + T/2)

f(t+T/2)

f(t)

t

t+T/2

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T

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 21

t

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der

Fourier-Reihe mit symmetr. Funktion

Es gilt dafür :

oder nach Aufteilung

des Intervalls:

für ν = 2k gilt:

2

aν= f()cos( t νωt)

dt

T ∫

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T

0

T

⎡ ⎤

2

T

2 ⎢ ⎥

aν= f()cos( t νωt) dt f()cos( t νωt)

dt

T ⎢∫ + ∫


o

T




2


T

⎡ ⎤

2

T

2 ⎢ ⎥

a2k= f( t)cos(2 kωt) dt f( t)cos(2 kωt) dt 0

T ⎢∫ + ∫


=

o

T




2


T

2

4

sowie für ν = 2k+ 1 : a2k+ 1 f ()cos(2 t [ k 1) ωt]

dt

T 0

= + ∫

Grund: Geradzahlige k ergeben sich nach T/2 wiederholende cos-Funktionen.

Auslöschung der Terme wegen zu T/2 negativen und sich wiederholendem f(t) !

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 22

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-

Reihe mit symmetr. Funktion

- Auf ähnlicher Weise läßt sich die Gültigkeit folgender Aussagen einsehen

(auch sin-Funktion wiederholt sich für gerade k nach T/2):

2

4

b 2k

= 0 b2k+ 1 f()sin t [ (2k 1) ωt]

dt

T 0

= +

und ∫

- Es kommen daher in dieser Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Schwingungen vor,

für die ν = 2k+ 1 gilt:



k = 1

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T

{ 2k+ 1 [ ω ] 2k+ 1 [ ω ] }

f () t = a cos(2k+ 1) t + b sin (2k+ 1) t

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 23

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-Reihe

mit symmetr. Funktion

• B4 : Funktion ist vollsymmetrisch mit f(t) = f(t + T/2 ) . Daraus folgt dann:

f(t)

8t

#

0

t

T/2

t+T/2

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T

t

T

2

4

a2kf()cos(2 t kωt) dt

T

= ∫ und a 2k+ 1 = 0

0

T

2

4

b2kf()sin(2 t kωt) dt

T

= ∫ und b 2k+ 1 = 0

Grund: Nach T/2 erfolgt Wiederholung der cos/sin-Funktionen mit den Indizes 2k.

Cos/sin-Funktionen mit Indizes 2k+1 haben bei T/2 Abstand jeweils andere Halbwelle!

Die Fourier-Reihe von f(t) hat dann eine Form mit allein geradzahligen Koeffizienten:

∞ a0

f ( t) = + ∑{ a2k cos [ (2 k) ωt] + b2k sin [ (2 k) ωt]

}

2

k = 1

0

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 24

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-

Reihe mit symmetr. Funktion

• B5 : f(t) ist gerade und vollsymmetrisch [ f(t) = - f(t + T/2) ] :

0

Resultat: Nur ungeradzahlige Kosinusschwingungen kommen vor

f(t)

T/2

T

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

t

a0

2

Somit lautet die entsprechende Fourier-Reihe hier:



k = 0

( )

f () t = a2k+ 1cos⎡⎣2k+

1ωt⎤⎦

= a = 0 und bν = 0

2k

T

4

8

a2k+ 1 f ()cos[(2 t k 1) ωt]

dt

T

= + ∫

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

0

S. 25

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-

Reihe mit symmetr. Funktion

• B6 : f(t) ist ungerade und vollsymmetrisch [ f(t) = -f(t + T/2) ] :

0

Hier treten in der Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Sinuschwingungen auf

f(t)

T/2

T

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

t

a

2

= aν = und b 2 = 0

0 0

Für die Fourier-Reihe läßt sich hier schreiben :



k = 0

( )

f() t = b2k+ 1sin⎡⎣2k+

1ωt⎤⎦

T

4

8

b2k+ 1 f()sin[(2 t k 1) ωt]

dt

T

= + ∫

0

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

k

S. 26

N T S


2.2.5 Beispiele zur Berechnung der Fourier-

Reihe mit symmetr. Funktion

• B7: f(t) wird auf der Zeitachse

verschoben :

Beträgt die Verschiebung ±∆t dann gilt mit t'= t±∆t a

gt f t t a t t b t t


0

( ') = ( ±∆ ) = + ∑ ν cos[ ( ±∆ )] + ν sin[ ( ±∆ )]

2 ν = 1

Ein einfacherer Ausdruck resultiert für die

kompl. Koeffizienten:

{ νω νω }

Dieser Ausdruck ermöglicht es, die Fourier-Reihenentwicklung für

den neuen Koordinatenursprung zu ermitteln.

Es ist oft von Vorteil, den Koordinatenursprung zu verschieben, z.B. wenn sich

damit symmetrische Eigenschaften der Funktion ergeben.

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

jvωt { n }

f( t±∆t) ergibt c ⋅e ∓

S. 27

N T S


2.2.6 Fourier-Analyse

• Es besteht die Möglichkeit , eine periodische nicht-sinusförmige Funktion

hinsichtlich ihres “Informationsgehaltes” auf zwei Arten darstellen:

1 ) Im Zeitbereich ( s. folgendes Bild)

-T/4

f(t)

d

0 T/4 3T/4

t

-A

T/2

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T

2 ) Im Spektralbereich (Frequenzbereich): Darstellung der Amplituden aν, bν

bzw. der cos-Amplitude dν und der Phase ψν in

Abhängigkeit von der Frequenz.

