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Differentialrechnung Zusammenfassung als PDF - VolkerBehrens.de

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- 1 - © VB 2003<br />

<strong>Differentialrechnung</strong><br />

Inhaltsverzeichnis<br />

<strong>Differentialrechnung</strong> .................................................................................................................. 1<br />

Inhaltsverzeichnis....................................................................................................................... 1<br />

1 Die Tagentensteigung <strong>als</strong> Grenzwert <strong>de</strong>r Sekantensteigung ............................................... 3<br />

1.1 Begriffe: ....................................................................................................................... 3<br />

1.2 Erklärung :.................................................................................................................... 3<br />

1.3 Die Steigung im Punkt P (<strong>de</strong>r Differentialquotient): ................................................... 3<br />

1.4 Anwendung für <strong>de</strong>n Differentialquotienten ................................................................. 4<br />

1.5 Die Tangentensteigung <strong>de</strong>r Funktion f(x)=3x²............................................................. 5<br />

1.6 Die Tangentensteigung <strong>de</strong>r Funktion f(x)=3x²-2x+3 ................................................... 6<br />

2 Die 1. Ableitung <strong>de</strong>r Funktion f(x)...................................................................................... 7<br />

2.1 Ableitungsregel bei einfachen Potenzfunktionen......................................................... 7<br />

2.2 Ableitungsregel bei Potenzfunktionen mit Faktor vor <strong>de</strong>r Potenz ............................... 7<br />

2.3 Ableitungsregel bei Summen und Differenzen von Potenzfunktionen........................ 7<br />

2.4 Kleiner Ausflug in die Potenzen .................................................................................. 8<br />

3 Ableitungsregeln verschie<strong>de</strong>ner Funktionen....................................................................... 9<br />

3.1 Die Konstante Funktion. .............................................................................................. 9<br />

3.2 Die Lineare Funktion ................................................................................................... 9<br />

3.3 Die Potenzfunktion ohne Faktor .................................................................................. 9<br />

3.4. Die Potenzfunktion mit Faktor.................................................................................. 11<br />

3.5 Die ganzrationale Funktion ....................................................................................... 11<br />

3.6 Die Sinusfunktion....................................................................................................... 11<br />

3.7 Die Wurzelfunktion.................................................................................................... 12<br />

3.8 Die Funktion 1/x......................................................................................................... 12<br />

3.9 Die Ableitung eines Faktors vor <strong>de</strong>r Sinusfunktion................................................... 13<br />

3.10 Die Ableitung <strong>de</strong>r Summe mehrerer Funktionen (Summenregel) ........................... 13<br />

3.11 Die Ableitung <strong>de</strong>s Produktes mehrerer Funktionen (Produktregel)......................... 14<br />

3.12 Die Ableitung <strong>de</strong>s Quotienten mehrerer Funktionen (Quotientenregel).................. 15<br />

3.13 Die Ableitung von verketteten Funktionen .............................................................. 16<br />

3.14 Ableitung <strong>de</strong>r Exponentialfunktion.......................................................................... 17<br />

3.14.1 Vorgehensweise beim Ableiten......................................................................... 18<br />

4.1 Kurvendiskussion....................................................................................................... 20<br />

4.1.1 Einführung........................................................................................................... 20<br />

4.1.2 Ableitungen einer Funktion................................................................................. 21<br />

4.1.3 Monotonieverhalten <strong>de</strong>r Funktion....................................................................... 21<br />

4.1.4 Symmetrieverhalten ............................................................................................ 23<br />

4.1.5 Nullstellen ........................................................................................................... 24<br />

4.1.6 Lokale Extremwerte ( Minimum, Maximum ).................................................... 26<br />

4.1.7 Hochpunkte und Tiefpunkte................................................................................ 26<br />

4.1.8 Grundlegen<strong>de</strong> Bedingung.................................................................................... 26<br />

4.1.9 Hinreichen<strong>de</strong> Bedingung..................................................................................... 27<br />

4.1.10 Sattelpunkte....................................................................................................... 28<br />

4.1.11 Wen<strong>de</strong>punkte..................................................................................................... 29<br />

4.1.12 Verhalten im Unendlichen ................................................................................ 31


- 2 - © VB 2003<br />

4.1.13 An<strong>de</strong>re Beispiele ............................................................................................... 31<br />

4.1.14 Skizze ................................................................................................................ 33<br />

4.2 Extremwertaufgaben .................................................................................................. 34<br />

4.2.1 Beispielrechnung für eine Extremwertaufgabe ................................................... 34<br />

4.2.2 Eine Dose mit halbrun<strong>de</strong>m Kopf......................................................................... 37<br />

4.2.3 Extremwertaufgabe „Zylin<strong>de</strong>r im Kegel“ ........................................................... 40<br />

4.2.4 Die Fläche eines Fußballplatzes.......................................................................... 42


- 3 - © VB 2003<br />

1 Die Tagentensteigung <strong>als</strong> Grenzwert <strong>de</strong>r Sekantensteigung<br />

1.1 Begriffe:<br />

1. Sekante : Eine Gera<strong>de</strong>, die eine Funktion in zwei Punkten schnei<strong>de</strong>t.<br />

2. Tangente : Eine Gera<strong>de</strong>, die eine Funktion nur in einem Punkt berührt.<br />

3. Steigung : Das Verhältnis zwischen <strong>de</strong>r Gegenkatete und <strong>de</strong>r Ankatete im<br />

Steigungsdreieck.<br />

m s = Sekantensteigung<br />

m t = Tangentensteigung<br />

1.2 Erklärung :<br />

Hat eine Funktion keinen linearen o<strong>de</strong>r konstanten Verlauf, kann man die Steigung an einem<br />

bestimmten Punkt nicht direkt erkennen. Diesen Sachverhalt nennt man Tangentenproblem.<br />

Im nebenstehen<strong>de</strong>n Bild ist eine Funktion f<br />

gegeben, die im Punkt P einmal von einer<br />

Sekante geschnitten und von einer Tangente<br />

tangiert wird. Die Steigung <strong>de</strong>r Sekante<br />

(Dreieck) ist einfach auszurechnen, wenn die<br />

Funktionsbeschreibung, und zugleich die Punkte<br />

x und x+h auf <strong>de</strong>r X-Achse bekannt sind. Die<br />

Breite h ( ∆x) ist x+h minus x. Die Höhe <strong>de</strong>s<br />

Dreiecks ( ∆y) ist <strong>de</strong>r Funktionswert f(x+h)<br />

minus f(x).<br />

Die Steigung <strong>de</strong>s Dreiecks ist Allgemein:<br />

m s = Gegenkthete / Ankathete = ∆y/∆x<br />

Also ist die Sekantensteigung m s :<br />

m s<br />

=<br />

f ( x + h)<br />

− f ( x)<br />

x + h − x<br />

=<br />

f ( x + h)<br />

−<br />

h<br />

f ( x)<br />

=<br />

∆y<br />

∆x<br />

entfällt<br />

1.3 Die Steigung im Punkt P (<strong>de</strong>r Differentialquotient):<br />

Nun ist aber die Sekantensteigung nicht die Steigung im Punkt P. Der Trick ist nun <strong>de</strong>n Punkt<br />

Q auf <strong>de</strong>r Funktion zum Punkt P zulaufen zu lassen, so dass sich aus <strong>de</strong>r Sekante die<br />

Tangente ergibt, wenn Q und P gleich sind. Dabei wird h immer kleiner und wird schließlich<br />

Null.<br />

Man sagt: Die Tangentensteigung ist <strong>de</strong>r Grenzwert <strong>de</strong>r Sekantensteigung wenn h gegen Null<br />

geht. Hier ist eine Flash-Animation "Die Ableitung <strong>als</strong> Grenzwert" zur Veranschaulichung.<br />

Das ist <strong>de</strong>r Differentialquotient.<br />

mt<br />

= lim<br />

h →0<br />

m<br />

s


- 4 - © VB 2003<br />

1.4 Anwendung für <strong>de</strong>n Differentialquotienten<br />

Gegeben ist die Gleichung 2. Gra<strong>de</strong>s<br />

f ( x)<br />

= x<br />

2<br />

Gesucht wird nun die Steigung <strong>de</strong>r Funktion im<br />

Punkt x = 2.<br />

In die Formel für die Sekantensteigung<br />

f ( x + h)<br />

− f ( x)<br />

m s<br />

=<br />

h<br />

setzen wir unsere Funktionsgleichung ein, in<strong>de</strong>m für je<strong>de</strong>s<br />

x in <strong>de</strong>r Funktionsgleichung (x+h) eingesetzt wird und x² noch mal abgezogen wird. In <strong>de</strong>n<br />

Nenner kommt dann noch h, fertig ist die Formel zum Differentialquotient.<br />

2<br />

( x + h)<br />

− x<br />

= Klammer auflösen<br />

h<br />

m s<br />

2<br />

x<br />

2<br />

+ 2xh<br />

+ h − x<br />

h<br />

2<br />

2<br />

m s<br />

=<br />

x² fällt raus<br />

2 xh + h<br />

=<br />

h<br />

m s<br />

2<br />

h wird gekürzt<br />

m s<br />

= 2x<br />

+<br />

h<br />

Da wir uns bereits überlegt haben, dass beim Zusammenlaufen <strong>de</strong>r Punkte P und Q, h gegen<br />

Null geht, gilt für die Tangentensteigung m t<br />

lim<br />

h→0<br />

h→<br />

0<br />

lim 2<br />

mt = ms<br />

= x + h<br />

Da h gegen Null geht fällt es raus und m t ist<br />

m t<br />

= 2x<br />

Also gilt für je<strong>de</strong>n Punkt auf <strong>de</strong>r Funktion<br />

2<br />

f ( x)<br />

= x die Tangentensteigung m t<br />

= 2x<br />

In <strong>de</strong>r Aufgabenstellung am Anfang war nach <strong>de</strong>r Tangentensteigung im Punkt x=2 gefragt<br />

<strong>als</strong>o ist m t = 2*x = 2 * 2 = 4<br />

Die Steigung <strong>de</strong>r Tangente im Punkt x = 2 beträgt 4.


