Mechanik - 3B Scientific

Mechanik
Schwingungen
Variables-g-Pendel
MESSUNG DER SCHWINGUNGSDAUER EINES PENDELS IN ABHÄNGIGKEIT VON DER WIRKSAMEN
KOMPONENTE DER FALLBESCHLEUNIGUNG
• Messung der Schwingungsdauer T in Abhängigkeit von der wirksamen Komponente g eff der Fallbeschleunigung.
• Messung der Schwingungsdauer T für verschiedene Pendellängen L
UE105020
06/06 JS
ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels ist
bestimmt durch die Pendellänge L und die Fallbeschleunigung
g. Der Einfluss der Fallbeschleunigung kann demonstriert
werden, wenn die Drehachse, um die das Pendel
schwingt, aus der Waagerechten geneigt ist.
Bei geneigter Drehachse wird die parallel zur Drehachse
verlaufende Komponente g der Fallbeschleunigung g durch
par
die Halterung der Drehachse kompensiert (siehe Fig. 1). Die
verbleibende wirksame Komponente g hat den Betrag:
eff
g eff = g ⋅cosα
(1)
α: Neigungswinkel der Drehachse gegen die Horizontale
Fig. 1: Variables-g-Pendel (Photo und schematische Darstellung)
1 / 2
Nach Auslenkung des Pendels um einen Winkel ϕ aus der
Ruhelage wirkt auf die angehängte Masse m eine rücktreibende
Kraft mit dem Betrag
F = −m
⋅ g ⋅ sinϕ
(2)
eff
Für kleine Auslenkungen lautet daher die Bewegungsgleichung
des Pendels:
m ⋅ L ⋅ ϕ&
& + m ⋅ g ⋅ sinϕ
= 0
(3)
eff
Das Pendel schwingt somit mit der Kreisfrequenz:
g eff
ω =
(4)
L

UE105020 3B SCIENTIFIC® PHYSICS EXPERIMENT
GERÄTELISTE
1 Variables-g-Pendel U11984
1 Mechanische Stoppuhr (30 Sekunden) U40801
1 Stativfuß, 150 mm U13270
1 Stativstange, 470 mm U15002
AUFBAU
• Variables-g-Pendel in Stativ montieren.
• Masse am unteren Ende der Pendelstange festklemmen.
DURCHFÜHRUNG
• Bei maximaler Pendellänge L verschiedene Neigungswinkel
α einstellen und jeweils die Zeit für 10 Schwingungen
messen.
• Beim Neigungswinkel α = 70° durch Verschieben der
Masse verschiedene Pendellängen einstellen und jeweils
die Zeit für 10 Schwingungen messen.
MESSBEISPIEL
a) Variation des Neigungswinkels:
Tab. 1: Schwingungsdauer des Pendels in Abhängigkeit vom
Neigungswinkel α der Drehachse bzw. von der gemäß (1)
berechneten wirksamen Komponente der Fallbeschleunigung
g cos α (L = 30 cm)
α g cos α (m s -2
) 10T (s) T (s)
0° 9,81 11,0 1,10
10° 9,66 11,1 1,11
20° 9,22 11,4 1,14
30° 8,50 11,8 1,18
40° 7,51 12,6 1,26
50° 6,31 13,9 1,39
60° 4,91 15,9 1,59
70° 3,36 19,5 1,95
80° 1,70 27,2 2,72
85° 0,85 36,8 3,68
b) Variation der Pendellänge bei α = 70°
Tab. 2: Schwingungsdauer des Pendels in Abhängigkeit von
der Pendellänge L (g cos α = 3,36 m s -2 )
L (cm) 10T (s) T (s)
30 19,5 1,95
20 16,2 1,62
10 12,8 1,20
AUSWERTUNG
Aus (4) folgt für die Schwingungsdauer des Pendels
T = 2π
3B Scientific GmbH, Rudorffweg 8, 21031 Hamburg, Deutschland, www.3bscientific.com
L
g
eff
Für den Wert L = 30 cm ergibt sich die durchgezogene Kurve
der Fig. 2. Die in Fig. 2 ebenfalls eingezeichneten Messpunkte
sind Tab. 1 entnommen und stimmen im Rahmen der
Messgenauigkeit mit der Kurve überein.
Fig. 2: Schwingungsdauer des Pendels in Abhängigkeit von der
effektiven Komponente der Fallbeschleunigung
Fig. 3: Schwingungsdauer des Pendels in Abhängigkeit von der
Pendellänge L
Die durchgezogene Kurve der Fig. 3 wurde mit dem Wert
g eff = 3,36 m s -2 berechnet. Die Messpunkte sind der Tab. 3
entnommen. Sie weichen von der eingezeichneten Kurve ab,
da das Pendel für kleine Längen L deutlich von einem mathematischen
Pendel abweicht.
ERGEBNIS
Die Schwingungsdauer des Pendels wird bei Verkürzung des
Pendels kleiner und bei Verkleinerung der wirksamen Komponente
der Fallbeschleunigung größer.