Gitter-Boltzmann-Simulation von Mehrphasenströmungen in der ...

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Gitter-Boltzmann-Simulation von Mehrphasenströmungen in der ...

Gitter-Boltzmann-Simulation vonMehrphasenströmungen in der MikrofluidikDiplomarbeit am Institut für Computerphysikder Universität Stuttgartvon Sebastian SchmieschekHauptberichter: PD Dr. Jens HartingMitberichter: Prof. Dr. Udo SeifertErstabgabe: 08. Oktober 2008Zweitabgabe: 08. Dezember 2008


ÔÒØ - Alles fließt.ÀÐØÓ


Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 12 Grundlagen 52.1 Kinetische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Die Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Mikrofluidik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Wechselwirkungen an Oberflächen . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Die Lucas-Washburn-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Numerische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Die Gitter-Boltzmann-Methode . . . . . . . . . . . . . . 213 Ergebnisse 333.1 Systemeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Kontaktwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1 Geometrische Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2 Parameterabhängigkeit des Kontaktwinkels . . . . . . . . 403.2.3 Messung der mechanisch definierten Oberflächenspannung 443.2.4 Abschätzung des Kontaktwinkels nach Huang et al. . . . 493.2.5 Analytische Rechnung nach Benzi et al. . . . . . . . . . . 523.2.6 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.1 Parameterabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.2 Dynamik in breiten Kapillarkanälen . . . . . . . . . . . . 673.3.3 Das Geschwindigkeitsfeld an der Grenzfläche . . . . . . . 703.3.4 Untersuchung eines Mehrphasensystems in Hinblick aufÄnderungen im Geschwindigkeitsfeld . . . . . . . . . . . 743.3.5 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4 Multiple Relaxationszeiten und unphysikalische Strömungen . . . 833.4.1 Beobachtungen an freien Tropfen . . . . . . . . . . . . . 83


ivINHALTSVERZEICHNIS3.4.2 Lucas-Washburn-Gesetz und SCMP-MRT-Modell . . . . . 863.4.3 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 864 Zusammenfassung und Ausblick 91


Kapitel 1EinleitungDie fortschreitende technische Entwicklung der vergangenen Jahre erlaubt heutedie Konstruktion miniaturisierter Apparate bis hinunter in den Mikro- oder garNanometerbereich. Insbesondere in der Biotechnologie, wo sogenannte lab-onchip-Sensorendie benutzerfreundliche Ausführung auch kompliziertester Analysenbei sehr geringem Materialverbrauch versprechen, ist die genaue Kenntnisvon Strömungsvorgängen in kleinsten Geometrien essentiell.Doch auch in der Natur gibt es verschiedenste Beispiele für Strömungenin Mikrometer- oder Nanometerquerschnitten: Sei es das Transportsystem derPflanzen oder die diversen porösen Medien wie etwa Humus, Sand oder Filterpapier.Die Physik der Strömungen ist in diesen kleinen Geometrien, anders als in dermakroskopischen Welt, vor allem von Oberflächeneffekten abhängig. Dies führtzu vielfach grundlegend verschiedenem Verhalten. Prominente Beispiele sind hierdie Abwesenheit von Turbulenz, also Grundsätzlich kleine Reynoldszahlen undder Kapillareffekt.Letzterer beruht auf der verschieden starken Benetzbarkeit gegebener Materialienund Flüssigkeiten. Ein phänomenologisches Maß dieser Benetzbarkeit stelltder Kontaktwinkel dar. Das ist der Winkel welchen die Grenze, zum Beispiel einesTropfens, mit einer Oberfläche einschließt.Allen Mikro- und Nanostrukturen gemein sind die Schwierigkeiten, welchebeim Versuch sie zu beobachten auftretenden. Meist sind hohe Ansprüche sowohlan örtliche- als auch zeitliche Auflösung von Messungen zu stellen.Als Alternative bietet sich die Simulation an. Kann man hier Modelle finden,welche qualitativ oder gar quantitativ mit dem Experiment übereinstimmen,erlaubt die Simulation in Rahmen ihrer Theorie die Untersuchung großer Parameterbereicheohne die Notwendigkeit immer neuer sich nur gering unterscheidenderVersuchsaufbauten. Werden hier neue Phänomene entdeckt, können sie erneutim Experiment überprüft werden.


2 EinleitungDie in dieser Arbeit verwendete Gitter-Boltzmann-Methode beruht auf derdurch die Boltzmann-Gleichung beschriebenen zeitlichen Entwicklung der mittlerenTeilchenverteilung welche sich aus Zwei-Teilchen-Stößen ergibt. Sie stelltdamit einen mesoskopischen Ansatz dar. Die zeitliche und räumliche Diskretisierungerlaubt die einfache Implementierung auch komplexester Randbedingungenebenso wie effiziente Parallelisierung. Damit und mit typisch simulierbaren räumlichenGrößenordnungen im Nano- bis Mikrometerbereich bietet sich die Methodezur Simulation von Strömungen in Systemen der Mikrofluidik an.Seit ihrer Entwicklung aus den Gitter-Gas-Automaten wurden verschiedeneauf der Gitter-Boltzmann-Methode beruhende Modelle entwickelt. Ein Ansatzzur Simulation von Mehrphasenströmungen mit der Gitter-Boltzmann-Methodewurde 1994 von Shan und Chen publiziert [1]. Er erlaubt prinzipiell die Simulationbeliebig vieler Flüssigkeitsphasen und -Komponenten.Im Rahmen dieser Arbeit wurden die der Simulationsmethode wie auch denzu simulierenden Systemen zu Grunde liegende Theorie erarbeitet. Diese ist, verbundenmit einer Übersicht über die für die Arbeit wichtige Literatur im Kapitel2 dargestellt. Hier sind die klassische Boltzmann-Gleichung, mikrofluidische Systemeund Oberflächeneffekte, sowie numerische Simulation im allgemeinen undverschiedene Gitter-Boltzmann-Methoden im Speziellen Gegenstand der Betrachtung.Im Kapitel 3 sind die erarbeiteten Simulationsergebnisse zusammengestellt.Im einzelnen werden Simulationen zur Bestimmung des Kontaktwinkels von Tropfenauf Oberflächen mit Benetzungseigenschaften, zur kapillaren Füllung vonKanälen mit Benetzungseigenschaften, sowie zur Verbesserung der Ergebnisgütedurch Verwendung eines Modells von höherer Komplexität durchgeführt. Zielist dabei vor allem die Eignung eines mehrkomponentigen einphasigen Shan-Chen Gitter-Boltzmann-Modells zur Simulation von Mehrphasenströmungen zuüberprüfen. Hierzu wurde die Parameterabhängigkeit des Kontaktwinkels einesTropfens und des Lucas-Washburn-Gesetzes, dem Gesetz der Geschwindigkeitsentwicklungeiner Grenzfläche in einer Kapillare, untersucht.Unter Verwendung eines Benetzungsparameters η wall konnte mit dem Modellder gesamte Kontaktwinkelbereich θ = 0 ◦ −180 ◦ dargestellt werden. VerschiedeneAnsätze zur Bestimmung des Kontaktwinkels wurden verglichen. Dabei wurdedie direkt im Modell erfolgende geometrische Bestimmung als präziseste Methodegefunden. Mit dieser wurde die Parameterabhängigkeit des Kontaktwinkelsuntersucht.Mit der Oberflächenspannung γ als freiem Parameter der Lucas-Washburn-Gleichung konnte diese gut durch die Simulationsdaten reproduziert werden. Einzigauf der rein lokalen Wechselwirkung des Gitter-Boltzmann-Modells beruhendeinertiale Effekte führten bei großen Kanalbreiten zu geringen Abweichungen vonder Theorie.


Bei der Untersuchung der Systeme wurden dem Gitter-Boltzmann-Modell eigene,unphysikalische Strömungen ausgemacht. Gegenstand des Abschnitts 3.4ist, ob diese aus der geringeren Symmetrie des Gitters und anderen Näherungenresultierenden Artefakte durch Verwendung einer Gitter-Boltzmann-Implementierungmit mehreren Relaxationszeiten reduziert werden können. Dazu wurdeim Rahmen dieser Arbeit mehrphasige einkomponentige Shan-Chen-Modelle miteinfachen- und multiplen Relaxationszeiten implementiert. Während die Ergebnissequalitativ Vergleichbar bleiben konnte hier keine Reduktion der unphysikalischenStrömungen durch die Verwendung von multiplen Relaxationszeitenbeobachtet werden.3


4 Einleitung


Kapitel 2GrundlagenIn diesem Kapitel wird eine Übersicht über die benötigte Theorie, ebenso wiebestehende Anwendungen gegeben. Im ersten Abschnitt wird dabei die kinetischeTheorie, speziell die Herleitung und Lösung der klassischen Boltzmann-Gleichungals Grundlage des Simulationsmodells kurz beleuchtet. Darauf soll im zweitenAbschnitt die Charakteristik und Bedeutung der Mikrofluidik, sowie die Physikder hier untersuchten Benetzungseffekte betrachtet werden. Der dritte Abschnittschließlich, enthält eine Zusammenfassung der Herleitung der Gitter-Boltzmann-Methode und ordnet das verwendete Modell in Hinblick auf die mesoskopischeSimulation von Mehrphasensytemen ein.2.1 Kinetische TheorieAnsatz der kinetischen (Gas-) Theorie ist die Beschreibung von DissipationsundTransportphänomenen durch Stoßprozesse der Teilchen. Eine kinetische Gleichungist in diesem Sinne die Evolutionsgleichung der sog. Einteilchen-Verteilungsfunktionf(x,v,t)d 3 xd 3 v. Diese ist definiert über die Teilchenanzahl N derTeilchen in einem Volumenelement d 3 x um x, welche sich mit einer Geschwindigkeitim Volumenelement d 3 v um v bewegen.∫f(x,v,t)d 3 xd 3 v = N (2.1)Der von x und v aufgespannte 6-dimensionale Phasenraum {x,v} wird als µ-Raum bezeichnet.Das betrachtete System ist hier mesoskopisch, d.h. das Volumenelement desµ-Raumes muss einerseits genug Teilchen enthalten um eine statistische Beschreibungzu erlauben, jedoch andererseits so klein sein, dass makroskopische Größenals konstant angenommen werden dürfen.


6 Grundlagenv xdv x dt1 ∂F xm ∂x dxdtdv x1m F x dtdxv x dtxAbbildung 2.1: Invarianz des Inhalts eines µ-Raumelements für konstante Geschwindigkeitund Krafteinwirkung (nach [3]).2.1.1 Die Boltzmann-GleichungLudwig Boltzmann veröffentlichte 1898 in seinen Vorlesungen über Gastheorie[2] die Herleitung der kinetischen Gleichung eines einatomigen, verdünnten, klassischenGases. An dieser Stelle soll ein kurzer Überblick über Herleitung, Eigenschaftenund Lösungsmethoden der Boltzmann-Gleichung gegeben werden. Fürdetailliertere Ausführungen zu ihrer Theorie sei auf die Fachliteratur [2, 3, 4]verwiesen.HerleitungDer Inhalt eines Volumenelements des µ-Raumes eines nicht wechselwirkendenGases ist mit der Zeit konstant. Dies ist zu zeigen durch geometrische Betrachtungdes µ-Raums [3] oder mit Hilfe des Satzes von Liouville [5]. Zwar ändert sichaufgrund der verschiedenen Geschwindigkeiten seine Form; ohne Wechselwirkungenjedoch, das sind hier Stöße, wird die Anzahl der Teilchen in einem solchenVolumenelement zu jeder Zeit t + dt gleich bleiben (siehe Abbildung 2.1).d 3 x d 3 v = d 3 x ′ d 3 v ′ (2.2)Die Einteilchen-Verteilung zu einem Zeitpunkt t ist gegeben durch (2.1). Mit derGeschwindigkeit v und einer externen Kraft F lautet sie dann für einen Zeitpunktt + dt unter Verwendung von (2.2): f(x + vdt,v + 1 m Fdt,t + dt)d3 x d 3 v.


2.1 Kinetische Theorie 7v 3Gewinnv 4v 1v 2v 2Verlustv 1v 4v 3Abbildung 2.2: Illustration der Gewinn- und Verlustprozesse des Stoßzahlansatzes.Nimmt man an, dass eine zeitliche Änderung der Einteilchenverteilung ineinem idealen Gas nur durch Stöße erfolgt, so ergibt sich[f(x + vdt,v + 1 ] [ ] ∂fm Fdt,t + dt) − f(x,v,t) = dt. (2.3)∂tStoßEine Entwicklung dieser Bilanzgleichung erlaubt die Identifikation eines Strömungsterms,welcher ohne Modifikation in die Boltzmann-Gleichung eingeht 1 ,während die Bestimmung des Stoßterms noch einige Überlegungen erfordert.[ ∂∂t + v∇ x + 1 v]m F(x)∇ f(x.v,t) =} {{ }Strömung[ ∂f∂t]Stoß(2.4)Der Stoßterm, bzw. die zeitliche Änderung der Teilchenanzahl im µ-Raumvolumend 3 x d 3 v kann als Ergebnis von Gewinn- und Verlustprozessen interpretiertwerden (siehe Abb. 2.2). Boltzmanns Stoßzahlansatz hierzu lautet[ ] ∂f∫= d 3 v 2 d 3 v 3 d 3 v 4 W(v 1 ,v 2 ;v 3 ,v 4 ) ×∂tStoß⎡⎤× ⎣f(x,v 3 ,t) · f(x,v 4 ,t) −f(x,v} {{ } 1 ,t) · f(x,v 2 ,t) ⎦. (2.5)} {{ }GewinnVerlustDer Ausdruck W(v 1 ,v 2 ;v 3 ,v 4 ) gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an, nacheinem Stoß zweier Teilchen mit den Geschwindigkeiten v 1 , v 2 innerhalb des betrachtetenµ-Raumvolumens, zwei Teilchen mit den Geschwindigkeiten v 3 , v 4außerhalb des Volumens und vice versa zu erhalten. Die Beschränkung auf ausschließlichbinäre Stöße, also Stöße an denen genau zwei Teilchen beteiligt sind,1 Dieser Strömungsterm kann auch durch das Aufstellen der Hamilton-Bewegungsgleichungenfür ein ideales Gas im µ-Raum erhalten werden [3].


8 Grundlagenstellt natürlich eine Vereinfachung des Systems dar. Mit der Beschränkung aufverdünnte Systeme (siehe unten) sind Stöße an welchen drei oder mehr Teilchenbeteiligt sind jedoch sehr unwahrscheinlich.Die Wahrscheinnlichkeit W ist invariant unter Teilchenvertauschung, Rotationund Reflexion und Zeitumkehr, sowie der aus der Impuls- und Energiererhaltungeines binären Stoßes ableitbaren SymmetrierelationW(v 1 ,v 2 ;v 3 ,v 4 ) = σ(v 1 ,v 2 ;v 3 ,v 4 )δ (3) (p 1 + p 2 − p 3 − p 4 )( )p2×δ 12m + p2 22m − p2 32m − p2 4, (2.6)2mmit dem Streuquerschnitt σ welcher aus den Teilcheneigenschaften bestimmtwerden kann, der (komponentenweise angewandten) Diracschen Deltafunktion δ(δ (3) ), dem Impuls p und der Masse m [3].Die Bedeutung der Verdünnung des betrachteten Gases liegt hier in der Annahme,dass zwischen den Stößen zweier Teilchen relativ zur Stoßdauer so vielZeit vergeht, dass die stoßenden- stets als mit anderen Teilchen unkorreliert zubetrachten sind (Molekulares Chaos) und daher die Einteilchen-Verteilung zuihrer Quantifizierung verwendbar ist.Mit den Abkürzungen: W ≡ W(v 1 ,v 2 ;v 3 ,v 4 ), f n ≡ f n (x,v n ,t), lautetdie Boltzmann-Gleichung also [3] :[ ∂∂t + ∇ x + 1 ∫v]m F(x)∇ f 1 =d 3 v 2 d 3 v 3 d 3 v 4 W (f 3 f 4 − f 1 f 2 ), (2.7)Sie kann auch als Näherung einer sog. BBGKY (Bogoliubov, Born, Green,Kirkwood, Yvon)-Hierarchie erhalten werden. In dieser wird die Bewegungsgleichungeiner Verteilungsfunktion für N Teilchen, bzw. die Liouville-Gleichung,unter Verwendung der Verteilungsfunktion für N + 1 Teilchen dargestellt [4].EigenschaftenDie mathematische Betrachtung des binären, elastischen Stoßes [6, 7] liefertgenau fünf sog. Stoßinvarianten χ j , j = 1,..., 5, welche auch als Momente derEinteilchen-Verteilung zu interpretieren sind [3].χ i =mv i , i = 1, 2, 3 (2.8a)χ 4 = mv22 , (2.8b)χ 5 =1.(2.8c)


2.1 Kinetische Theorie 9Die allgemeinste Einteilchen-Verteilung, für welche sich ein Stoßterm = 0ergibt, muss dann eine Linearkombination obiger Invarianten sein. Diese Funktionist die sog. lokale Maxwell-Verteilung( ) 3/2 []f l mm(x,v,t) = n(x,t)exp −2πk B T(x,t) 2k B T(x,t) (v − u(x,t))2 .(2.9)Hierin sind n die Teilchenanzahl, m die Teilchenmasse, k b die Boltzmann-Konstante,T die Temperatur, v die Gesamtgeschwindigkeit des Mediums und u dieTeilchengeschwindigkeit.Praktisch wird sie bei der Evaluierung des sog. H-Theorems gewonnen: Es läßtsich zeigen, das die Größe H = ∫ Wf log f statistisch als Abweichung von derGleichgewichtsverteilung (2.9) interpretiert werden kann [2]. Dies führt u.a. zurIrreversibilität der Boltzmann-Gleichung, da H eng mit der Entropie verknüpftist. Die lokale Entropieproduktion ist dabei dem Stoßterm proportional.Gemäß dem Noether-Theorem ist jeder Invarianz unter Transformationen einErhaltungssatz zuzuordnen [8]. Erhaltene Dichten der Einteilchen-Verteilung sinddie Teilchenzahl-, Impuls und Energiedichte:∫ ∫n(x,t) ≡ d 3 v f ≡ d 3 v χ 5 f,(2.10a)∫ ∫mj i (x,t) ≡ mn(x,t)u i (x,t) ≡ m d 3 v v i f = d 3 v χ i f, i = 1,..., 3,[ ]mu(x,t)2∫n(x,t) + e(x,t) ≡2d 3 v mv22 f = ∫d 3 v χ 4 f,(2.10b)(2.10c)mit der Teilchenstromdichte j, der inneren Energie e und der Substitution v =u − Θ. Hierin ist u die lokale Konvektionsgeschwindigkeit und damit Θ dieRelativgeschwindigkeit. Für sie gilt, nach (2.10b): ∫ d 3 v Θf = 0Die Bewegungs-, bzw. Kontinuitätsgleichungen der so definierten Erhaltungsgrößenwerden durch Multiplikation der Boltzmann-Gleichung (2.7) mit den Momentenχ k , k = 1,..., 5 (2.8) und anschließende Integration über v gewonnen.Hier gilt allgemein [3]:∫ ∂d 3 v χ (v)[ k ∂t + v∇ x + 1 ]m F(x)∇ v f(x,v,t) = 0 (2.11)Es folgt der Teilchenzahlerhaltungssatz∂n + ∇j = 0, (2.12)∂t


10 Grundlagenmit dem Teilchenstrom j, der Impulserhaltungssatz:m ∂ ∂t j i + ∂∂x j(mnu i u j + P ji ) = nF i , (2.13)welcher den Drucktensor P ji = P ij = m ∫ d 3 v Θ i Θ j f enthält und der Energieerhaltungssatz∂[ ( m)] [ ( m) ]n∂t 2 u2 + e + ∇ i nu i2 u2 + e + u j P ji + q i = j · F. (2.14)Hier ist q = ∫ d 3 v Θ ( m2 Θ2) f die Wärmestromdichte.LösungsansätzeAufgrund der mathematisch komplizierten Form, die Boltzmann-Gleichung isteine nichtlineare Integro-Differentialgleichung, war Boltzmann selbst noch nichtin der Lage explizite Lösungen seiner Gleichung zu bestimmen. Jedoch konnte erauch ohne Kenntnis ihrer Lösung bereits wichtige Erkenntnisse ableiten. Nebendem H-Theorem ist hier die Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen mitHilfe der Linearisierung des Stoßoperators zu nennen. David Hilbert konnte 1912beweisen, dass die Lösungen der Einteilchen-Verteilungen von ihren Momentenabhängen [6]. Im gleichen Jahrzehnt erarbeiteten Sydney Chapman und DavidEnskog unabhängig voneinander das nach ihnen benannte Entwicklungsverfahren,mit dem allgemeinere Lösungen gefunden werden konnten [9]. Harold Grad warschließlich 1949 in der Lage, mit der sog. 13-Momenten-Methode, die Boltzmann-Gleichung explizit zu lösen [7].Linearisierung und hydrodynamischer Grenzfall: Durch Annahme lediglichgeringer Abweichungen vom lokalen Gleichgewicht kann die Einteilchen-Verteilungum eine infinitesimale Abweichung ǫ von der lokalen Maxwell-Verteilung(2.9) entwickelt werden. Der Stoßvorgang kann in einem linearen Gleichungssystem,dem Stoßoperator abgebildet werden. Die Boltzmann-Gleichung lautetdann mit dem Stoßoperator Ω und einem äußeren Potential V[ ∂∂t + v∇ x]ǫ(x,v,t) + v(∇V (x,t)) = −Ωǫ. (2.15)Die Stoßinvarianten können als Eigenfunktionen des Stoßoperators mit Eigenwert0 identifiziert werden. Eine Superposition dieser Eigenfunktionen stellt dann dieallgemeine Lösung der linearisierten Boltzmann-Gleichung dar [3]. Nach Einsetzendieser Lösung in die Gleichung (2.15) und anschließende Fouriertransformationkönnen Gleichungen für die Moden sowohl der erhaltenen (hydrodynamischen)


2.1 Kinetische Theorie 11als auch nichterhaltenen Freiheitsgrade gewonnen werden, welche sich in ihrenZeitskalen unterscheiden. Unter Ausnutzung, zum einen der Bedingungenωτ ≪ 1 und kl ≪ 1, (2.16)mit der Frequenz der zeitlichen Änderung ω, der Wellenzahl k, der mittleren freienWeglänge l und der Stoßzeit τ, sowie zum anderen der höheren Ordnung derzeitlichen Änderung der nichterhaltenen Freiheitsgrade, kann dann für die erhaltenenFreiheitsgrade ein geschlossenes Gleichungssystem aufgestellt werden [3].Die Relaxationszeitnäherung: Die Bestimmung der Eigenfunktionen und Eigenwertedes linearen Stoßoperators kann sehr kompliziert sein, so dass für vieleProbleme eine weitere Vereinfachung der Boltzmann-Gleichung wünschenswertist. Die Relaxationszeitnäherung beruht auf der Annahme, dass der Stoßprozessnicht von allen Eigenfunktionen gleichermaßen abhängig ist. Da die ermitteltenEigenfunktionen umgekehrt proportional den Eigenwerten sind, werden insbesonderesolche mit niedrigen Eigenwerten einen großen Beitrag liefern [3]. Es wirdnun versucht, deren Einfluß in einer typischen Frequenz 1 τ zusammenzufassen.Die Boltzmann-Gleichung in Relaxationszeitnäherung lautet dann( ∂∂t + ∇v )f(x,v,t) = − 1 τ (f(x,v,t) − fl (x,v,t)). (2.17)Obige Gleichung wird auch als BGK-Gleichung (Bhatnagar-Gross-Krook-Gleichung[10]) bezeichnet.Chapman-Enskog-Entwicklungen Das von Chapman und Enskog zur Lösungder Boltzmann-Gleichung gefundene Verfahren geht von einer direkten Entwicklungder Momente der Einteilchen-Verteilung um einen Kleinheitsparameter(Knudsen-Zahl) aus. Weiterhin wird von einer indirekten Zeitabhängigkeit derEinteilchen-Verteilung über die Dynamik ihrer Momente ausgegangen. DurchUmschreiben der Zeitableitung werden statt der Integrodifferentialgleichung einehomogene, sowie formal unendlich viele inhomogene Integralgleichungen gewonnen[4].In erster Ordnung der Chapman-Enskog-Entwicklung erhält man so die Euler-Gleichungen, in zweiter die Navier-Stokes Gleichungen. Durch Entwicklung nachorthogonalen Polynomen (Sinone-Polynomen 2 ) können aus den so mikroskopischhergeleiteten makroskopischen Gleichungen die Transportkoeffizienten, nämlichWärmeleitfähigkeit κ und Viskosität µ bestimmt werden.2 Das sind spezielle Hermite-Polynome.


