Die Ableitung und Elastizität von Funktionen. - Heinrich-Heine ...

376 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler1Zum Beweis der Produktregel formt man so um: [f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x)] =h1[f(x + h) − f(x)]g(x + h) + f(x) 1 [g(x + h) − g(x)]. Da g(x + h) gegen g(x) strebth hmit h → 0 (die Funktion ist ja stetig an der Stelle x, wenn sie dort sogar differenzierbarist), ergibt sich mit der Konvergenz der Differenzenquotienten von f und g gegen dieAbleitungen daraus sofort die Produktregel. Die Differenzenquotienten von 1/g formenwir ähnlich um zu 1 [1/g(x + h) − 1/g(x)] = − 1 [g(x + h) − g(x)]/[g(x + h)g(x)] undh hsehen daraus die Konvergenz gegen −g ′ (x)/g(x) 2 bei h → 0 . Das ist die Reziprokenregel,und die Quotientenregel für f/g = f · (1/g) folgt daraus sofort mit der Produktregel.Der Beweis zeigt auch, dass mit f und g auch fg differenzierbar ist und ebenso f/g anStellen x mit g(x) ≠ 0 . Für Produkte von drei differenzierbaren Funktionen auf I giltdann (fgh) ′ = (fg) ′ h + (fg)h ′ = f ′ gh + fg ′ h + fgh ′ , und für Produkte von beliebig vielendifferenzierbaren Funktionen auf demselben Intervall findet man(f 1 f 2 · . . . · f n ) ′ == f 1f ′ 2 · . . . · f n + f 1 f 2f ′ 3 · . . . · f n + . . . + f 1 · . . . · f n−1 f n′ ( f′= f 1 f 2 · . . . · f 1n + f 2′ + . . . + f )n′ ,f 1 f 2 f nletzteres natürlich nur an Stellen, wo keine der Funktionen f i den Wert 0 hat. Für die Ableitungeines Produkts von mehreren reziproken Funktionen kann man ähnliche Formelnherleiten, die weniger praktische Bedeutung haben. Für den Spezialfall eines Produkts vonn gleichen Faktoren f oder 1/g notieren wir noch folgende Formeln für die Ableitungeiner Potenz einer Funktion mit Exponent n ∈ N :(f n ) ′ = nf n−1 f ′ ,( 1g n ) ′=−ng ′g n+1 ,wo g ≠ 0 ist.9) Beispiele für die Anwendung der Produktregel:ddx (xex ) =( ddx x )e x + x ddx ex = 1 · e x + x · e x = (1 + x)e x ,ddx (xs e cx ) = (sx s−1 )e cx + x s (ce cx ) = (s + cx)x s−1 e cx ,für c ∈ R, x > 0 und beliebige s ∈ R, oder x ≠ 0 im Fall s ∈ Z oder alle x ∈ R im Falls ∈ N . Noch ein Beispiel mit drei Faktoren:ddt (t5 e −2t ln t) = 5t 4 e −2t ln t + t 5 (−2e −2t ) ln t + t 5 e −2t 1 tAbleitungen von Potenzen einer Funktion:für t > 0 .ddx (x2 + 1) 100 = 100(x 2 + 1) 99 ddx (x2 + 1) = 200x · (x 2 + 1) 99 ,ddt cosh4 t = 4(cosh 3 t) d dt cosh t = 4(cosh3 t) sinh t ,d 1dy (y 3 − 2y + 1) 2 = −2(3y2 − 2)(y 3 − 2y + 1) 3 ( wo der Nenner ≠ 0 ist ) .