Leistungsnachweis Mathematik 1 Sommersemester 2007

Leistungsnachweis Mathematik 1Sommersemester 2007Prof. Dr. Rainer Sawatzki12. Juli 2007Name, VornameMatrikelnummerAufgaben 12erreichbare Punkte 100Punkte:Ergebnis:Hinweise zur KlausurSchriftliche Unterlagen sind grundsätzlich nicht erlaubt (Script, Bücher, eigene Aufzeichnungen)Nur die Benutzung einer Formelsammlung ist erlaubt.Die Nutzung eines Taschenrechners ohne Funktionsplotter ist erlaubt.Kommunikation mit anderen ist verboten (auch Laptop, Handy, eMail, etc.).ErgebnisseDer Rechenweg, der zu den Ergbenissen geführt hat, muss für jede Lösung nachvollziehbardokumentiert werden.Die schriftlichen Ergebnisse werden am Ende der Klausur eingesammelt und anschließendbewertet.Es gelten nur die abgegebenen schriftlichen Ergebnisse; mündliche Erläuterungen sindfür das Ergebnis nicht relevant.1

Leistungsnachweis Mathematik 1 — SS 20071 Differentialrechnung1.1 Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktionen: 4 Punkte1. limx→1x 2 − 2x + 1x − 12. limx→1x 3 − x 2 + 4x − 4x 3 − x 2 − 4x + 41.2 Sind die folgenden Funktionen in ihrem gesamtenDefinitionsbereich stetig?Bitte beantworten Sie die Fragen mit ”ja“ oder ”nein“.3 Punkte1. f 1 (x) = x 2 , D = R2. f 2 (x) = |x|, D = R⎧⎨3. f 3 (x) =⎩−1 für x < 00 für x = 01 für x > 0⎫⎬⎭ , D = R1.3 Gegeben sei eine beliebige Stelle x 0 ∈ D. Berechnen Sie ausf(x) − f(x 0 )dem Differenzenquotienten limdurchx→x0 x − x 0Grenzübergang den Differentialquotienten an der Stelle x 0 .4 Punkte1. f 1 (x) = x 3 , D = R2. f 2 (x) = √ x, D = {x ∈ R | x ≥ 0}Tipp: ( √ x − √ x 0 )( √ x + √ x 0 ) = x − x 02

SS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 11.4 Diskutieren Sie die Kurve f(x) = xe −x2 . 20 PunkteZur Kurvendiskussion gehören: Symmetrie, Nullstellen, Polstellen, Minima und Maxima,Wende- oder Sattelpunkte, Asymptote, Bildmenge, Skizze.3

Leistungsnachweis Mathematik 1 — SS 2007f(x) = xe −x24

SS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 11.5 Aus 3 Bohlen der Kantenlänge b soll eine Rinne gebaut werden.Wie groß muß der Winkel α zwischen der Randbohle und derHorizontalen gewählt werden, damit die Querschnittsfläche derRinne maximal wird?15 PunkteTipp: Berechnen Sie die Fläche als Funktion des Winkels α und finden Sie das Maximumdieser Funktion. Zur Berechnung des Maximalwinkels beachten Sie bitte dieGleichung sin 2 α + cos 2 α = 1 und ersetzen sin 2 α durch cos 2 α. Dadurch erhalten Sieeinen quadratischen Ausdruck, der nur cos α enthält und den Sie nach cos α auflösenkönnen.1. Bei welchem Winkel wird die Querschnittsfläche maximal?2. Wie groß ist die maximale Querschnittsfläche?3. Skizzieren Sie die Größe der Querschnittsfläche in Abhängigkeit des Winkels:5

Leistungsnachweis Mathematik 1 — SS 20071.6 Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f(x) = sin x − 1 2√3mit Hilfe des Newton-Verfahrens, indem Sie von einemgeeigneten Startwert aus 3 Iterationsschritte durchführen.( ) 1Tipp: arcsin 3 =2√ π 315 Punkte6

SS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 12 Integralrechnung2.1 Finden Sie die Stammfunktionen zu: 6 Punkte1. f 1 (x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 22. f 2 (x) = (3x + 2) 73. f 3 (x) = x 3 ln x2.2 Berechnen Sie die bestimmten Integrale: 6 Punkte1. ∫ 30 x2 − 3x + 5 dx2. ∫ 40√ 6 − x dx3. ∫ 20 e−x dx2.3 Berechnen Sie die uneigentlichen Integrale: 6 Punkte1. ∫ ∞12. ∫ 101x 2 dx1√ xdx2.4 Berechnen Sie die Fläche, die von den beiden Funktionenf(x) = x 2 − 2x und g(x) = −x 3 + 2x 2 begrenzt wird: 8 Punkte7

Leistungsnachweis Mathematik 1 — SS 20072.5 Berechnen Sie das Volumen des Rotationsellipsoids, der durchRotation der Kurve x2a + y2= 1 im Intervall [−a; a] um die2 b2 x-Achse entsteht.4 PunkteTipp: Lösen Sie die implizite Funktionsgleichung nach y = f(x) auf und wenden dannauf die explizite Funktionsgleichung die Formel zur Bestimmung des Volumens einesRotationskörpers an.8

SS 2007 — Leistungsnachweis Mathematik 13 Fehlerrechnung3.1 Gegeben sei die folgende Messreihe. Berechnen Sie denMittelwert und die Standardabweichung der Messreihe.9 PunkteMessung Wert1 122,52 123,33 121,84 122,05 123,16 122,91. Mittelwert:2. Standardabweichung:3. Innerhalb welches Bereiches erwarten Sie 68% aller Messungen?Erreichbare Punkte: 100Anzahl der Aufgaben: 129