12 Grundlagen2.2 MikrofluidikDie Mikrofluidik beschäftigt sich mit der Dynamik der Flüssigkeiten in Geometrien,deren typische Längenskalen im Bereich von Mikrometern liegen. In solchkleinen Geometrien nimmt das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen stark zu,so dass die Physik der Dynamik der Flüssigkeiten in zunehmendem Maße vonOberflächeneffekten dominiert wird. Ein prominentes Beispiel dieser qualitativenÄnderung im Verhalten von Flüssigkeiten ist der Kapillareffekt (von lat. capillus- das Haar), also das Aufsteigen oder Absenken eines Flüssigkeitspegels in einerengen Röhre oder Spalte.Für Systeme in welchen Kapillarität von Bedeutung ist finden sich in der Naturzahlreiche Beispiele wie die Kapillargefäße des Blutkreislaufs oder des Wassertransportsin Pflanzen, aber auch die Eigenschaft vieler natürlicher MaterialienFlüssigkeiten aufzusaugen beruht auf diesem Effekt. Dabei ist zum Beispiel anHumus und Sand zu denken, aber auch an Naturschwämme und nasse Haare.Der Mensch hat sich diesen Effekt schon früh zu Nutze gemacht. Bereitsin altsteinzeitlichen Funden finden sich Dochtlampen. Die ersten systematischenUntersuchungen des Effekts fanden im 17. Jh. statt. Die heute noch gültigequalitative mechanische Beschreibung wurde im 19. Jh. u.a. durch Laplace undYoung [11] erarbeitet. Lag hier bereits die Annahme der Wechselwirkungen vonElementarteilchen zugrunde, so standen doch erst im zwanzigsten Jahrhundertmit der Thermodynamik und statistischen Physik präzisere Mittel der Analysezur Verfügung [12].Mit der fortschreitenden Entwicklung von integrierten Schaltkreisen, bzw. dendamit verbundenen technischen Möglichkeiten zur Verarbeitung von Silizium, hatsich mit den mikroelektromechanischen Systemen (MEMS) in den letzten Jahrzehntenein weiteres Feld der Anwendungen der Mikrofluidik eröffnet. Pionierarbeitenin diesem Bereich waren die Entwicklung von miniaturisierten Gaschromatographen[13] und Tintenstrahldüsen [14]. Heute besteht großes Forschungsinteressean Lab on a chip-Anwendungen (LOC), welche eine große Steigerungder Effizienz sowohl von Analyse- als auch Produktionsprozessen in Chemie, Biologieund Medizin versprechen [15]. Doch auch in anderen Bereichen, wie etwader Brennstoffzellenentwicklung [16] sind MEMS Gegenstand der Forschung undEntwicklung.In diesem Bereich, ebenso wie dem der funktionalen Oberflächen in derMaterialforschung, Stichwort Lotus-Effekt, haben sich eine Reihe interessanterFragestellungen für weitere Grundlagenforschung ergeben. So etwa die Untersuchungder Ursachen der Benetzungseigenschaften von Oberflächen, der Schlupf-Randbedingung oder der Mischung von laminar strömenden Flüssigkeiten undGasen.


2.2 Mikrofluidik 132.2.1 ÜbersichtMikrofluidische Systeme unterscheiden sich in einer Reihe von Eigenschaftendeutlich von den Fluidsystemen der täglichen Erfahrung. Zur Klassifizierung hydrodynamischerSysteme existieren dabei eine Reihe dimensionsloser Zahlen, welcheverschiedene Einflußgrößen ins Verhältnis setzen. Sie erlauben eine Identifizierungder Haupteinflußgrößen und damit eine qualitative Einordnung der betrachtetenSysteme.Eine Eigenschaft, welche beim Versuch der Miniaturisierung fluiddynamischerSysteme ein großes Hindernis darstellte, andererseits aber auch interessante neueAnwendungen wie die membranlose Brennstoffzelle ermöglicht, ist die Abwesenheitvon Turbulenz. Die relevante dimensionslose Größe ist hier die Reynolds-ZahlRe = ρuLµ , (2.18)welche das Verhältnis von Trägheitskraft zu viskoser Kraft angibt. Hier sind ρ dieFlüssigkeitsdichte, u die Geschwindigkeit, L eine typische Länge des betrachtetenSystems und µ die Viskosität der Flüssigkeit. In makroskopischen Systemen ist derÜbergang von laminarer zu turbulenter Strömung bei Reynoldszahlen zwischen2000 und 3000 zu beobachten. In einem typischen mikrofluidischen System miteiner Kanalbreite L zwischen 1 · 10 −6 m und 1 · 10 −4 m, in welchem Wasser mitGeschwindigkeiten u zwischen 1·10 −6 m/s und 1·10 −4 m/s fließt, sind die größtenzu erwartenden Reynolds-Zahlen von der Ordnung 10.Die Mach-ZahlMa = u c s(2.19)gibt das Verhältnis der Geschwindigkeit u einer Strömung und der Schallgeschwindigkeitc s des Mediums an. Während für mikrofluidische Systeme hierkeine Einschränkungen gelten, so ist doch das hier betrachtete Simulationssystemauf niedrige Mach-Zahlen beschränkt um Inkompressibilität der Flüssigkeitund numerische Stabilität zu gewährleisten. Dies ist auf die in der Herleitunggemachten Näherungen zurückzuführen.Die Knudsen-ZahlKn = l m= Ma/Re (2.20)Hentspricht dem Verhältnis aus Mach-Zahl und Reynolds-Zahl, bzw. dem Verhältnisaus mittlerer freier Weglänge l m der Partikel im Medium und einer charakteristischenLänge des Systems H. Sie ist damit ein Indikator dafür, ob die Behandlungdes Mediums als ein Kontinuum gerechtfertigt ist und ob Wandschlupfin eine Betrachtung mit einbezogen werden muss. Gilt Kn ≪ 1 so verhält sichein Gas entsprechend der Haftrandbedingung. Liegt die Knudsen-Zahl im Übergangsbereich0, 01 > Kn > 10, so muss Wandschlupf berücksichtigt werden.


14 GrundlagenFür Kn ≫ 1 muss schließlich die Kontinuumsbeschreibung aufgegeben werdenund eine atomistische an ihre Stelle treten.Die KapillarzahlCa = µuγ , (2.21)gibt das Verhältnis von viskoser Spannung zu Oberflächenspannung γ an. GiltCa ≪ 1, so überwiegen Effekte der Oberflächenspannung und Kapillarität trittauf. Sie kann auch als Verhältnis aus Geschwindigkeit zu einer charakteristischenRelaxationszeit der Oberflächeneffekte µ/γ gewonnen werden [17]. Damit istdann eine Aussage über die Bildung von sphärischen Tröpfchen und deren Radiusmöglich. Ebenso kann eine zu große Kapillarzahl einen Korrekturterm für dendynamischen Kontaktwinkel bedingen (siehe Reff. [18, 19] und Abschnitt 3.3).Die Péclet-ZahlPe = uw D , (2.22)ist gegeben durch das Verhältnis von Konvektion zu Diffusion, also dem Teilchentransportdurch ein Geschwindigkeitsfeld im Verhältnis zur (thermischen)Eigenbewegung des Teilchens. Für die rein laminare Strömung in Mikrokanälengibt die Péclet-Zahl dabei das Verhältnis benötigter Kanallänge zu gegebenerKanalbreite an, um vollständige diffusive Mischung zu erhalten.In den letzten Jahrzehnten wurde eine Vielzahl von Arbeiten verfasst, diedas Feld der Mikro- und Nanofluidik auch unter physikalischen Gesichtspunktenbetrachten[20, 21]. Für die vorliegende Arbeit sind dabei vor allem Untersuchungenvon Benetzungseffekten und Kapillarität von Interesse. Über einen Auszugder Arbeiten in diesen Bereichen wird in den folgenden Abschnitten ein kurzerÜberblick gegeben.Einen guten allgemeinen Überblick bietet hier das Werk Capillarity and WettingPhenomena [22]. Speziell mit der Theorie, Anwendungen und Simulation derStrömung von Flüssigkeiten und Gasen in Mikro- und Nanogeometrien beschäftigtsich das Buch Microflows and Nanoflows [23]. Eine ausführliche theoretischeBehandlung der Kapillarität als Folge molekularer Wechselwirkungen ist mit MolecularTheory of Capillarity [12] gegeben.2.2.2 Wechselwirkungen an OberflächenWie Eingangs dieses Abschnittes erwähnt, beruhen alle die Mikrofluidik alleinstellendenMerkmale auf dem gegenüber makroskopischen Systemen großen Einflußder Oberflächen und der an ihnen wirkenden Phänomene. Die Untersuchung derOberflächeneffekte ist damit der logische erste Schritt zum tieferen Verständnisder Materie. Im Abschnitt 3.2 ist der oft zur Quantifizierung von Benetzungseffektenverwendete Kontaktwinkel Gegenstand der Untersuchung des verwendeten


2.2 Mikrofluidik 15Simulationsmodells. Hier sind die dort benötigten theoretischen Konzepte zusammengefasst,ergänzt durch eine Übersicht bisheriger Arbeiten auf auf diesem Feld.Die OberflächenspannungDie Oberflächenspannung ist als Ausdruck der mechanischen Wirkung der Symmetriebrechungan einer Grenzfläche zu verstehen. Je nachdem auf welcher Größenskalaein System betrachtet wird, kann dabei ihre Beschreibung im Kontextder (Fluid-) Mechanik ausreichend sein oder aber die Notwendigkeit bestehenauch quantenmechanische Effekte zu berücksichtigen [22, 12]. Aufgrund des mesoskopischenCharakters der Gitter-Boltzmann Methode ist hier die mechanischeBetrachtung ausreichend.Thermodynamisch kann die Oberflächenspannung verstanden werden als Änderungder freien Enthalpie G mit der Fläche A bei konstanter Temperatur undDruck.( ) ∂Gγ =(2.23)∂AT,pAnschaulich entspricht dies der Arbeit, welche zur Vergrößerung der Oberflächeverrichtet werden muss. Es folgt die Einheit [ ]Jm [3]. 2Das Laplace-Gesetz( 1∆P = γ + 1 )(2.24)R 1 R 2ermöglicht die Berechnung der Oberflächenspannung einer sphärischen Grenzflächemit den Radien der Krümmung R 1 und R 2 im Gleichgewicht. Die Druckdifferenzist Proportional dem Produkt aus Krümmung und Oberflächenspannung.Daraus ergibt sich auch die zwischen zwei Platten im Vergleich zu einem Röhrchennur halbe Steighöhe einer Wassersäule.Die Oberflächenspannung an einer planaren Grenzfläche ist im mechanischenGleichgewicht definiert als das Integral der Differenz eines konstanten, zur Grenzflächenormalen Druckanteils P N = P 0 = const. und eines variablen transversalenDruckanteils P T über die Normalenrichtung der Grenzfläche,γ =∫ ∞−∞(P N − P T ) dz. (2.25)Für gekrümmte Oberflächen wird das Integral in Kugelkoordinaten bezogen aufeinen Radius der Oberfläche der Spannung R S :γ =∫ ∞0rR S(P N − P T ) dr. (2.26)


16 GrundlagenDer KontaktwinkelDie Benetzbarkeit einer Oberfläche für eine Flüssigkeit kann durch ihren Kontaktwinkel,also den Winkel den die Oberfläche eines Flüssigkeitströpfchens mitder Oberfläche einschließt, quantifiziert werden. Nach Young [11] ist dieser füreine idealisiert glatte Oberfläche bedingt durch die Oberflächenspannungen zwischenden Komponenten Flüssig- und Gasphase (Index L, bzw. G), sowie Feststoff(Index S). Es gilt die Young Gleichungγ LG cos θ = γ SG − γ SL . (2.27)Abbildung 2.3 veranschaulicht die Definition des Kontaktwinkels durch die Gleichung.γ SLγ LGθγ SGAbbildung 2.3: Definition des Kontaktwinkels aus dem Verhältnis der Oberflächenspannungennach der Young-Gleichung γ LG cos θ = γ SG − γ SL .Mitte des 20. Jh. wurde die Theorie von Wenzel [24] und Cassie und Baxter[25] um den Einfluß der Oberflächenrauhigkeit auf den Kontaktwinkel erweitert.Wenzels Modell beschreibt dabei einen Zustand, in welchem die Flüssigkeit dierauhe Oberfläche vollständig bedeckt, Cassie und Baxters Modell einen Zustand,in welchem Gasbläschen mit der Oberfläche eingeschlossen werden. Tatsächlichsind beide Zustände, sowie der Übergang und Mischungen von Cassie-Baxter- undWenzel-Zustand experimentell und in Simulationen beobachtet worden [26, 27].Beim Übergang zwischen den Zuständen kann sich der Kontaktwinkel um einigeGrade ändern. Dieses Phänomen bezeichnet man auch als Kontaktwinkelhysterese.Diese tritt z.B. auch bei einem im Schwerefeld an einer schiefen Ebene haftendenTropfen auf. Der maximale Kontaktwinkel wird daher als vorauseilender-(engl. advancing) der minimale als nacheilender- (engl. receding) Kontaktwinkelbezeichnet. Auch zu diesem Effekt wurden zahlreiche Untersuchungen in Experimentund Simulation [28] u.a. mit der Gitter-Boltzmann-Methode nach Shan undChen [29], sowie dem Oxford-Modell [30] durchgeführt (siehe Abschnitt 2.3.2).Die Kontaktwinkelhysterese ist auch für Benetzungsgradienten von Interessemit deren Hilfe in Mikro- und Nanokanälen elektroosmotisch getriebene Strömungenerzeugt werden können [20]. Hier existieren verschiedenste Möglichkeiten


2.2 Mikrofluidik 17die Benetzungseigenschaften einer Oberfläche zu verändern, z.B. die Verwendungverschiedener Oberflächenbeschichtungen [31], aber auch das Anlegen eines elektrischenFeldes an speziell konstruierte Oberflächenstrukturen [32].Viele theoretische [33, 34] und experimentelle [35] Untersuchungen rauherOberflächen wurden dabei in Hinblick auf die Realisierung superhydrophoberOberflächen mit Kontaktwinkeln über 150 ◦ durchgeführt. Neben dem Auftretendes Lotus-Effekts an freien Oberflächen ermöglichen diese wegen des Wandschlupfsauch höhere Strömungsgeschwindigkeiten und damit Materialdurchsätzein Mikro- und Nano-Kanälen [36, 37].2.2.3 Die Lucas-Washburn-GleichungIm zweiten Teil dieser Arbeit wird mit der Lucas-Washburn-Gleichung die zeitlicheEntwicklung der Grenzfläche einer in einem kapillaren System aufsteigendenFlüssigkeit untersucht. Die Lucas-Washburn-Gleichung wurde 1918 von RichardLucas [38] und 1921 von Edward Washburn [39] unabhängig gefunden. Washburnuntersuchte dabei die Bewegung der Grenzfläche in einem beliebig geneigtenRöhrchen mit den Extremfällen des horizontalen und vertikalen Verlaufs. Lucasuntersuchte den kapillaren Aufstieg nicht nur in Röhrchen, sondern auch in Filtrierpapier,einem porösen Medium. Diese experimentellen Untersuchungen wurdenin jüngerer Zeit wieder aufgegriffen [40, 41]. Ebenso wurden molekulardynamischeSimulationen [42] und Simulationen mit der Gitter-Boltzmann-Methodein zwei Dimensionen [43, 18, 44] durchgeführt.Hergleitet werden kann die Lucas-Washburn-Gleichung aus der Hagen-Poiseuille-GleichungdQdt = 1 πR∆P, (2.28)8µhwelche die Änderung des Volumenstroms Q einer laminaren quasistationärenStrömung in einem glatten Rohr vom Radius R in Abhängigkeit vom anliegendenDruckgradienten ∆P, sowie der Steighöhe h angibt.Die Young-Laplace-Gleichung für den Kapillardruck ∆P cap lautet∆P cap = 2 γ cos θ, (2.29)Rmit der Oberflächenspannung an der Grenzfläche der Flüssigkeit γ und dem mitder Wandfläche eingeschlossen Kontaktwinkel θ. Die Änderung des Volumenstromsin einem Röhrchen beträgt dQ = πR 2 dh. Damit ergibt sich das Lucas-Washburn Gesetzdhdl = 18µh ∆ [P cap − P stat ] R 2 . (2.30)


18 GrundlagenDer statische Druck beträgt für eine Flüssigkeit in einer vertikalen KapillareP stat = ρgh, in der schwerelosen Simulation gilt jedoch P stat = 0. Diese Formder Gleichung ist allerdings lediglich zur Beschreibung des kapillaren Füllens fürgroße Zeiten gültig, da, wie leicht zu sehen ist, dh → ∞,t → 0. Zur theoretischenBeschreibung inertialer Vorgänge [45], wie auch der Auswirkung endlicherViskosität der Gaskomponente [44] wurde die Theorie erweitert [46].Zur Verwendung der Gleichung in einem Kanal mit rechteckiger Grundflächeergibt sich sowohl ein abweichendes Hagen-Poiseuille-Gesetz wie auch ein andererKapillardruck. Ferner werden in der Mehrkomponentensimulation im Kapitel3.3 zwei Komponenten gleicher Dichte und Viskostät verwendet. Hier ist daserweiterte Lucas-Washburn-Gesetz in der Formd 2 z(t)+ 12µ dz(t) 2γ cos θ−dt 2 H 2 ρ dt HρL(2.31)gültig. Darin steht z für die Grenzflächenposition, H für die absolute Kanalhöheund L für die absolute Kanallänge. Eine Lösung dieser Gleichung ist nach [18]gegeben mitz(t) = V capH cos θt d [exp(−t/t d ) + t/t d − 1] + z 0 . (2.32)6LMit der Kapillargeschwindigkeit V cap = γ und einer typischen Übergangszeitµt d = ρH2 ; z 12µ 0 ist die Grenzflächenposition bei t = 0. Die Gleichung (2.32) wird inKapitel 3.3 zur Berechnung theoretischer Vergleichswerte verwendet, wobei dieOberflächenspannung γ als Fitparameter dient.2.3 Numerische SimulationDie fortschreitende Entwicklung der Rechenkapazität moderner Computer ermöglichtes heute immer komplexere Sachverhalte in numerischen Modellsystemenabzubilden. Die Entscheidung ein System zu simulieren kann dabei verschiedenmotiviert sein. So kann die Simulation helfen die Planung großer und/oder teurerAnlagen zu unterstützen oder aber bestehende kritische Systeme zu optimierenohne Ausfallrisiken einzugehen.Im Bereich der physikalischen Forschung kommen Simulationen vielfach dortzum Einsatz, wo entweder Messungen nur schwierig oder gar nicht möglich sindoder aber die Vermessung von Parameterräumen an realen Objekten ungleichaufwändiger wäre.Damit eine Simulationsmethode einsetzbar wird, müssen ihre Ergebnisse mitexperimentellen Daten vergleichbar sein. Andere Größen, welche experimentellnicht zugänglich sind, können dann aus der Simulation geschlossen werden.


2.3 Numerische Simulation 192.3.1 ÜbersichtFür die numerische Simulation von physikalischen Systemen steht eine vielzahlverschiedener Methoden zur Verfügung. Allein herauszufinden, welche Simulationsmethodefür ein Modell besonders geeignet bzw. effizient ist, kann dabei eineschwierige Aufgabe darstellen.Die Simulation physikalischer Modellsysteme ist aus mathematischer Sicht inder Regel die Lösung verschieden komplexer Differentialgleichungen. Bei der Simulationvon Flüssigkeiten kann es dabei prinzipiell zwei Vorgehensweisen geben,nämlich die Betrachtung der die Flüssigkeit konstituierenden Teilchen und dieBetrachtung der Kontinuumsdynamik der Flüssigkeit.Der erstgenannte Ansatz kann weiter verfeinert werden. Wird hier versuchtdie Eigenschaften realer Teilchen abzubilden, so spricht man von molekulardynamischerSimulation. Diese beruht im allgemeinen auf der Lösung der NewtonschenBewegungsgleichungen. Jedoch kann es auch hier große Unterschiedegeben, vergleicht man etwa die Modellierung eines idealen Gases als starre Kugelnmit der Untersuchung des Verhaltens von Polymeren anhand einer quantenmechanischenBeschreibung der beteiligten Atome. Vorteil dieser Herangehensweiseist die, bis auf die Rechengenauigkeit, zum Grad einer Theorie oder Hypotheseexakte Kenntnis des Zustands realer Teilchen. Will man andererseits tatsächlichdie Wechselwirkung aller Teilchen untereinander beschreiben, so ergibt sich derNachteil, dass der Rechenaufwand mit zunehmender Teilchenanzahl quadratischoder gar exponentiell ansteigt.Die Abbildung 2.4 zeigt eine Übersicht über die zur Simulation von Flüssigkeitenverwendbaren Methoden. Ihre Ordnung spiegelt die bei der Wahl einerSimulationsmethode für ein hydrodynamisches Problem konkurrierenden Faktorenwieder. So muss die zur Darstellung eines Problems notwendige räumliche undzeitliche Auflösung gegen den Rechenaufwand abgewogen werden. Die Knudsen-Zahl ist hier wiederum ein Indikator für die Gültigkeit der Annahme eines Kontinuumsund damit der klassischen hydrodynamischen Gleichungen.Um Systeme zu beschreiben, deren globale Eigenschaften nicht etwa direktsondern statistisch vom Zustand einzelner Teilchen abhängen (wie z.B. Flüssigkeiten),kann es daher sinnvoll sein dessen Erwartungswert einem sog. Pseudoteilchenzuzuordnen. In diesem Zusammenhang spricht man von coarse-graining,also der Vergröberung der Auflösung des Modells. Zwischen dem mikroskopischenAnsatz und der direkten Lösung der makroskopischen Bewegungsgleichungen wiezum Beispiel der Navier-Stokes-Gleichungen können Ansätze gefunden werden,welche zunächst einzelne Zustandsgrößen mitteln. Diese werden als mesoskopischbezeichnet.Wiederum sind hier Modelle zu unterscheiden. Es gibt solche, welche alleFreiheitsgrade der Bewegung der Pseudoteilchen abbilden, wie sog. Monte-Carlo-


20 GrundlagenSimulationen, das sind auf Stochastik beruhende Methoden, und solche, welchedie Bewegungsrichtungen unter Erhaltung der bedeutenden Symmetrien des Systemsauf ein Gitter einschränken, wie die hier verwendete Gitter-Boltzmann-Methode.Die Monte Carlo-Methode der direkten Simulation (engl. Direct simulationMonte Carlo, DSMC) beruht auf der Entkopplung der molekularen Bewegung,welche deterministisch erfolgt, und einem statistischen Stoßprozess. Dieser wirdanalog der kinetischen Theorie unter Annahme von molekularem Chaos und einemverdünnten Gas als Medium modelliert. Indem eine große Menge realerMoleküle einem Pseudoteilchen zugeordnet werden, kann die Recheneffizienz gegenübermolekulardynamischen Methoden stark erhöht werden. Es wird dadurchallerdings auch ein statistischer Fehler von der Ordnung der Wurzel der TeilchenanzahlN erzeugt. Die große Stärke der DSMC-Methode liegt darin, dass auchStrömungen mit Knudsen-Zahlen der Ordnung O(10) sehr Effizient berechnetwerden können [48].Eine weitere mesoskopische Simulationsmethode ist die dissipative Teilchendynamik(engl. Dissipative particle dynamics, DPD) [49]. Hier werden Pseudopartikelmit kontinuierlicher Position im Raum und kontinuierlichem Impuls indiskretisierten Zeitschritten bewegt. Impulsänderungen werden durch konservativeKräfte zwischen den Teilchen, eine dissipative Reibungskraft und eine Zufallskraftzur Erzeugung von Fluktuation bedingt, wobei diese impulserhaltendKnudsen-ZahlMol.dyn.RecheneffizienzDisspt. Teilchendyn.Direkte Monte Carlo-SimulationGitter-Gas- undGitter-Boltzmann-AutomatenKontinuumssimulationGrad der DetaillierungSystemgrößeAbbildung 2.4: Übersicht der Eigenschaften verschiedener Simulationsmethoden(nach [47]).