- 5 - © VB 2003<br />

1.5 Die Tangentensteigung <strong>de</strong>r Funktion f(x)=3x²<br />

2<br />

Gegeben ist jetzt die Funktion f ( x)<br />

= 3x<br />

Gesucht ist jetzt, ganz allgemein, die Tangentensteigungsfunktion.<br />

f ( x)<br />

= 3x<br />

2<br />

2<br />

( x + h)<br />

− x<br />

=<br />

h<br />

m s<br />

2<br />

Funktion einsetzen<br />

2<br />

3(<br />

x + h)<br />

− 3x<br />

=<br />

h<br />

m s<br />

2<br />

Klammer auflösen<br />

2<br />

2<br />

3x<br />

+ 6xh<br />

+ 3h<br />

− 3x<br />

=<br />

h<br />

m s<br />

2<br />

3x² fällt raus<br />

h wird gekürzt<br />

6 xh + 3h<br />

=<br />

h<br />

m s<br />

2<br />

m s<br />

= 6 x + 3h<br />

Da h gegen Null geht gilt<br />

lim lim 6<br />

0<br />

mt = ms<br />

= x + 3h<br />

h→0<br />

h→<br />

m t<br />

= 6x<br />

Jetzt kann man für je<strong>de</strong>n Punkt auf <strong>de</strong>r Funktion f(x)=3x²<br />

die Tangentensteigung bestimmen.<br />

Beispiel:<br />

Gesucht ist die Steigung im Punkt x = 3<br />

m t = 6 * x = 6 * 3 = 18<br />

Die Steigung <strong>de</strong>r Tangente im Punkt x = 3<br />

beträgt 18.


- 6 - © VB 2003<br />

1.6 Die Tangentensteigung <strong>de</strong>r Funktion f(x)=3x²-2x+3<br />

Wenn die Funktionsgleichung komplexer wird, kann man beim Einsetzen einfach folgen<strong>de</strong><br />

Regel beachten.<br />

Für je<strong>de</strong>s x in <strong>de</strong>r Funktionsgleichung (x+h) einsetzen,<br />

und dann die Funktionsgleichung einfach noch mal<br />

abziehen. In <strong>de</strong>n Nenner kommt dann noch h und fertig<br />

ist <strong>de</strong>r Differentialquotient.<br />

Also gilt:<br />

2<br />

f ( x)<br />

= 3x<br />

− 2x<br />

+ 3<br />

2<br />

( x + h)<br />

− x<br />

=<br />

h<br />

m s<br />

2<br />

3 ( x + h)²<br />

− 2( x + h)<br />

+ 3 − (3x²<br />

− 2x<br />

+ 3)<br />

m s<br />

=<br />

h<br />

3x²<br />

+ 6xh<br />

+ 3h²<br />

− 2x<br />

− 2h<br />

+ 3 − 3x²<br />

+ 2x<br />

− 3<br />

m s<br />

=<br />

h<br />

Zusammenfassen<br />

6xh<br />

+ 3h²<br />

− 2h<br />

m s<br />

=<br />

h<br />

h kürzen m s<br />

= 6x<br />

+ 3h<br />

− 2<br />

2<br />

m<br />

t<br />

=<br />

lim m lim 6<br />

s<br />

=<br />

h→0<br />

h→0<br />

x + 3h<br />

− 2 = 6x<br />

−<br />

Für je<strong>de</strong>n x-Wert <strong>de</strong>r Funktion f(x)= 3x²-2x+3 ist die<br />

Tangentensteigung m t = 6x - 2


- 7 - © VB 2003<br />

2 Die 1. Ableitung <strong>de</strong>r Funktion f(x)<br />

In <strong>de</strong>r Mathematik wird die Tangentensteigung einer Funktion f(x) <strong>als</strong> 1. Ableitung<br />

bezeichnet, und mit f’(x) bezeichnet.<br />

Den mühsamen Fußweg zur ersten Ableitung, über <strong>de</strong>n Differentialquotienten, haben wir auf<br />

<strong>de</strong>n vorherigen Seiten ausführlich behan<strong>de</strong>lt.<br />

Es geht auch einfacher!<br />

2.1 Ableitungsregel bei einfachen Potenzfunktionen<br />

f (x) = x²<br />

f’ (x) = 2x<br />

f (x) = x³ f’ (x) = 3x²<br />

f (x) = x n f’ (x) = n*x n-1<br />

Bei Potenzfunktionen gilt allgemein: Der Exponent rückt vor das x , und <strong>de</strong>r Exponent wird<br />

um 1 verringert.<br />

2.2 Ableitungsregel bei Potenzfunktionen mit Faktor vor <strong>de</strong>r Potenz<br />

f (x) =3 x²<br />

f’ (x) = 3*2x 1 = 6 x<br />

f (x) = 4 x 4 f’ (x) = 4*4 x 3 = 16 x 3<br />

f (x) = m x n f’ (x) = m*n*x n-1<br />

Steht ein Faktor vor <strong>de</strong>r Funktion, bleibt dieser Faktor erhalten und wird einfach mit<br />

multiplitiert.<br />

2.3 Ableitungsregel bei Summen und Differenzen von Potenzfunktionen<br />

f (x) =3 x² + 2x f’ (x) = 3*2x 1 + 2*1x 0 = 6 x + 2<br />

f (x) = m x n + k x l f’ (x) = m*n*x n-1 + k*l*x l-1<br />

Summen und Differenzen wer<strong>de</strong>n gliedweise abgeleitet.<br />

Beispiel: f (x) = 0,5x³ + 3x² - 5x + 3<br />

f’(x) = 1,5x² + 6x – 5<br />

Wer aufgepasst hat sieht, dass das Absolutglied (Glie<strong>de</strong>r ohne x) am En<strong>de</strong> rausgeflogen ist.<br />

Warum das so ist wird auf <strong>de</strong>r nächsten Seite erklärt.


- 8 - © VB 2003<br />

2.4 Kleiner Ausflug in die Potenzen<br />

Für alle die im Potenzrechnen nicht mehr so fit sind, hier ein paar Regeln.<br />

x 0 = 1 Eine beliebige Zahl hoch null ist immer 1<br />

x 1 = x<br />

Eine Zahl hoch 1 ist immer die Zahl selbst<br />

x 2 = x * x<br />

x 3 = x * x * x<br />

Im Beispiel auf <strong>de</strong>r vorherigen Seite konnte man sehen, dass aus 5x in <strong>de</strong>r Funktionsgleichung<br />

nur die 5 übrig blieb.<br />

5x = 5 * x 1<br />

Man kann für je<strong>de</strong>s x auch x 1 schreiben.<br />

Nach <strong>de</strong>r Ableitungsregel für Potenzen f’(x)= n*x n-1 gilt:<br />

5 * 1 * x 0 x 0 = 1<br />

5 * 1 * 1 = 5 Es bleibt <strong>als</strong>o nur die 5 übrig.<br />

Ein Absolutglied in <strong>de</strong>r Funktion<br />

Eine Zahl am En<strong>de</strong> <strong>de</strong>r Funktionsgleichung, <strong>de</strong>r Absolutfaktor, verschiebt eine Funktion nur<br />

auf <strong>de</strong>r y-Achse, je nach Vorzeichen, noch oben o<strong>de</strong>r nach unten. An <strong>de</strong>r Steigung <strong>de</strong>r<br />

Funktion in je<strong>de</strong>m beliebigen Punkt auf <strong>de</strong>m Funktionsgraph än<strong>de</strong>rt <strong>de</strong>r Absolutfaktor nichts.<br />

Das be<strong>de</strong>utet aber, dass er beim Ableiten entfällt, da die Ableitung ja nur die Steigung in<br />

einem Punkt ausdrückt.<br />

Ein Absolutglied in einer Funktionsgleichung fällt beim Ableiten raus<br />

Beispiel:<br />

Die Nebenstehen<strong>de</strong> Grafik zeigt bei<br />

1 f (x)=0,5x³ + 3x² - 5x + 3 und bei<br />

2 f (x)=0,5x³ + 3x² - 5x<br />

Wie man sieht ist <strong>de</strong>r Graph bei 1 einfach um 3<br />

nach oben verschoben.<br />

(1 schnei<strong>de</strong>t y bei 3, 2 bei 0)<br />

Die rote Kurve zeigt die 1. Ableitung bei<strong>de</strong>r<br />

Funktionen.<br />

3 f (x)=1,5x² + 6x – 5<br />

Wie man sieht, hat das Absolutglied keine<br />

Auswirkung auf die Ableitung.