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 28

N T S


2.2.6 Fourier-Analyse

Weitere Beispiele

Fourier-Analyse der Trapezfunktion

Diese ist gerade und vollsymmetrisch (s. B5) mit T

4

a

8

0 = a2k= 0, bν= 0

a2k+ 1 f()cos[(2 t k 1) ωt]

dt

2 T

= +

und ∫

Für f(t) gilt in der ersten Viertelperiode:

⎧ ⎛T⎞ ⎪ A = const für 0 ≤ t < ⎜ −d⎟

⎪ ⎝ 4 ⎠

f() t = ⎨

⎪ A⎛T ⎞ ⎛T ⎞ ⎛T ⎞

⎜ −t⎟ für ⎜ − d ⎟< t ≤ ⎜ + d

⎪ ⎟

⎩ d ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

Damit resultiert:

T T

⎧ −d


4 4

8 ⎪ AT


a2k+ 1=

⎨ ∫ Acos[(2k+ 1) ωt] dt+ ∫ ( − t)cos[(2k+ 1) ωt]

dt⎬

T ⎪ 4

0

T d

−d


⎩ 4


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0

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 29

N T S


2.2.6 Fourier-Analyse

Als Endergebnis ergibt sich (nach part. Integration etc.):

4A

T

a2k+ 1 cos[(2k 1) ω(

d)]

2

π(2k 1) ωd

4

= + −

+

bzw. nach Auflösung des Arguments im cos in zwei Ausdrücke und

Umschreiben des damit resultierenden Terms cos (x-y) in cos und sin

Produktterme:

4Asin[(2k+ 1) ωd] π

a2k+ 1 = sin[(2k+ 1) ]

2

π(2k+ 1) ωd

2

Die Fourier-Reihe der Trapezfunktion lautet damit:

4A1 1

f( t) = [sin( ωd)cos( ωt) − sin(3 ωd)cos(3 ωt) + sin(5 ωd)cos(5 ωt)...

+ ...)

πωd

9 25

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 30

N T S


2.2.6 Fourier-Analyse

• Sonderfall 1 der Trapezfunktion : Die Dreiecksfunktion (d = T/4) :

-T/4

f(t)

A

0

d

T/4

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T/2

3T/4

T

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 31

t

N T S


π /2

2.2.6 Fourier-Analyse

• Dafür ergibt sich das folgende Amplituden und Phasenspektrum:

0

1

2

d

v

8A

=

π ² v²

3

7

ν

ν = 2k+ 1

Endergebnisse :

Koeffizienten der Sinus-Reihe erfordern

π

Phase von:

2

8A a2k+ 1 = , 2 2

π (2k+ 1)

bk = 0,

8A

d2k+

1 = , 2 2

π (2k+ 1)

π

ϕ2k+ 1 = ,

2

ψ2k+

1 = 0

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

π

2

π


2

0

ϕv

1

3

5

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

7

ν

S. 32

N T S


2.2.6 Fourier-Analyse

• Sonderfall 2 der Trapezfunktion : Rechteckfunktion mit d → 0

-T/4

f(t)

0

A

d

T/4

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

T/2

3T/4

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

T

S. 33

t

N T S


2.2.6 Fourier-Analyse

• Bildung des Grenzüberganges mittels der Regel von Bernoulli-

L’Hospital:

c

ϕv

v

0

c

v

4A

=


1 3 5 7 9 v -π


2

'

sin[(2k + 1) ωd]

{ sin[(2k + 1) ωd]

}

lim = lim = lim si((2k + 1) ωd

) = si(0)

= 1

d→0 0

'

(2k + 1) ωd d→ d→0

(2k + 1) ωd

Damit folgt: 2 + 1

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

π

2

{ }

0

a k

4 A

π

= sin[(2k + 1) ],

π (2k + 1) 2

bk

= 0

4 A

d2k+ 1 = ,

π (2k +

1)

π π

ϕ2k+ 1 =± sin[(2k + 1) ]

2 2

, ψ 2k+ 1 = 0

1

3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

5

7

v

S. 34

N T S


2.2.7 Die komplexe Form der Fourier-

• Allgemein gilt für die

Fourierreihen-Darstellung

Reihe

a

f t a t b t


0 () = + ∑ ν cos( ) + ν sin( )

2 ν = 1

[ νω νω ]

jνωt − jνωt e + e

e − e

Ausserdem gilt: cos( νωt

) = sin( νωt)

=

2

2 j

und damit :

bzw.

∞ jνωt − jνωt jνωt − jνωt 0 f() t = + ∑ aν + bν

2 ν = 1 2 2j

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

jνωt − jνωt a ⎡ e + e e −e


⎢ ⎥

⎣ ⎦

a ⎡ a + jb a − jb ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦


0

ν ν − jνωt ν ν jνωt f() t = + ∑ e + e

2 ν = 1 2 2

S. 35

N T S


2.2.7 Die komplexe Form der Fourier-

Reihe

• Nunmehr werden auch negative Werte für ν einbezogen.

a0

c0

= ,

Mit den Abkürzungen 2

aν − jbν


= für positive ν

2

aν + jbν


= für negative ν

2

erhält man Paare von Koeffizienten.