2.3 Numerische Simulation 21gewählt werden. Auch hier kann die Recheneffizienz gegenüber molekulardynamischenAnsätzen stark erhöht werden. Wegen der Kontinuität von Ort und Impulsist die DPD jedoch deutlich aufwändiger als der Gitter-Boltzmann-Algorithmus inwelchem diese Größen ebenfalls diskretisiert sind. Der Vorteil gegenüber Gitter-Boltzmann-Methoden liegt in der einfacheren Erweiterbarkeit des Modells.2.3.2 Die Gitter-Boltzmann-MethodeAm Beginn der Entwicklung der Gitter-Boltzmann- (LB, Lattice Boltzmann),bzw. Gitter-Bhatnagar-Gross-Krook-Methode (LBGK) stehen die sog. zellularenGitter-Gas-Automaten (LGA, Lattice Gas Automata). Frisch, Hasslacher undPomeau formulierten dabei erstmals 1986 einen der kinetischen Theorie folgenden,numerischen Ansatz zur Lösung der hydrodynamischen Gleichungen, nämlichdurch die Simulation von Teilchenstößen auf einem Gitter [50, 51].Die sich auf dem Gitter bewegenden Pseudoteilchen wurden dabei zunächstdurch einzelne Bits repräsentiert. Dies ermöglichte die Verwendung von binärerAlgebra und damit sehr elegante, maschinennahe Implementierung. Da zu dieserZeit die Leistungsfähigkeit der heute vorherrschenden universellen Prozessorennoch vergleichsweise gering war, wurden sogar spezielle Gitter-Gas-Rechenmaschinenwie der RAP1 [52] gebaut.Durch theoretische Behandlung wurden diese Systeme weiter verbessert. Sieerlaubten bereits die Beobachtung interessanter Strömungsphänomene, wie z.B.Turbulenz (von Karman-Strasse) oder Mehrphasentrömungen [53]. Auch konntenwegen der Gitterstruktur und der kurzen Reichweite der Wechselwirkungen (nurzwischen nächsten- und zweitnächsten Nachbarn) komplexe Randbedingungensehr einfach implementiert werden [51]. Ebenso ermöglichen diese eine ausgesprocheneffiziente Parallelisierung der Algorithmen [54].Neben diesen positiven Ergebnissen wurden allerdings auch Probleme derMethode ausgemacht. So litten die Ergebnisse der Simulationen durch die diskreteNatur der Pseudoteilchen unter großem statistischen Rauschen, so dass dieRechnungen zur Erhöhung der Informationsdichte mehrfach wiederholt werdenmussten. Außerdem wurde durch eine Geschwindigkeitsabhängigkeit der Viskositätdie Galilei-Invarianz verletzt [51].Das Problem des statistischen Rauschens konnte durch Verwendung einerkontinuierlichen Besetzungsdichte der diskreten Geschwindigkeitsrichtungen, alsoPseudoteilchen verschiedener Dichte, behoben werden. An Stelle der direktenBetrachtung der Stöße trat nun eine in Raum und Zeit diskretisierte, linearisierteBoltzmann-Gleichung, womit der Begriff der Boltzmann-Methode aufkam [55].Mit diesem Ansatz konnte die Recheneffizienz stark verbessert werden, weitereProbleme waren und sind Gegenstand der Forschung zur weiteren Verbesserung


22 Grundlagender Methode. Beispielsweise die Implementierung von Energieerhaltung auch fürnichtisotherme Systeme zur Modellierung thermischer Prozesse [56].Heute finden Gitter-Boltzmann-Implementierungen breite Anwendung in derSimulation von Strömungen in der Hydrodynamik und Magnetohydrodynamikaber auch Verkehrströmungen [57, 58] oder in Hybridsystemen in Verbindungmit anderen Simulationsmethoden, wo sie bspw. in molekulardynamischen Simulationeneine effizientere Berechnung von advektiven Strömungen erlauben [54].Die Gitter-Boltzmann-GleichungAn dieser Stelle soll nun ausgehend von der BGK-Gleichung (2.17)( ∂∂t + ∇v )f(x,v,t) = − 1 τ (f(x,v,t) − fl (x,v,t))eine kurze Einführung in den Gitter-Boltzmann-Formalismus gegeben werden.Für eine ausführliche Abhandlung der Entwicklung sei wiederum auf die Fachliteratur[59, 60] verwiesen. Ein zentraler Punkt ist die Diskretisierung der lokalenMaxwell-Verteilung f l (s. Gleichung (2.9)). Zunächst ist ohne Beschränkung derAllgemeinheit eine Masse von m = 1 zu wählen, so dass die Teilchenzahl näquivalent der Dichte ρ = n · m wird. Der Vorfaktor der Exponentialfunktion istdamit nur noch von der Temperatur abhängig. Diese soll durch eine isothermeSchallgeschwindigkeit c 2 s = k B T beschrieben werden. Das hier verwendete Gitter-Boltzmann-Modell ist damit ebenfalls isotherm. Mit diesen Annahmen wird fürdie lokale Maxwell-Verteilung( ) 3/2 ]1f l (v − u(x,t))2(x,v,t) = ρ(x,t) exp[−2πc 2 S2c 2 S(2.33)erhalten.Die Diskretisierung der Boltzmann-Gleichung: Indem k Geschwindigkeitenc k fester Richtung und Betrages definiert werden, wird das System in Raumund Zeit diskretisiert. Für das so gegebene Gitter werden dabei verschiedene Formenverwendet. Gebräuchlich war hier bei den Gitter-Gas-Automaten zunächstein hexagonales Gitter. Für die Gitter-Boltzmann-Methode hat sich jedoch dieVerwendung von kartesischen Gittern durchgesetzt. Die Nomenklatur hat dieForm DdQq, für ein Gitter in d Dimensionenen mit q Geschwindigkeitsrichtungen.Von diesen finden vor allem die Formen D1Q3, D1Q5, D2Q9, D3Q15 undD3Q19 (siehe Abbildung 2.5) Anwendung. Letztere auch in der für diese Arbeiteingesetzten Implementierung LB3D.


2.3 Numerische Simulation 23Abbildung 2.5: Das in der Gitter-Boltzmann-Implementierung LB3D[61] verwendetedreidimensionale Gitter mit 19 Geschwindigkeiten (Bewegung in 18 Raumrichtungenund Zustand der Ruhe), auch als D3Q19-Gitter bezeichnet.


24 GrundlagenDer Strömungsterm bewegt nun die Besetzung des Zustands der Geschwindigkeitc k vom Raum-, bzw. Gitterpunkt x auf den Gitterpunkt x ′ = x + c k ∆t.Die Größe ∆x = x ′ − x entspricht dann der mittleren freien Weglänge derPseudoteilchen. Zur Modellierung eines Kontinuums muss für das Verhältnis vonGitterabstand und Systemgröße HKn = ∆xH ≪ 1 (2.34)gelten. In den hier simulierten Systemen ist die Knudsen-Zahl dabei von der OrdnungO(10 −2 ), bzw. O(10 −3 ). Auch die für schwach kompressible Strömungengestellte Bedingung kleiner Mach-Zahlen ist bei der Diskretisierung zu beachten.Mit der isothermen Schallgeschwindigkeit c S und typischen Strömungsgeschwindigkeitenu i in den i Raumrichtungen muss hier gelten:Ma = u ic S≪ 1 (2.35)Ferner sind die Gittergeschwidigkeiten c i von der Größenordnung der Schallgeschwindigkeit.Damit ist eine Entwicklung der lokalen Maxwell-Verteilung nachkleinen Mach-Zahlen möglich.Der Exponent der Exponentialfunktion der lokalen Maxwell-Verteilung lautetausmultipliziert, mit den für das diskretisierte System eingeführten Größen undder auch im Folgenden gültigen Einsteinschen Summenkonvention,− (c i − u i ) 22c 2 S= − c2 i2c 2 S+ u ic ic 2 S− u iu i. (2.36)2c 2 SEingesetzt ergibt sich für die Gleichgewichtsverteilung zunächst( ) 3/2 ( ) ( 1f l (x i ,c i ,t) = ρ exp − c2 i ui c i· exp − u )iu i. (2.37)2πc 2 S2c 2 Sc} {{ }2 S2c 2 S=w gHier können die von der Schallgeschwindigkeit c S , sowie den Gittergeschwindigkeitenc i abhängigen Terme zu einem Wichtungskoeffizienten w g zusammengefasstwerden. Der Index g bezeichnet den Betrag des gitterabhängigen, normiertenGeschwindigkeitsquadrates g =(c ic 0) 2,mit der Gittereinheitslänge c0 . Die verbleibende,von der lokalen Geschwindigkeit u i abhängige Exponentialfunktion wirdbis zur zweiten Ordnung in eine Reihe entwickelt, wobei wegen der Bedingungkleiner Mach-Zahlen Terme höher zweiter Ordnung in u vernachlässigt werdenkönnen. Insgesamt erhält man für die Gleichgewichtsverteilung der disretisiertenBGK-Gleichung (LBGK)[f l (x i ,c i ,t) = ρw g 1 + u ic i− u iu jc 2 S2c 2 S(ci c j2c 2 S− δ ij)], (2.38)


2.3 Numerische Simulation 25mit den Raumrichtungen i = 1, 2, 3 und j = 1, 2, 3.Die Bestimmung der Wichtungskoeffizienten erfolgt mit Hilfe der diskretisiertenGleichungen der Momente unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften derverwendeten Gitter. Hier werden die Raumrichtungen i,j,l und m nit den k diskretenRichtungen in Beziehung gesetzt. Zunächst sind die erhaltenen GrößenDichteρ = ∑ f k (x,t) = ∑ fk(x,t) l (2.39)kkund Impulsρu i = ∑ kf k (x,t)c i,k = ∑ kf l k(x,t)c i,k (2.40)von Interesse. Wegen der Annahme einer isothermen Strömung (siehe oben) wirddie Energie hier nicht berücksichtigt, vielmehr ist für die (annähernd) inkompressibleFlüssigkeit der Impulsflußtensorρu i u j + pδ ij + σ ij = ∑ kc i,k c j,k f k (2.41)von Bedeutung. Worin p der skalare Druck und σ ij der Spannungstensor sind.Letzterer verschwindet im Gleichgewicht. Damit gilt dortρu i u j + pδ ij = ∑ kc i,k c j,k f l k (2.42)und für die Reibspannung ergibt sich σ ij = ∑ k c i,kc j,k (fk l − f k). Setzt man dieGleichgewichtsverteilung 2.38 in die Momentengleichungen ein, so werden für dieWichtungskoeffizienten die allgemeinen Symmetriebeziehungen∑w g = 1,k∑w g c i,k c j,k =kc 2 S δ ij,∑w g c i,k c j,k c l,k c m,k = c 4 S (δ ijδ lm + δ il δ jm + δ im δ jl ) (2.43)kerhalten. Für das hier verwendete D3Q19-Gitter ergibt die weitere Auswertungeine Schallgeschwindigkeit von c S = c 0 / √ 3 und Wichtungskoeffizienten w 0 =12/36,w 1 = 2/36, sowie w 2 = 1/36.Aus dem Impulsflußtensor ergibt sich der Druck im LBGK-Modell zup = ∑ kf l kc 2 S = ρc 2 S = ρk B T. (2.44)


26 GrundlagenMit der angenommenen Einheitsmasse entspricht dies der intensiven Formulierungder thermischen Zustandgsleichung eines idealen Gases. Um das Verhalten,bzw. die Zustandsgleichung eines realen (van der Waals-) Gases zu erhalten, gibtes verschiedene Ansätze (siehe Abschnitt 2.3.2)Die Relaxationszeit τ der LBGK-Gleichung wird in Abhängigkeit von derkinematischen Viskosität ν gewählt. Diese kann durch eine Chapman-Enskog-Entwicklung (siehe Abschnitt 2.1.1) bestimmt werden. Es ergibt sich der Zusammenhang(ν = c 2 S τ − ∆t ). (2.45)2Zusammenhang von Simulations- und realen Größen: Um die gewonnenenSimulationsergebnisse mit experimentellen Befunden zu vergleichen, müssendie Gittereinheiten in SI-Einheiten umgerechnet werden.Die Umrechnungsfaktoren ergeben sich dabei durch die folgenden Relationen:Umrechnungsfaktor der Länge istdx = H N , (2.46)mit der Länge H in Metern und der entsprechenden Anzahl der GitterpunkteN. Da die Schallgeschwindigkeit auf dem Gitter bis auf einen konstanten Faktorfestgelegt ist, ergibt sich dann für die Zeitdt =Analog kann die Massendifferenzdm =( )cS,LBGKdx. (2.47)c S,SI(ρSIρ LBGK)dx 3 (2.48)aus dem Verhältnis der Dichten ermittelt werden. Alle zusammengesetzten Größenwerden dann durch Multiplikation mit obigen Faktoren in der entsprechendenOrdnung bestimmt.Simulation von MehrphasenströmungenDas bisher betrachtete Gerüst der Gitter-Boltzmann-Methode ist dabei immer aufdie Simulationen idealer Gase beschränkt. Jedoch existieren verschiedene Ansätzeum auch mehrphasige Systeme simulieren zu können.


2.3 Numerische Simulation 27Das Oxford-Modell: Während das im Rahmen dieser Arbeit verwendete Shan-Chen-Modell (siehe Abschn. 2.3.2), sich ausgezeichnet dazu eignet isothermeProzesse zu beschreiben, liegt eine Schwäche darin, dass infolge der Modifikationdes Geschwindigkeitsterms durch das Teilchen-Teilchen-Pseudopotential eineEnergieerhaltungsrelation nur unter großen Schwierigkeiten formuliert werdenkann [1, 62]. Im Gegensatz dazu, wird der Van-der-Waals-Charakter der thermodynamischenZustandsgleichung des Oxford-Modells [63] durch Definition einesFreie-Energie-Parameters als Teil der Gleichgewichts-Zustandsgleichung erreicht.Damit ist beispielsweise die Oberflächenspannung direkt festzulegen.Das freie Energie-Funktional Ψ der Dichte und Dichteänderung ist dabeigegeben durch∫Ψ(ρ) = [ψ(T,ρ) + W(∇ρ)]dV.Mit einer temperaturabhängigen freien Energie des Volumens ψ und einem freieEnergiebeitrag der Dichtegradienten eines inhomogenen Systems W. Eine entsprechendeZustandsgleichung lautet dann [47, 54]p = ρ dψ(T,ρ)dρ− ψ(T,ρ) = P 0 − k B ρ∇ 2 ρ 2 − 1 2 k B|∇ρ| 2 .Damit eine solche Vorgehensweise physikalische Ergebnisse liefert, muss großerWert auf die Wahl und Dimensionierung des freie Energie-Terms gelegt werden[47]. Der Charakter des Phasenübergangs und damit auch des Van-der-Waals-Terms wird dabei durch Anwendung der Ginzburg-Landau-Theorie derPhasenübergänge im Kontinuum bestimmt [3, 54].Das Colour-Field-Modell: Bereits vor Entstehung des Gitter-Boltzmann-Modells bestand die Idee, dass mit den damals in der Entwicklung befindlichenGitter-Gas-Automaten nichtmischbare Flüssigkeiten und ihre Dynamik effizient simuliertwerden können. Als ersten Ansatz zur Modellierung nichtmischbarer Flüssigkeitenveröffentlichten Rothman und Keller 1989 ein Gitter-Gas-Modell in demzwei Komponenten durch ein Farbattribut (rot oder blau) unterschieden wurden[53]. Abstoßende Wechselwirkung zwischen den Spezies wurde durch Auswertungeines Farbgradienten zusätzlich zur globalen Impulserhaltung erreicht. Mit dieserVorgehensweise können Grenzflächen scharf abgebildet werden. 1991 wurde diesesVorgehen von Gunstensen et al. [64] auf ein Gitter-Boltzmann-Modell nach[55] übertragen, welches zudem einen linearen Stoßoperator nach [65] beinhaltet.Seine derzeit Anwendung [66, 67, 68] findende Form erhielt das Modell mit Einführungeines BGK-Stoßoperators durch Grunau et al. [69]. Ein weiterer Zweigder Entwicklung verbesserte durch Einführung einer vereinfachten Evolutionsgleichungder Einteilchenverteilung die Recheneffizienz des Modells [70]. In neueren


28 GrundlagenArbeiten verwenden Halliday und Care dieses Modell u.a. zur mesoskopischenSimulation des Blutflusses [71].Das Shan-Chen-Modell: Zentraler Punkt des Gitter-Boltzmann-Ansatzes vonShan und Chen [1, 72] ist die Definition eines sog. Teilchen-Teilchen-Pseudopotentialsder Form V (x,x ′ ) = −g αα (x,x ′ )ψ α ψ α . Hierin ist g αα (x,x ′ ) im allgemeinstenFalle eine Greensche Funktion, meistens gewählt als ein konstanterParameter der Kopplung der Komponenten α und α, welcher auch als Temperaturmaßverstanden werden kann. Die Funktion der Dichteverteilung, bzw.Besetzung der Komponente αψ α (x) = ψ 0 (1 − e −ρα /ρ 0) (2.49)beschreibt ein mean-field-Potential am Ort x. ψ 0 und ρ 0 sind Normierungsfaktorenund im Rahmen dieser Arbeit stets gleich 1. Es läßt sich zeigen, dass dieseWahl der Besetzungsfunktion notwendig ist um thermodynamisch konsistenteZustandsgleichungen zu erhalten [1, 72]. Mit x ′ = x + c k wird ein nächsterNachbar von x auf dem Gitter bezeichnet. Die hierdurch hervorgerufene Krafthat für die Komponente α die Formdp αdt (x) = −ψα (x)α∑gααb∑ψ α (x ′ )c k , (2.50)k=0Mit b + 1 Geschwindigkeitsrichtungen c k . Sie bedingt in der thermischen Zustandsgleichung(Gasgleichung, s.a. Abschn.2.1.1) des Systems einen nichtidealenTermρ α (x)u α (x) = ρ α dp α(x)u(x) + τ α (x), (2.51)dtmit ρ α (x) = m α n α (x), der Masse m α und der Besetzungszahl n α und der Relaxationszeitτ α der Komponente α. Über die mittlere Geschwindigkeitu α =1∑m ∑ ∑m ∑ α α g k n α k α kα k} {{ }ρc k n α k (2.52)werden dabei die Gleichgewichtsverteilungen (2.38) und damit die Entwicklungdes Systems modifiziert. Anstatt der von der normierten Gittergeschwindigkeitabhängigen Wichtungskoeffizienten w g wird dabei im folgenden die Wichtungdurch den richtungsabhängigen Parameter g k angegeben, da dies konsistent mitder Implementierung in LB3D ist. Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt darin,dass der mikroskopische Hintergrund der simulierten Wechselwirkungen erhalten


2.3 Numerische Simulation 29bleibt. Dies ist bei Freie Energie-Ansätzen anders: Makroskopische Größen wieetwa die Oberflächenspannung werden dem System quasi diktiert, während siesich beim Shan-Chen-Ansatz eben aus der rein lokalen Wechselwirkung ergeben.Dies macht die Untersuchung der Dynamik auch solcher Größen möglich. Allerdingsverursacht dieser Ansatz auch Probleme, wenn eine genaue Kenntnis derOberflächenspannung gewünscht ist, wie sich in Abschnitt 3.2 zeigen wird.Obwohl die lokale Impulserhaltung in Gleichung 2.51 aufgehoben wird, kannman mit Hilfe der Chapman-Enskog-Entwicklung zeigen, dass globale Impulserhaltungweiterhin gegeben ist [72]. Das Shan-Chen-Modell ist nach verschiedenenGesichtspunkten weiter zu untergliedern, nämlich der Art und Anzahl der Komponentenund Wechselwirkungen [73]:Einkomponentig, mehrphasige (SCMP:Single Component Multi Phase)Es liegt eine Komponente vor, zwischen deren Teilchen attraktive Wechselwirkungherrscht. Diese wird durch eine Kraft der FormF = g αα ψ α (x)ψ α (x ′ )beschrieben. Für eine Kopplungsstärke größer einem kritischen Wert g criterfolgt die Ausbildung zweier Phasen verschiedener Dichte.Mehrkomponentig, einphasig (MCSP:Multi Component Single Phase)Es liegt ein System mehrerer Komponenten vor, zwischen deren Teilchenrepulsive Wechselwirkung herrscht. Diese wird durch eine Kraft der FormF = −g αα ψ α (x)ψ α (x ′ )beschrieben. Für eine Kopplungsstärke größer einem kritischen Wert g criterfolgt die Entmischung der Komponenten.Mehrkomponentig, mehrphasig (MCMP:Multi Component Multi Phase)Es liegt ein System mehrerer Komponenten vor, deren Teilchen mit gleichartigenattraktiv und mit andersartigen repulsiv wechselwirken. Somit sindsowohl Phasenübergänge als auch Entmischung beobachtbar.Ferner sind Modelle mit mehreren Komponenten nach der Anzahl der verschiedenen,in die Berechnung eingehenden Komponentenklassen zu unterscheiden.Wobei das Shan-Chen-Modell prinzipiell die Simulation beliebig vieler Komponentenund Phasen erlaubt. Von besonderer Bedeutung sind hier vor allem:Binäre Systeme Es liegen zwei nicht mischbare Komponententypen vor.