- 9 - © VB 2003<br />

3 Ableitungsregeln verschie<strong>de</strong>ner Funktionen<br />

3.1 Die Konstante Funktion.<br />

Ausgangsfunktion<br />

f(x) = c<br />

1. Ableitung f‘(x) = 0<br />

Anmerkung: Die konstante Funktion hat <strong>als</strong> erste<br />

Ableitung immer 0, da sie nirgends eine Steigung<br />

aufweist.<br />

3.2 Die Lineare Funktion<br />

Ausgangsfunktion<br />

f(x) = mx + c<br />

1. Ableitung f‘(x) = m<br />

Anmerkung: Nur <strong>de</strong>r Faktor bleibt erhalten, da ja nur er<br />

das Maß für die Steigung <strong>de</strong>r Funktion ist. X und die<br />

Konstante c fallen raus.<br />

3.3 Die Potenzfunktion ohne Faktor<br />

Ausgangsfunktion<br />

f(x) = x n<br />

1. Ableitung f‘(x) = n ⋅ x n-1<br />

Anmerkung: Der Exponent wan<strong>de</strong>rt vor das x und wird<br />

selbst um eins verringert.<br />

Allgemein gilt : f‘(x) = n ⋅ x n-1


- 10 - © VB 2003


- 11 - © VB 2003<br />

3.4. Die Potenzfunktion mit Faktor<br />

Ausgangsfunktion<br />

f(x) = a ⋅ x n<br />

1. Ableitung f‘(x) = a ⋅n ⋅ x n-1<br />

Anmerkung: Der Exponent wan<strong>de</strong>rt wie<strong>de</strong>r vor das<br />

x und wird dort mit a multipliziert. Der Exponent<br />

selbst wird wie<strong>de</strong>r um eins verringert. Der Faktor<br />

vor <strong>de</strong>r Funktion wan<strong>de</strong>rt unverän<strong>de</strong>rt vor die<br />

abgeleitete Funktion.<br />

Der Faktor bleibt erhalten!<br />

3.5 Die ganzrationale Funktion<br />

Ausgangsfunktion<br />

f(x) = a ⋅ x n + b ⋅ x m + c ⋅ x<br />

1. Ableitung<br />

f‘(x) = an ⋅ x n-1 + bm ⋅ x m-1<br />

+ c<br />

Anmerkung: Die ganzrationale Funktion wird<br />

Gliedweise wie die normale Potenzfunktion<br />

abgeleitet. Das heißt in je<strong>de</strong>m Glied wird <strong>de</strong>r<br />

Exponent wie<strong>de</strong>r mit <strong>de</strong>m Faktor vor <strong>de</strong>m x<br />

multipliziert. Der Exponent wird dann wie<strong>de</strong>r um<br />

eins vermin<strong>de</strong>rt.<br />

3.6 Die Sinusfunktion<br />

Ausgangsfunktion<br />

f(x) = sin (x)<br />

1. Ableitung f‘(x) = cos (x)<br />

2. Ableitung f(x) = - sin (x)<br />

Anmerkung: Die Ableitung <strong>de</strong>r Sinusfunktion ist<br />

einfach um +90° ( Pi/2) phasenverschoben. Das<br />

be<strong>de</strong>utet aus Sinus wird Kosinus. Verschiebt man<br />

noch weiter zur 2. Ableitung wird daraus <strong>de</strong>r<br />

negative Sinus.


- 12 - © VB 2003<br />

3.7 Die Wurzelfunktion<br />

Ausgangsfunktion<br />

f(x) = √x<br />

1. Ableitung f‘(x) = 1<br />

2 ⋅√x<br />

Anmerkung: Die Ableitung <strong>de</strong>r Wurzelfunktion kann<br />

man am einfachsten erklären, wenn man die Wurzel<br />

<strong>als</strong> Potenz mit einem Bruch im Exponenten betrachtet.<br />

f (x) = √x = x ½<br />

Nun gilt die allgemeine Regel für Potenzen. Die Potenz kommt vor das x und wird um 1<br />

verringert.<br />

f‘ (x) = ½ ⋅ x -½<br />

Jetzt ist <strong>de</strong>r Exponent negativ und kann zur 2 in <strong>de</strong>n Nenner wenn das Vorzeichen positiv wird.<br />

f‘ (x) = 1<br />

2 ⋅ x ½<br />

Zuletzt macht man aus <strong>de</strong>r Potenz im Nenner wie<strong>de</strong>r die Wurzel und hat damit die endgültige<br />

Ableitung.<br />

1<br />

f '( x)<br />

=<br />

2 ×<br />

x<br />

3.8 Die Funktion 1/x<br />

Ausgangsfunktion f(x) = 1/x<br />

1. Ableitung f‘(x) = - 1/x²<br />

Anmerkung: Da <strong>de</strong>r Ausdruck 1/x auch in<br />

Potenzschreibweise dargestellt wer<strong>de</strong>n kann, ist er<br />

1 −1<br />

=<br />

x<br />

auch mit <strong>de</strong>r Potenzregel differenzierbar.<br />

f ( x)<br />

=<br />

x<br />

−1<br />

x<br />

⇒ f '( x)<br />

= −1×<br />

x<br />

−2<br />

x -2 kommt jetzt wie<strong>de</strong>r in <strong>de</strong>n Nenner!<br />

1<br />

1<br />

f '(<br />

x)<br />

= −1×<br />

⇒ f '( x)<br />

= −<br />

2<br />

2<br />

x<br />

x


- 13 - © VB 2003<br />

Über die Kehrwertregel kommt man zum gleichen Ergebnis. Man kann sie auch leicht<br />

anwen<strong>de</strong>n, wenn in <strong>de</strong>r Ausgangsfunktion x in höherer Potenz im Nenner steht.<br />

Die Regel besagt:<br />

y=1/v dann ist y‘= -v‘/v²<br />

Beispiel: f (x) = 1 / x³ dann ist v‘= 3x² und v² = (x³)² = x 6<br />

× x<br />

6<br />

x<br />

2<br />

3<br />

f '(<br />

x)<br />

= −3 ⇒ f '( x)<br />

= −<br />

4<br />

x<br />

3.9 Die Ableitung eines Faktors vor <strong>de</strong>r Sinusfunktion<br />

Ausgangsfunktion<br />

y = a ⋅ f(x)<br />

1. Ableitung y = a ⋅ f‘ (x)<br />

Anmerkung: Der Faktor vor einer Funktion bleibt<br />

auch in <strong>de</strong>r Ableitung unverän<strong>de</strong>rt erhalten.<br />

Beispiel: y = 5 ⋅ sin (x)<br />

y‘ = 5 ⋅ cos (x)<br />

Da <strong>de</strong>r Faktor hier nur die Amplitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>r<br />

Sinusfunktion ist, bleibt er auch in <strong>de</strong>r Ableitung<br />

unverän<strong>de</strong>rt erhalten. Das gilt für alle Funktionen<br />

vor <strong>de</strong>nen ein Faktor steht.<br />

3.10 Die Ableitung <strong>de</strong>r Summe mehrerer Funktionen (Summenregel)<br />

Ausgangsfunktion<br />

y = a ⋅ f(x) + b ⋅ g(x) + c ⋅ h(x)<br />

1. Ableitung y‘ = a ⋅ f‘(x) + b ⋅ g‘(x) + c ⋅ h‘(x)<br />

Anmerkung: Die Faktoren vor <strong>de</strong>n Einzelfunktionen bleiben wie<strong>de</strong>r erhalten, die<br />

Einzelfunktionen selbst wer<strong>de</strong>n gliedweise abgeleitet.<br />

Beispiel: f(x) = 3 ⋅ sin(x) + 2 ⋅ √x + 0,5 x²<br />

f‘(x) = 3 ⋅ cos(x) + 2 ⋅ 1/(2⋅√x) + 0,5 ⋅ 2x<br />

f‘(x) = 3 ⋅ cos(x) + √x + x<br />

Besteht eine Funktion aus einer Summe mehrerer Funktionen, so wird<br />

je<strong>de</strong>r Summand einzeln differenziert.


- 14 - © VB 2003<br />

3.11 Die Ableitung <strong>de</strong>s Produktes mehrerer Funktionen (Produktregel)<br />

Besteht eine Funktion aus mehreren Funktionen, die miteinan<strong>de</strong>r multipliziert wer<strong>de</strong>n, so<br />

kann nicht gliedweise differenziert wer<strong>de</strong>n.<br />

Die Produktregel sagt:<br />

f (x) = g(x) × f(x)<br />

f ’(x) = g’(x) × h(x) + g(x) × h’(x)<br />

Beispiel:<br />

Gegeben ist die Funktion f (x) = x² × sin (x).<br />

Gesucht ist die 1. Ableitung<br />

Hier ist <strong>als</strong>o g(x) x²<br />

und h(x) sin (x)<br />

Eingesetzt in die Produktregel<br />

f ’(x) = 2x × sin(x) + x² × cos(x)


- 15 - © VB 2003<br />

3.12 Die Ableitung <strong>de</strong>s Quotienten mehrerer Funktionen<br />

(Quotientenregel)<br />

Besteht eine Funktion aus mehreren Funktionen, die durcheinan<strong>de</strong>r geteilt wer<strong>de</strong>n, so kann<br />

nicht gliedweise differenziert wer<strong>de</strong>n.<br />

Die Quotientenregel sagt:<br />

f (x) = g(x) / f(x)<br />

f ’(x) = g’(x) × h(x) - g(x) × h’(x)<br />

( h(x) )²<br />

B eispiel:<br />

Gegeben ist die Funktion f (x) = x² / sin (x).<br />

Gesucht ist die 1. Ableitung<br />

Hier ist <strong>als</strong>o g(x) x²<br />

u nd h (x) sin (x)<br />

u nd (h(x))² sin²(x)<br />

Eingesetzt in die Quotientenregel<br />

f ’(x) = 2x × sin(x) - x² × cos(x)<br />

sin²(x)


- 16 - © VB 2003<br />

3.13 Die Ableitung von verketteten Funktionen<br />

Besteht eine Funktion aus mehreren Funktionen, die miteinan<strong>de</strong>r verkettet sind, kann nicht<br />

gliedweise differenziert wer<strong>de</strong>n. Hier muss die Kettenregel angewen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n. Die<br />

Kettenregel sagt aus, dass die Ableitung <strong>de</strong>r inneren Funktion mit <strong>de</strong>r Ableitung <strong>de</strong>r äußeren<br />