Dies lassen sich in der sehr kompakten

Darstellung der Fourier-Reihe in ihrer

komplexen Form schreiben:

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

Also: c = c−


j t

f() t c e νω

= ∑ ν

ν =−∞

S. 36

*

ν ν

N T S


2.2.7 Die komplexe Form der Fourier-

Reihe

Es gilt ausserdem: a = 2 ℜ ( c ) b =−2 ℑ( c ) ∀ > 0

• Für die komplexen Koeffizienten resultieren damit die

Bestimmungsgleichungen:

t0+ T

a0

1

c0= = () ,

2 ∫ f t dt

T

t

0

ν ν ν ν ν

t + T t + T

0 0

aν − jbν

1 1

− jνωt cν= = ( )[cos( ) − sin( )] = ( ) ,

2 ∫ f t νωt j νωt

dt ∫ f t e dt

T T

t t

0 0

t + T

0

1

− jνωt cν= f( t) e , ν = 0,1,2,...

T ∫

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t

0

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 37

N T S


2.2.8 Interpretation der

Fourier-Koeffizienten

Meist werden folgende Darstellungen Fourier-Reihen benutzt:

a

f t a t b t


0 () = + ∑ ν cos( ) + ν sin( )

2 ν = 1

oder

f() t = c e

oder



ν =−∞

0

ν



ν = 1

[ νω νω ]

jνωt f() t = d + d cos( νωt+ ψ )

ν ν

Verabredung ab hier: c statt c ν

ν

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 38

N T S


2.2.8 Interpretation der

Fourier-Koeffizienten

- Gleichanteil des Signals :

a0

= c0 2

= d0

- Scheitelwerte oder Amplituden der Fourier-Komponenten: a , b , c und d

- Nullphasenwinkel (Phase) der cosinusförmigen Schwingungen: ψν

- Grundschwingung: d1⋅ t+

1

cos( ω ψ

)

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

ν ν ν ν

S. 39

N T S


2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei

einem Netzwerk

• Bei cosinus-förmiger Spannung u () t = uˆcos( νωt+ ϕuv

)

wird üblicherweise ein

komplexer Scheitelwert

zugeordnet:

Nun kann man ansetzen:

Auch bei elektrische Netzwerken nutzt

man die Darstellung (der Spannungen

und Ströme) in Kosinusform:

jϕuν jωt uˆ = ue ˆ mit u( t) = Re{ ue ˆ }

ut () = u + uˆ cos( νωt+ ϕ )

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j t

ut () = ∑ ue v mit

νω

ν

=−∞

0

0



ν = 1



it () = i + iˆ cos( νωt+ ϕ )

ν = 1

v uν

v iν

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

1 *

uˆ v , für ν 1

⎧ ≤ −

⎪ 2


uv= ⎨ u0für ν = 0

⎪ 1

⎪⎩

uˆ ≥1

2 v für ν

S. 40

N T S


2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei

0 () u t

i(t)

R

einem Netzwerk

Beispiel-Netzwerk:

Reihen-Schwingkreis

uL() t

C

Hier ist gegeben :

Daraus folgt:

Zu berechnen sind : it () und u () t

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0

û

0

0 () u t

T/2

0 2

π k = 1 π k

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

T

u () t = uˆsin( ωt) mit ω=2 π/T

∞ 2uˆ 4uˆ

u () t = −∑

cos(2 kωt) (4 −1)

L

S. 41

t

N T S


2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei

• Lösungsansatz :

einem Netzwerk

- Verwendung der Impedanz für jede Frequenz kω :

- Angabe der Fourier-Reihe zu 0 ()

∞ 2uˆ

u () t =−∑

e

(4 −1)

0 2

k=−∞π

k

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= k

u t in komplexer Form mit: k

2

π k

j2kωt iˆ

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

Z

k

k


S. 42

=−

4uˆ

(4 −1)

N T S


2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei

einem Netzwerk

• Impedanz bzw. Strom des Reihen-Schwingkreises für eine

bestimmte Frequenz kω :

Zk = R+ jXk mit

1

Xk= kωL− kωC und i = u / Z

Dann gilt für den Strom :


it () = ∑ ik ∞ 2uˆ1 =−∑

. 2

π (4k − 1) R+ jX

j2kωt e

k=−∞ k=−∞ 2k

Mit der Euler’schen Formel resultiert:

∞ 2uˆ1 it ( ) =− ∑ . .[cos(2 kωt) + jsin(2 kωt)] π k − R+ jX

2

k =−∞ (4 1)

2k

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k k k

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 43

N T S


2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei

einem Netzwerk

• Nach einer Umformung (per konjugiert komplexer Erweiterung des Nenners)

ergibt sich :

∞ 2uˆ

⎡ Rcos(2 kωt) + X2ksin(2 kωt) Rsin(2 kωt) −X2k

cos(2 kωt) ⎤

it () =− ∑

j

2 ⎢ +

2 2 2 2 ⎥

k=−∞π (4k − 1) ⎣ R + X2k R + X2k


Werden die Eigenschaften der Funktionen ( cos , sin ) für +/- k ausgenutzt, so gilt

mit X X (mit Wegfall der Imaginärteils!):

− k k =−

it () =−

4uˆ

Rcos(2 kωt) + X sin(2 kωt) ∞

2k

∑ 2 2 2

k = 0 π (4k − 1) R + X2k

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 44

N T S


2.2.9 Anwendung der Fourier-Reihe bei

• Die Spannung an der Spule erhält

man über:

einem Netzwerk

u () t =

L

di() t

uL() t = L

dt

4uˆ

2 kωL[ Rsin(2 kωt) − X cos(2 kωt)] ∞

2k

∑ 2 2 2

k = 0 π (4k − 1)