30 GrundlagenTernäre Systeme Es liegen zwei nicht mischbare Komponententypen, sowieLösungsmittel-Komponenten, also mit anderen Komponententypen sowohlattraktiv, als auch repulsiv wechselwirkende Komponententypen, vor [74].Das in dieser Arbeit vorwiegend verwendete Modell simuliert zwei nicht mischbareFlüssigkeitskomponenten, sowie eine Wandkomponente mit Hilfe einer zwischendiesen definierten wechselseitigen, repulsiven KraftF α = −ψ α (x) ∑ ∑g k g αα ψ α (x + c k ∆t,t)c k , mit α ≠ α, (2.53)k αproportional einem Kopplungsparameter g αα . In der oben beschriebenen Systematikhandelt es sich um ein binäres MCSP-Modell. Die Kraft leistet einen Beitragzur mittleren Geschwindigkeitu = 1ρ(x)[ ∑α]∑ ∑ ∑c k ρ α k(x) − τψ α g k g αα ψ α (x + c k ∆t,t)c kkαk(2.54)und bedingt damit eine Verschiebung der Gleichgewichtsverteilung. Die lokaleImpulserhaltung ist dann aufgehoben. Für den Impulsflußtensor ergibt sichΠ = ∑ α∑ρ α kc k c k − ∑ αk12 ψα (x) ∑ α∑g k g αα ψ α (x + c k ∆t,t)c k c k . (2.55)Der entprechende Drucktensor kann mit der in Abschnitt 2.3.2 umrissenen Vorgehensweisebestimmt werden. Hier kommt eine abweichende Notation der Wichtungskoeffizientenvor, wie sie von Shan und Chen verwendet wurde. Hierin sindd 0 ein weiterer Parameter der Temperatur, in den vorgenommenen Simulationstets 0 und D die Anzahl der Dimensionen des Modells und g k wiederum dieWichtung der Richtung k. Der volle Ausdruck lautet{[p = ∑ α1−d 0D c2 S ραP+ c2 Sk g ∑ k2Dψα α g ααψ αkP+ c4 S k g ∑ k4D(D+2) ψα α g αα∇ 2 ψ]Iα(2.56)P+ c4 S k g ∑ k2D(D+2) ψα α g αα∇∇ψ α+ ( 1− τ ) 2 c 4S ( P k g k) 22 α ψ ∑ α2 D 2 ρ α α g2 αα∇ψ α ∇ψ}.α


2.3 Numerische Simulation 31Je nach Art des betrachteten Problems können hier Terme zweiter Ordnung inden Ableitungen vernachlässigt werden. Die Shan-Chen-Kraft im zweiten Termdes Drucktensors wirkt dann analog einem Van-der-Waals-Term der Zustandsgleichung.Randbedingungen: Wie bereits erwähnt liegt eine große Stärke der Gitter-Boltzmann-Methode in der einfachen Implementierung auch komplexer Randbedingungen.Wegen der rein lokalen Wechselwirkung ist es ausreichend einen Gitterpunktals Wandkomponente zu kennzeichnen. In dem verwendeten ProgrammLB3D werden an diesem Gitterpunkt dann sogenannte Reflexionsbedingungen(engl. bounce-back) in den Transportschritt miteinbezogen. Hier werden die Besetzungender auf einen Wandpunkt zeigenden diskreten Geschwindigkeiten aufeine von der Wand weisende Geschwindigkeitsrichtung umgelegt. Zu unterscheidensind dabei zwei Fälle, nämlich die Gleitrandbedingung, bei der lediglich dieNormalkomponente der Geschwindigkeit reflektiert wird, sowie die Haftrandbedingung,bei der sowohl Normal- als auch Tangentialanteil der Geschwindigkeitreflektiert werden.Es läßt sich rechnerisch zeigen, dass durch diese Vorgehensweise auf der Mittelliniezwischen Wand- und Fluidgitterpunkt Geschwindigkeit und Druckgradientverschwinden.Die Implementierung der Wandkomponente erfolgt in LB3D als Flüssigkeitmit ausschließlicher Besetzung der Nullgeschwindigkeit. Je nach (Pseudo-) Dichteη wall der Wandkomponente kann dann durch die Shan-Chen-Kraft die Benetzungseigenschaftder Wand eingestellt werden.Modelle mit multiplen Relaxationszeiten Die bisher diskutierten Gitter-Boltzmann-Modelle beruhen auf der BGK-Gleichung, welche nur eine Relaxationszeitfür die Annäherung der Geschwindigkeitsverteilung an das Gleichgewichtenthält (siehe Abschnitt 2.1.1). Neben diesen existiert ein Ansatz in welchem dieRelaxation verschiedener Moden mit verschiedenen Relaxationszeiten modelliertwird. Die Entwicklung dieser multi-relaxation-time-lattice-Boltzmann-equation(MRT-LBE) erfolgte zeitgleich mit der der LBGK-Gleichung 1992.Der große Vorteil der MRT-Gitter-Boltzmann-Gleichung liegt in der durchdie unabhängige Justierung der Relaxationszeiten erzielbaren höheren numerischenStabilität des Modells. Die Erhöhung der Rechenzeit gegenüber einemLBGK-Modell beträgt dabei bei guter Optimierung gerade 15%. Der größere Parameterraumbeseitigt einige physikalische Einschränkungen des LBGK, wie z.B.die auf Pr = 1 festgelegte Prandtl-Zahl und die Abhängigkeit von Scher- undVolumenviskosität [75, 76].Mit multiplen Relaxationszeiten nimmt die Gitter-Boltzmann-Gleichung die


32 Grundlagenfolgende Form an:|f(x + c k ∆t,t + ∆t)〉 − |f(x,t)〉 = −S [ |f(x,t)〉 − |f l (x,t)〉 ] . (2.57)Hier wurde neben der Diracschen Notation für Zeilen- 〈·| und Spaltenvektoren|·〉 die Kollisionsmatrix S eingeführt. Der Advektionsprozess findet im Raum derGeschwindigkeiten statt, der Kollisionsprozess im von den Eigenvektoren der Kollisionsmatrixaufgespannten Raum.Für eine gegebene Anzahl k diskreter Geschwindigkeitsrichtungen c k und zugehörigerVerteilungen f k können k Momente m k der Komponenten der Verteilungsfunktionerhalten werden.m k ≡ 〈φ k |f〉 = 〈f|φ k 〉 (2.58)Die Menge {|φ k 〉} ist eine orthogonale, duale Basis. Sie wird mit Hilfe einer Gram-Schmidt-Othogonalisierung gewonnen. Bei der Betrachtung des Kontinuums findetsie ihre Entsprechung in den Hermite-Polynomen [7]. Gegenüber diesen gehenjedoch durch die Diskretisierung Symmetrieeigenschaften verloren.Da die Momente Linearkombinationen der Geschwindigkeitsverteilungen sind,können beide durch eine lineare Abbildung M, bzw. deren Inverse, ineinanderüberführt werden:|m〉 = M |f〉 , |f〉 = M −1 |m〉 (2.59)Nun wird die Kollisionsmatrix so gewählt, dass {|φ k 〉} die Menge ihrer Eigenvektorenist: Ŝ = M · S · M. Der Kollisionsprozess findet dann im Raum derMomente und also der durch sie repräsentierten Moden statt. Damit ergibt sichfür die Bewegungsgleichung[|f(x + c k ∆t,t + ∆t)〉−|f(x,t)〉 = −M −1}{{} Ŝ |m(x,t)〉 − |m (eq) (x,t)〉 ] .M·S·M −1 (2.60)In dieser können erhaltenen (hydrodynamischen) und nichterhaltenen (kinetischen)Moden unabhängige Relaxationszeiten zugewiesen werden.Die Implementierung des MRT-Ansatzes für das verwendete Programm LB3Derfolgte analog der oben kurz wiedergegebenen Darstellung von D’Humiéres [76],zunächst für ein einkomponentiges System auf einem D3Q19-Gitter. Für die Untersuchungvon Mehrphasensystemen im Abschnitt 3.4 wurde es ferner um eineattraktive Shan-Chen-Kraft erweitert.


Kapitel 3ErgebnisseIm folgenden sind die durchgeführten Simulationen und daraus erhaltenen Ergebnissezusammengestellt. Den Anfang machen hier einfache Tests des physikalischenVerhaltens der Simulationsmethode. So wird zum Beispiel analog derursprünglichen Arbeit von Shan und Chen das Laplace-Gesetz reproduziert. ImAnschluss werden verschiedene Methoden zur Kontaktwinkelbestimmung einesTropfens auf einer Oberfläche mit Benetzungseigenschaften angewendet undverglichen. Anhand der phänomenologischen, geometrischen Bestimmung desKontaktwinkels wird hier auch die Parameterabhängigkeit des Kontaktwinkelsfür das Simulationsmodell untersucht. Im dritten Abschnitt wird mit der Lucas-Washburn-Gleichung ein die Dynamik von kapillaren Systemen beschreibendesGesetz reproduziert. Hier werden die Parameterabhängigkeit, sowie inertiale Effekteuntersucht. An der Grenzfläche treten unphysikalische Effekte im Geschwindigkeitsfeldauf. Diese sind Gegenstand des letzten Abschnitts. Hier wird einModell mit mehrfachen Relaxationszeiten in Hinblick auf Reduktion der unphysikalischenStrömungen untersucht.3.1 SystemeigenschaftenFür das Gros der durchgeführten Simulationen wurde ein Shan-Chen-Modell mitzwei einphasigen, nichtmischbaren Komponenten verwendet. In diesem die Simulationsergebnisseeinleitenden Teil soll das Modell und seine Implementierungin dem Programm LB3D anhand einfacher Versuche auf physikalisch richtigesqualitatives Verhalten überprüft werden. Dies geschieht hier zunächst anhandder Laplace-Gleichung, welche einen linearen Zusammenhang der Differenz ∆Pzwischen Innen- und Außendruck einer Grenzfläche mit ihrer Krümmung 1 R voraussagt.Im zweiten Teil wird dann die (Ent-)Mischung der beiden Komponentenin Abhängigkeit von der Kopplungsstärke der Shan-Chen-Kraft untersucht.


34 ErgebnisseDie Wechselwirkungen im System werden ausschließlich lokal durch die Besetzungender Geschwindigkeitsvektoren eines Gitterpunktes und seiner nächstenNachbarn bedingt. Eine Kraftwirkung längerer Reichweite äußert sich daher, indemsich über mehrere Gitterpunkte ein Dichtegradient einstellt. Parameter, welchediesen Dichtegradient beeinflussen können, sind hier äußere Kräfte, die mittlerenDichten der Komponenten ρ α,α0 , die kinematischen Viskositäten ν α,α , diemittlere Gesamtgeschwindigkeit u und der Kopplungsparameter g αα . Wird weitereine Wandkomponente eingeführt, so treten die (Pseudo-)Dichte der Wand η wallsowie die Geometrie der Wandfläche hinzu.Als direkte Messgrößen stehen in der Simulation die räumliche Dichte- undGeschwindigkeitsverteilung zur Verfügung. Wird für die Komponenten Einheitsmasseangenommen, so entsprechen diese den makroskopischen ErhaltungsgrößenMasse und Impuls. In Abhängigkeit von diesen kann außerdem der Druckals dynamischer Anteil des Impulsflußtensors berechnet werden. Für ein Systemnichtmischbarer Komponenten ist ferner der Ordnungsparameter φ = ρ α − ρ αvon Interesse. Zwischen den Domänen zweier Komponenten hat dieser einen Nulldurchgang.Somit ist die Definition von Grenzflächen in den eigentlich diffusenÜbergängen der Komponenten möglich.Im Folgenden werden die Indices α und α wie bisher für beliebige ungleicheKomponenten verwendet wurden, während für die konkreten FlüssigkeitskomponentenA und B und für die Wandkomponente W als Index verwendet werden.Young-Laplace-GleichungFür einen kugelförmigen Tropfen mit Radius R nimmt die Laplace-Gleichung dieeinfache Form ∆P = γ 2 an. γ bezeichnet hier die Oberflächenspannung. InReinem 3D-System mit einer Kantenlänge von 128 Gittereinheiten (GE) wurdenTropfen mit Radien von R ≈ 19, 25, 32, 38, 44 und 51 GE simuliert.Die daraus erhaltenen Werte sind zusammen mit einer durch lineare Regressionaus ihnen berechneten Gerade in Abbildung 3.1 aufgetragen. Letztere hat dieGleichung f(x) = 0, 31144·x+1, 701·10 −5 , was sehr gut mit der erwarteten Ursprungsgeradeübereinstimmt. Der Betrag der Oberflächenspannung ergibt sichzu γ = 0, 15572. Für die im Bereich großerer Krümmungen zunehmende Abweichungder Werte sind Effekte der finiten Systemgröße verantwortlich.KoexistenzkurveDie Nichtmischbarkeit der beiden Komponenten des Systems beruht auf dem überdie Shan-Chen-Kraft zwischen ihnen vermittelten abstossenden Pseudopotential.Wie in Abschnitt 2.3.2 besprochen, ist der Betrag der Shan-Chen-Kraft dabei nebenden lokalen Dichteverteilungen der Komponenten vom Kopplungsparameter


3.1 Systemeigenschaften 35Oberflächenspannung γMesswerteLineare RegressionKrümmung [1/GE]Abbildung 3.1: Reproduktion der Laplace-Gleichung. Neben den Messwerten isteine durch lineare Regression bestimmte Gerade aufgetragen. Hier ergibt sich inguter Näherung die erwartete Ursprungsgerade.g AB abhängig.Die Untersuchung der Entmischungseigenschaften des Systems fand rückwärtsstatt. Ein System der Größe 8 × 8 × 128 wurde je zur Hälfte mit einerreinen Komponente der Dichte ρ A,B = 0, 7 initialisiert. Nach 10.000 Zeitschritten(ZS) ist das System ins Gleichgewicht relaxiert. Über das gesamte Systemwurden Dichteminimum und -Maximum der Komponenten bestimmt.In Abbildung 3.2 (oben) ist die Dichte in Abhängigkeit des Kopplungsparametersg AB dargestellt. Für (partielle) Entmischung gibt die Kurve ρ max dabeidie Dichte der jeweiligen Majorität, die Kurve ρ min die Dichte der Minorität in einemgrenzfernen Bereich an. Diese Koexistenzkurve der Komponenten zeigt einenscharfen Phasenübergang für eine Kopplung von g AB ≈ 0, 065. An denselben Simulationenerfolgte auch die Messung von Oberflächenspannungen zur Ableitungdes Kontaktwinkels (Abb. 3.2 (unten), s. a. Abschn. 3.2.3). Beide Kurven zeigenqualitativ das erwartete physikalische Verhalten mit dem Kopplungsparameter alseiner temperaturähnlichen Größe (vgl. Abschn. 2.3.2).


36 Ergebnisseρ maxρ minOberflächenspannung γBesetzungsdichte ρKopplungsparameter g ABKopplungsparameter g ABAbbildung 3.2: Dichten der Majorität und Minorität eines Systems mit zwei nichtmischbarenFlüssigkeitskomponenten (oben) und Oberflächenspannung an ihrerGrenzfläche (unten) in Abhängigkeit von der Kopplungsstärke. Gemessen in einemSystem der Größe 8 × 8 × 128, je zur Hälfte mit einer Komponente derDichte ρ = 0, 7 initialisiert.


3.2 Kontaktwinkel 373.2 KontaktwinkelAbbildung 3.3: Kontaktwinkel von θ ≈ 110 ◦ . Links: Querschnitt durch das Dichtefeldeiner Tropfensimulation mit g αα = 0, 16;η wall = 0, 1 und initialem Volumenvon 2.808.116 Gitterpunkten. Rechts: Aufnahme eines Wassertropfens auf einerFlourpolymerfolie[77]Wie in 2.2 ausgeführt, sind zur Klassifizierung und Modellierung von MikroundNanoströmungssystemen Oberflächeneffekte von herausragender Bedeutung.Als grundlegende Untersuchung des verwendeten SC-MCSP-LBGK-Modells wurdedaher die Parameterabhängigkeit der Oberflächenspannungen, bzw. des durchdiese eingeschlossenen Kontaktwinkels (2.27), untersucht. Neben dieser werdenin diesem Abschnitt unterschiedliche Methoden zur Bestimmung des Kontaktwinkelsin Hinblick auf ihre Eignung für das gewählte Modell, ihre Gültigkeitsbereicheund die Möglichkeit theoretischer Vorhersagen untersucht. Letztere ist hier vonbesonderem Interesse, da die Oberflächenspannungen und damit der Kontaktwinkelsich nur indirekt aus der Wirkung der SC-Kraft ergeben 2.3.2 und nicht,wie etwa in Freie-Energie-Ansätzen 2.3.2 unmittelbar eingestellt werden können.Zur Bestimmung der Parameterabhängigkeit des Kontaktwinkels wurden Simulationenfür verschiedene Tropfengrößen, Wandbenetzbarkeiten η wall und Kopplungsparameterg αα durchgeführt. Das System wurde dabei mit einem Kugelabschnittreiner Komponente A der Dichte ρ A = 0, 7 auf einer ebenen Wand,umgeben von reiner Komponente B der Dichte ρ B = 0, 7 initialisiert. Die Wandsetzt sich dabei aus einer Gitterschicht der Pseudodichte η wall , sowie einer Gitterschichtder Pseudodichte 0 zusammen um die Wirkung der (nicht-) benetzbarenWand über die periodischen Randbedingungen abzuschirmen. Die Verwendung


38 Ergebnisseeines Kugelabschnitts dient dabei der schnelleren Relaxation des Systems.Mit dem Start der Simulation setzen vor allem zwei Prozesse ein, welche dieKonfiguration im Gleichgewicht bestimmen. An der Tripellinie der KomponentenA, B und Wand stellt sich bereits nach einigen hundert Zeitschritten derstatische Kontaktwinkel ein. Zum anderen beginnen die Komponenten A und Bim allgemeinen an ihrer Grenzfläche ineinander zu diffundieren. Die Diffusion istdabei vor allem vom Grad der Kopplung, der Kontaktwinkel von Kopplung undWandbenetzbarkeit abhängig.Als Referenz für die Kontaktwinkelbestimmung nach den verschiedenen Ansätzendient die rein phänomenologische Messung der Geometrie des auf derOberfläche relaxierten Tropfens.Der erste Ansatz sieht die Bestimmung der Oberflächenspannungen γ αα gemäßihrer mechanischen Definition (2.25) an einer planaren Grenzfläche zwischenjeweils zwei der Komponenten vor. Aus diesen wird dann mit Hilfe der Young-Formel (2.27) der Kontaktwinkel berechnet. Da die so gefundenen Ergebnissestark von den geometrisch ermittelten Werten abweichen, wurde das Prinzip imnächsten Schritt auf eine Messung im System des Tropfens übertragen.Außerdem wurde die Übertragbarkeit von Methoden der Kontaktwinkelbestimmungbzw. -Vorhersage für andere, ähnliche Modelle auf das Modell mehrerereinphasiger Komponenten untersucht. Zum einen eine, für mehrere mehrphasigeKomponenten eingeführte Abschätzung von Huang et al. [78]. Zum anderenwurde der Versuch unternommen, einen analytischen Ansatz für mehrphasigeeinkomponentige Systeme von Benzi et al. [79] zu adaptieren.Im einzelnen wurden folgende Simulationen zur Evaluierung der verschiedenenAnsätze durchgeführt:• Für ein initiales Tropfenvolumen von 4.908 Gitterpunkten in einem Systemeiner Größe von 32 3 Gitterpunkten wurde– η wall in Schritten von 0, 05 zwischen −0, 05 und −0, 45 variiert.– g αα in Schritten von 0, 02 zwischen 0, 10 und 0, 18 variiert.• Für ein initiales Tropfenvolumen von 41.896 Gitterpunkten in einem Systemeiner Größe von 64 3 Gitterpunkten wurde– η wall in Schritten von 0, 10 zwischen −0, 10 und −0, 50 variiert.– g αα in Schritten von 0, 02 zwischen 0, 08 und 0, 18 variiert.• Für ein initiales Tropfenvolumen von 345.996 Gitterpunkten in einem Systemeiner Größe von 128 3 Gitterpunkten wurde– η wall in Schritten von 0, 10 zwischen −0, 10 und −0, 50 variiert.


3.2 Kontaktwinkel 39– g αα in Schritten von 0, 02 zwischen 0, 10 und 0, 18 variiert.• Für ein initiales Tropfenvolumen von 2.808.116 Gitterpunkten in einemSystem einer Größe von 256 3 Gitterpunkten wurde, für ein g αα von 0, 16,η wall in Schritten von 0, 05 zwischen −0, 05 und −0, 40 variiert.Mit den Benetzungsparametern η wall wird dabei stets nichtbenetzendes Verhaltender Tropfenkomponente, also Kontaktwinkel größer als 90 ◦ erreicht. Diesist dem Rechenaufwand geschuldet: In einem System mit (stark) benetzbarerWand zerfließt der Tropfen. Daher muss bei gleicher Tropfengröße wegen derperiodischen Randbedingungen die gleiche Höhe, aber eine wesentlich größereGrundfläche zur Verfügung stehen. Mit einzelnen Simulationen konnte jedochdie Punktsymmetrie der Kurve der Kontaktwinkel in Abhängigkeit von der Pseudowanddichtegezeigt werden.3.2.1 Geometrische BestimmungAuch ohne Kenntnis der zugrunde liegenden Phänomene kann die Benetzbarkeiteiner Oberfläche für eine gegebene Flüssigkeit durch Anschauung des Kontaktwinkelseines Tröpfchens quantifiziert werden. Daher wird der geometrisch ausder Simulation eines Tröpfchen-Oberfläche-Systems ermittelte Kontaktwinkel alsVergleichswert dienen.hθrb/2bh − rAbbildung 3.4: Zu der geometrischen Bestimmung des Kontaktwinkels.Den von der Oberfläche eines Kugelabschnitts mit der Schnittfläche eingeschlossenenWinkel θ erhält man bei Kenntnis der Basis b und der Höhe h sowiedes Kugelradius R (s. Abb. 3.4) aus der Formelθ = arctan b/2R − h . (3.1)


40 ErgebnisseDurch Messung der Nulldurchgänge des Ordnungsparameters werden Basis undHöhe des Tröpfchens bestimmt. Der Radius beträgt dann R = 4h2 +b 2.8hIn unmittelbarer Nähe der Wand kommt die Unschärfe der Grenzflächen zutragen, da aus der Wechselwirkung mit der Wand ein Dichtegradient resultiert.An der Tripellinie, an welcher die Tropfengrenze bestimmt werden soll, überlagertsich außerdem die Flüssig-flüssig-Grenzfläche. Daher ist es zur Bestimmung derBasis günstig, zunächst eine Schnittfläche außerhalb dieses Bereichs zu wählen.Für die hier gegebenen Werte sind das 5 GE über der Wand. Mit entsprechendverminderter Höhe kann dann der Radius erhalten und schließlich die Basis ander Wand extrapoliert werden.Die im Folgenden für die geometrisch bestimmten Kontaktwinkel angegebenenFehlerbalken beziehen sich stets auf an den Isoflächen ρ = ρ max /2 gemesseneGeometrien. Sie geben damit die durch die endliche Dicke der Grenzschicht bedingteUnsicherheit wieder.3.2.2 Parameterabhängigkeit des KontaktwinkelsAbhängigkeit des Kontaktwinkels von der SystemgrößeDie Größe des simulierten Systems ist für die zu erwartende Genauigkeit der Ergebnissevon entscheidender Bedeutung. So stellt sich die als Kreis angenommeneQuerschnittstruktur eines Tropfens bei zu kleinem Volumen aufgrund der Gitterstrukturdes Systems eher als Treppe dar. Rechnungen, in denen die Krümmungeiner Oberfläche von Bedeutung ist können große Abweichungen erfahren. Ebensokann die Näherung eines Ausschnitts der Kugeloberfläche als Ebene versagen.Weiterhin stellt sich, wie oben erwähnt, durch eine Wechselwirkung ein Dichtegradientein. Ist hier z.B. eine Laminarschicht von zu geringer Breite, so reichtdie Anzahl der Gitterpunkte nicht aus um den vollständigen Verlauf des Gradientenabzubilden. Zwischen zwei diffusen Grenzbereichen liegt dann im Gleichgewichtein Dichtemaximum welches der maximal mit den gegebenen Gradientenüber die halbe Lamellenbreite erreichbaren Dichte entspricht, dieses ist jedochgeringer als es die Simulation mit einem System ausreichender Größe ergäbe.Um die Abhängigkeit der gefundenen Ergebnisse von der Systemgröße zuüberprüfen wurden Simulationen mit ansonsten gleichen Parametersätzen in Systemender Größe 32 3 , 64 3 , 128 3 und 256 3 Gitterpunkten durchgeführt. Die entsprechendenInitialen Volumina der Tropfen sind ca. 17 3 , 35 3 , 70 3 und 141 3 Gitterpunkte.In der Abbildung 3.5 ist die Abhängigkeit des bei einer Kopplung vong αα = 0, 16 gemessenen Kontaktwinkels für verschiedene Benetzbarkeiten dargestellt.Die Konvergenz der Ergebnisse für zunehmende Tropfengröße ist für denFall einer Pseudodichte η wall = 0, 1 evident. Für stärkere Wandwechselwirkungenist sie jedoch auch bei einer Systemgröße von 256 3 Gitterpunkten noch nicht


3.2 Kontaktwinkel 41η wall = 0, 3η wall = 0, 2η wall = 0, 1Kontaktwinkel θInitiales Tropfenvolumen [GE 3 ]Abbildung 3.5: Die Änderung des Kontaktwinkels für zunehmende Tropfengröße,ermittelt für verschiedene η wall mit einer Kopplung von g αα = 0, 16.vollständig. Da jedoch auch hier die Differenzen der erhaltenen Kontaktwinkelwertemit zunehmender Systemgröße deutlich abnehmen und mit einer erhöhtenPseudowanddichte keine qualitativ neuen Effekte zu erwarten sind, wurde wegendes mit der Systemgröße steigenden Rechenaufwands auf weitere Simulationenverzichtet.Abhängigkeit des Kontaktwinkels von der Pseudowanddichte η wallDie Abbildung 3.6 zeigt die Abhängigkeit der geometrisch ermittelten Kontaktwinkelvon der Pseudowanddichte η wall , dem Parameter der Benetzbarkeit. Diequalitative Arkuskosinusgestalt der Kurve ist ein Indiz für die Dichteabhängigkeitder in die Young-Gleichung (2.27) einfließenden Oberflächenspannungen γ αα , dasich der Kontaktwinkel aus der Young-Gleichung als Arkuskosinus ergibt. Bis zueinem Kontaktwinkel von ca. 160 ◦ ist die η wall -Abhängigkeit dabei in guter Näherunglinear. Die gepunktet gezeichnete Linie entspricht dabei der ersten Ordnungder Taylorentwicklung eines Arkuskosinus:f(x) = arccos(3.45 · x) ≈ π − 3.45 · x − O(2) (3.2)2


42 ErgebnisseKontaktwinkel θBenetzbarkeitsparameter η wallAbbildung 3.6: Kontaktwinkel aufgetragen über der Pseudowanddichte und linearerFit an die Kurve (siehe Gl. 3.2). Bestimmt durch Messung der Geometrie einesTropfens mit initialem Volumen von etwa 141 3 Gitterpunken bei einer Kopplungvon g αα = 0, 16. Die Fehlerbalken zeigen Werte, welche mit um ρmaxvariierten2Isooberflächen des Ordnungsparameterfeldes ermittelt wurden.Die Grundlage der Gültigkeit dieser als Fit gefundenen Näherung ist dabei unklar.Mögliche Ansatzpunkte für weitere Untersuchungen sind:• Die Untersuchung des Verhaltens für erheblich längere Laufzeiten. Zwar ändertsich der geometrisch bestimmte Wert des Kontaktwinkels bei der Simulationmit Anfangstropfenvolumen von ca. 141 3 Gitterpunkten im Zeitraumvon 15000 ZS bis 20000 ZS nur noch um weniger als 1 Prozent, es ist abernoch eine Schwingung des Tropfens erkennbar. Im Rahmen dieser Arbeitwurde darauf wiederum wegen des hohen Rechenaufwands verzichtet.• Die separate Variation der Kopplung der Flüssigkeitskomponenten untereinanderund ihrer Kopplung mit der Wandkomponente. Diese ist bislangin der Implementierung LB3D nicht vorgesehen. Deswegen und wegen desgroßen zu untersuchenden Parameterraums wurde hier darauf verzichtet.