Funktion multipliziert wer<strong>de</strong>n muss, um die Ableitungsfunktion <strong>de</strong>r Gesammtfunktion zu<br />

erhalten.<br />

Die Kettenregel sagt:<br />

f (x)<br />

= g ( h (x) )<br />

f ’(x) = g ‘ ( x ) ∗ h ‘ ( x )<br />

Beispiel:<br />

Gegebe n ist die Funktio n f (x) = sin ( x² )<br />

Gesucht ist die 1. Ableitung.<br />

Hier ist g (x) = sin ( x ) ( das x in <strong>de</strong>r Klammer ist natürlich x², wird aber<br />

weggelassen, da es zur Ableitung <strong>de</strong>r äußeren Funktion<br />

nicht notwendig ist. )<br />

und h (x) = x²<br />

Die Ableitung von g ( x )<br />

Die Ableitung <strong>de</strong>r Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion, <strong>als</strong>o ist<br />

g ‘ ( x ) = cos ( x )<br />

Das x in <strong>de</strong>r Klammer wird jetzt wie<strong>de</strong>r durch das x² ersetzt:<br />

g ‘ ( x ) = cos ( x² )<br />

Die Ableitung von h ( x )<br />

h ’ ( x )<br />

= 2x<br />

Eingesetzt in die Produktregel:<br />

f ’(x) = cos ( x² ) ∗ 2 x


- 17 - © VB 2003<br />

3.14 Ableitung <strong>de</strong>r Exponentialfunktion<br />

Bei <strong>de</strong>n bisherigen Funktionen hatten wir noch nie x im Exponenten. Dadurch haben wir bis<br />

jetzt auch noch keine Möglichkeit, diese Funktionen abzuleiten.<br />

Sehen wir uns zunächst einige Funktionen an:<br />

Zunächst fällt auf, dass alle<br />

Funktionen durch <strong>de</strong>n Punkt (0/1)<br />

gehen. Das ist auch logisch, da je<strong>de</strong><br />

reelle Zahl hoch 0 per Definition 1<br />

ergibt.<br />

Eine Beson<strong>de</strong>rheit unter <strong>de</strong>n<br />

Exponentialfunktionen bil<strong>de</strong>t die e-<br />

Funktion, die <strong>als</strong> Basis die Zahl e<br />

hat. e ist eine irrationale Zahl (e =<br />

2,7182818......) die auf <strong>de</strong>n<br />

Mathematiker Leonhard Euler<br />

zurückgeht.<br />

Genau diese e-Funktion bil<strong>de</strong>t <strong>de</strong>n Schlüssel für die Ableitungen aller Exponentialfunktionen.<br />

Zuerst muss man zwei Dinge Wissen:<br />

1. Je<strong>de</strong> Exponentialfunktion kann auf die e-Funktion zurückgeführt wer<strong>de</strong>n.<br />

2. Die Ableitung <strong>de</strong>r Funktion e x ist e x .<br />

Wie wan<strong>de</strong>lt man eine beliebige Funktion in eine e-Funktion um?<br />

Es gilt:<br />

a<br />

x<br />

= e<br />

x⋅ln<br />

a<br />

Man kann <strong>als</strong>o je<strong>de</strong> Funktion umwan<strong>de</strong>ln in <strong>de</strong>m man <strong>als</strong> Basis e wählt und in <strong>de</strong>n<br />

Exponenten x ⋅ln a einsetzt.<br />

Beispiele:<br />

2<br />

x ln 2<br />

= e<br />

x⋅<br />

5<br />

x<br />

x = e<br />

x⋅ ln 5<br />

x<br />

= e<br />

x⋅ln<br />

x<br />

( Kann man mit <strong>de</strong>m Taschenrechner kontrollieren )<br />

x<br />

1 1<br />

x<br />

x<br />

e x ⋅ln<br />

=


- 18 - © VB 2003<br />

3.14.1 Vorgehensweise beim Ableiten<br />

Beispiel:<br />

Fin<strong>de</strong>n Sie die erste Ableitung <strong>de</strong>r Funktion<br />

f ( x)<br />

= 5<br />

x<br />

1 . Umwan<strong>de</strong>ln in eine e-Funktion<br />

5<br />

x ln 5<br />

= e<br />

x⋅<br />

2. e-Funktion ableiten<br />

Sieht man sich die Funktion<br />

ln 5<br />

f ( x)<br />

= e<br />

x⋅ genauer an, fällt auf dass es eigentlich eine<br />

x<br />

Verkettung von g ( x)<br />

= e und h(<br />

x) = x ⋅ln5 ist. Und bei verketteten Funktionen gilt ja<br />

„innere Ableitung mal äußere Ableitung“. Also bil<strong>de</strong>n wir zuerst die innere Ableitung:<br />

h(<br />

x)<br />

= x ⋅ln5<br />

h'(<br />

x)<br />

= ln5<br />

Die äußere Ableitung ist:<br />

g ( x)<br />

=<br />

g '( x)<br />

=<br />

x<br />

e<br />

x<br />

e<br />

Weil die Ableitung <strong>de</strong>r e-Funktion die e-Funktion ist.<br />

Hierbei ist wie<strong>de</strong>r daran zu <strong>de</strong>nken, dass für x im Exponenten eigentlich<br />

Also ist die innere mal die äußere Ableitung:<br />

x ⋅ln5<br />

steht.<br />

f '( x)<br />

= ln5⋅e<br />

x⋅ln 5<br />

x⋅ln 5<br />

x<br />

wobei <strong>de</strong>r 2. Teil e ja gen au 5 entspricht. Also ist:<br />

f '(x) = ln5⋅5<br />

x<br />

Zusammengefasst gilt <strong>als</strong>o:<br />

Exponentialfunktion<br />

f ( x)<br />

= a<br />

x<br />

= e<br />

x⋅ln<br />

a<br />

1. Ableitung<br />

f<br />

'(<br />

x)<br />

= a<br />

x<br />

⋅ln<br />

a


- 19 - © VB 2003<br />

Weiteres Beispiel:<br />

f ( x)<br />

=<br />

1<br />

x x<br />

Umwan<strong>de</strong>ln in die e-Funktion:<br />

f ( x)<br />

=<br />

1<br />

x<br />

e x<br />

⋅ln<br />

innere Anleitung ist:<br />

1<br />

g( x)<br />

= ⋅ln<br />

x (Produktregel anwen<strong>de</strong>n)<br />

x<br />

1 1 1 1 1<br />

g '( x)<br />

= − ⋅ln<br />

x + ⋅ = − ⋅ln<br />

x +<br />

2<br />

2<br />

2<br />

x x x x x<br />

äußere Ableitung ist:<br />

h(<br />

x)<br />

=<br />

1<br />

x<br />

e x<br />

⋅ln<br />

1<br />

x<br />

e x<br />

⋅ln<br />

x<br />

h'(<br />

x)<br />

= und das entspricht h' ( x)<br />

= x<br />

1<br />

innere mal äußere Ableitung ist:<br />

f<br />

'(<br />

⎛ 1 1 ⎞<br />

) = ⎜−<br />

⋅ln<br />

x + ⋅<br />

2<br />

⎟<br />

⎝ x x ⎠<br />

x<br />

2<br />

1<br />

x x<br />

Also ist:<br />

f ( x)<br />

= x<br />

1<br />

x<br />

f<br />

⎛ 1<br />

'(<br />

x)<br />

= ⎜− ⋅ln<br />

x<br />

2<br />

⎝<br />

1<br />

+<br />

x<br />

x<br />

2<br />

⎞<br />

⎟⋅<br />

⎠<br />

1<br />

x x


- 20 - © VB 2003<br />

4 Anwendungen <strong>de</strong>r <strong>Differentialrechnung</strong><br />

4.1 Kurvendiskussion<br />

4.1.1 Einführung<br />

Die Kurvendiskussion hilft uns, <strong>de</strong>n graphischen Verlauf einer Funktion zu erkennen.<br />

Heute nehmen uns Programme wie Funktionsplotter o<strong>de</strong>r graphische Taschenrechner<br />

diese Arbeiten weitgehend ab. Aber zum Verständnis wie <strong>de</strong>r Graph einer Funktion<br />

aussieht, sind Kenntnisse zur Bestimmung von Kurvenmerkmalen wichtig. Diese<br />

Merkmale sind beispielsweise das Monotonieverhalten, Nullstellen o<strong>de</strong>r Extremwerte<br />

<strong>de</strong>r Funktion.<br />

Über die Kurvendiskussion wer<strong>de</strong>n genau diese Merkmale herausgearbeitet, und<br />

können abschließend in einer Skizze dargestellt wer<strong>de</strong>n.<br />

Bevor wir Beginnen, will ich erst einen kurzen Überblick geben, was alles nötig ist um<br />

eine Kurvendiskussion durchzuführen.<br />

1.Die erste, zweite und dritte Ableitung <strong>de</strong>r Funktion muss gefun<strong>de</strong>n wer<strong>de</strong>n.<br />

2.Der Definitionsbereich muss bestimmt wer<strong>de</strong>n. In <strong>de</strong>r Regel kommen bei<br />

Abiturprüfungen ganzrationale Funktionen vor, <strong>de</strong>ren Definitionsbereich die realen<br />

Zahlen sind. Kommt aber ein gebrochen rationale Funktion (x steht im Nenner <strong>de</strong>r<br />

Funktion) vor, gibt es Grenzwerte o<strong>de</strong>r Polstellen die beschrieben wer<strong>de</strong>n sollen.<br />

3.Das Monotonieverhalten <strong>de</strong>r Funktion. (Punkt- o<strong>de</strong>r Achsensymmetrie)<br />

4.Nullstellen <strong>de</strong>r Funktion (Stellen an <strong>de</strong>nen <strong>de</strong>r Graph die x-Achse schnei<strong>de</strong>t)<br />

5.Extremwerte <strong>de</strong>r Funktion (Hoch-, Tief- und Sattelpunkte)<br />

6. Wen<strong>de</strong>punkte<br />

7. Das Verhalten im Unendlichen.<br />

8.Die Skizze


- 21 - © VB 2003<br />

4.1.2 Ableitungen einer Funktion<br />

Der erste Schritt <strong>de</strong>r Kurvendiskussion ist immer das Fin<strong>de</strong>n von Ableitungen <strong>de</strong>r<br />

Funktion. (gibt immer Punkte!)<br />

Folgen<strong>de</strong> Funktion ist gegeben:<br />

f ( x)<br />

= x<br />

3 −12x<br />

1. Ableitung f '( x)<br />

= 3x 2 −12<br />

2.Ableitung<br />

f ''(<br />

x)<br />

= 6x<br />

3. Ableitung f '''(<br />

x)<br />

= 6<br />

4.1.3 Monotonieverhalten <strong>de</strong>r Funktion<br />

Wenn wir von Monotonieverhalten sprechen, meinen wir, in welchen Bereichen die<br />

