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Das Newton-VerfahrenEin Verfahren zur numerischenBerechnung von Nullstellen x N .Newtonf(x Nullstelle )=0TaylorBernd Hitzmann


Gegeben: f(x)Gesucht: x N mit f(x N )=0Bernd HitzmannTaylor: f(x)≈f(x E )+f‘(x E )(x-x E )Grober Schätzwert für x N vorhanden!x N ≈x 0 (aber nicht genau)Taylorx E =x 0f(x)≈f(x 0 )+f‘(x 0 )(x-x 0 )f(x 0 )+f‘(x 0 )(x N-x 0 )=0x 25 34 N 1 =x 14 02 3 -f(x 14 02 3 )/f‘(x 14 02 3 ))x i+1 =x i -f(x i )/f‘(x i )


Das Newton-VerfahrenEin iteratives Verfahren zur Bestimmungvon Nullstellen: x i+1 =x i -f(x i )/f‘(x i )Schätzwert x 0x 1 =x 0 -f(x 0 )/f‘(x 0 )x 2 =x 1 -f(x 1 )/f‘(x 1 )Bernd Hitzmannx 3 =x 2 -f(x 2 )/f‘(x 2 )…………………………….…………………………….x n =x n-1 -f(x n-1 )/f‘(x n-1 )iterativ


Das Newton-VerfahrenEin iteratives Verfahren zur Bestimmungvon Nullstellen: x i+1 =x i -f(x i )/f‘(x i )Startwert x 0Abbruchkriterium1) |x n+1 -x n |


Bernd Hitzmannx 0 =Startwertf(x 0 )Steigung=f ’(x 0 )x 1f(x 1 )x 2Steigung=f ’(x 1 )x 3Das Newton-Verfahren1000100000001)()()()()()()(xxxfxfxxfxxfxfxfxfxx−=′⇔′−′=⇔′−=f(x)0 x 4f(x)xf(x 0 )x 0 -x 1 2111211111112)()()()()()()(xxxfxfxxfxxfxfxfxfxx−=′⇔′−′=⇔′−=3222322222223)()()()()()()(xxxfxfxxfxxfxfxfxfxx−=′⇔′−′=⇔′−=4333433333334)()()()()()()(xxxfxfxxfxxfxfxfxfxx−=′⇔′−′=⇔′−=

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