3.2 Kontaktwinkel 43Abhängigkeit vom Kopplungsparameter g ααKontaktwinkel θη wall = 0, 3η wall = 0, 2η wall = 0, 1Kopplungsparameter g ααη wall = 0, 4Abbildung 3.7: Kontaktwinkel aufgetragen über dem Kopplungsparameter g αα .Gemessen in einem System der Größe 128 3 Gitterpunkten für verschiedene η wall .Für η wall = 0, 4 ist für die Kopplungen 0, 16 und 0, 18 ein Fall eingetreten, in welchender Tropfen teilweise bereits über der Wand schwebt. Weitere Erläuterungim Text..Abbildung 3.7 zeigt den gemessenen Kontaktwinkel in Abhängigkeit von Kopplungsparameterg αα für verschiedene Pseudowanddichten η wall , gemessen in Systemeneiner Größe von 128 3 Gitterpunkten. Ihr ist zu entnehmen, das der Einfluß derKopplung auf den Kontaktwinkel proportional der Pseudowanddichte zunimmt.Dies ist auf die Form der Shan-Chen-Kraft zurückzuführen, in die Kopplungsparameterund Dichten der wechselwirkenden Komponenten eingehen (s. Abschnitt2.3.2).Die Kopplungsstärke beeinflußt dabei sowohl die Grenzschichtdicke, als auchdie Stärke der repulsiven Wandwechselwirkung. Dies führt bei einer Änderungdes Kopplungsparameters zu sich überlagernden Effekten:• Für geringe Werte von g αα , nahe dem kritischen Punkt der Entmischung (s.


44 ErgebnisseAbschnitt 3.1), ist der diffuse Grenzbereich stark ausgedehnt. Gleichzeitigist die von der Wand ausgehende Kraft kleiner.• Wird die Kopplung erhöht, so verringert sich die Dicke der Grenzschicht bisauf ein Minimum. Gleichzeitig wird die Abstoßung durch die Wand erhöht.Da in der Simulation keinerlei externe Kräfte wirken, sind die Tropfen schwerelos.Wird die abstoßende Wechselwirkung mit der Wand stark genug, bzw. zugroß, so schwebt der Tropfen über ihr.3.2.3 Messung der mechanisch definierten OberflächenspannungIst ein System im thermodynamischen Gleichgewicht, so ist der skalare Betragdes Druckes im gesamten System gleich. Enthält das System mehr als eine Phase,führt dies an der Grenzfläche dazu, dass sich ein anisotroper Drucktensor einstellt,welcher die Oberflächenspannung bedingt. Dieser sog. mechanischen Definitionder Oberflächenspannung γ nach, ist sie gleich der Differenz des Normal- undTangentialteils des Drucktensors P integriert über eine Strecke s normal zurGrenzfläche, also:γ =∫ ∞−∞(P N − P T )ds (3.3)Mit der Berechnung des Drucktensors aus den Simulationsdaten ist also auch dieBerechnung von Oberflächenspannungen und damit des Kontaktwinkels möglich.Im folgenden werden verschiedene Simulationsansätze und die aus ihnen gewonnenenWerte diskutiert.Bestimmung des Kontaktwinkels aus an einer planaren Oberfläche gemessenenmechanischen OberflächenspannungenDie Messung der Oberflächenspannung an einer ebenen Grenzfläche kann mitsehr geringem Rechenaufwand durchgeführt werden. Die Grenzfläche zwischenden Komponenten ist hier die einzige Anisotropie. Ein Einfluss der Systemgrößeauf das Ergebnis ist daher nur in der Raumrichtung Normal zur Grenzfläche zuerwarten. Aus der Arbeit [80] folgt eine Schichtdicke von 64 GE in der Vorzugsrichtungals ausreichende Systemgröße. Dieses Ergebnis wurde nachvollzogen unddie Produktionsläufe in Systemen mit periodischen Randbedingungen in der Größe8 × 8 × 128 GE 3 durchgeführt. Zur Bestimmung der Oberflächenspannungγ AB zwischen den Flüssigkeitskomponenten A und B wurde das System dabei jezur Hälfte mit einer Komponente der Dichte ρ A = ρ B = 0, 7 initialisiert und dieKopplung g AB = g AW zwischen 0, 0 und 0, 2 in Schritten von 0, 02 variiert.


3.2 Kontaktwinkel 45Zur Bestimmung der Oberflächenspannungen γ AW und γ BW zwischen denFlüssigkeits- und der Wandkomponente wurde das System zu einer Hälfte mitje einer Komponente der Dichte ρ A,B = 0, 7, zur anderen Hälfte mit Wandkomponentevariabler Pseudodichte initialisiert. Der Parameter η wall wurde dabeizwischen 0, 0 und 0, 6 in Schritten von 0, 02 variiert, g AB = g AW wiederum von0, 0 bis 0, 2 in Schritten von 0, 02.Kontaktwinkel θg αα = 0, 08g αα = 0, 10g αα = 0, 18g αα = 0, 2Benetzbarkeitsparameter η wallAbbildung 3.8: Zur Illustration der Konvergenz für große Kopplungsstärken. Dargestelltist die Abhängigkeit des aus der Messung der Oberflächenspannung aneiner planaren Grenzfläche abgeleiteten Kontaktwinkels von der Wandbenetzbarkeitfür Kopplungen nahe der kritischen Werte für Entmischung bei g AB ≈ 0, 065und numerischer Stabilität bei g AB ≈ 0, 20. Die Konvergenz der Ergebnisse fürstarke Kopplungen wird an Tropfen nicht beobachtet..Durch Einsetzen in die Young-Formel wurde aus den so erhaltenen Oberflächenspannungender jeweilige Kontaktwinkel berechnet. Die gefundenen Kontaktwinkelkonvergieren mit Kopplungsparametern nahe der Grenze der numerischenInstabilität bei g AB ≈ 0, 20, also für geringe Grenzschichtdicken. Dies ist derAbbildung 3.8 zu entnehmen in welcher der Kontaktwinkel θ als Funktion der


46 ErgebnisseProzentuale Abweichung von θgeometr.g αα = 0, 10g αα = 0, 12g αα = 0, 14g αα = 0, 16g αα = 0, 18⋆ ⋆⋆⋆ ⋆⋆⋆⋆⋆Kontaktwinkel bereits bei 180 ◦Benetzbarkeitsparameter η wallAbbildung 3.9: Prozentuale Abweichung der unter Verwendung der mechanischendefinierten Oberflächenspannungen an planaren Grenzflächen, aus der Young-Formel berechneten Kontaktwinkel von geometrisch an Tropfen eines initialenVolumens von ca. 70 3 Gitterpunkten gemessenen. Für jede Benetzbarkeit sindErgebnisse für fünf Kopplungen aufgetragen..Wandbenetzbarkeit η wall für verschiedene Kopplungsstärken dargestellt ist.Abbildung 3.9 zeigt die prozentuale Abweichung der Kontaktwinkelwerte zuden geometrisch bestimmten. Hier fällt auf, dass die Abweichungen sämtlichpositiv sind. Auch ist die Abhängigkeit von der Kopplung deutlich größer alsdie an Tropfen beobachtete. So ist für g AB = 0, 10 bereits vor einem η wall von0, 2 der Kontaktwinkel gleich 180 ◦ , während für g AB = 0, 18 dieser Wert auchbei η wall = 0, 3 noch nicht erreicht ist. Bis η wall = 0, 4 haben schließlich dieRechnungen für alle Kopplungen θ = 180 ◦ ergeben, während dies am Tropfenfür g AB = 0, 14 noch nicht der Fall ist.Für diese signifikanten Abweichungen kommen verschiedene Ursachen in Frage:• Die Berechnung des Drucks ist fehlerbehaftet. Da dieser eine Dichteab-


3.2 Kontaktwinkel 47hängige Komponente besitzt, kann bei nicht vollständig abgeschlossenerRelaxation ins Gleichgewicht diese einen Beitrag zu den an der Grenzflächegemessenen Werten liefern.• Darüberhinaus können in Gitter-Boltzmann-Systemen allgemein an Phasengrenzensog. unbegründete Strömungen (engl. spurious currents) [81].Diese sind Folge der in Shan Chen Modellen aufgehobenen lokalen Impulserhaltung.Sie stellen zwar vor allem in mehrphasigen Einkomponentenmodellenein Problem dar, verschwinden jedoch auch in Mehrkomponentenmodellennicht vollständig.• Ferner entspricht die Integration der Druckdifferenzen im Fall der maximalscharfen Grenzfläche einer gewichteten Addition von hier etwa siebenrelevanten Zahlenwerten an denen eine signifikante DruckdifferenzO(∆P) > 10 −6 auftritt.• Auch ist das System der Tropfen dreikomponentig, während bei dieser Methodedie Oberflächenspannungen nur zwischen jeweils zwei der Komponentenbestimmt wurden. Dem Ansatz lag dabei die Annahme zugrunde,dass der Einfluss der Diffusion der Komponenten untereinander, wie sie imTropfensystem mit ρ max /ρ min ≈ 30 auftritt, vernachlässigbar ist.• Weiterhin wurde hier die Krümmung der Tropfenoberfläche vernachlässigt.Damit diese Näherung zulässig ist, muss der Radius des Tropfens gegen unendlichgehen. Prinzipiell sollte also die Messung am größten betrachtetenSystem den geringsten Fehler verursachen. Hier tritt jedoch die für Wandbenetzbarkeitenη wall größer 0, 1 unvollständige Konvergenz als Fehlerquellehinzu.• Schließlich sind die durch die Simulationsmethode modellierten Flüssigkeitengeringfügig kompressibel. Daraus ergibt sich ein Unterschied in den erhaltenenMaximal- und Minimaldichten in dem vollständig symmetrischenSystem der Oberflächenspannungsmessung an der planaren Grenzflächeund dem System des Tropfens.Bestimmung des Kontaktwinkels aus an einem Tropfen gemessenenmechanischen OberflächenspannungenUm den resultierenden Fehler der bei der Messung der Oberflächenspannungan einer planaren Oberfläche gemachten Annahmen zu evaluieren, wurde dieMessmethode für das Tropfensystem implementiert. Hier wurde eine für radiale


48 ErgebnisseGrenzflächen angepasste Form der Gleichung 3.3, nämlichγ =∫ ∞0( rR s) 2(P N − P T )dr. (3.4)zur Berechnung der Oberflächenspannungen verwendet [12]. R s ist dabei derRadius der Grenzfläche. Die Integration erfolgt vom Tropfenmittelpunkt r = 0bis an den Rand des Systems, hier bis 5 GE unterhalb der oberen Systemgrenzeum den durch die periodischen Randbedingungen vorhandenen Einflußbereich derWandunterseite auszugrenzen. Um zu verhindern, dass die Benetzungseigenschaftender Wand über den periodischen Rand die Systemeigenschaften beeinflussen,wurde unterhalb der Wand variabler Pseudodichte η wall bei z = 1 stets eineSchicht Wandkomponente mit η wall = 0 bei z = 0 in der Simulation erzeugt. Abbildung3.10 zeigt ein Beispiel des Dichteprofils der den Tropfen konstituierendenKomponente A in der Tropfenmitte. Bei z ≈ 62 ist ein minimaler Anstieg derDichte auszumachen, da an der Fläche mit θ = 90 ◦ etwas der im Gleichgewichtin das System diffundierten Tropfenkomponente kondensiert.Durch die quadratische Skalierung mit dem Radius der Oberfläche wird diegrößere Wirkfläche der Druckdifferenzen auf äußeren Kugelschalen berücksichtigt.Die so gefundenen Werte für den Kontaktwinkel liegen insgesamt unterhalbden geometrisch bestimmten - (siehe Abb. 3.11). Vor allem für mittlere Wandbenetzbarkeitensind höhere Abweichungen zu beobachten. Das Verhältnis derAbweichungen stimmt hier qualitativ gut mit der in Abschnitt 3.2.2 beschriebenenKopplungsabhängigkeit des Kontaktwinkels überein. Unter Einbeziehungder Unsicherheit gilt dies auch für das Erreichen des Grenzbereichs: Der Fehlergegen die geometrische Bestimmung nimmt hier ab. Bei g αα von 0, 10, 0, 16und 0, 18 wird zumindest übereinstimmend der Definitionsbereich der Lösung derYoung-Laplace-Gleichung verlassen.Der nahezu lineare Anstieg des Kontaktwinkels mit der Wandbenetzbarkeit,wie er in den geometrischen Messungen beobachtet wurde, kann hier nicht nachvollzogenwerden.Die qualitative Übereinstimmung der Abweichung mit der Kopplungsparameterabhängigkeitdes Kontaktwinkels legt nahe, ihre Ursache in der Implementierungder Kopplung zu suchen. Zur Verbesesserung der Ergebnisse kommt insbesonderedie Einführung unabhängiger Parameter für Flüssigkeits- und Wandkopplungin Betracht.


3.2 Kontaktwinkel 49Dichte ρAz-AchseAbbildung 3.10: Dichteprofil in der Tropfenmitte. Auch wenn der untere Teilder Wand neutral ist, lagert sich etwas von der Tropfenkomponente an ihr an(θ = 90 ◦ ).3.2.4 Abschätzung des Kontaktwinkels nach Huang etal.In der Veröffentlichung [78] postulieren Huang et al. für das mehrphasige, mehrkomponentigeShan-Chen-Modell eine, für ein festes Verhältnis von Dichte derKomponenten und ihrer Kopplung gültige Abschätzung des Kontaktwinkels. Grundlageist die Überlegung, dass die Oberflächenspannungen an den Wandflächen vorallem durch die lokale Wechselwirkung und damit durch Dichtegradienten undKopplung bestimmt werden. Je nach Güte der Näherung bietet dieser Ansatz alsotheoretisch die Möglichkeit den bei der Berechnung aus geschwindigkeitsabhängigenGrößen gemachten Fehler abzuschätzen.Die auf die Komponente α wirkende Kraft setzt sich mit einer Wand mitBenetzungseigenschaften als Randbedingung zusammen aus:F α =F}{{} c,α + F} ads,α{{ }Kohäsionskraft (flüssig/flüssig) Adhäsionskraft (fest/flüssig)


50 ErgebnisseProzentuale Abweichung von θgeometr.g αα = 0, 10g αα = 0, 12g αα = 0, 14g αα = 0, 16g αα = 0, 18Keine Werte: θ = arccos(> 1)⋆⋆⋆Benetzbarkeitsparameter η wallAbbildung 3.11: Prozentuale Abweichung der unter Verwendung der mechanischendefinierten Oberflächenspannungen für radiale Grenzflächen im Tropfensystem,aus der Young-Formel berechneten Kontaktwinkel von geometrisch anTropfen eines initialen Volumens von ca. 70 3 GE 3 gemessenen. Für jede Benetzbarkeitsind Werte für fünf Kopplungen aufgetragen..Für die Komponenten gilt dabei:F c,α (x,t) = −g αα ρ α (x,t) ∑ kg k ρ α (x + c k ∆t,t)c k ,F ads,α (x,t) = −g αα ρ α (x,t) ∑ kg k s(x + c k ∆t,t)c kmit s = 1, falls in der Geschwindigkeitsrichtung Wandkomponente liegt und 0sonst.Proportional zu diesen Kräften werden die Oberflächenspannungen in Abhängigkeitvom Dichtegradienten als arithmetisches Mittel aus Minimal- und Maximaldichteder Flüssigkeitskomponenten und den Kopplungen gebildet.γ AB = g αα [(ρ A − ρ B )/2]


3.2 Kontaktwinkel 51Prozentuale Abweichung von θgeometr.g αα = 0, 10g αα = 0, 12g αα = 0, 14g αα = 0, 16g αα = 0, 18Keine Werte: θ = arccos(> 1)⋆⋆Benetzbarkeitsparameter η wallAbbildung 3.12: Prozentuale Abweichung des nach der von Huang et al. postuliertenNäherung bestimmten Kontaktwinkels von dem geometrisch bestimmtenWert. Bestimmt an Tropfen eines initialen Volumens von ca. 70 GE 3 . Für jedeBenetzbarkeit sind Werte für fünf Kopplungen aufgetragen..Es folgt das Young-Laplace-Gesetz:γ αW = g αα · η wallcos θ = γ BW − γ AWγ AB(3.5)Für die verwendete einheitliche Kopplung von Flüssigkeiten und Wand ist dieseGleichung explizit nur noch vom Gradient der extremalen Flüssigkeitsdichten undder Wanddichte abhängig. Eine Kopplungsabhängigkeit ist jedoch implizit durchdie g αα -Abhängigkeit der Entmischung gegeben.Die Berechnung erfolgte wiederum anhand von in den Tropfensimulationenerhaltenen Werten. Abbildung 3.12 zeigt die prozentuale Abweichung von dengeometrischen Kontaktwinkelmessungen für Systeme mit initialen Tropfenvolumenvon ≈ 70 3 Gitterpunkten.


52 ErgebnisseDie Struktur der η wall -Abhängigkeit des Fehlers legt auch hier einen ausgeprägterenArkuskosinuscharakter der berechneten Funktion gegenüber dem geometrischgefundenen linearen Zusammenhang nahe. Die Abweichung ist hier proportionalzum Betrag der Kopplung und nimmt für niedrige g αα bereits ab einerPseudowanddichte von 0, 2 ab, was einen Zusammenhang mit der Grenzschichtdickevermuten lässt.Insgesamt ist die Abweichung hier groß, jedoch wird die Gültigkeit des Ansatzesnur für einen festen Wert g αα ·ρ α = const. postuliert. Wegen der nur indirektenKopplungsabhängigkeit ist davon auszugehen, das für die initialen Dichtenein Wert gefunden werden kann, für welchen die Näherung hält. Wegen des bereitsgroßen untersuchten Parameterraums und der eingeschränkten allgemeinenGültigkeit des Ansatzes wurde hier darauf verzichtet.3.2.5 Analytische Rechnung nach Benzi et al.Für mehrphasige Einkomponentensysteme wurde 2006 von Benzi et al. die Herleitungeines analytischen Ausdrucks für den Kontaktwinkel veröffentlicht. Hierwurde eine Übertragung des Rechenansatzes auf das einphasige mehrkomponentigeSystem versucht.Ausgehend vom in 2.3.2 abgeleiteten Ausdruck für den Drucktensor kann einAusdruck für den Kontaktwinkel gewonnenen werden. Hierzu nötige Forderungensind:• Die allgemeine Gleichgewichtsbedingung an den Drucktensor P:∇P(x) = 0• Die Dichte ρ α,α der Komponenten strebt im Bereich fern der Grenzflächegegen einen Grenzwert:ρ α (−∞) = ρ max , ρ α (+∞) = ρ minWählt man Koordinaten mit Ursprung in - und einer Achse normal zu derGrenzfläche, z.B. ρ = ρ α max −ρ α min/2 als Ursprung der z-Achse, so wird ρ = ρ(z),= 0 und damit der Drucktensor diagonal:∂ρ= ∂ρ∂x ∂xP(x) = P xx(z)ê x ê x + P yy(z)ê y ê y + P zz(z)ê z ê z (3.6)Aufgrund der Symmetrie gilt dabei für die transversalen Komponenten P xx(z) =P yy(z) = P T(z). Wegen der mechanischen Gleichgewichtsbedingung ∇ · P = 0gilt für die Normalkomponente: P zz(z) = P N(z) = p 0 = const.