R + X2k

Die Ergebnisse lassen sich auch in Polarform darstellen:

∞ 4uˆ2kωL R

uL( t) = ∑ . cos[(2 kωt) + arctan( )]

π (2k − 1) +

X

2 2 2

k = 0 R X2k

2k

4uˆ1 it k t


2k

( ) = ∑

. cos[(2 ω ) −arctan(

)]

2 2 2

k = 0 π (2k − 1) R + X

R

2k

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

X

S. 45

N T S


2.2.10 Formulierung der Parseval’schen

Gleichung

- Betrachtet werden zwei im allgemeinen nicht-sinusförmige periodische

Funktionen 1 () f t 2 () und f t mit gleicher Periodendauer T:

- Die entsprechenden Fourier-Reihen lauten:


t0+ T

jνωt 1

− jνωt 1() = ∑ ν ν = ∫ 1()

ν =−∞

T t

f t C e mit C f t e dt

und


t0+ T

jµω t 1

− jµωt 2() = ∑ µ µ = ∫ 2()

µ =−∞

T t

f t D e mit D f t e dt

- Für das Produkt beider Funktionen gilt : 1 2

und zugleich

da periodisch :

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

0

0

f () t f () t C e . D e

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme


jνω t


jµωt ν µ

ν =−∞ µ =−∞

⋅ = ∑ ∑


t0+ T

jkωt1−jkωt 1() ⋅ 2() = ∑ k mit k =

1() 2()

k =−∞

T ∫

t

f t f t E e E f t f t e dt

0

S. 46

N T S


2.2.10 Formulierung der Parseval’schen

• Weiterhin gilt:

Gleichung

t0+ T

1 ⎡ ∞ ∞

jνω t jµωt⎤ − jkωt Ek= Cν e . Dµ e e dt

T ∫ ⎢∑ ∑ ⎥

t ⎣ν =−∞ µ =−∞ ⎦

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

0

t0+ T

⎡ ⎤

1

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

∞ ∞

j( ν + µ −k)

ωt

Ek∑ Cν ∑ Dµ e dt

ν =−∞ µ =−∞ T ∫

bzw.

⎣ t0


∞ ∞

t0+ T

1 j( ν + µ −k)

ωt

Ek = ∑ CI ν mitI= ∑ Dµ e dt

ν =−∞ µ =−∞ T ∫

t

• Man kann zeigen, dass I verschieden von Null ist nur bei:

(wg. Orthogonalität von cos(nx) und sin(nx) )

Damit wird der Integrand

identisch mit 1 und es gilt:

∞ ∞ 1

I= ∑ D ⋅ T = ∑

D

T

µ µ

µ=−∞ µ=−∞

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

0

ν + µ − k = 0

S. 47

N T S


2.2.10 Formulierung der Parseval’schen

∞ ∞ ∞

∑ ∑ ∑

Gleichung

die Fourier-Koeffizienten des Produktes f1() t f2() t

E = C D = C D

k ν µ ν k−ν

ν =−∞ µ =−∞ ν=−∞

Bestimmung des Gleichanteils (zeitl. Mittelwert) E

des Produktes f ( t) f ( t) über k = 0 :

1 2

t + T


0

1

E = f (). t f () t dt = ∑ C . D


0 1 2

T t

0

ν =−∞

ν −ν

infolge ν + µ − k = 0

bzw. µ = k − v

Es gibt diverse Anwendungen dieser Beziehung (Bestimmung des

Integrals im Zeit- oder Frequenzbereich)!

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

0

S. 48

N T S


2.2.10 Formulierung der Parseval’schen

Gleichung

• Alle komplexen Fourier-Koeffizienten besitzen die Eigenschaft :

C

*

= C und D

*

= D

ν −ν ν −ν

Damit läßt sich die folgende Formel umschreiben von

t0+ T

∞ −1 ∞

1

E0 = f1() t f2() t dt = ∑ CνD−ν = ∑ CνD−ν + C0D0 + ∑CνD−v=

T ∫

zu:

t

0

ν=−∞ ν=−∞ ν=

1


∑C−νDν CD 0 0


∑CD ν −v CD 0 0


∑(

C−νDv * *

C−vDv) ν= 1 ν= 1 ν=

1

∞ ∞

*

= CD 0 0 + ∑( C−νDv + ( C−vDv) ) = CD 0 0 + ∑2Re{

C−νDv} ν= 1 ν=

1

+ + = + + =

∞ ∞

* *

∑ { ν ν} ∑ { ν ν}

E0= Re C ⋅ D = Re C ⋅D

ν=−∞ ν=−∞

Dies ist die Parseval’sche Gleichung

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 49

N T S


2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen

periodischen Netzwerkgrößen

Die elektrische Energie pro Periode (Wirkleistung) an einem

ohmschen Widerstand beträgt:

t0+ T t0+ T t0+ T

()()

2

()

2

()

1 1 1 1

PW= u t i t dt u t dt R i t dt

T ∫ = =

R T ∫ T ∫

t t t

0 0 0

Anwendung der Parseval’schen Gleichung für diesen Sonderfall:

ergibt:

f () t = f () t = f () t

1 2

0

f t f t f t

2

1() 2()