Funktion steigt o<strong>de</strong>r fällt. In <strong>de</strong>n Bereichen, in <strong>de</strong>nen sie steigt, ist sie monoton<br />

steigend ansonsten ist sie monoton fallend.<br />

Wie bekommen wir nun raus, wo eine Funktion steigt o<strong>de</strong>r fällt?<br />

Wir wissen ja bereits, dass die erste Ableitung die Tangentensteigung <strong>de</strong>r Funktion<br />

angibt. Also müssen wir nur herausfin<strong>de</strong>n, wo die Tangentensteigungsfunktion positiv<br />

o<strong>de</strong>r negativ ist. Denn dann können wir genau die Bereiche eingrenzen in <strong>de</strong>nen die<br />

Funktion f (x) steigt o<strong>de</strong>r fällt.<br />

1. Ableitung<br />

f '( x)<br />

= 3x 2 −12<br />

3 ausgeklammert<br />

f '( x)<br />

= 3( x 2 − 4)


- 22 - © VB 2003<br />

In <strong>de</strong>r Klammer sehen wir jetzt x² - 4 . Die gesamte Funktion ist genau dann Null, wenn<br />

(x² - 4) Null ergibt, <strong>de</strong>nn 3 mal (0) ist ja bekanntlich Null.<br />

Wenn <strong>als</strong>o x <strong>de</strong>n Wert 2 hat, ist <strong>de</strong>r Funktionswert Null. Aber auch bei einem x-Wert von -2<br />

ist <strong>de</strong>r Funktionswert Null. Daraus können wir aber gleichzeitig folgern, dass links von x = -2<br />

und rechts von x = 2 die Ableitungsfunktion positiv sein muss, und dadurch die Funktion auch<br />

monoton steigend ist. Das können wir überprüfen, in<strong>de</strong>m wir verschie<strong>de</strong>ne Werte in die<br />

Ableitungsfunktion einsetzen.<br />

x = -3<br />

2<br />

f '( x)<br />

= 3( −3<br />

− 4) = 15<br />

x = -2<br />

2<br />

f '( x)<br />

= 3( −2<br />

− 4) = 0<br />

positiv<br />

null<br />

2<br />

x = -1 f '( x)<br />

= 3( −1<br />

− 4) = −3 negativ<br />

x = 1<br />

f '( x)<br />

= 3(1<br />

2<br />

− 4) = −3<br />

negativ<br />

x = 2<br />

2<br />

f '( x)<br />

= 3(2 − 4) = 0<br />

null<br />

x = 3<br />

2<br />

f '( x)<br />

= 3(3 − 4) = 5<br />

positiv<br />

Man schreibt:<br />

f(x) = monoton steigend für x < -2 und x > 2<br />

(f von x ist monoton steigend für x kleiner –2 und x größer 2)<br />

f(x) = monoton fallend für x > -2 und x < 2<br />

Rechts ist <strong>de</strong>r ungefähre Verlauf <strong>de</strong>r<br />

Funktion skizziert. Man bekommt hier schon<br />

einen ersten Eindruck über die Kurvenform.


- 23 - © VB 2003<br />

4.1.4 Symmetrieverhalten<br />

Es gibt einige einfache Merkmale einer Funktion (Ganzrational), an <strong>de</strong>n man klar ablesen<br />

kann, ob die Funktion Achsensymmetrisch ist. Achsensymmetrisch be<strong>de</strong>utet hier, dass <strong>de</strong>r<br />

Graph an einer Achse (x, y) gespiegelt ist.<br />

Hat eine Funktion nur gera<strong>de</strong> Exponenten, ist sie achsensymmetrisch zur y-<br />

Achse.<br />

Für die Punktsymmetrie gibt es auch ein Merkmal: (bei ganzrationalen Funktionen)<br />

Hat eine Funktion nur ungera<strong>de</strong> Exponenten, ist sie punktsymmetrisch zum<br />

Ursprung.<br />

Es gibt aber auch Funktionen, die nicht zur y-<br />

Achse symmetrisch sind, aber trotz<strong>de</strong>m eine<br />

Achsensymmetrie besitzen.<br />

Die Nebenstehen<strong>de</strong> Funktion zeigt diesen<br />

Zusammenhang an <strong>de</strong>r Funktion<br />

f '(<br />

x)<br />

= ( x − 2)<br />

2<br />

Wie man sieht, ist die Symmetrieachse eine<br />

senkrechte Linie, welche die x-Achse im Punkt 2<br />

schnei<strong>de</strong>t. Wie die Funktion schon zeigt wird hier<br />

von je<strong>de</strong>m x-Wert zwei abgezogen und dadurch die Funktion<br />

um zwei Punkte nach rechts<br />

verschoben. Daraus kann man aber auch <strong>de</strong>n Schluss ziehen, dass die Funktion<br />

achsensymmetrisch zur y-Achse währe, wenn man von je<strong>de</strong>m x-Wert 2 abzieht!<br />

Auf unsere Ausgangsfunktion bezogen gilt <strong>als</strong>o:<br />

f ( x)<br />

= x<br />

3 −12x<br />

hat nur ungera<strong>de</strong> Exponenten (x<br />

= x 1 ), ist <strong>als</strong>o punktsymmetrisch<br />

zum Ursprung.


- 24 - © VB 2003<br />

4.1.5 Nullstellen<br />

Die Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an <strong>de</strong>nen <strong>de</strong>r Graph die x-Achse<br />

schnei<strong>de</strong>t, <strong>als</strong>o <strong>de</strong>r Funktionswert null ist.<br />

Da wir eine Funktion haben, bei <strong>de</strong>r die höchste Potenz eine 3 ist, können auch<br />

maximal 3 Nullstellen auftreten. Es können aber auch weniger sein.<br />

Erste Nullstelle<br />

Da die Funktion nur ungera<strong>de</strong> Exponenten aufweist, wissen wir aus <strong>de</strong>m<br />

Symmetrieverhalten, dass eine Nullstelle im Ursprung <strong>de</strong>s Koordinatensystems liegen<br />

muss. Also ist eine Nullstelle bei<br />

x 1 = 0.<br />

Weitere Nullstellen<br />

Da <strong>de</strong>r Funktionswert (y-Wert) an einer Nullstelle null ist, setzen wir die<br />

Funktionsgleichung einfach zu null.<br />

f ( x)<br />

= x<br />

3 −12x<br />

0 = x 3 −12x<br />

Die an<strong>de</strong>ren Nullstellen bekommen wir durch Ausklammern von x.<br />

0 = x 3 −12x<br />

0 = x × ( x<br />

2 −<br />

12)<br />

Da bei einer Multiplik ation das Ergebnis immer null ist, sobald ein Faktor null ist,<br />

liegt die Lösung auf <strong>de</strong>r Hand. Eine Nullstelle ist x = 0, da <strong>de</strong>r Faktor x vor <strong>de</strong>r<br />

Klammer die eine Möglichkeit darstellt (Haben wir ja schon aus <strong>de</strong>m<br />

Symmetrieverhalten erkannt). Die zweite Möglichkeit, um die Multiplikation zu null<br />

wer<strong>de</strong>n<br />

zu lassen ist die Lösung <strong>de</strong>r Klammer (x² - 12).


- 25 - © VB 2003<br />

Da das eine quadratische Gleichung ist, lösen wir diese einfach mit <strong>de</strong>r A-B-C Formel<br />

auf.<br />

Unsere Komponenten sind<br />

A=1 B=0 C=-12<br />

x<br />

1 / 2<br />

=<br />

− B ±<br />

2<br />

B − 4×<br />

A×<br />

C<br />

2×<br />

A<br />

x<br />

1/ 2<br />

0 ±<br />

=<br />

0<br />

− 4×<br />

1×<br />

( −12)<br />

2<br />

x<br />

1/ 2<br />

0 ± 48<br />

=<br />

2<br />

x so x 2 = 3,4641 und x 3 = -3,4641<br />

1 =<br />

0 + 48<br />

2<br />

= 3,4641<br />

x<br />

0 − 48<br />

=<br />

2<br />

1<br />

= −<br />

3,4641<br />

Die bei<strong>de</strong>n an<strong>de</strong>ren Lösungen sind al<br />

Unsere Funktion<br />

f ( x)<br />

= x<br />

3 −12x<br />

hat <strong>als</strong>o drei Nullstellen und die sind.<br />

x 1 = -3,4641<br />

x 2 = 0<br />

x 3 = 3,4641<br />

Mit diesen Ergebnissen können wir<br />

unsere Funktion schon etwas genauer<br />

skizzieren.