3.2 Kontaktwinkel 53Ziel ist die Gewinnung eines Ausdrucks, welcher nur von den Besetzungsdichtenabhängt.mit den Ableitungen der Besetzungsfunktion ψ, ψ ′ = dψ und ψ′′ =dρberechnet durch Auflösen des Ausdrucks ∇ 2 zψ(ρ(z)) mit Hilfe der Kettenregel[d d [ψ(ρ(z))]] = d dz dz dz(==ddz[dψdρ]dρdz)dψ dρ+ ( dψ ddρ dz dρ dz( )d 2 ψ dρ dρ+ dψdρ 2 dz dz dρ)dρdz( )d 2 ρdz 2,d2 ψdρ 2 ,erhält man für die Normalkomponente des Drucktensors (2.56) der Flüssigkeitskomponenteαp α 0 = 1−d 0D c2 sρ α P+ c2 s k g ∑ k2Dψα α g ααψ αP+ 3c4 s k g ∑ k4D(D+2) ψα α g αα[ψ ′′α () ]2dρ αdz + ψ′α d 2 ρ αdz 2(3.7)Fern der Grenzfläche wird die Änderung der Besetzung mit dem Ort verschwinden.p 0 erfüllt daher dort die Gleichungenp α 0 = 1−d 0D c2 sρ α Pmin + c2 sk g k2D= 1−d 0D c2 sρ α Pmax + c2 sk g k2Dψα (ρ α min) ∑ α g ααψ α (ρ α max)ψα (ρ α max) ∑ α g ααψ α (ρ α min)(3.8)Die Lösung der Gleichung 3.7 mit 3.8 ergibt das gesuchte Besetzungsprofil ρ(z).Als Randbedingung geht hier weiterhin dρ/dz = 0 : z → ±∞ ein. Mit derSubstitution ( dραdz )2 = b α unter Beachtung der Relation d2 ρ α= 1 db α,dz 2 2 dρ[ ( ) ]2ψ α d 2 ψ α dρ αdρ α2 dz +dψ α d 2 ρ αdn α dz 2= ψ α [d 2 ψ αdn α2 b α + dψα= ψ α [2 ψαdρ α d 2 ψ αdρ α2 b α += d dρ((dψ αdρ α b α ))]1 db αdρ α 2 dρ α( ) ] 2dψ α db αdρ α dρ α| · 2 ψα| · 1dρ α 2dρ αψ α1 dρ α ,2 ψ α1 dρ α2 ψ α


54 Ergebnisseerhält man aus Gleichung 3.7 ein gekoppeltes System aus je einer Differentialgleichungerster Ordnung pro Flüssigkeitskomponente.Die Differentialgleichung von b α (für die Komponente α) lautet damit:p α 0 − 1−d 03c 4 sD c2 sρ α P− c2 sPk g k8D(D+2) ψα ∑ α g αα 1Direkte Integration der Gleichung 3.9 liefertb α (ρ α 8D(D+2)∑) =3c 4 sPk g k× ∫ (p 0 − 1−d 0D c2 sρ α − c2 sk g ∑ k2D ψα α g ααψ α =ψ ′αd(b α ψ ′α2 )dρ α1α×P g αα ψ ′α 2k g ∑ k2Dψα α g ααψ α ) dψαψ α .(3.9)(3.10)Da im grenzfernen Bereich die Funktion b α ∼ dρ verschwindet, kann zur Erfüllungdzdieser Randbedingung∫ (ρ αmaxp 0 − 1−d 0D c2 sρ α P− c2 s k g ∑ )k2D ψα α g ααψ α ψ ′αdρ α = 0 (3.11)ψ αρ α mingefordert werden. Für ψ = ψ 0 exp(−ρ/ρ 0 ) entspricht dies der Koexistenzkurvezweier Phasen eines isothermen Prozesses der Thermodynamik.Um das gesuchte Profil der Dichteverteilung zu erhalten, müssen zunächstfür einen festen Wert von 1−d 0g ααdie Integrationsgrenzen der Funktion (3.11) mitHilfe des Gleichungssystems (3.8) für gegebenes p 0 bestimmt werden. Danachkönnen aus (3.11) p 0 ,ρ α min und ρ α max bestimmt und damit durch Integration vonGleichung (3.9) die Funktion b α (n α ) ausgerechnet werden.Das Dichteprofil ρ α (z) folgt dann aus b α = ( )dρ α 2:∫ ρ αdz(ρ α min +ρα max )/2 b α (ρ α ) −1/2 dρ α = z (3.12)Letztere Gleichung ist nur für einige spezielle Formen von ψ(ρ) in elementarenFunktionen darstellbar. Vergleich mit der Thermodynamik bedingt die Wahl vonψ(ρ) = ψ 0 · e −ρ/ρ 0. Diese wird in der Implementierung LB3D auf 1 bezogenverwendet, d.h. hier gilt: ψ(ρ) = ψ 0 · (1 − e −ρ/ρ 0)Aus dem Dichteprofil kann nun der Drucktensor (2.56) berechnet werden.Eine Projektion des Tensors auf Normal- bzw. Transversalrichtung der Grenzflächeliefert seine Komponenten P N und P T . Die Integration ihrer Differenznormal zur Grenzfläche ergibt dann, nach der mechanischen Definition (2.25),die Oberflächenspannungen γ und schließlich den Kontaktwinkel.Für das vorliegende mehrkomponentige System ergeben sich gekoppelte Differentialgleichungen,welche im zeitlichen Rahmen dieser Arbeit nicht gelöst werdenkonnten.


3.2 Kontaktwinkel 55Chen und Doolen [62] fanden bei einer ähnlichen Untersuchung von Mehrkomponentensystemennichtlineares Diffusionsverhalten und führten die Lösungauf eine störungstheoretische Betrachtung der Dichteverteilungen zurück. IhrerAussage nach ist mit diesem Ansatz eine analytische Berechnung des Dichteprofilsan Grenzflächen eines Mehrkomponentensystems möglich.3.2.6 Diskussion der ErgebnisseDie bisherigen Ergebnisse zur Kontaktwinkelbestimmung nach verschiedenen Methodenzusammenfassend muss bedauerlicherweise zunächst festgehalten werden,dass kein zuverlässiges Mittel zur Vorhersage der Benetzungseigenschaften voneinphasigen, mehrkomponentigen Shan-Chen-Systemen gefunden werden konnte.Für eine a posteriori Kontaktwinkelbestimmung, oder die problemangepassteBestimmung von Benetzungseigenschaften unmittelbar im Simulationssystemscheint die geometrische Bestimmung zunächst am besten geeignet.Mit Hilfe dieser Methode konnte daher auch die Parameterabhängigkeit derKontaktwinkel von Systemgröße, Kopplung und Pseudowanddichte untersuchtwerden.Der Einfluß der Systemgröße auf die gefundenen Ergebnisse nimmt, wie für einGitter-Boltzmann-System allgemein erwartet, mit zunehmender Größe ab. Verantwortlichhierfür sind die Wirkungen langreichweitiger Krafte. Da diese durchlokale Dichtegradienten im System vermittelt werden, ist eine minimale Ausdehnungvon Domänen für das erreichen der richtigen GleichgewichtsmaximalundMinimalwerte der Dichten erforderlich. Dies erklärt auch, warum die zurKonvergenz der Simulation notwendige Systemgröße mit der stärke der Wechselwirkungenzunimmt. So liegt die relative Änderung des gemessenenen Kontaktwinkelsbei ungefährer Verdopplung des initialen Tropfenvolumens von ≈ 70 3 auf≈ 141 3 Gitterpunkte für eine Pseudowanddichte von η wall = 0, 1 bei etwa 0, 21%,η wall = 0, 2 bei etwa 0, 56% und η wall = 0, 3 bei etwa 1, 2%.Die Pseudowanddichte η wall ist als spezieller Parameter der Wandbenetzbarkeitin das Modell eingeführt worden [82]. Dementsprechend konnte sie als denKontaktwinkel hauptsächlich bestimmende Einflußgröße identifiziert werden. FürKontaktwinkel fern der Extremalwerte von 0 ◦ , bzw. 180 ◦ ist die θ-Abhängigkeitvon η wall| dabei in guter Näherung linear. Dieser Effekt hängt vermutlich mitder zweiten Einflußgröße für die Wechselwirkungen, nämlich der Kopplung g ααzusammen. Da diese sowohl für die Wechselwirkungen der Flüssigkeitskomponentenuntereinander, als auch der Flüssigkeitskomponenten mit der Wand gleich ist,kürzt sie sich in der Young-Laplace-Gleichung heraus.Dennoch hat der Kopplungsparameter einen indirekten Einfluß auf die Dichtegradientenim System und damit auch auf den Kontaktwinkel. Hier konnten vorallem zwei sich überlagernde Effekte unterschieden werden. Für geringe Kopp-


56 Ergebnisselungswerte ist dies die erhöhte Diffusivität der Komponenten und damit eine höhereUnschärfe der Grenzflächen. Für hohe Kopplungswerte ist es die proportionalder Pseudowanddichte erhöhte abstossende Wechselwirkung. Beiträge beider Effektetreten dabei mit Erreichen des Kontaktwinkelgrenzbereichs | cos θ| → 1gegenüber der Wandwechselwirkung in den Vordergrund.Ein erster Ansatz zur allgemeinen Bestimmung des Kontaktwinkels eines einphasigenMehrkomponentenmodells aus einem einfachen Modellsystem ist die Bestimmungder Oberflächenspannung an einer planaren Grenzfläche jeweils zweierder drei beteiligten Komponenten. Der Vorteil liegt hier in der nur geringen notwendigenGröße des Simulationssystems, da aufgrund der periodischen Randbedingungenlediglich die Ausdehnung des Systems normal zur Grenzfläche einenEinfluß auf die Genauigkeit der Ergebnisse hat [80]. Die Oberflächenspannungwird dann mechanisch durch Integration der Differenz von Normal- und Tangerntialkomponentedes Drucktensors entlang der Normalen der Grenzfläche errechnet.Ein Vergleich der mit Hilfe der Laplace-Young-Gleichung aus den so gefundenenOberflächenspannungswerten berechneten Kontaktwinkel mit den geometrischan Tropfen bestimmten zeigte jedoch große Unterschiede. Hier ist zunächstdie Kopplung, bzw. die durch sie bestimmte Grenzschichtdicke der bestimmendeParameter. Für Kopplungen nahe des Grenzbereiches numerischer Stabilitätist Konvergenz zu beobachten. Die berechneten Kontaktwinkel liegen dabei aberstets deutlich höher als am Tropfen beobachtet.Um die Einflüsse der gegen dem Tropfensystem gemachten Näherungen, dassind vor allem die Vernachlässigung der zweiten Flüssigkeitskomponente bei derWechselwirkung mit der Wand und die Krümmung der Tropfenoberfläche, abzuschätzen,wurde die Methode auf Messungen im Tropfensystem übertragen.Hier wurde zwar dem Definitionsbereich des Kontaktwinkels deutlich besserentsprochen, jedoch liegen die gefundenen Werte stets einige, bis maximal 18Prozent unter den geometrisch ermittelten. Einfluß auf die Genauigkeit habenhier die Berechnung des Drucktensors und die relativ geringe Anzahl der für dieIntegration relevanten Werte. Relevante Druckdifferenzen konnten nur an denGitterpunkten des Grenzbereichs gemessen werden, so dass für die Integrationnur etwa sieben Werte zur Verfügung standen. Ferner können auch unphysikalischenStrömungen einen Erklärungsansatz bieten. Auch ist eine Abhängigkeitdes Fehlers von den oben besprochenen Effekten der Kopplung zu beobachten,so dass auch hier auf eine Verbesserung der Methode durch Verwendung eineszusätzlichen Kopplungsparameters geschlossen werden kann.Um Fehler, welche durch die Berechnung des Drucks bedingt sind auszuschließen,sowie um allgemein einen weiteren Bestimmungsansatz für den Kontaktwinkelzu evaluieren wurde eine Näherungsmethode von Huang et al. auf dasverwendete Modell übertragen.


3.2 Kontaktwinkel 57Hier zeigten sich in Bezug auf die Abhängigkeit von der Wandbenetzbarkeitähnliche Abweichungen des berechneten Kontaktwinkels wie bei der Bestimmungaus den Oberflächenspannungen am Tropfen. Während für den Definitionsbereichrecht gute Übereinstimmung herrscht, weichen die Werte stets einige, bis hieretwa 15 Prozent ab. Da die Näherung allerdings für ein festes Verhältnis der ParameterDichte und Kopplung postuliert wurde, kann für andere Parameteräumevermutlich bessere Übereinstimmung erzielt werden.Schließlich wurde versucht den analytischen Ansatz von Benzi et al. zur Berechnungdes Kontaktwinkels für das verwendete Modell zu adaptieren, was leiderim zur Verfügung stehenden Zeitrahmen nicht gelang.Im Rahmen dieser Arbeit konnte kein zufriedenstellendes Vorhersagemodellfür Kontaktwinkel eines einphasigen Mehrkomponenten-Shan-Chen-Modells gefundenwerden.Untersucht wurden dabei die Abhängigkeiten von Systemgröße, Kopplungsparameterund Pseudowanddichte. Nicht betrachtet wurde die Wirkung von variablenDichte und Viskositätsverhältnissen der beteiligten Flüssigkeitskomponenten.Globale Einschränkungen in der Genauigkeit sind bedingt durch die endlicheAnzahl simulierter Zeitschritte, die gefundenen Kontaktwinkelwerte oszillierennoch etwas, sowie die endliche simulierbare Größe. Auch stellt der verwendetegemeinsame Kopplungsparameter für Wand-Flüssigkeit und Flüssigkeits-Flüssigkeitskopplung eine Näherung dar. Hat die Wand für eine Flüssigkeitskomponenteeine Benetzbarkeit, so ist ihr Kontaktwinkel mit der zweiten Komponentestets 90 ◦ , bzw. findet hier gar keine über die Randbedingungen hinausgehendeWechselwirkung statt.Zur weiteren Untersuchung von, auch dynamischen, Oberflächeneffekten wirddaher stets eine Simulation zur Voruntersuchung des statischen Kontaktwinkelsvorgenommen werden.


58 Ergebnisse3.3 Das Lucas-Washburn-GesetzIm letzten Kapitel wurde die Untersuchung der Kontaktwinkels eines Tropfen ineinem System im Gleichgewicht vorgenommen. Hier wird nun die Dynamik einesmikrofluidischen Systems betrachtet. Das Lucas-Washburn-Gesetz beschreibt,wie in Abschnitt 2.2.3 ausführlicher betrachtet, die Geschwindigkeit der Grenzflächeeines in einem kapillaren System aufsteigenden Mediums.Die Gültigkeit der Lucas-Washburn-Gleichung für verschiedene Kombinationenvon strömenden Medien und durchströmten Geometrien, wie bspw. für dasEindringen von Flüssigkeit in gas- oder flüssigkeitsgefüllte Röhrchen oder poröseMedien macht ihre Reproduktion zu einem guten Test für die Gültigkeit der miteiner Simulationsmethode zu ermittelnden Ergebnisse.Molekulardynamische- und Gitter-Boltzmann-Simulationen kamen dabei zuvergleichbaren Resultaten, so dass die recheneffizientere Gitter-Boltzmann-Methodehier geeigneter erscheint.xylzABdAbbildung 3.13: Aufbau der Simulationen zum Lucas-Washburn-Gesetz. Es liegenperiodische Randbedingungen vor. In z-Richtung werden zusätzlich alle die Ebenez = z min erreichenden Besetzungen der Komponente A-, alle die Ebene z =z max erreichenden Besetzungen der Komponente B zugeordnet. Zur Modellierungeines Reservoirs bzw. offenen Endes ist die Wand nicht durchgängig, es wurde1/8 ausgespart. Insgesamt entspricht der Aufbau dem Modell zweier unendlichausgedehnter Platten der Länge l und des Abstands d.Im Sommer 2008 wurde von Chibarro et al. ein Beitrag zur Untersuchung desLucas-Washburn-Gesetzes mit einem zweikomponentigen SC-Gitter-Boltzmann-Modell in zwei Dimensionen veröffentlicht [18]. Hier wird von einem vergleich-


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 59baren pseudozweidimensionalen Aufbau ausgegangen, was einen Vergleich derArbeiten ermöglicht. Es sei hier schon erwähnt, dass die gefundenen Ergebnisse,bzw. ihre Interpretation in dieser Arbeit in einigen Punkten abweichen. Diesbetrifft insbesondere die Wahl der Oberflächenspannung zwischen den Flüssigkeitskomponentenanstelle des Kontaktwinkels als freiem Parameter für die theoretischeVergleichsrechnung.Der für die Simulation verwendeten Aufbau ist in Abbildung 3.13 dargestellt.Zur Interpretation der Grafik sind dabei vor allem die periodischen Randbedingungenwichtig. Die nur in der Ebene x = 0 initialisierte Wand wirkt hier auchin der Ebene x = x max + 1. Die Ausdehnung des Systems in y-Richtung beträgtlediglich 4 GE, insgesamt ergibt sich jedoch ein System zwischen zwei unendlichlangen Platten.Bei Überschreiten der Systemgrenze in Fließrichtung, also entlang der z-Achse, wird zusätzlich zur Periodizität der Komponententyp geändert. Dies erlaubtes durch Aussparung eines Achtels der Systemhöhe vom Wandbereich einenformal unendliches Reservoir zu modellieren. Der Dichteerhalt ist dabei noch fürdie Summe der Komponentendichten ρ A + ρ B gegeben.Die Simulationen wurden mit einer Kanallänge von l = 488 GE in einemSystem von 512 GE Länge mit durchgeführt. Die Kanalbreite d ergibt sich ausder Systembreite von x GE vermindert um eine Gitterschicht für die Wandkomponentebei x = 0 vermindert um zwei halbe Gitterschichten um die effektiveWandpositionen gemäß der Reflexionsrandbedingungen zu berücksichtigen.Die Initialisierung der Komponenten erfolgt mit einer scharfen Grenzfläche beiz = 32 GE. Die kinematische Viskosiät beider fluider Komponenten wird stetsmit ν A = ν B = 0, 1667 eingestellt. Das Dichteverhältnis der Anfangsbedingungist 1, es gilt also ρ A = ρ B .Entscheidend für die Beobachtung des Kapillareffekts im System ist einepositive Benetzbarkeit der Wandkomponente für eine der beiden Flüssigkeitskomponenten,hier Komponente A. Da in dem zunächst Anwendung findendenMCSP-SC-LBGK-Modell ausschließlich abstoßende Wechselwirkung implementiertist, wird die positive Benetzbarkeit indirekt, nämlich durch Abstoßung derKomponente B erreicht. Anders ist Abschnitt 3.3.4: Im dort verwendeten SCMP-SC-LBGK-Modell sind nur attraktive Wechselwirkungen definiert und die positiveBenetzbarkeit beruht direkt auf der Anziehung der Flüssigkeits- durch die Wandkomponente.Abbildung 3.14 zeigt einen Schnitt durch das Profil des Ordnungsparametersφ = ρ A − ρ B einer Simulation mit der Kanalbreite d = 254 GE nach 40000 ZS.Der Kopplungsparameter beträgt g αα = 0, 16. Hier sind weitere Eigenschaftendes Systems abzulesen. Die abstoßende Wechselwirkung zwischen KomponentenB und Wandkomponente mit η wall = 0, 2 bei x = 0 führt zu einer Verringerungvon ρ B bei x = 1. Im Bereich von etwa 40 GE vor der Grenzfläche in


60 Ergebnisseden Gitterschichten x = 1, 2 ist dieser Verarmung ein weiterer Effekt überlagert,nämlich ein erhöhter Wert von ρ A , welcher durch einen vorauseilenden Film (engl.precursor) bedingt ist. Dieser verhältnismäßig geringe Effekt ist Folge von mikroskopischenWechselwirkungen [22], welche offenbar zumindest qualitativ auchdurch den SC-Ansatz wiedergegeben werden.An dem Schnitt bei x = 127 ist die endliche Grenzschichtdicke ∆z ≈ 6 GEgut zu erkennen. Der Kontaktwinkel wird dabei in der Ebene φ = 0 bestimmt.


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 61Ordnungsparameter φ0.70.60.50.40.30.20.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.720 40 60 80 100 120 20 40 60 80x-Achse100 120 140z-AchseAbbildung 3.14: Profil des Ordnungsparameters φ = ρ A −ρ B zum Zeitpunkt t =40000 ZS. Simulationsdaten für die Parameter Pseudowanddichte η wall = 0, 2,Wandabstand d = 254 GE und Kopplung g αα = 0, 14. Eine Grenzschichtdicke∆x von etwa 6 GE ist abzulesen. Die Kontaktwinkelbestimmung erfolgte in derEbene φ = 0. Nahe der Wand bei x = 0 überlagern sich zwei Effekte: Der beix = 1 erhöhte Wert beruht vor allem auf der Abstoßung der Komponente Bdurch die Wand. Weiterhin existiert ein, der Grenzschicht φ = 0 vorauseilender,sog. Precursor, dessen vorhandensein vor allem bei x = 2 erkennbar ist. Zurquantitativen Vermessung des Effekts reicht die Auflösung in der maximalengewählten Systemgröße noch nicht aus.


62 Ergebnisse3.3.1 ParameterabhängigkeitDie Überprüfung der Gültigkeit des Lucas-Washburn-Gesetzes für die betrachtetenSimulationsmodelle erfolgt anhand des Vergleichs der Simulationsdaten mitden theoretisch vorhergesagten Kurven. Höhe und Breite der Kapillare sowie dieViskosität der beteiligten Komponenten werden unmittelbar als Parameter der Simulationfestgelegt. Die sich einstellenden Dichten sind, ebenso wie im Rahmender Meßgenauigkeit der Kontaktwinkel, unmittelbar abzulesen. Die Oberflächenspannungzwischen den Komponenten unterliegt hier, wie sich im vorhergehendenKapitel gezeigt hat, der größten Unsicherheit, sie wird daher als freier Parametergewählt.Desweiteren wird im Folgenden die Abhängigkeit der Ergebnisse von den ParameternKanalbreite d, Dichte ρ, Wandbenetzbarkeit η wall und Kopplungsparameterg αᾱ untersucht und diskutiert. Dazu wurden die folgenden Simulationendurchgeführt (Zum Aufbau siehe auch den dieses Kapitel einleitenden Abschnittund Abb. 3.13):• Variation der Kanalbreite d jeweils gesetzt zu 14, 30, 62, 126 und 254 GEfür Anfangsdichten von ρ A = ρ B = {0, 7; 1, 0} und fester Kopplung vong αα = 0, 14, sowie Viskositäten von ν A = ν B = 0, 1667.• Variation der Wandbenetzbarkeit η wall zwischen 0, 05 und 0, 30 in Schrittenvon 0, 05 bei fester Kanalbreite d = 126 GE und fester Kopplung vong αα = 0, 12, sowie Viskositäten von ν A = ν B = 0, 1667.Die Änderung der Kopplung zur Beobachtung der Wandbenetzbarkeit wurde dabeiVorgenommen um die Steighöhe auch für große Wandbenetzbarkeiten imBereich der Kanallänge zu halten. Es stellte sich jedoch heraus, dass sie auchEinfluß auf die Güte der Übereinstimmung mit der Theorie hat (siehe unten).Das Ergebnis der Simulation des kapillaren Füllens benetzbarer Kanäle variablerBreite d ist in den Abbildungen 3.15 und 3.16 für Dichten von ρ A = ρ B = 0, 7bzw. ρ A = ρ B = 1, 0 dargestellt. Qualitativ ist in Übereinstimmung mit derTheorie eine Erhöhung der Steiggeschwindigkeit mit zunehmender Kanalbreitezu beobachten.Bemerkenswert ist, dass trotz der zu erwartenden Effekte finiter Systemgrößein einem Kanal der Breite d = 14 GE eine sehr gute Übereinstimmung mit demErgebnis der Gleichung 2.32 gewonnen werden konnte.Dagegen nimmt hier die Güte der Fits für Systeme größerer Breite ab. Füreine Breite d = 126 GE ist dabei ein anfangs langsamerer Anstieg zu erkennen,welcher auf eine höhere Kapillarzahl Ca zurückzuführen ist. Diese beschreibt hierdas Verhältnis von Einströmgeschwindigkeit zur, durch die Viskosität bedingten,endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wirkung der Oberflächenspannung in


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 63einem System größerer Breite. Wird die Breite nochmals auf d = 254 GE erhöht,so nimmt die Stärke dieses Effekts noch zu. Hier wurde zugunsten der Übersichtlichkeitdes Graphen auf eine Darstellung verzichtet. Darüber hinaus ist in derKanalmitte sogar eine Rückwärtsbewegung der Grenzfläche zu beobachten. Eswurde festgestellt, das dieser Effekt nicht durch den Einfluß der Viskosität, sondernvielmehr durch Eigenheiten der Simulation bedingt ist. In Abschnitt 3.3.2wird auf diese sog. inertialen Effekte detaillierter eingegangen.z-Position Grenzflaeche [GE]d = 128 GEd = 64 GEd = 32 GEd = 16 GEZeit [ZS]Abbildung 3.15: Position der Grenzfläche über der Simulationszeit in Zeitschritten.Gemessen für verschiedene Wandabstände d in der Kanalmitte x = d/2.Weitere Parameter: Pseudowanddichte η wall = 0, 2, Kopplung g αα = 0, 14 undAnfangsdichte der Komponenten ρ A = ρ B = 0, 7. Die durchgezogenenen Linienentsprechen dem Ergebnis der Gleichung (2.32) mit der Oberflächenspannungγ AB als Fitparameter. Mit zunehmendem Kanaldurchmesser steigt die Geschwindigkeit.Gleichzeitig nimmt die Übereinstimmung des Fits ab.Die Simulation des Systems mit verschiedenen Dichten bei gleichem Dichteverhältnisverspricht zunächst keinen großen Erkenntnisgewinn. Durchgeführtwurde sie zur Überprüfung der Auswirkungen der Dämpfung der Kraftwirkungenfür Dichten ρ ≥ 1, 0, die durch die Form des Potentials ψ = ψ 0 (1 − e ρ/ρ 0) gegebenist. In den Tabellen 3.1 und 3.2 sind die für die als freien Parameter gewähl-


64 Ergebnissed [GE] 14 30 62 126 254θ [ ◦ ] 20, 8 22, 9 17, 8 18, 0 13, 8γ AB 0, 065 0, 055 0, 044 0, 033 0, 029Tabelle 3.1: Variablen der Fit-Kurven des Lucas-Washburn-Gesetzes an die Simulationenmit Kanallänge l = 448, Anfangsdichten ρ A = ρ B = 0, 7, Kopplungg αα = 0, 14, Viskosität ν = 0, 1667, Pseudowanddichte η wall = 0, 2.te Oberflächenspannung zwischen den Flüssigkeitskomponenten γ AB gefundenenWerte mit dem gemessenen Kontaktwinkel für die verschiedenen Kanalbreitenaufgestellt. Tatsächlich gilt hier für das Verhältnis der Oberflächenspannungenγ AB,ρ=0,7γ AB,ρ=1,0≈ 0, 7.Lediglich für d = 254 GE gilt dies nicht (s. 3.3.2).d [GE] 14 30 62 126 254θ [ ◦ ] 16, 6 19, 0 17, 9 14, 3 13, 8γ AB 0, 093 0, 078 0, 063 0, 048 0, 037Tabelle 3.2: Variablen der Fit-Kurven des Lucas-Washburn-Gesetzes an die Simulationenmit Kanallänge l = 448, Anfangsdichten ρ A = ρ B = 1, 0, Kopplungg αα = 0, 14, Viskosität ν = 0, 1667, Pseudowanddichte η wall = 0, 2.Schließlich sind in Abbildung 3.17 und Tabelle 3.3 die Ergebnisse der Simulationenmit variierter Wandbenetzbarkeit zusammengestellt. Wiederum ist dasqualitative Ergebnis erhöhter Geschwindigkeit mit zunehmender Benetzbarkeitdas theoretisch zu erwartetende.η wall 0, 05 0, 10 0, 15 0, 20 0, 25 0, 30θ [ ◦ ] 7, 9 10, 9 14, 6 18, 0 20, 6 22, 5γ AB 0, 0065 0, 0125 0, 0180 0, 0232 0, 0278 0, 0317Tabelle 3.3: Variablen der Fit-Kurven des Lucas-Washburn-Gesetzes an die Simulationenmit Kanallänge l = 448 GE, Anfangsdichten ρ A = ρ B = 0, 7, Kopplungg αα = 0, 12, Viskosität ν = 0, 1667.Interessant ist hier, dass trotz einer hohen Kanalbreite von d = 126 GEdie Übereinstimmung mit den theoretisch ermittelten Werten ausgezeichnet ist.