= ()

t0+ T

∞ ∞

1 2 *

E0= f ( t) dt Re C C Re C e

T ∫ = ∑ = ∑

t

ν=−∞ ν=−∞


2

∑ Cν 2

C0 ∞

2

2∑


ν=−∞ ν=

1

= = +

und damit

{ } {

2 j( �C −�C

) }

ν ν ν

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

v v

S. 50

N T S


2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen

periodischen Netzwerkgrößen

• Mit

1

T

0

a a − jb

= = , = = ≥1 folgt:

2 2

0

ν ν

c0 C0 cν Cν ν

t0+ T

∞ 2 ∞ 2 2 2 ∞ 2 2

2 2 2 ⎛a0 ⎞ av + bv ⎛a0 ⎞ av + bv

∫ f () t dt = c0+ 2∑ cν

= ⎜ ⎟ + 2∑

= ⎜ ⎟ + ∑

1 2 1 4 2 1 2

t

ν= ⎝ ⎠ ν= ⎝ ⎠ ν=

Wenn f(t) Spannungs- oder Stromcharakter hat, werden die entsprechenden

Spektralgrößen aν, bν und cν

die Wirkleistungsverhältnisse des

entsprechenden Netzwerkelementes beschreiben.

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 51

N T S


2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen

periodischen Netzwerkgrößen

Betrachtet wird nun ein Eintor (nicht nur ohmsch) mit nichtsinusförmigen

periodischen Netzwerkgrößen u(t) und i(t):

1

i(t)

U(t) Eintor

1’

Für die Wirkleistung gilt:

0 0

und

u( t) = f ( t) = C e

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

2

1

ν =−∞

i( t) = f ( t) = D e

t + T t + T


ν = 1

0 0

ν =−∞

0 0

1 1

PW = utitdt ()() f1() t f2() tdt CD 0 0 2 ReC

D

T ∫ = = + ∑

T ∫

t t

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme





ν

µ

* { ν ν}

ν = 1

S. 52

jνωt jϖωt * { ν ν }

= CD + 2 Re CD



N T S


2.2.11 Die Leistung bei nicht-sinusförmigen

periodischen Netzwerkgrößen

Unter Berücksichtigung der Zusammenhänge entsprechend S. 40

C0 folgt :

= U0 , D0 = I0 ,

1

C = ˆ ν uν 2

,

1

D = iˆ

ν ν

2

* *

{ ˆ ˆ } { ˆ ˆ }

∞ ∞

1 1

P = U I + Re u ⋅ i = U I + Re u ⋅i

∑ ∑

W 0 0 v v 0 0

v v

2 ν= 1 2 ν=

1

Damit ist die Gesamtleistung über die Summe aller

Einzelleistungen jeder Spektrallinie zu bestimmen!

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 53

N T S


2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom

sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen

Definition des Effektivwerts einer periodischen Funktion:

t0+ T

1 2

() eff = ∫ ()

T t

f t f t dt

Die Parseval’sche Gleichung gestattet die Bestimmung des Effektivwerts

über die Fourier-Koeffizienten (bzw. über die zugehörigen Effektivwerte):

∞ 2 ∞

2 2

2 ⎛a0⎞ ⎡⎛ a ⎤

ν ⎞ ⎛ bν


f() t eff = ∑ cν = ⎜ ⎟ + ∑⎢

+ ⎥

=−∞ 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ν ν=

1 2 2

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

0

⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 54

N T S


2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom

sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen

- Der Effektivwert für eine periodische Spannung u(t) beträgt:

U 0 : Gleichanteil von u(t)

û ν

: Scheitelwert


2


2 ⎛ uˆ

ν ⎞

2

eff = 0 + ∑⎜ ⎟ = ∑ eff ν

ν= 1 2 ν=

0

U U U

⎝ ⎠

U ˆ ν = uν/ 2 : Effektivwert der ν -ten Teilspannung (Frequenz: νω)

eff

- Der Effektivwert für einen periodischen Strom beträgt sinngemäß:

2

∞ ˆ

∞ ∞

2 ⎛ i ⎞ ν

2 2 2

eff 0 ∑⎜ ⎟ 0 ∑ eff ν ∑ eff ν

ν= 1 2

ν= 1 ν=

0

I = I = I + = I + I = I

⎝ ⎠

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 55

N T S


2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom

sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen

Bei reinen Wechselgrössen, also ohne Gleichanteil gilt: 0

Ansonsten ist f(t) eine Mischgrösse

(Gleichanteil und Wechselanteil der nicht-periodischen Funktion f(t)

ist zugleich vorhanden).

0

Also gilt für Mischgrößen: 0

s


2

∑Ueff ν


2

∑Ueff

ν

ν= 1 ν=

1

Ueff


2

∑U

eff ν

ν = 0

= =

a


2

Dafür ist der Schwingungsgehalt s definiert (Anteil AC am Gesamtsignal):

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

a 0 =

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 56

N T S


2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom

sinusförmigen Verlauf periodischer Funktionen

Die Abweichung vom sinusförmigen Ablauf kann durch den

Grundschwingungsgehalt g beschrieben werden:

g

k

U U

= =

U

eff 1 eff 1

eff ∼


∑ U

ν = 1

2

effν

Der Oberschwingungsgehalt k ( Klirrfaktor ) beträgt:


2

∑ U eff ν


2

∑ U effν

ν = 2 ν = 2

U eff


2

∑ U effν

ν = 1

= =

∼ 2 2

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

g + k = 1

S. 57

N T S


2.2.12 Die Beurteilung der Abweichung vom sinusförmigen

Verlauf periodischer Funktionen

Zusätzlich gibt es weitere Definitionen mit Formfaktor und Scheitelfaktor:

Formfaktor :

k

=

2

eff ν

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

1

T

0



ν =

f T


0

U

u ( t ) d t

Scheitelfaktor für Signale ohne Gleichanteil:

Bei rein sinusförmigen Verlauf erhält man:

π

k f = ≈ 1,11

2 2

und ka

= 2 =

1, 41

=

ut ()

ν = 1

max

2

eff

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

k

a



U ν

S. 58

N T S


2.2.13 Zusätzliche Eigenschaftern der Fourier-Reihe

· Linearität

· Zeitverschiebung

· Spiegelung

k⋅s( t) ergibt Reihe mit k⋅cv a⋅ s ( t) + b⋅s (t) ergibt Reihe mit a⋅ c + b⋅c 1 2 v1 v2

st ( −t) ergibt Reihe mit c⋅e Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

1

s( t) ergibt Reihe mit c

*

− v

− jvωt Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

v

1

S. 59

N T S


Grundlagen der

Elektrotechnik 3

Kapitel 2.3

Beschreibung aperiodischer Zeitvorgänge

mittels der Fourier-Transformation

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 60

N T S


2.3.1 Vorbemerkungen

Ansatz: Entwicklung der Fourier-Transformation aus der Fourier-Reihe

durch Überführung periodischer Funktion in aperiodischen Impuls

Beispiel : Betrachtet wird ein periodischer Rechteckimpuls

tρ −

2

0

f(t)

tρ 2

u(t) sei hier eine gerade Funktion

tρ T-

2

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

t


t t

⎪U

für − < t <

= ⎨

⎪⎩ 0 sonst

i i

()

0

2 2

ut

Es soll eine Fourier-Analyse dieses

Signals durchgeführt werden

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 61

N T S


• Lösung :

2.3.1 Vorbemerkungen

t

ti

2

1 0

=+

Ut

c = ∫ U dt =

T T

0 0

ti

t=−

2

ν = 0

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

i

ti

t=

ti

2

1 2

0 sin( νω )

∫ 0 cos( νω )

T t

t

T νω i

i


t=−

2

2

aν − jbν aν U t

cν= = = U t dt =

2 2

b


mit ω =

T

⎛2πv ti ⎞ ⎡2πv⎛ ti

⎞⎤ sin −sin −

⎛ ti


⎜ ⎟ ⎜ ⎟ sin

0 2


2

⎥ ⎜νπ U


⎝ T ⎠ ⎣ T ⎝ ⎠⎦

U0ti = =

⎝ T

c


ν

T νω

T ti

νπ

T

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 62

N T S


zw:

a c

Ut

⎛ ti


sin ⎜νπ ⎟

⎝ T ⎠

νω

T

Ut

si

t

0 i 0 i i

ν = 2 ν=

2 = 2 ( νω )

T ti

T T

C0

0

C1

C2

C3

5

2.3.1 Vorbemerkungen

C4

0 C = C 10 = 0

5

Skizze des Spektrums von u(t) für den Fall

1

0

sin( ν x)

ν x

Damit

gilt:

= 0, 2

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15

C = 0

15

ν

ti

T

ν =∞ Ut 0 i ⎛ ti


ut () = ∑ si⎜νπ

⎟e

T ν =−∞ ⎝ T ⎠

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 63

jνωt N T S


2.3.2 Das Fourier-Integral

• Im folgenden wird weiter die Fourier-Reihe einer

periodischen Funktion f(t) untersucht. Die Periode sei hier:

-To/2 0

f(t)

T0/2

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t

Dabei sollen die nachstehenden Voraussetzungen gemacht werden :

1 ) f(t) sei stetig

T

. 2 ) In jeder endlichen Periodendauer − 0 T

≤ t ≤ 0 möge die Funktion

2 2

den Dirichlet’schen Bedingungen genügen

3 ) Bei unendlicher Periodendauer sei f(t) absolut integrierbar

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

T

0


0

f() t = ∑ c e νω

ν

ν =−∞

S. 64

=


ω

0

j t

N T S


2.3.2 Das Fourier-Integral

Die folgende Darstellung geht aus von einem periodischem

Signal welches in ein nicht-periodisches Signals überführt

wird. Ansatz: Vergrößerung der Periodendauer - also per: lim

T0

→∞

Jeder Term in komplexer Fourier-Reihe entspricht einer Linie im

Spektrum. Die Linienabstände betragen: ω = 2 π / T

In einem Intervall ∆ω um einen beliebigen Frequenzpunkt ω liegen m

Linien mit der Anzahl:

m

∆ω

T

ω

0 = = ∆

ω02π 0 0

Bei genügend kleinem Intervall resultiert dann nur geringer Unterschied

der m einzelnen Terme der komplexer Fourier-Reihe zueinander.

Konsequenz: Zusammenfassung dieser Terme ist erlaubt!