- 26 - © VB 2003<br />

4.1.6 Lokale Extremwerte ( Minimum, Maximum )<br />

Unter lokalen Extremwerten versteht man die Punkte im Graph, bei <strong>de</strong>nen die<br />

höchsten und tiefsten Punkte liegen. Lokal sind sie <strong>de</strong>shalb, weil wir ja nur ein<br />

beschränktes Intervall (Ausschnitt) betrachten. Links und rechts dieses Intervalls<br />

können die Funktionswerte größer o<strong>de</strong>r kleiner sein.<br />

4.1.7 Hochpunkte und Tiefpunkte<br />

Eine Funktion hat dann einen Hochpunkt, wenn<br />

links und rechts keine Punkte liegen, die höher<br />

sind (logisch :-)<br />

Das gleiche gilt analog für Tiefpunkte<br />

Weiterhin ist die Steigung <strong>de</strong>r Tangente in diesem<br />

Punkt <strong>de</strong>r Funktion null (Berggipfel/Tal). Diese<br />

Bedingung für eine Extremwert bezeichnet man<br />

auch mit grundlegen<strong>de</strong> Bedingung.<br />

4.1.8 Grundlegen<strong>de</strong> Bedingung<br />

Da wir bereits wissen, dass die erste Ableitung einer Funktion etwas über die<br />

Tangentensteigung aussagt, m üssen wir diese nur zu null setzen um Punkte zu fin<strong>de</strong>n<br />

die eine Tangentensteigung von Null besitzen.<br />

Erst Ableitung<br />

f '( x)<br />

= 3x −12<br />

Nullse tzen 0 = 3x<br />

−12<br />

Hier han<strong>de</strong>lt es sich wie<strong>de</strong>r um eine quadratische Gleichung, die wir mit <strong>de</strong>r A-B-C<br />

Formel auflösen.<br />

A=3 B=0 C=-12<br />

x<br />

1 / 2<br />

=<br />

− B ±<br />

2<br />

B − 4×<br />

A×<br />

C<br />

2×<br />

A<br />

x<br />

1/ 2<br />

=<br />

0 ±<br />

0<br />

− 4 × 3×<br />

( −12)<br />

6


- 27 - © VB 2003<br />

x<br />

1/ 2<br />

=<br />

0 ±<br />

144<br />

6<br />

0 + 144<br />

0 − 144<br />

x<br />

1<br />

= = 2 x<br />

1<br />

= = −2<br />

6<br />

6<br />

Die erste Ableitung hat <strong>als</strong>o zwei Nullstellen und die sind.<br />

x1 = -2<br />

x 2 = 2<br />

Wir wissen jetzt, dass unsere Funktion zwei lokale Extremwerte besitzt. Wir müssen<br />

aber noch prüfen, welcher ein Hochpunkt o<strong>de</strong>r ein Tiefpunkt ist.<br />

Diese Prüfung ist die sogenannte hinreichen<strong>de</strong> Bedingung.<br />

4.1.9 Hinreichen<strong>de</strong> Bedingung<br />

Überlegen wir, wie wir die bei<strong>de</strong>n Punkte unterschei<strong>de</strong>n können. Dazu setzen wir die<br />

gefun<strong>de</strong>nen Punkte in die zweite Ableitung für x ein, erhalten wir unterschiedliche<br />

Ergebnisse.<br />

2. Ableitung<br />

f ''(<br />

x)<br />

= 6x<br />

f ''(<br />

x)<br />

= 6×<br />

( −2)<br />

= −12<br />

f ''(<br />

x)<br />

= 6×<br />

2 = 12<br />

Negativ<br />

Positiv<br />

Wir bekommen in <strong>de</strong>r zweiten Ableitung einmal einen positiven und einmal einen<br />

negativen Wert.<br />

Ein Hochpunkt in einer Funktion hat links davon immer eine positive Tangente und<br />

rechts<br />

eine Negative. Der Hochpunkt selbst hat eine Steigung von null.<br />

Ein Tiefpunkt in einer Funktion hat links davon immer eine negative Tangente und<br />

rechts eine Positive. Der Tiefpunktpunkt selbst hat eine Steigung von null.<br />

Da die Ableitung <strong>de</strong>r Ableitung ( 2. Ableitung ) ja ebenfalls die Tangentensteigung <strong>de</strong>r<br />

ersten Ableitung angibt, muss im entsprechen<strong>de</strong>n x-Wert bei einem negativer Wert in<br />

<strong>de</strong>r 2. Ableitung ein lokales Maximum darstellen. Ein positiver Wert ist dann ein<br />

Minimum.


- 28 - © VB 2003<br />

Nach <strong>de</strong>m wir <strong>als</strong>o festgestellt haben wo Extremwerte liegen, müssen wir diese nur<br />

noch in die 2. Ableitung einsetzen und das Ergebnis prüfen.<br />

Positives Ergebnis in <strong>de</strong>r 2. Ablei tung = lokales Minimum<br />

Negatives Ergebnis in <strong>de</strong>r 2. Ableitung = lokales Maximum<br />

4.1.10 Sattelpunkte<br />

Sattelpunkte sind die Stellen einer Funktion an <strong>de</strong>nen kein Maximum o<strong>de</strong>r Minimum<br />

vorliegt, aber <strong>de</strong>nnoch die erste Ableitung keine Tangentensteigung hat.<br />

Sie wer<strong>de</strong>n genau wie Extremwerte gesucht. Die gefun<strong>de</strong>nen x-Werte ergeben in <strong>de</strong>r<br />

2. Ableitung aber <strong>als</strong> Ergebnis eine null.<br />

Ergebnis null in <strong>de</strong>r 2. Ableitung = Sattelpunkt<br />

Wie man sieht, hat die nebenstehen<strong>de</strong><br />

Funktion we<strong>de</strong>r einen Hoch- noch einen<br />

Tiefpunkt. Die Stelle<br />

an <strong>de</strong>r die<br />

Tangentensteigung Null ist, liegt hier ein<br />

Sattelpunkt.<br />

Bei unserer Funktion ergab die hinreichen<strong>de</strong> Bedingung allerdings einen Hochpunkt<br />

bei x = -2 (weil in <strong>de</strong>r 2. Ableitung das Ergebnis negativ war) und einen Tiefpunkt bei<br />

x = 2 (Positive 2. Ableitung)<br />

Einsetzen in die Ursprungsgleichung<br />

Wir setzen die gefun<strong>de</strong>nen Punkte noch in die Ursprüngliche Funktion ein um die y-<br />

Werte auszurechnen.<br />

3<br />

zu x = -2 f ( x)<br />

= −2<br />

−12×<br />

( −2)<br />

= −8<br />

− ( −24)<br />

= 16<br />

3<br />

zu x = 2 f ( x)<br />

= 2 −12×<br />

(2) = 8 − 24 = −16


- 29 - © VB 2003<br />

Wir haben <strong>als</strong>o ein lokales Maximum bei<br />

(-2 / 16)<br />

und ein lokales Minimum bei<br />

(2 / -16)<br />

Man erkennt jetzt schon ziemlich genau <strong>de</strong>n Verlauf <strong>de</strong>r Funktion. Auch dass die<br />

Funktion keinen Sattelpunkt hat.<br />

4.1.11 Wen<strong>de</strong>punkte<br />

Ein Wen<strong>de</strong>punkt einer Funktion, lässt sich am<br />

einfachsten an einem anschaulichen Beispiel<br />

ver<strong>de</strong>utlichen. Stellt euch vor, ihr sitzt im Auto und<br />

fahrt auf einer Kurvenreichen Straße. Eine Rechtsund<br />

eine Linkskurve kommen direkt nacheinan<strong>de</strong>r.<br />

Ihr fahrt jetzt in die Rechtskurve ein und müsst stark<br />

lenken, wenn ihr aber aus <strong>de</strong>r Kurve ausfahrt, wird<br />

das Lenkrad wie<strong>de</strong>r in Richtung seines Ursprungs<br />

zurück gedreht. Jetzt kommt irgendwann <strong>de</strong>r Punkt,<br />

an <strong>de</strong>m die „Nullstellung“ <strong>de</strong>s Lenkra<strong>de</strong>s erreicht<br />

wird und ihr anfangt in die Linkskurve einzufahren.<br />

Der Punkt zwischen <strong>de</strong>n Kurven wo das Lenkrad auf seinem Ursprung steht ist ein<br />

Wen<strong>de</strong>punkt.<br />

Wie man an <strong>de</strong>r Grafik schon <strong>de</strong>utlich sieht, muss die Tangentensteigung am<br />

Wen<strong>de</strong>punkt am größten sein. Die erste Ableitung <strong>de</strong>r Funktion muss hier <strong>als</strong>o ein<br />

Maximum besitzen, und nach einem Maximum haben wir schon einmal gesucht.<br />

Besitzt die erste Ableitung ein Maximum muss die zweite Ableitung genau dort eine<br />

Nullstelle haben.


- 30 - © VB 2003<br />

1.Maximum <strong>de</strong>r ersten Ableitung = Nullstelle <strong>de</strong>r zweiten Ableitung<br />

Funktion<br />

f ( x)<br />

= x<br />

3 −12x<br />

1. Ableitung f '( x)<br />

= 3x −12<br />

2.Ableitung<br />

f ''(<br />

x)<br />

= 6x<br />

3. Ableitung f '''(<br />

x)<br />

= 6<br />

Zweite Ableitung Nullsetzen<br />

0 = 6x<br />

Nach x auflösen<br />

x = 0<br />

Wir haben <strong>als</strong>o eine Nullstelle im Koordinatenursprung gefun<strong>de</strong>n, müssen aber noch<br />

prüfen, ob es sich wirklich um einen Wen<strong>de</strong>punkt han<strong>de</strong>lt.<br />

Dazu müssen wir prüfen ob an <strong>de</strong>r Stelle <strong>de</strong>s gefun<strong>de</strong>nen Punktes die 3. Ableitung<br />

ungleich Null ist (sonst wäre es ja ein Sattelpunkt)<br />

Da die 3. Ableitung konstant 6 ist, muss im<br />

Punkt 0 / 0 ein Wen<strong>de</strong>punkt sein.