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 65z-Position Grenzflaeche [GE]d = 128GEd = 64GEd = 32GEd = 16GEZeit [ZS]Abbildung 3.16: Position der Grenzfläche über der Simulationszeit in Zeitschritten.Gemessen für verschiedene Wandabstände d in der Kanalmitte x = d/2.Weitere Parameter: Pseudowanddichte η wall = 0, 2 und Kopplung g αα = 0, 14und Anfangsdichte der Komponenten ρ A = ρ B = 1, 0. Die durchgezogenenenLinien entsprechen dem Ergebnis der Gleichung (2.32) mit der Oberflächenspannungγ AB als Fitparameter. Mit zunehmendem Kanaldurchmesser steigt die Geschwindigkeit.Gleichzeitig nimmt die Übereinstimmung des Fits ab.


66 Ergebnissez-Position Grenzflaeche [GE]η wall = 0, 30η wall = 0, 25η wall = 0, 20η wall = 0, 15η wall = 0, 10η wall = 0, 05Zeit [ZS]Abbildung 3.17: Position der Grenzfläche über der Simulationszeit in Zeitschritten.Gemessen für verschiedene Wandbenetzbarkeiten η wall . Weitere Parameter:Wandabstand d = 126 GE und Kopplung g αα = 0.12. Die durchgezogenenenLinien entsprechen dem Ergebnis der Gleichung (2.32) mit der Oberflächenspannungγ AB als Fitparameter. Mit zunehmender Wandbenetzbarkeit steigt die Geschwindigkeit.Durch die geringere Kopplungsstärke ist der durch den Einschwingvorgangverursachte Fehler deutlich geringer.


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 67Einziger für diese Verbesserung in Frage kommender Parameter ist die Kopplungsstärkeg αα = 0, 12. Diese wurde hier urprünglich nur zur Anpassung derSteighöhe geändert. Durch die geringere Kopplung ist der Effekt des inertialenÜberschwingens, welcher unter anderem Gegenstand des nächsten Abschnitts ist,verringert.3.3.2 Dynamik in breiten KapillarkanälenMit zunehmender Kanalbreite d nimmt der inertiale Einfluß der Viskosität derFlüssigkeiten im Kanal zu. Dies wurde bereits im vorangehenden Abschnitt beleuchtet.Eine Kennziffer zur Quantifizierung dieses Effekts ist die KapillarzahlCa = u ν.γNimmt man für die Flüssigkeitsgeschwindigkeit u die extrapolierte Endgeschwindigkeitnach 40000 ZS an, so ergeben sich mit der stets gleich gewähltenViskosität ν = 1 und den in der Anpassung der Kurven gefunden Werten für die6Oberflächenspannungen γ AB in den Tabellen 3.1 - 3.3 Kapillarzahlen zwischenCa ≈ 0, 005 für d = 14 und Ca ≈ 0, 057 für d = 254 GE.Hoffman fand in den 70er Jahren des zwanzigsten Jh. einen Zusammenhangzwischen Kapillarzahl und dynamischem Kontaktwinkel θ d , sowie statischem Kontaktwinkelθ s bei teilweiser Benetzung [19]:Ca = F(θ d ) − F(θ s ) (3.13)Im Limes geringer Geschwindigkeiten Ca → 0 nimmt die Funktion eine FormF(θ d ) = C · θd m , mit systemabhängigen Parametern C und m an. Indem inGleichung 2.31 die Wirkung des viskosen Widerstands berücksichtigt wird, isthier eine solche Korrektur nicht mehr notwendig. Die Ursache für die Abweichungdes Systems von der Theorie ist also an anderer Stelle zu suchen.Ein Effekt der durch das theoretische Modell nicht abgebildet wird, ist diebeobachtete inertiale negative Geschwindigkeit in der Kanalmitte. Diese ist wiefolgt erklärbar. Aufgrund der rein lokalen Wechselwirkung im Gitter-Boltzmann-System verhält sich das System an den Tripellinien zu Beginn der Simulationzunächst so, als wäre eine einzelne Platte in das System eingebracht worden. Diedurch diese Störung verursachte Dynamik breitet sich mit der endlichen Schallgeschwindigkeitc s = √ 1/3, bzw. mit einem Zeitschritt zum nächsten Gitterpunktaus. Das Voranschreiten der Komponente A in Wandnähe verdrängt dabei dieKomponente B, welche also entgegen der Strömungsrichtung der Komponente Aausweicht und die Grenzfläche zunächst nach unten verschiebt. Das so verursachteAusschwingen der Grenzfläche wird für eine Kanalbreite d = 254 GE nach etwa5000 Zeitschritten maximal. Die Geometrie der Grenzfläche ist dann deutlich voneinem Kugelabschnitt verschieden und es stellt sich ein dynamischer Kontaktwinkelein. Der der Lucas-Washburn-Gleichung zugrunde gelegte Laplace-Druck an


68 Ergebnisseder Oberfläche kann nicht mehr gültig sein, da hier die Krümmung einer Sphäreeingeht.Im Anschluß an die inertiale Phase relaxiert die Grenzfläche in ihre sphärischeForm. Die zeitliche Entwicklung für eine Kanalbreite von d = 254 GE zeigt Abbildung3.3.2. Wie man sieht ist die Relaxation der durch die Auslenkung erzeugtenSchwingung hier auch nach 40000 ZS noch nicht abgeschlossen. Dagegen ist siebei einer Kanalbreite von d = 14 GE bereits nach 200 ZS vollständig.706050403020706050403020706050403020706050403020t = 1000140 160 180 200 220 240t = 2000140 160 180 200 220 240t = 4000140 160 180 200 220 240t = 6000140 160 180 200 220 240100908070605040220210200190180170330320310300290280460450440430420410t = 10000140 160 180 200 220 240t = 20000140 160 180 200 220 240t = 30000140 160 180 200 220 240t = 40000140 160 180 200 220 240Abbildung 3.18: Illustration des Einschwingvorgangs der Grenzfläche. Simulationsdatenfür die Parameter Pseudowanddichte η wall = 0, 2, Wandabstandd = 254 GE und Kopplung g αα = 0, 12. Links: Die Wechselwirkung mit derWand breitet sich von beiden Seiten mit endlicher Geschwindigkeit aus. Im Zentrumverstärken sich die Effekte und es kommt zu einem Überschwingen derGrenzfläche, dessen Maximum bei etwa 3500 Zeitschritten erreicht wird. Rechts:Der Abklingvorgang benötigt bei diesem Wandabstand einige zehntausend Zeitschritte.siehe auch Abb. 3.3.2.Die Abbildung 3.19 zeigt die zeitliche Entwicklung des Ergebnisses ϑ derzur geometrischen Berechnung des Kontaktwinkels θ verwendeten Formel. Ist


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 69die Geometrie der Grenzfläche nicht sphärisch, so ist der gefundene Wert dabeinatürlich ohne physikalische Bedeutung. Hier ist klar der Abklingvorgang der inertialenEntrundung der Grenzfläche zu erkennen, dessen Dauer mit zunehmenderKanalbreite zunimmt. Ferner sind Oszillationen des Endzustands auszumachen,deren Intensität mit zunehmender Kanalbreite abnimmt. Diese sind wiederum Effekteder finiten Systemgröße, also auf die diskrete Natur des Simulationsmodellszurückzuführen.Parameter ϑd = 256GEd = 128GEd = 64GEd = 32GEd = 16GEZeit [ZS]Abbildung 3.19: Ergebnis ϑ der Gleichung 3.1 zur Berechnung des Kontaktwinkelsθ eines Kreisabschnitts aufgetragen über der Simulationszeit in Zeitschrittenfür verschiedene Wandabstände d. Weitere Parameter: Pseudowanddichteη wall = 0, 2 und Kopplung g αα = 0, 14. Bedingt durch das inertiale Überschwingenist die Annahme einer kreisausschnittförmigen Grenzfläche zu Beginn verletzt.Im Gleichgewicht entspricht das Ergebnis dem Kontaktwinkel. Für geringe Wandabständebeobachtete Oszillationen sind auf Effekte der finiten Größe zurückzuführen.Für große Wandabstände ist die notwendige Simulationszeit deutlichlänger.


70 Ergebnisse3.3.3 Das Geschwindigkeitsfeld an der GrenzflächeBisher wurde die Dynamik des simulierten Systems insgesamt betrachtet. DasVerhalten des Gitter-Boltzmann-Modells hängt jedoch ausschließlich von lokalenWechselwirkungen ab, wobei eine entscheidende simulierte Größe die Geschwindigkeitsverteilungist. In diesem Abschnitt wird daher das vektorielle Geschwindigkeitsfeldfür die zu unterscheidenden Fälle vor-, in- und hinter dem Grenzbereichuntersucht.Das Geschwindigkeitsfeld an der Grenzfläche in einem MehrkomponentensystemDie qualitative Struktur des Geschwindigkeitsfeldes im Bereich der Grenzfläche,die Vektorlänge ist auf das 300-fache des Vektorbetrags skaliert, zeigt die Abbildung3.20. Hier sind einige Charakteristika des Simulationsmodells wiederzufinden.Im Wandbereich vor der Grenzfläche existieren erhöhte Geschwindigkeitenmit Hauptrichtung normal zur Wandkomponente. Diese sind durch die abstoßendeWechselwirkung der Wandkomponente mit der rückweichenden KomponenteB bedingt, durch welche hier die Benetzungseigenschaften, proportional der Parameterρ B , η wall und g αᾱ gesteuert werden.Auch die Nichtmischbarkeit der Komponenten A und B wird durch abstossendeWechselwirkung proportional den Parametern ρ A , ρ B und g αᾱ bedingt.Diese äußert sich hier durch die hinter der Grenzfläche vorhandene Geschwindigkeitentgegen der Gesamtströmungsrichtung. Ebenso wie in dem gegenüberdem grenzfernen Bereich um den Faktor ≈ 3, 5 erhöhten Betrag der auftretendenGeschwindigkeiten.Mit der gewählten Skalierung liest man eine Ausdehnung der Grenzschicht von∆z = 4 GE ab. Der Wechsel im Vorzeichen der Geschwindigkeitsrichtung erlaubtdabei dennoch eine klare Zuordnung der Grenzlinie. Deren Treppenstruktur, vorallem zur Kanalmitte hin weist hier auch och für eine Kanalbreite von 126 GEauf Effekte der endlichen Systemgröße hin.Im Bereich der Tripellinie sind ferner rotierende, unphysikalische Strömungen(engl. spurious currents) geringen Betrages zu erkennen. Diese sind bedingt durchSymmetrieverluste bei der Diskretisierung des Phasenraums [81].Das charakteristische Verhalten des Geschwindigkeitsprofils in verschiedenenBereichen des Kanals in der Umgebung und fern der Grenzfläche zeigt Abbildung3.21 in Form von Schnitten entlang der x-Achse, also normal zur Fließrichtung.Der Zeitpunkt der Auswertung 27000 ZS nach Simulationsbeginn wurde dabeigewählt, da die Grenzflächenposition hier ungefähr die halbe Kanalhöhe erreichthat. Der Nulldurchgang des Ordnungsparameters ϕ in der Kanalmitte bei x = 63GE befindet sich hier bei z ≈ 251 GE.


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 710,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06Geschwindigkeit |u|z-Achsex-AchseAbbildung 3.20: Illustration der Geschwindigkeitsverteilung an der Grenzfläche.Simulationsdaten für die Parameter Pseudowanddichte η wall = 0, 2, Wandabstandd = 126 GE und Kopplung g αα = 0.14. Die Geschwindigkeitsbeträge wurden hierum einen Faktor 300 hochskaliert. Die an den Kontaktstellen mit der Wand hoheGeschwindigkeit wandert mit endlicher (Schall-)Geschwindigkeit ins Zentrum desKanals. Unmittelbar an der Grenzfläche der Flüssigkeitskomponenten entstehenaufgrund ihrer abstoßenden Wechselwirkung weitere, auch negative, Geschwindigkeitsanteilenormal zur Grenzfläche. Im grenzfernen Bereich ergibt sich einPoiseuille-Fluß von deutlich geringerer Maximalgeschwindigkeit. Siehe auch Abbildung3.21.


72 ErgebnisseEtwa 10 − 11 GE in Fließrichtung davor hat die positive Geschwindigkeitskomponentein Wandnähe den Maximalwert von u ≈ 0, 065 GE angenommen,ZSaufgetragen ist das Profil an der Stelle z = 241.Die zu beobachtenden Rückströmungen in Teilen dieses Bereichs sind, wiebereits oben erwähnt, Folge der Modellierung der Flüssigkeitskomponenten undder diskreten lokalen Wechselwirkung. Sie klingen allerdings schnell ab, wie dieProfile an den Positionen z = 231 und z = 261 zeigen. Die endliche Geschwindigkeitunmittelbar an der Wand bei x = 127 vor der Grenzfläche (z = 231) zeigthier die Existenz von Wandschlupf an. Dieser ist dabei durch die Hydrophobizitätder Wandkomponente für Komponente B bedingt [82].Fern der Grenzfläche sind parabolische (Poiseuille-) Strömungsprofile zu beobachten(Abb. 3.21 unten), wie es ja auch schon die Übereinstimmung der Geschwindigkeitsentwicklungmit dem Lucas-Washburn-Gesetz erwarten läßt, welchesja von der Hagen-Poiseuille-Gleichung ausgeht (s. Abschn. 2.2.3). Auchhier ist die abweichende Form des Geschwindigkeitsprofils im Bereich der rückweichendenKomponente durch eine endliche Schlupflänge zu erklären.


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 73Geschwindigkeit uz = 41z = 231z = 241z = 251z = 261z = 469x-AchseGeschwindigkeit uz = 41z = 231z = 241z = 251z = 261z = 469x-AchseAbbildung 3.21: Geschwindigkeitsprofile für x-Schnitte an verschiedenenen z-Punkten nach 27000 ZS. Simulationsdaten für die Parameter Pseudowanddichteη wall = 0, 2, Wandabstand d = 126 GE und Kopplung g αα = 0.14. Unten: ReskalierterAusschnitt. Der Tiefpunkt der Grenzfläche befindet sich bei z = 251.Bei z = 241 ist die Grenzfläche in Wandnähe. z = 231 und z = 261 zeigenden Übergang zum Poiseuille-Fluss. Dieser ist fern der Grenzfläche ausgebildet(z = 41, z = 469). Die benetzenden Eigenschaften der Komponente A (eindringend)werden durch Abstossung der Komponente B simuliert. Diese zeigt daherSchlupf.


74 Ergebnisse3.3.4 Untersuchung eines Mehrphasensystems in Hinblickauf Änderungen im GeschwindigkeitsfeldDie im vorangegangenen Abschnitt gefundenen unphysikalischen Strömungen,also die im Grenzbereich stark erhöhten Geschwindigkeitsbeträge und Rückströmungen,ebenso wie die indirekte Modellierung einer hydrophilen Oberflächedurch Hydrophobizität für die verdrängte Komponente sind insgesamt auf dieVerwendung einer abstossenden Volumenkraft zurückzuführen.Daher wurde im Rahmen der Diplomarbeit ein Single Component Multi Phase-(SCMP-) Shan-Chen-Modell implementiert, in welchem attraktive Wechselwirkungeiner Komponente mit sich selbst zu einer Phasentrennung führt (s. Abschnitt2.3.2).Mit diesem Modell durchgeführte Simulationen des kapillaren Füllens sollenhier zum Vergleich der Geschwindigkeitsprofile herangezogen werden. Dabeiwird überprüft ob und in welchem Maß die oben beschriebenen Artefakte abweichen.Zur Gültigkeit des Lucas-Washburn-Gesetzes existieren auch hier bereitsUntersuchungen in zwei Dimensionen, mit welchen die gefundenen Ergebnisse zuvergleichen sind [43, 44].t = 50000ZSt = 12000ZSAbbildung 3.22: Illustration der Kanalsimulation im SCMP-Modell. Da die Initialisierungeiner einzelnen Komponente mit verschiedenen Dichtebereichen zunächsteinen Zustand im Ungleichgewicht erzeugt, wurde das System zunächst 12000ZS ohne Wandkomponente simuliert. Die Dichtegradienten an den Grenzflächensind zu diesem Zeitpunkt relaxiert, allerdings unterliegt die Grenzschichtpositionnoch einer Schwingung um etwa 5 GE, welche sehr langlebig ist. (Ein Versuchzeigte, dass die Schwingung auch nach 100000 ZS nur wenig abgenommen hat).Nach einbringen einer Wand stellt sich ein Kontaktwinkel von θ ≈ 82 ◦ ein unddie Grenzfläche beginnt sich zu verschieben. Da hier eine Anpassung der Komponenteals Randbedingung nicht möglich ist, musste das System entsprechendmit doppelter Länge, also l = 1024, dimensioniert werden.Bei der Initialisierung des Systems ergeben sich im Gegensatz zum Mehrkomponentenmodelleinige Schwierigkeiten, welche allerdings hauptsächlich aus derImplementierung von Anfangs- und Randbedingungen für mehrphasige Systemeresultieren.


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 75Zum einen war es nicht möglich eine der Komponentenänderung bei Übergangüber den periodischen Rand analoge Anpassung der Dichte vorzunehmen,ohne damit einen Druckgradienten zu erzeugen. Daher musste das Reservoirvollständig mitsimuliert werden. Zum anderen ist die Initialisierung des Systemsmit Dichtegradienten nicht implementiert. Das System wurde also mit zwei dengefundenen Gleichgewichtsdichten entsprechenden, scharf abgegrenzten Dichtebereichenaufgesetzt und zunächst ohne Wandkomponente relaxiert. Nachdemsich an den Grenzflächen ein stabiler Dichtegradient eingestellt hatte, wurdenach 15000 ZS die Wandkomponente eingebracht und die eigentliche Simulationgestartet (siehe Abbildung 3.22).Bei dieser Vorgehensweise trat ein weiteres Problem auf. Nämlich wurde beider initialen Relaxation eine sehr langlebige (ein Versuch zeigte auch nach 100000ZS nur minimale Abnahme) longitudinale Schwingung des Majoritätsbereichs umbis zu einigen 10 GE ausgelöst. Diese konnte ohne Implementierung von Anfangsbedigungenmit Dichtegradienten, auf die in Hinblick auf die zur Verfügungstehende Zeit verzichtet wurde, nicht vollständig ausgeräumt werden.Im Folgenden wurden Lamellen von 509 GE höhe der Dichte ρ g = 0, 15 und523 GE höhe der Dichte ρ l = 1, 98 zur Initialisierung des Systems verwendetwas zu der minimal gefundendenen Schwingung des Systems um etwa 5 GEführte. Dieser Effekt ist in Abbildung 3.23 im Zeitbereich vor 15000 ZS deutlicherkennbar. Im Unterschied zu [43] wurde hier nicht der Fall der vollständigenBenetzbarkeit der Kapillarwand θ = 0 ◦ sondern ein Fall im Grenzbereich zurminimalen Benetzung θ ≈ 82 ◦ untersucht. Diese Wahl wurde aufgrund der, wiesich zeigen wird, hohen an der Grenzfläche auftretenden Geschwindigkeitsbeträgegetroffen. Sie liegen bereits für diesen Fall im Grenzbereich der numerischenStabilität der Gitter-Boltzmann-Methode.Abbildung 3.23 zeigt, in qualitativer Übereinstimmung mit Referenz [43],die Verschiebung der Grenzfläche als Wurzelfunktion der Zeit. Da zwischen denPhasen eine Dichtedifferenz besteht, muss hier eine andere Form der Lucas-Washburn-Gleichung zum Vergleich herangezogen werden. Ihre semi-analytischeLösung wird in [43] beschrieben. Dort zeigt sich, das der hier erreichte Dichtekontrastvon ρ l /ρ g = 14, ebenso wie die Kanalbreite von d = 31 GE für einequantitative Übereinstimmung mit der Theorie nicht ausreichend sind. Ohnehinsollen die hier durchgeführten Simulationen lediglich einer ersten Untersuchungdes Geschwindigkeitsfeldes dienen.Abbildung 3.24 zeigt die qualitative Gestalt des Geschwindigkeitsfeldes an derGrenzfläche. Die lokale Geschwindigkeit in der Grenzschicht ist ihrer insgesamtenBewegung entgegengerichtet. Dieser Effekt ist Folge eines in der Grenzregionherrschenden ständigen Wechselspiels von Kondensation und Verdunstung.Dabei ist die Geschwindigkeit im Bereich der Grenzfläche etwa zwei Größenordnungen(!) höher als im grenzfernen Bereich der Strömung. Wie auch für die


76 ErgebnissePosition der Grenzschicht z(t)Zeit tAbbildung 3.23: Verschiebung der Grenzschicht. in einem Kanal der Breite d = 30charakterisiert durch die Isofläche ρ = ρ max −ρ min /2 = 0, 9. Simulation mit demSCMP-SRT-Modell mit einer Kopplung von g αα = 0, 14. Der Dichtekontrastzwischen flüssig- und gasphase ρ l /ρ g beträgt hier etwa 14, der Kontaktwinkelθ ≈ 82 ◦ . Vor Einbringen der Wandkomponente nach 15000 ZS sind Oszillationender Grenzflächenposition zu erkennen. Diese sind durch Schwierigkeiten bei derInitialisierung bedingt (siehe Text).


