Quantenmechanische Eichfixierung im kanonischen Formalismus

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Quantenmechanische Eichfixierung im kanonischen Formalismus

2 EICHFIXIERUNG IN EINEM QUANTENMECHANISCHEN SYSTEM 6

2.4 Die unitäre Transformation zur Eichxierung

Im Folgenden soll nun gezeigt werden, wie durch Implementierung einer Eichxierung explizit ein quantenmechanischer

Freiheitsgrad aus dem System eliminiert wird. Wir führen dazu einen unitären Eichxierungsoperator

Ω wie folgt ein

Man beachte, dass dieser Operator selbst nicht eichinvariant ist!

Ω = e −ix1p2/2 e ix2p1 (2.30)

Mittels dieses Operators transformiert man alle bisher denierten Gröÿen, d.h.

sowie

x i → x ′ i = Ω x i Ω † (2.31)

p i → p ′ i = Ω p i Ω † (2.32)

|ψ〉 phys → |ψ ′ 〉 phys = Ω|ψ〉 phys (2.33)

Damit bleiben alle Gleichungen formal invariant, nämlich zum einen die Schrödingergleichung

(H − E)|ψ〉 phys → (H ′ − E)|ψ ′ 〉 phys = (Ω H Ω † − E)Ω|ψ ′ 〉 phys = Ω (H − E)|ψ〉 phys = 0 (2.34)

als auch die Bedingung für das Schwerpunktsystem

P |ψ ′ 〉 phys → P ′ |ψ ′ 〉 phys = Ω P Ω † Ω|ψ〉 phys = Ω P |ψ〉 phys = 0 (2.35)

2.5 Die Eichxierung

Wir berechnen nun explizit die Transformation der Orte x i und der Impulse p i unter dieser Eichxierung

Zur Transformation des Potentialterms nutzen wir

x 1 − x 2 → x ′ 1 − x ′ 2 =

Angewandt auf den Hamiltonoperator folgt dann

x 1,2 → x ′ 1,2 = x 2 ± 1 2 x 1 (2.36)

p 1,2 → p ′ 1,2 = 1 2 p 2 ± p 1 (2.37)

(

x 2 + 1 ) (

2 x 1 − x 2 − 1 )

2 x 1 = x 1 (2.38)

H → H ′ = Ω H Ω † = p2 1

2(m/2) + p2 2

2(2m) + V (x 1) (2.39)

Die explizite Form der kinetischen Energieterme ndet man durch Einsetzen der transformierten Gröÿen, Quadrieren

und Zusammenfassen.

Für den Gesamtimpuls P ndet man die Transformation

P → P ′ = Ω P Ω † = p ′ 1 + p ′ 2 =

Dabei erkennt man die folgenden wesentlichen Eigenschaften:

( ) ( )

1 1

2 p 2 + p 1 +

2 p 2 − p 1 = p 2 (2.40)

Die Gröÿen µ = m/2 sowie M = 2m entsprechen der bekannten reduzierten Masse sowie der Gesamtmasse. Im

Potentialterm tritt nur noch eine Ortskoordinate x 1 auf. Die zweite Ortskoordinate x 2 wurde aus H ′ eliminiert.

Damit entspricht der neue Hamiltonoperator H ′ formal dem Hamiltonoperator im Schwerpunktsystem. p ′ 1 bzw.

x ′ 1 entsprechen dem Relativimpuls bzw. der Relativkoordinate, p ′ 2 bzw. x ′ 2 dem Schwerpunktsimpuls bzw. der

Schwerpunktskoordinate.

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