- 31 - © VB 2003<br />

4.1.12 Verhalten im Unendlichen<br />

Im nebenstehen<strong>de</strong>n Graphen ist <strong>de</strong>r Verlauf <strong>de</strong>r<br />

Funktion<br />

f ( x)<br />

= x<br />

3 −12x<br />

mit <strong>de</strong>n gefun<strong>de</strong>nen Merkmalen gezeichnet.<br />

Das Intervall (<strong>de</strong>r Ausschnitt) das wir hier sehen,<br />

ist allerdings von ca. –5 bis +5 beschränkt. Die<br />

Funktion liefert aber für alle positiven und<br />

negativen x-Werte <strong>de</strong>n entsprechen<strong>de</strong>n y-Wert.<br />

Die Frage ist nun wie sich die Funktion im<br />

Unendlichen (-/+) verhält.<br />

Da das Verhalten einer Funktion immer von <strong>de</strong>m Glied abhängt, dass x in <strong>de</strong>r<br />

höchsten Potenz aufweißt, hier <strong>als</strong>o x³, betrachten wir nur dieses Glied genauer.<br />

Weiter ist klar, dass x im Nenner <strong>de</strong>r Funktion nicht vorkommt und dadurch we<strong>de</strong>r<br />

eine Polstelle noch ein Grenzwert vorliegt.<br />

Durch x³ ist <strong>als</strong>o ganz klar zu erkennen, dass bei großen x-Werten auch große y-Werte<br />

<strong>als</strong> Ergebnis auftauchen. Im positiven Bereich strebt die Funktion <strong>als</strong>o gegen plus<br />

unendlich und im negativen x-Bereich gegen minus unendlich. (minus mal minus mal<br />

minus = minus)<br />

Man sagt die Funktion divergiert<br />

4.1.13 An<strong>de</strong>re Beispiele<br />

Betrachten wir die einfache Funktion<br />

f ( x)<br />

=<br />

1<br />

2<br />

x<br />

Hier kann man <strong>de</strong>utlich sehen, dass bei steigen<strong>de</strong>n<br />

x-Werten <strong>de</strong>r Funktionswert immer kleiner wird<br />

und durch x² im positiven und im negativen.<br />

(minus mal minus = plus)<br />

Man sagt, die Funktion konvergiert im<br />

unendlichen gegen Null.<br />

Im Koordinatenursprung dagegen weißt die Funktion ein an<strong>de</strong>res Verhalten auf. Der<br />

Funktionswert wird bei immer kleineren x-Werten immer größer, erreicht aber nie die<br />

y-Achse.<br />

Man sagt die x- und die y-Achse sind Asymptote


- 32 - © VB 2003<br />

Gebrochen-rationale Funktionen<br />

Die Funktion<br />

f ( x)<br />

2<br />

= x<br />

− 5x<br />

+ 6<br />

x − 2<br />

hat im Nenner x stehen. Überlegen wir wie<br />

sich die Funktionsgleichung verhält wenn x<br />

<strong>de</strong>n Wert 2 hat.<br />

2<br />

f ( x)<br />

=<br />

2<br />

−10<br />

+ 6<br />

0<br />

Wir teilen durch Null, und das ist bekanntlich nicht <strong>de</strong>finiert. Also hat die Funktion an<br />

dieser Stelle eine Lücke. Die Funktion nähert sich von bei<strong>de</strong>n Seiten <strong>de</strong>m Grenzwert<br />

von –1, erreicht ihn aber nicht. Kann man in diese Lücke einen Grenzwert, hier –1,<br />

einsetzen, sagt man die Lücke ist hebbar.


- 33 - © VB 2003<br />

4.1.14 Skizze<br />

Abschließend wird die Funktion noch (am besten auf Millimeterpapier)<br />

gezeichnet, und alle gefun<strong>de</strong>nen Merkmale beschriftet.


- 34 - © VB 2003<br />

4.2 Extremwertaufgaben<br />

Der Bereich <strong>de</strong>r Extremwertaufgaben beschäftigt sich damit, einen gegebenen<br />

Zusammenhang in einer Funktion abzubil<strong>de</strong>n. Durch die Funktionsbeschreibung kann<br />

dann ein evtl. Hoch- o<strong>de</strong>r Tiefpunkt ( Extremwert ) errechnet wer<strong>de</strong>n.<br />

Oft sind es Aufgaben aus <strong>de</strong>r Verpackungsindustrie, die versuchen z.B für ein<br />

Dosenvolumen die kleinstmögliche Oberfläche <strong>de</strong>r Dose zu berechnen, um <strong>de</strong>n<br />

Materialaufwand so klein wie möglich zu halten.<br />

4.2.1 Beispielrechnung für eine Extremwertaufgabe<br />

Aufgabe : Eine Blechdose mit 15 Liter (dm³) Inhalt, soll so gebaut wer<strong>de</strong>n, dass <strong>de</strong>r<br />

Blechverbrauch minimal ist.<br />

Der erste Ansatz ist hier, sich die Formeln für die bei<strong>de</strong>n Bedingungen <strong>de</strong>r Dose zu<br />

suchen. Diese Bedingungen sind erstens das Volumen <strong>de</strong>r Dose, und zweitens die<br />

Oberfläche. Da die Oberfläche bei gegebenem Volumen ein Minimum haben muss, ist<br />

die Formel <strong>de</strong>r Oberfläche die Extremalbedingung. Die zweite Formel zur<br />

Volumenberechnung ist die sogenannte Nebenbedingung<br />

Extremalbedingung<br />

Oberfläche = 2 ⋅ Grundfläche + Mantelfläche<br />

O = 2 ⋅ Π ⋅ r² + 2 ⋅ Π ⋅ r ⋅ h<br />

Nebenbedingung<br />

Volumen<br />

= r² ⋅ Π ⋅ h<br />

In <strong>de</strong>r Formel für die Oberfläche sind zwei Größen unbekannt ( r, h). Wir verän<strong>de</strong>rn<br />

<strong>de</strong>shalb die die Nebenbedingung so, dass h gesucht ist. Diese Formel können wir dann<br />

in die Extremalbedingung einsetzen. (Ist eigentlich nur die Anwendung <strong>de</strong>s<br />

Einsetzungsverfahrens)<br />

V<br />

h = r²<br />

× Π


- 35 - © VB 2003<br />

Im nächsten Schritt setzen wir h in die Extremalbedingung ein und vereinfachen <strong>de</strong>n<br />

gefun<strong>de</strong>nen Ausdruck<br />

⎛ V ⎞<br />

O = 2Π × r²<br />

+ 2Π × r × ⎜ ⎟<br />

⎝ r²<br />

× Π ⎠<br />

2V<br />

O = 2 Π × r²<br />

+<br />

r<br />

Jetzt haben wir die Funktion gefun<strong>de</strong>n, bei <strong>de</strong>r wir ein Minimum suchen. Zum<br />

weiteren Vorgehen müssen wir noch die 1. und 2.. Ableitung <strong>de</strong>r Funktion suchen.<br />

Funktion<br />

1. Ableitung<br />

2. Ableitung<br />

2V<br />

O( r)<br />

= 2Π × r²<br />

+<br />

r<br />

30<br />

O'<br />

( r)<br />

= 4Π × r −<br />

r²<br />

60<br />

O ''( r)<br />

= 4Π<br />

+<br />

r³<br />

Da wir schon wissen, dass die erste Ableitung einer Funktion die<br />

Tangentensteigungsfunktion ist, müssen wir diese nur zu Null setzen, und nach <strong>de</strong>m<br />

Radius (r) auflösen.<br />

(Zur Erinnerung: Ist die Steigung einer Tangente 0, han<strong>de</strong>lt es sich um einen Hoch- o<strong>de</strong>r Tiefpunkt.)<br />

Erste Ableitung Null setzen<br />

30<br />

4 Π × r − = 0<br />

r²<br />

30<br />

4Π<br />

× r =<br />

r²<br />

4 Π × r ³ = 30<br />

30<br />

r ³ = 4 Π<br />

30<br />

r = 3 = 1,337 dm<br />

4Π<br />

Nun wissen wir, dass bei einem Radius von 1,337 dm ein Hoch- o<strong>de</strong>r Tiefpunkt <strong>de</strong>r<br />

Funktion liegt. Durch Einsetzen <strong>de</strong>s Wertes in die 2. Ableitung können wir erkennen,<br />

um was es sich han<strong>de</strong>lt<br />

(Ergebnis ist positiv = Minimum, Ergebnis ist negativ = Maximum)


- 36 - © VB 2003<br />

r Einsetzen in die 2. Ableitung<br />

60<br />

O ''( r)<br />

= 4Π<br />

+<br />

r³<br />

60<br />

O ''(<br />

r)<br />

= 4Π<br />

+<br />

= 37,67 Lokales Minimum<br />

1,337³<br />

Da das Ergebnis positiv ist, han<strong>de</strong>lt es sich um einen Tiefpunkt <strong>de</strong>r Funktion.<br />

An<strong>de</strong>rs gesagt, bei einem gegebenen Volumen von 15 Litern und einem Radius von 1,337 dm<br />

ergibt sich ein Minimum an Materialverbrauch.<br />

Zum Schluss setzen wir noch <strong>de</strong>n gefun<strong>de</strong>nen Radius in die Nebenbedingung<br />

ein, um die Höhe auszurechnen.<br />

Das Ergebnis unserer Aufgabe ist somit:<br />

V<br />

h = r²<br />

× Π<br />

15<br />

h = 1, 3 37² × Π<br />

h = 2,673<br />

h = 2,673 dm<br />

r = 1,337 dm<br />

Abschließend zeichnen wir die Funktion.<br />

2V<br />

O( r)<br />

= 2Π × r²<br />

+<br />

r<br />

Die Funktionsgleichung in <strong>de</strong>r<br />

„Normalform“ sieht so aus:<br />

30<br />

f ( x)<br />

= 2 Π × x² +<br />

x<br />

Wie man sieht, ist wirklich bei 1,337 ein<br />

Tiefpunkt<br />

<strong>de</strong>r Funktion.


