Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen - Bkonzepte.de

ExtremwertberechnungenExtremwertaufgaben ohne Nebenbedingungenbei ökonomischen Problemstellungen1. Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Die Gesamtkostenfunktion für eine Produktzahl bis zu3000 Stück lautet:K(x) = 9800 + 1,75x + 0,005x²Um x Einheiten des Produkts zu produzieren, entstehen Kosten von K(x) Euro.Der Stückpreis auf dem Markt beträgt 18,--.a) Geben Sie den ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich D ök an!b) Stellen Sie die Kostenfunktion K(x) und die Erlösfunktion E(x) in einem Koordinatensystemim gültigen Definitionsbereich D ök (f) dar!c) Errechnen Sie die Gewinnzone!d) Wie viele Einheiten müssen produziert und verkauft werden, damit der Gewinn maximalwird?(Weisen Sie die Art des Extremwertes nach!)e) Welche Höhe hat der maximale Gewinn?f) Skizzieren Sie in das gleiche Koordinatensystem die Gewinnfunktion G(x)!g) Bei welcher Ausbringungsmenge sind die Stückkosten (Durchschnittskosten) minimal?(Weisen Sie die Art des Extremwertes nach!)h) Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze!i) Skizzieren Sie die Stückkostenfunktion!Hinweise, Erinnerungen und Wiederholungen zu Wissen aus dem Vorjahr:Die Kostenfunktion K(x) gibt die gesamten Produktionskosten für eine Stückzahl x an.Die Durchschnittskostenfunktion D(x), auch Stückkostenfunktion genannt, gibt an, wie viel jedeeinzelne Mengeneinheit des Produkts bei einer bestimmten Produktionsmenge kostet.K(x)K(x)xDie Erlösfunktion E(x) ermittelt den Umsatz, den man mit einer abgesetzten (verkauften)Mengex erzielt.Die Gewinnfunktion G(x) ergibt sich aus der Differenz des Erlöses und der Kosten bei einerbestimmten Produktionsmenge x. G(x) = E(x) - G(x)2. Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Die Gesamtkostenfunktion für eine Produktzahl bis zu1000 Stück lautet:K(x) = 0,005x² + 0,75x + 450Um x Einheiten des Produkts zu produzieren, entstehen Kosten von K(x) Euro.Der Stückpreis auf dem Markt beträgt 5,--.Aufgaben a bis i entsprechend der Aufgabe 1!www.bkonzepte.deBöhm Seite 1 03.11.2004

Extremwertberechnungen ohne Nebenbedingungen zu ökonomischen Problemstellungen3. Ein Unternehmen ist Angebotsmonopolist für ein Produkt, welches es herstellt.1 1Die Gesamtkostenfunktion K(x) lautet: K ( x)x³x²25x2001000 4Die Marketingabteilung ermittelt einen Zusammenhang von Preis und Menge entsprechend der1Preis-Absatz-Funktion p ( x)( x 225)²1000a) Bestimmen Sie Dök!b) Bestimmen Sie die Erlösfunktion!c) Berechnen Sie das Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze!d) Berechnen Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze!e) Bestimmen Sie die Ausbringungsmenge bei dem das Gewinnmaximum auftritt und dasGewinnmaximum!f) Berechnen Sie den Cournotschen Punkt!Der Cournotsche Punkt ist der Punkt auf dem Grafen der Preisabsatzfunktion einesMonopolisten, der an der selben Stelle liegt, wie der Schnittpunkt der Grafen derGrenzkostenfunktion und der Grenzerlösfunktion. Der Cournotsche Punkt gibt für einenMonopolisten die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den zu ihr gehörenden Preis an!F:\ SCHULE\ Mathe\ Assists\ tDiffExtremOek.docBöhm Seite 2 03.11.2004

Extremwertberechnungen ohne Nebenbedingungen zu ökonomischen ProblemstellungenLösungen1.a) D ök : 0 x 3000b) siehe Grafikc) G(x) = 18x-(0,005x² +1,75x+9800)0 = -0,005x²+16,25x-98000 = x² - 3250x + 19600003250x1/ 21625² 19600002x 800; x 245012d) G’(x) = 0,01x + 16,25 = 0 x Emax = 1625e) Gmax = [ 1625 | 3403,125 ]f) siehe Grafikg)k ( x)0,005x1,75k'( x)0,0059800x²0 0,005x²98009800x0x 114002.a) D ök : 0 x 1200b) siehe Grafikc) GS = 124; GG = 726d)e) G max = [ 425 | 453,125 ]f) siehe Grafg)k ( x)0,005xk'(x)0,005x 3000,75450x²450x0F:\ SCHULE\ Mathe\ Assists\ tDiffExtremOek.docBöhm Seite 3 03.11.2004

Extremwertberechnungen ohne Nebenbedingungen zu ökonomischen Problemstellungen3.a) Dök: 0 x 223b) E(x) = p(x) · x = 0,001·(x-225)²·x=0,001x³-0,45x²+50,625xKv( x)Kv( x)0,001x³0,25x²25xkv( x)0,001x²0,25xxc) k '( x)0,002x0,25 0 x 125 B 125kvv(125)9,375 KPUmin25d)e)G ( x)G'(x)E(x)K(x)0,2x²0,4x25,625 025,625x200x 64,0625 G max620,80f)K '( x)0,003x²0,5xE'(x)0,003x²0,9xSchnittpunkt :0,003x²0,5x25,6252550,6250 x64C [ 64 | 25,90 ] Gewinnmaximum bei einem Preis von 25,90 €.F:\ SCHULE\ Mathe\ Assists\ tDiffExtremOek.docBöhm Seite 4 03.11.2004