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 65

N T S


2.3.2 Das Fourier-Integral

• In jedem Intervall mit m Linien gilt damit für dessen Beitrag zur Reihe:

jvω0tT0jvω0t m⋅ c ve = ∆ω⋅c ve


0 → ∞ T Für kann man dann die Intervalle infinitesimal klein wählen

(wenn m unverändert bleiben soll)

Damit ergibt sich für den Beitrag jedes Intervalls zur Reihe:

T0 T0

d c ve v 0

c ve

d

2π2π jvω0t jωt ω ⋅ mit ω →ω

daher:

ω

Außerdem läßt sich abkürzend schreiben:

Insgesamt resultiert damit:

T0 c v = F ( ω

)

1

jωt f () t = ( )

2 ∫ F ω e dω

π

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+∞

−∞

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 66

N T S


Damit gilt auch:

{ }

2.3.2 Das Fourier-Integral

∞ ∞

1 jωt1 * − jωt () = ( ) ( )

2π ∫ +



0 0

f t F ω e dω F ω e dω

oder

+∞

0 0

1

jωt 1

− jνωt f() t = F( ω) e dω



mit c ν = f ( te ) dt

T ∫

Nunmehr folgt wegen

Tc 0 v=

Fω ( ) und lim :

F

+∞

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−∞

− jωt ƒ( t) = F( ω)

= ∫ f ( te ) dt

−∞

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

0

t= t + T

Das Fourierspektrum bzw. die Fourier Transformierte der Funktion f(t)

kann auch dargestellt werden über:

T

0

→∞

t= t

Das Symbol dazu:

0

f() t F( ω)

S. 67

N T S


2.3.3 Die Fourier-Rücktransformation

Die Funktion f(t) läßt sich also mittels ihres Fourierspektrums darstellen über:

1

jωt f () t = ( )

2 ∫ F ω e dω

π

Die (Rück)Transformation zwischen Bildbereich und

Originalbereich kennzeichnet man so: F( ω ) f () t

F ( ω ) hat nicht Amplitudencharakter (wie bei F.-Reihe), sondern

es ist eine Amplitudendichte mit der Dimension :

Amplitude x Zeit oder Amplitude

Frequenz

Die Existenz des Fourier-Integrals ist dann

gesichert wenn f(t) absolut integrierbar ist:

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+∞

−∞

+∞


−∞

f () t dt ≤ S = const

Fachgebiet

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S. 68

N T S


2.3.4 Interpretation und

Zusammenfassung

Betrachtung eines Signals s(t) aus dem per idealer BP-Filterung nur Anteile

innerhalb eines bestimmten Frequenzbandes extrahiert werden. Die Filterung

erfolge so schmalbandig, dass sich darin das Spektrum (und die

Exponentialfunktion) nur unwesentlich ändert. Für diesen extrahierten Anteil

g(t) folgt:

+∞ 0

+∞

jωt jωt jωt 1

gt ( ) = S( ω) e

2π ∫

−∞

1

dω = S( ω) e

2π ∫

−∞

1

dω+ S( ω) e



0


∆ω

− jω0t jω0t ≈ ( S( − ω0) e + S( ω0)

e )


∆ω

jω0t *

= Re{ S( ω0) e } wegen S( − ω0) = S ( ω0)

π

∆ω =

π

S ω0 e e

∆ω

= S ω0 π

ω0t+ �S

ω0

j�S( ω0) jω0t Re{ ( ) } ( ) cos( ( ))

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 69

N T S


2.3.4 Zusammenfassung und

Interpretation

• Die Fouriertransformation ist (unter gegebenen Vorr.) also unter Bezug auf die

betrachtete Bandbreite und bei der betrachteten Frequenz ein Maß für die

Amplitude und die Phasenlage einer Signalanteils (Signalkomponente).

• Die Anwendung der Fouriertransformation erlaubt:

1 ) Ein im Zeitbereich bekanntes Signal gleichwertig im Frequenzbereich

über die zugeordnete Fouriertransformation zu beschreiben

2 ) Aus einer bekannten Fourier-Transformierten die Zeitfunktion

zurückzugewinnen

Die Fouriertransformation ist ein wichtiges Werkzeug der Elektrotechnik,

Regelungstechnik, Physik ( Optik, Mechanik , …).

Zugleich bildet diese die Grundlage der Laplace-Transformation, Z-

Transformation und der diskreten Fouriertransformation incl. der FFT.

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 70

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

• Beispiel 1 :


t ρ

2

0

f(t)

U


0

t ρ

2

t

tρ tρ

2




2

0

− jωt − jωt e 2

0

− jω

t


2

F( ω)

= U e dt = U

= U

t t

− jω jω

2 2

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

0

ρ ρ

e − e

− jω

⎛ tρ


sin ⎜ω⎟ 2

( )

⎝ ⎠ ⎛ tρ


F ω = U0tρ = U0tρ si

t

⎜ω ⎟

ρ

⎝ 2

ω


2

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

ρ

S. 71

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

• Untersuchung der Hüllkurve von

• 90% der Impulsenergie innerhalb

roten Bereichs



tρ 0.64


π

tρ 1

0

F ( ω )

π

tρ 90%


t ρ

ω

⎛ t ρ ⎞

F( ω) = U 0tρsi⎜ω


⎝ 2 ⎠

90%


t ρ

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

0

F( ω)


ω

t ρ

S. 72

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

• Beispiel 2 : Der Diracimpuls

A

tρ − −

2

'

tρ 2

'

A


"

t ρ

2

f () t

"

A

1

"

t ρ

1

'

t ρ

1

t ρ

"

0 t ρ

'

t ρ tρ t

2 2 2

1 t

δ () t = lim rect(

)

t p →0

tp tp

1 1 1

A= A'= A'' = t . = t . = t = ... = 1

' ''

ρ

tρ ρ '

tρ ρ ''