- 37 - © VB 2003<br />

4.2.2 Eine Dose mit halbrun<strong>de</strong>m Kopf<br />

Die zweite Aufgabe ist etwas komplexer, aber kann auf die gleiche Weise gelöst wer<strong>de</strong>n.<br />

A ufgabe:<br />

Eine Dose (V=15 Liter ) soll einen halbrun<strong>de</strong>n Aufsatz bekommen. Die Frage ist nun, bei<br />

welchem Verhältnis von Radius und Höhe die Oberfläche ein Minimum hat.<br />

Extremalbedingung<br />

Oberfläche = Bo<strong>de</strong>n + Mantelfläche + Halbkugel<br />

O = Π r² + 2 Π r ⋅ h + 2 Π r²<br />

Nebenbedingung<br />

Volumen = V zylin<strong>de</strong>r + V Kugel<br />

V = Πr² ⋅ h + 2/3 Πr³<br />

Nebenbedingung umstellen nach h<br />

h =<br />

V<br />

Πr<br />

2<br />

2Πr<br />

−<br />

3Πr<br />

3<br />

2<br />

Einsetzen von h in die Extremalbedingung<br />

O = Π r² + 2 Π r ⋅ h + 2 Π r²<br />

3<br />

V 2Πr<br />

O = Π r² + 2 Π r ⋅ ( −<br />

2<br />

2<br />

Πr<br />

3Πr<br />

) + 2 Π r²<br />

Zusammenfassen<br />

O =<br />

V × 2Πr<br />

2r<br />

× Πr<br />

+ −<br />

Πr<br />

3<br />

2 2<br />

3Πr<br />

2<br />

K ürzen<br />

O =<br />

2V<br />

r<br />

4<br />

3<br />

2<br />

2<br />

3Πr<br />

+ − Πr


- 38 - © VB 2003<br />

Zusammenfassen<br />

9 2V<br />

O = Πr<br />

4 2 − Πr<br />

2<br />

3<br />

+<br />

3 r<br />

5 2 1<br />

O = Πr<br />

+ 2V<br />

×<br />

3<br />

r<br />

Funktion<br />

1.Ableitung<br />

5 2<br />

O = Πr<br />

3<br />

1<br />

+ 2V<br />

×<br />

r<br />

10<br />

1<br />

O ' = Πr<br />

− 2V<br />

×<br />

2<br />

3 r<br />

10<br />

2<br />

2.Ableitung O ''<br />

= Π + 2V<br />

×<br />

3<br />

3 r<br />

Nullsetzen <strong>de</strong>r ersten Ableitung<br />

10<br />

1<br />

2 0<br />

2<br />

3<br />

Π r − V × r<br />

=<br />

⏐ +2V/r²<br />

10 2V<br />

Π r =<br />

⏐ / 2V<br />

2<br />

3 r<br />

10Πr =<br />

6V<br />

1<br />

2<br />

r<br />

⏐<br />

/ r<br />

10Π<br />

6V<br />

=<br />

1<br />

3<br />

r<br />

⏐<br />

Stürzen u. 3. Wurzel<br />

6V<br />

3<br />

10 Π<br />

90l<br />

31,415<br />

= r<br />

3 = r =<br />

1,42024


- 39 - © VB 2003<br />

Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen<br />

10 2<br />

O ''<br />

= Π + 2V<br />

×<br />

3<br />

3 r<br />

O =<br />

31,415<br />

3<br />

+<br />

60<br />

1,42024<br />

3 =<br />

31,42<br />

Der gefun<strong>de</strong>ne Wert ist ein lokales Minimum<br />

Abschließend setzen wir h in die Nebenbedingung ein, um die Höhe zu berechnen.<br />

h =<br />

V<br />

Πr<br />

2<br />

2Πr<br />

−<br />

3Πr<br />

3<br />

2<br />

h =<br />

Π ×<br />

15<br />

1,42024<br />

2Π × 1,42024<br />

−<br />

3Π<br />

× 1,42024<br />

3<br />

=<br />

2 2<br />

1,42024<br />

r = h<br />

Der Materialverbrauch ist, egal welches Volumen <strong>de</strong>r Behälter hat, am geringsten, wenn <strong>de</strong>r<br />

Radius und die Höhe <strong>de</strong>n gleichen Wert haben.<br />

Abschließend zeichnen wir die Funktion.<br />

5 2<br />

O = Πr<br />

3<br />

1<br />

+ 2V<br />

×<br />

r<br />

Die Funktionsgleichung in <strong>de</strong>r „Normalform“ sieht so<br />

aus:<br />

5 2<br />

O = Π × 1,42024<br />

3<br />

+ 30 ×<br />

1<br />

1,42024


- 40 - © VB 2003<br />

4.2.3 Extremwertaufgabe „Zylin<strong>de</strong>r im Kegel“<br />

Aufgabe: In einem Kegel mit <strong>de</strong>m Verhältnis Höhe zu Durchmesser gleich 3/2, soll ein<br />

Zylin<strong>de</strong>r mit maximalem Volumen gefun<strong>de</strong>n wer<strong>de</strong>n.<br />

Extramalbedingung<br />

V × Π × h<br />

z<br />

= r<br />

2<br />

z<br />

z<br />

Nebenbedingung<br />

3 = h k<br />

2 = d k<br />

r z<br />

r k<br />

h z<br />

h<br />

Die Nebenbedingung wird uns von <strong>de</strong>r Gera<strong>de</strong>nfür<br />

die<br />

gleichung y=mx+b geliefert. Wir erstellen sie<br />

gestrichelte (blaue) Seite <strong>de</strong>s Kegels. Ihre Steigung<br />

bekommen wir aus <strong>de</strong>m Verhältnis Aus h k =-3 und r k =1.<br />

Der Achsenabschnitt ist dann h k =3.<br />

y = −3x<br />

+ 3( hk<br />

)<br />

Da y je<strong>de</strong>n Punkt auf <strong>de</strong>r Gera<strong>de</strong> beschreiben kann,<br />

setzen wir ihn für h z in die Extremalbedingung ein.<br />

r z entspricht dann x.<br />

Einsetzen,<br />

vereinfachen und<br />

ausmultiplizieren<br />

<strong>de</strong>r Funktion<br />

Vz = rz<br />

× Π ×<br />

V<br />

V<br />

V<br />

z<br />

z<br />

z<br />

2<br />

2<br />

z<br />

= r ×Π × ( −3r<br />

2<br />

z<br />

= Πr<br />

× ( −3r<br />

= −<br />

z<br />

z<br />

+ 3)<br />

+ 3)<br />

3<br />

2<br />

3Πrz<br />

+ 3Πrz<br />

Funktion<br />

V<br />

z<br />

= −<br />

3<br />

2<br />

3Πrz<br />

+ 3Πrz<br />

1.Ableitung<br />

2.Ableitung<br />

z<br />

2<br />

z<br />

V ' = −9Πr<br />

+ 6Πr<br />

V z<br />

''<br />

= −18Πr<br />

+ 6Π<br />

z<br />

z


- 41 - © VB 2003<br />

Erste Ableitung Nullsetzen und Maximalwerte suchen.<br />

2<br />

− 9Πr z<br />

+ 6Πr<br />

z<br />

= 0<br />

a=-9Π b= 6Π<br />

Mit <strong>de</strong>r A-B-C Formel bekommt man nun 2 Extremwerte x 1 =2/3 (0,6666...) und x 2 =0<br />

Werte in die 2. Ableitung einsetzen<br />

V z<br />

''<br />

= −18Πr<br />

+ 6Π<br />

z<br />

Für x 1 =-18,84 und für x 2 =18,84<br />

Also liegt bei x 1 =2/3 ein Maximum <strong>de</strong>r Funktion. Da <strong>de</strong>r Radius <strong>de</strong>s Kegels ja 1 ist gilt<br />

allgemein: 2/3 r k ist das Maximum.<br />

Den gefun<strong>de</strong>nen Wert in die Nebenbedingung einsetzen<br />

y = −3x<br />

+ 3( hk<br />

) In <strong>de</strong>r Nebenbedingung ist x jetzt <strong>de</strong>r gefun<strong>de</strong>ne Wert r z (2/3).<br />

y ist die Höhe <strong>de</strong>s Zylin<strong>de</strong>rs.<br />

h<br />

h z<br />

z<br />

2<br />

= −3 × + 3<br />

3<br />

=1<br />

Da die Höhe <strong>de</strong>s Kegels 3 ist gilt die Beziehung<br />

h<br />

h<br />

z<br />

k<br />

1<br />

=<br />

3<br />

1<br />

h<br />

z<br />

= h k<br />

3<br />

Der Zylin <strong>de</strong>r hat ein Maximum bei rz=2/3r k<br />

und h z =1/3h k


- 42 - © VB 2003<br />

4.2.4 Die Fläche eines Fußballplatzes<br />

Ein Dorf möchte einen Fußballplatz mit einer 400m langen Laufbahn anlegen. Dabei soll <strong>de</strong>r<br />

Sportplatz eine maximale Fläche habe.<br />

Wie lang muss <strong>de</strong>r Platz sein und wie groß ist die maximale Fläche <strong>de</strong>s Platzes.<br />

Die Fläche <strong>de</strong>s Platzes ist<br />

F<br />

= l ⋅ d<br />

und das ist die Extremalbedingung.<br />

Die Länge <strong>de</strong>r Laufbahn ist 400m und<br />

setzt sich zusammen aus<br />

400 m = 2 ⋅ l + d ⋅ Π (Nebenbedingung)<br />

Die Nebenbedingung stellen wir nach d um,<br />

400m<br />

= 2 ⋅l<br />

+ d ⋅ Π<br />

400m<br />

− 2l<br />

= dΠ<br />

400m<br />

− 2l<br />

= d<br />

Π<br />

setzen sie in die Extremalbedingung ein und suchen die erste Ableitung.<br />

400m<br />

− 2l<br />

2 2 400<br />

F(<br />

l)<br />

= l ⋅ = − l + l<br />

Π Π Π<br />

4 400<br />

F' ( l)<br />

= − l + Π Π<br />

Erste Ableitung Nullsetzen und nach l auflösen<br />

4 400<br />

0 = − l +<br />

Π Π<br />

400 ⋅ ( −Π)<br />

l = = 100m<br />

Π ⋅ (−4)<br />

Die Länge <strong>de</strong>s Platzes muss <strong>als</strong>o 100m sein<br />

Die Fläche <strong>de</strong>s Platzes errechnen wir, in<strong>de</strong>m das Ergebnis in die Funktion eingesetzt wird.<br />

2 400 2 400<br />

F =<br />

Π Π Π Π<br />

2<br />

2<br />

2<br />

( l)<br />

= − l + l = − ⋅100<br />

+ ⋅100<br />

6366,2m<br />

Die Fläche beträgt dann 6366,2m²


- 43 - © VB 2003<br />

<strong>Differentialrechnung</strong><br />

mt<br />

= lim<br />

h →0<br />

m<br />

s<br />

im Telekolleg

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