+∞ +∞

− jωt 0

∫ ∫

F( ω) = δ() te dt= δ()

tedt=

1

−∞ −∞

Also gilt:

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

1

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

δ () t 1

ω

S. 73

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

δ(t) hat diverse Namen: Stoßfunktion, Dirac-Distribution oder Diracimpuls etc.

f ( x)

x1

x0 −

2

x0

x1

x1

x 0 +

2

1

h =

x

Weiterhin gilt : f ( xdx ) = 1

x

1

f x

1

rect

x−x ⎧


0

⎪ 1 für

für

x

1

−∞≤ x < ( x0 − x1)

2

1 1

x x x x





0 für

1

( x0 + x1) < x ≤+∞

2

0

( ) = ( ) = ⎨ ( 0 − 1) < < ( 0 + 1)

x x

1 x1

1

2 2



−∞

f x = δ x−x0 Normale Schreibweise:

( ) ( )

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 74

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

Beispiel 3 :

F

{ }

⎧0

für − ∞≤ t < 0

f() t = ⎨ −at

⎩e

für 0 < t ≤∞

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

und endlichem a

+∞ 0

+∞

− jωt − jωt −at − jωt ∫ ∫ ∫

f() t = F( ω)

= f() t e dt = 0⋅

e dt+ e e dt

−∞ −∞

∞ − ( a+ jω) t

− ( a+ jω) t e

1

= ∫ e dt = =

− ( a+ jω) a+ jω

0 0

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme


0

S. 75

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

Die Spektralfunktion in reeller Form lautet damit für:

∞ ∞

∫ ∫

− jωt F( ω) = f( t) e dt = f( t)(cos( ωt) − jsin( ωt)) dt= a( ω) − jb(

ω)

−∞ −∞

+∞


a( ω) = f ( t)cos( ωt)

dt

−∞

{ F ω }

= Re ( )

Für die Transformierte auf der letzten Seite gilt:

b( ω) = f( t)sin( ωt)

dt

{ F ω }

=−Im

( )

1 a−jω a ω

F( ω) = . = − j = a( ω) − jb(

ω)

a+ jω a− jω a² + ω² a²

+ ω²

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

+∞

−∞

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme


!

S. 76

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

Die Spektralfunktion in reeller Form:

a(

ω)

=

b(

ω)

=

a


+ ω²

ω


+ ω²

a( ω)

−a 0 a

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

0

1 a

b( ω)

S. 77

ω

ω

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

• Beispiel 4 : Sprungfunktion

1

f () t () t ε =

Hier gilt nicht:

0

0 t

+∞


−∞

f t dt ≤ S = const

0 ()

• Daher besonderer Ansatz mit Grenzwertbildung zur

Beschreibung der Sprungfunktion

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Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 78

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

• Ansatz für die Sprungfunktion:

⎧0

für − ∞≤ t < 0

f() t = ⎨ −

e für 0 < t ≤∞

⎩ at

Die Sprungfunktion ergibt sich damit zu : f0() t ε () t lim { f() t }

1

F ( ω ) =

a + jω

a ω

F( ω ) = − j

a² + ω ² a²

+

ω ²

= = a

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

→0

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 79

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

a ) Bestimmung des Realteils der Fourier-Transformierten für den Einheitssprung :

a

Re { F(

f( t))

} =


+ ω²

a ⎧ →∞ für ω = 0

lim Re { F(

f( t))

} = lim =⎨

a→0 a→0


+ ω²

⎩0

für ω ≠ 0

Dies läßt sich mittels eines Diracstoßes beschreiben.

Dazu Bestimmung dessen Flächeninhaltes (Gewichtes) A:


a

⎛ω ⎞ π ⎛ π ⎞

A= ∫ dω=

arctan ⎜ ⎟ = −⎜− ⎟=

π

a² + ω²

⎝ a ⎠ 2 ⎝ 2⎠

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+∞

−∞ −∞

Damit gilt : { F

0 }

Re ( f ( t)) = πδ( ω)

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 80

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

b ) Bestimmung des Imaginärteils der Fourier-Transformierten

für den Einheitsprung:

⎛ ω ⎞ 1

Im { F( f0( t)) } = lim Im { F(

f( t))

} = lim ⎜− ⎟=−

a→0 a→0⎝


+ ω² ⎠ ω

Damit gilt: F{

}

0

1

f0 () t = πδ ( ω)

− j

ω

{ F{

f0 t } }

Re ( )

πδ( ω)

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ω

0

{ F{

f0 t } }

Im ( )

ω

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

S. 81

N T S


2.3.5 Beispiele zur Fouriertransformation

Beispiel 5 :

−α

t

f() t = f ⋅ e für α > 0

0

+∞

− jωt F( ω)

= ∫ f( t) e dt

−∞

+∞ +∞

f0 −at − jωt ∫ e e dt f0 −at − jωt ∫

e ( e

jωt e ) dt

−∞

0

−at − jωt fe 0 e ∞

−at

jωt fe 0 e ∞ f0 f0

0 0

= = +

= + = +

−a− jω − a+ jω a+ jω a− jω

F( ω)

= f

a

2a

+ ω

0 2 2

− 1

α

Prof. Dr.-Ing. I. Willms Grundlagen der Elektrotechnik 3

α


f0

2 f0

α

Fachgebiet

Nachrichtentechnische Systeme

3

f () t

0 1 t

α

F{

jω}

0

S. 82

f0

3f

0

e


α ω

3

N T S

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