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 77z-Achse0,0 0,035 0,07 0,105 0,14Geschwindigkeit |u|x-AchseAbbildung 3.24: Geschwindigkeitsverteilung an der Grenzfläche. Gemessen in einemSCMP-SRT-System einer Breite von 31 GE nach 45000 ZS. Der Dichtekontrastzwischen Flüssig- und Gasphase ρ l /ρ g beträgt hier etwa 14. Es ist eineRückströmung in den Bereich höherer Dichte zu beobachten. Ferner exisitierenunmittelbar vor der Grenze Bereiche rotierendender, unphysikalischer Strömungen.Zur Gestalt der Profile in einzelnen Ebenen siehe auch Abb. 3.25.


78 Ergebnissedirekt abstossende Wechselwirkung im Mehrkomponentensystem, sind in Wandnähehöhere Geschwindigkeiten normal zur Wand auszumachen. Diese sind bedingtdurch die Haftrandbedingung in Kombination mit der Anziehung durch dieWand. Weiterhin ist zu erkennen, dass die Fließrichtung der Gasphase entgegender Fließrichtung der Flüssigkeitsphase gerichtet ist.In der Nähe der Tripellinien vor der Grenzfläche sowie von der Kanalmitteausgehend hinter der Grenzfläche sind rotierende, unphysikalische Strömungenzu beobachten.Aufgrund der geringen Benetzbarkeit der Wandkomponente ist die Krümmungder Grenzfläche deutlich geringer als in den im vorigen Abschnitt betrachtetenSystemen. Dies lässt sich auch den Graphen in Abbildung 3.25 entnehmen. Siezeigen das Profil der Geschwindigkeit u über der x-Achse für verschiedene z-Werte. Da in einem einkomponentigen System der Ordnungsparameter φ nichtdefiniert ist, wurde die Grenzfläche durch die Dichte ρ GF = (ρ max − ρ min )/2definiert. Diese Phasengrenze liegt in der Kanalmitte bei z = 692 bereits inder Ebene einen Gitterpunkt in Fließrichtung liegen die Maxima des Betrags derGeschwindigkeit nur noch etwa 6 GE von der Wand entfernt.An der Wand ist hier starker Schlupf zu beobachten, die Größenordnung derGeschwindigkeit liegt hier im Bereich des Maximums der Geschwindigkeit imMehrkomponentensystem. Die hohen Geschwindigkeiten im Bereich der Grenzflächesetzen sich dabei nur wenig in das System fort. Nur 5 GE hinter demPhasenübergangsbereich bei z = 697 ist der Betrag der Geschwindigkeit umzwei Größenordnungen geringer. Im Wandnähe stimmt das Profil bereits mitdem des im grenzfernen Bereich gemessenen Poiseuille-Fluß (bei z = 600) nahezuüberein. Im Bereich der Gasphase ist bei z = 800 noch eine Rückströmung zuerkennen, welche durch die anziehende Wechselwirkung mit dem Bereich hoherDichte getrieben wird.


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 79Geschwindigkeit uz = 600z = 687z = 692z = 693z = 697z = 800x-AchseGeschwindigkeit uz = 600z = 687z = 697z = 800x-AchseAbbildung 3.25: Geschwindigkeitsprofile für x-Schnitte an verschiedenenen z-Punkten nach 47000 ZS. Simulationsdaten für die Parameter Pseudowanddichteη wall = 0, 9, Wandabstand d = 30 und Kopplung g αα = 0.14. Der Tiefpunktder Grenzfläche befindet sich bei z = 692. z = 697 zeigt den Übergang zumPoiseuille-Fluss. Dieser ist fern der Grenzfläche in der dichteren Phase ausgebildet(z = 800). Im Bereich vor der Grenzfläche, bei z = 600, 687 ist ein Rückflussder verdünnten Phase zu beobachten.Unten: Reskalierter Ausschnitt.


80 Ergebnisse3.3.5 Diskussion der ErgebnisseDie Dynamik einer durch Benetzung getriebenen Strömung in einem pseudozweidimensionalenMehrkomponentensystem wurde simuliert und die Ergebnisse miteiner erweiterten Lucas-Washburn-Gleichung verglichen. Die Oberflächenspannungγ AB diente, aufgrund der hohen Unsicherheit ihrer Bestimmung welchesich im vorigen Kapitel gezeigt hat, als freier Parameter der Gleichung.Weitere Variablen sind für die Flüssigkeitskomponenten A und B Dichte ρund kinematische Viskosität ν, für die Randbedingungen Kanalhöhe d und -längel. Kopplungsparameter g αᾱ und Benetzungsparameter η wall wirken dagegen nurindirekt über den Kontaktwinkel θ und die Oberflächenspannung γ AB .Der Kontaktwinkel wurde unmittelbar in den simulierten Systemen geometrischbestimmt. Hier zeigt sich, dass durch inertiale Effekte die Grenzflächevon einem Kreisabschnitt abweicht und ein dynamischer Kontaktwinkel auftritt,welcher aperiodisch zum statischen Kontaktwinkel übergeht. Die Dauer des Abschwingenshängt dabei von der Kanalbreite ab und nimmt mit ihr exponentiellzu. Bei einer Kanalbreite von d = 14 GE beträgt sie etwa 200 ZS, bei einerKanalbreite von d = 254 GE ist sie > 40000 ZS. Effekt der finiten Systemgrößeist eine Oszillation um den Grenzwert des Kontaktwinkels, deren Amplitude mitabnehmender Kanalbreite zunimmt.Auch der statische Kontaktwinkel ist dabei von der Kanalbreite abhängig, hierkonnte allerdings keine Gesetzmässigkeit gefunden werden.Für Kanalbreiten von d = 14 GE bis d = 126 GE wurden Systeme mit,bis auf geringe Oszillation, konvergierten Kontaktwinkeln mit der Theorie verglichen.Die Lucas-Washburn-Gleichung in ihrer erweiterten Form konnte dabeigut reproduziert werden. Mit zunehmender Kanalbreite steigt auch die (End-)-Geschwindigkeit der Grenzfläche. Gleichzeitig spielen aber auch inertiale Effekteder viskosen Reibung eine größere Rolle, so dass die Anfangsgeschwindigkeit fürSysteme mit d ≥ 126 GE zunächst deutlich abnimmt.Neben diesem auch in der Theorie modellierten inertialen Effekt existiert hiernoch ein weiterer. Aufgrund der anfänglich unabhängigen Wechselwirkungen, diesich ausgehend von der Wand zur Kanalmitte ausbreiten, wird die Grenzflächezunächst gegen die Fließrichtung ausgelenkt. Dieses Phänomen wird durch dieTheorie nicht abgebildet und ist vermutlich nicht physikalischer Natur, sonderneben im Charakter des Simulationsmodells begründet. Durch eine Verminderungdes Kopplungsparameters g αα von 0, 14 auf 0, 12 kann die Güte der gefundenenÜbereinstimmung deutlich verbessert werden.Die gefundenen Ergebnisse sind von einer Änderung der Flüssigkeitsdichtenbei gleichbleibendem Dichteverhältnis linear abhängig. Für eine Dichte von ρ A =ρ B = 1, 0 ist die Dämpfung der Shan-Chen-Wechselwirkung durch die effektiveMasse ψ also vernachlässigbar.


3.3 Das Lucas-Washburn-Gesetz 81Die Abhängigkeit von der Wandbenetzbarkeit ist wie zu erwarten, d.h. mitzunehmender Benetzbarkeit nimmt die Grenzflächengeschwindigkeit zu. Für diehöchste hier eingestellte Benetzbarkeit von η wall = 0, 30 stellt sich mit der Kopplungsstärkeg αα ein statischer Kontaktwinkel von θ s ≈ 22 ◦ ein. Auch hier ist mitzunehmender Volumenkraftwechselwirkung eine stärkere negative Auslenkung iminertialen Bereich der Simulation zu beobachten.Eine Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes zeigte eine in der Grenzschichtetwa viermal größere lokale Geschwindigkeit als im grenzfernen Bereich. Fernertraten hier aufgrund der abstossenden Wechselwirkungen der beteiligten Komponentensogar Strömungen entgegen der Fließrichtung auf. Die benetzende Eigenschaftder Wand für die aufsteigende Komponente A wurde durch abstossendeWechselwirkung mit der rückweichenden Komponente B erreicht. Dies erzeugtein der Grenzschicht der Komponente B zur Wand eine gegenüber der Strömungsgeschwindigkeitdeutlich erhöhte Geschwindigkeitskomponente normal zurWand. Im Bereich der Tripellinie sind darüberhinaus rotierende, unphysikalischeStrömungen auszumachen.Letzterer Effekt ist dabei durch die Diskretisierung, die übrigen durch die reinabstossend definierte Volumen-Shan-Chen-Kraft des Multikomponentensystemsbedingt. Um zu Überprüfen ob mit anziehenden Wechselwirkungen eine Verbesserungdieser Artefakte erzielt werden kann und um einen Vergleich der Eignungdes MCSP-Modells mit anderen Modellen zu erhalten wurde der Simulationsaufbauauf ein SCMP-Modell übertragen.Bei der Schaffung geeigneter Anfangsbedingungen traten einige Probleme auf.Diese konnten bis auf eine longitudinale Oszillation um 5 GE der Phase hoherDichte ausgeräumt werden. Es wurde eine Simulation zur qualitativen Überprüfungdes Geschwindigkeitsfeldes durchgeführt. Es zeigte sich, dass an der Grenzflächeungleich höhere Geschwindigkeitsdifferenzen, ungefähr vom Faktor 100gegenüber dem grenzfernen Bereich auftreten. Auch ist die lokale Geschwindigkeitder Grenzschicht der Gesamtbewegung vollständig entgegengerichtet. Diesist auf die große Anziehung der verdünnten- durch die dichtere Phase zurückzuführen.Durch diese wurde in einem Bereich von etwa 150 GE vor der Grenzfläheaußerdem eine Rückströmung mit einer Geschwindigkeit von der Größenordnungder Grenzflächengeschwindigkeit erzeugt. Dennoch war im grenzfernen Bereichhinter der Grenzfläche die Ausbildung einer Poiseuille-Strömung zu beobachten.Auch die Entwicklung der Grenzflächengeschwindigkeit stimmt qualitativ mit denErgebnissen der Referenz [44] überein.Weiterhin traten hier im Vergleich zum mehrkomponentigen Modell vermehrtBereiche rotierender Strömungen, den sog. spurious currents (siehe auch Abschnitt3.4) auf. Diese entstehen hier nicht nur im Bereich der Tripellinie, sondernunmittelbar vor und hinter der Grenzfläche über die gesamte Kanalbreite.Ihre Untersuchung und die Implementierung eines Gitter-Boltzmann-Modells mit


82 Ergebnissemultiplen Relaxationszeiten, welches eine Reduktion der unphysikalischen Strömungenverspricht, sind Gegenstand des Abschnitts 3.4.Der Mehrkomponentenansatz liefert somit, trotz der teilweise indirekt erzeugtenWechselwirkungen, deutlich geringer gestörte Ergebnisse.Der Vergleich mit der Arbeit [18] erbrachte einige deutliche Unterschiede.So ist, wie Eingangs erwähnt der Kontaktwinkel nicht als freier Parameter beifester Oberflächenspannung geeignet. Eine vereinfachte Begründung liefert hierdie Laplace-Gleichung, mit einem Kreisbogen der Krümmung 1/R als Grenzliniesetzt sie die Oberflächenspannung explizit in Abhängigkeit von der Kanalbreite d.Zwar ist die Laplace-Gleichung ausdrücklich nur im Gleichgewicht gültig, jedocherschließt sich nicht, warum die Oberflächenspannung einer bewegten Grenzflächevon der Kanalbreite unabhängig sein soll. Die in der Referenz angegebenenKontaktwinkel schwanken dabei in Abhängigkeit von der Kanalbreite zwischen0 ◦ und 45 ◦ . Hier wurde hingegen für d = 14 GE der Kontaktwinkel zu θ ≈ 14 ◦ ,für d = 126 GE zu θ ≈ 22 ◦ bestimmt. Nach Wahl der Oberflächenspannungγ AB als freiem Parameter, die ebenso durch die wesentlich größere Unsicherheitin der Bestimmung von γ AB begründet werden kann, konnte dabei auch für diegeringe Kanalbreite d = 14 GE gute Übereinstimmung mit der Theorie gefundenwerden. Ferner ist die in [18] angegebene Korrektur des Kontaktwinkels für großeKapillarzahlen aufgrund der Einbeziehung der viskosen Reibung in die erweiterteLucas-Washburn-Gleichung unnötig.Die Reproduktion des Lucas-Washburn-Gesetzes mit der Oberflächenspannungals nur einem freien physikalischen Parameter war unter Verwendung desSC-MCSP-Modell mit guter bis sehr guter Übereinstimmung möglich.


3.4 Multiple Relaxationszeiten und unphysikalische Strömungen 833.4 Multiple Relaxationszeiten und unphysikalischeStrömungenSowohl bei der Untersuchung des MCSP-SC-LBGK-, als auch des SCMP-SC-LBGK-Modells wurden sogenannte unphysikalische Strömungen beobachtet. Nebender höheren numerischen Stabilität verspricht ein Modell mit multiplen Relaxationszeitenauch eine Verbesserung in Hinblick auf dieses Phänomen. Daherwurde ein am Institut implementiertes Modell mit multiplen Relaxationszeitenum Shan-Chen-Kräfte auf ein SCMP-MRT-Modell erweitert. Dabei wurden, umdie Auswirkung der multiplen Relaxationszeiten auf die Simulationsergebnisse zuuntersuchen, zunächst einfache freie Tropfen untersucht. Zur weiteren Evaluationdes SCMP-MRT-Modells wurde dann die in Abschnitt 3.3.4 durchgeführteSimulation zum Lucas-Washburn-Gesetz unter gleichen Anfangsbedingungenwiederholt.Wiederum stellte sich das Problem geeignete Anfangsbedingungen zu finden.Für die Lucas-Washburn-Simulation wurde trotz der Einschränkung der Oszillationendie bisherige Vorgehensweise übernommen.Bei der direkten Initialisierung der Tropfen traten mit dem MRT-Modell allerdingsSchwierigkeiten mit der numerischen Stabilität auf. Ein Umstand dergerade hier nicht erwartet wurde (s. Abschnitte 2.3.2). Für Erklärungsansätzehierzu sei auf Abschnitt 3.4.3 verwiesen.Die Tropfen wurden daher durch Kondensation erzeugt. Hierzu wurde eindreidimensionales System einer Kantenlänge von 64 GE mit einer geringfügignormalverteilt gestörten mittleren Dichte von ρ = 0, 7 und einer Kopplung vong αα = 0, 14 initialisiert. Die Wahl der Parameter war hier für beide Modelleidentisch.In dem System kondensiert ein Tropfen vom Radius R ≈ 16 GE, welchersich nach etwa 20000 ZS im Gleichgewichtszustand befindet. Der Quotient vonMaximal- und Minimaldichte beträgt dabei im LBGK-Modell etwa 14, im MRT-LBE etwa 13.3.4.1 Beobachtungen an freien TropfenDie Abbildungen 3.26 und 3.27 zeigen das Geschwindigkeitsfeld eines zentralenSchnittes durch die im SCMP-SC-LBGK-, bzw. SCMP-SC-MRT-Modell entstandenenTropfen. An der Grenzschicht finden sich Geschwindigkeitsbeträge, welcheübereinstimmend für beide Modelle etwa um den Faktor 100 über denen desgrenzfernen Bereiches liegen. Die Geschwindigkeiten liegen dabei tangetial zurTropfenoberfläche, zeigen also aus der Papierebene hinaus bzw. hinein. In denBereichen zwischen den Hauptachsen der Ebene sind spurious currents erkennbar.


84 ErgebnisseDie sie treibenden Strömungen liegen in den Hauptachsen. Die Geschwindigkeitsfelderder beiden Simulationsmodelle stimmen weitgehend überein, der maximaleBetrag der Geschwindigkeiten in der SCMP-MRT-Simulation ist sogar um etwa0, 02 GE höher. In dieser Form ist also das SCMP-MRT-Modell nicht dazu geeignetdie unphysikalischen Strömungen zu reduzieren. Ihr GeschwindigkeitsbetragZSwird gar noch erhöht.z-Achse0,0 0,035 0,07 0,105 0,14Geschwindigkeit |u|x-AchseAbbildung 3.26: Illustration der spurious currents. Dargestellt sind die Geschwindigkeitsvektorenin einer zentralen Ebene eines Tropfens des Volumens V ≈ 36 3Gitterpunkten nach 20000 ZS. Die Simulation erfolgte mit dem SCMP-SRT-Modell mit einer Kopplung von g αα = 0, 14. Die Vektorkomponenten wurdenmit dem Programm gnuplot um den Faktor 100 skaliert.


3.4 Multiple Relaxationszeiten und unphysikalische Strömungen 85z-Achse0,0 0,035 0,07 0,105 0,14Geschwindigkeit |u|x-AchseAbbildung 3.27: Illustration der spurious currents. Dargestellt sind die Geschwindigkeitsvektorenin einer zentralen Ebene eines Tropfens des Volumens V ≈ 36 3Gitterpunkten nach 20000 ZS. Die Simulation erfolgte mit dem SCMP-MRT-Modell mit einer Kopplung von g αα = 0, 14. Die Vektorkomponenten wurdenmit dem Programm gnuplot um den Faktor 100 skaliert.


86 Ergebnisse3.4.2 Lucas-Washburn-Gesetz und SCMP-MRT-ModellDie qualitative Gestalt der meisten Größen ist auch hier nur wenig von den Beobachtungenim SCMP-SRT-Modell verschieden. Analog zur Vorgehensweise inAbschnitt 3.3.3 wurden zunächst durch eine Simulation des Systems ohne WandMinimal- und Maximaldichte bestimmt. Mit den so gefundenen Werten wurdedas System mit scharfen Grenzen initialisiert. Die Ausbildung eines stabilenDichtegradienten an den Grenzflächen benötigte zunächst etwa 17000 ZS. Füreinen Kopplungsparameter von g αα = 0, 14 beträgt der Dichtekontrast zwischenFlüssig- und Gasphase ρ l /ρ g etwa 13. Dabei trat auch hier wieder die longitudinaleSchwingung der Grenzflächen um etwa 5 GE auf (siehe Abbildung 3.28). ImAnschluß wurde eine Wand mit Benetzungsparameter η wall = 0, 9 einem Kontaktwinkelvon θ ≈ 82 ◦ etnsprechend, in das System eingebracht und die Simulationder kapillaren Füllung über weitere 33000 ZS durchgeführt. Die beobachtete Verschiebungder Grenzfläche ist in Abbildung 3.29 dargestellt. Auch hier zeigt sichqualitativ die in den Arbeiten zu 2D-SCMP-SC-Systemen [43] gefundene Gestalt.Der Betrag der lokalen Geschwindigkeit in der Grenzschicht ist im SCMP-MRT-Modell auch hier geringfügig höher als im SCMP-SRT-Modell, wie einVergleich der Abbildungen 3.29 und 3.24, sowie 3.30 und 3.25 zeigt. Der Effektder Rückströmung im Bereich der verdünnten Phase vor der Grenzfläche trittauf (Abb. 3.30 unten), ebenso wie rotierende Strömungen im Bereich hinter derGrenzschicht. Ein interessanter Unterschied ist jedoch der höhere Gradient desGeschwindigkeitsprofils (vgl. Abbildungen 3.25 3.30).3.4.3 Diskussion der ErgebnisseEin Vergleich der SCMP-Modelle mit einfachen und multiplen Relaxationszeitenergab keine Reduktion der spurious currents. Entgegen den Erwartungen traten imSystem mit multiplen Relaxationszeiten sogar höhere Geschwindigkeiten an denGrenzflächen auf. Dieses Ergebnis könnte durch verschiedene Zusammenhängeerklärbar sein:• Die hier verwendeten Werte der Relaxationszeiten wurden für ein einphasigesModell durch lineare Stabilitätsanalyse gewonnen [76]. Hier kann unterUmständen die Anwendung der Shan-Chen-Kraft deutlich abweichendeWerte bedingen. Dieser Sachverhalt ist noch zu untersuchen.• Die erste Analyse zu unphysikalischen Strömungen [81] stellte einen Zusammenhangdieses Phänomens mit der Ordnung der Näherung der Gleichgewichtsverteilungher. Tatsächlich ist die Gleichgewichtsverteilung derLBGK-Simulationen von dritter, die der MRT-Implementierung lediglichvon zweiter Ordnung. Jedoch konnte auch eine Reduktion der Ordnung


3.4 Multiple Relaxationszeiten und unphysikalische Strömungen 87Position der Grenzschicht z(t)Zeit tAbbildung 3.28: Verschiebung der Grenzschicht. in einem Kanal der Breite d = 30GE charakterisiert durch die Isofläche ρ = (ρ max − ρ min )/2 = 0, 9. Simulationmit dem SCMP-MRT-Modell mit einer Kopplung von g αα = 0, 14. Der Dichtekontrastzwischen Flüssig- und Gasphase ρ l /ρ g beträgt hier etwa 13, der Kontaktwinkelθ ≈ 82 ◦ .der Näherung der Gleichgewichtsverteilung für die Simulation eines Tropfenskeine signifikanten Vorteile der MRT-Implementierung belegen.• Da die Tropfen durch Kondensation hergestellt wurden, könnte durch indiesem Prozess auftretende, kurzfristig hohe Geschwindigkeiten ein akustischerEffekt auftreten. Diese Rayleigh-Strömung [20] kann auch bei geringenReynoldszahlen zu quasistationären rotierenden Strömungen führen.Da dieser Effekt allerdings auch für oszillierende Tropfen auftritt, ein Phänomenunter dem ja gerade die direkte initialisierung des Mehrphasenmodellsgerade noch krankt, konnte dies nicht verifiziert werden. Allerdingssind die Änderungen- zumindest der Geschwindigkeitsbeträge, ja auch beiSimulation der kapillaren Füllung zu beobachten. Damit könnte dieser Effekthier lediglich stärkere unphysikalische Strömungen erzeugen als sie ineinem statisch initialisierten System auftreten würden, oder aber vorhandeneverstärken.


88 Ergebnissez-Achse0,0 0,035 0,07 0,105 0,14Geschwindigkeit |u|x-AchseAbbildung 3.29: Geschwindigkeitsverteilung an der Grenzfläche. Gemessen in einemSCMP-MRT-System einer Breite von d = 30 GE nach 45000 ZS. DerDichtekontrast zwischen Flüssig- und Gasphase ρ l /ρ g beträgt hier etwa 13. Hiersind wie in Abb. 3.24 Rückströmungen und Drehungen zu beobachten.• Wie auch für Näherungen der Gleichgewichtsverteilungen der OrdnungO > 2 könnte erst eine höhere Gittersymmetrie die theoretisch erwartbarenVorteile der multiplen Relaxationszeiten entfalten [83]. Dies konntemit dem vorhandenen Programm nicht überprüft werden.Die prinzipiell gute qualitative Übereinstimmung der gefundenen Simulationsergebnissekann, trotz der unerwartet hohen Störungen, als ein erster erfolgreicherTest der MRT-Implementierung gewertet werden.


3.4 Multiple Relaxationszeiten und unphysikalische Strömungen 89Geschwindigkeit uz = 550z = 643z = 649z = 650z = 653z = 900x-AchseGeschwindigkeit uz = 550z = 643z = 850x-AchseAbbildung 3.30: Geschwindigkeitsverteilung an der Grenzfläche. Gemessen in einemSCMP-MRT-System einer Breite von d = 30 GE nach 45000 ZS. Der Dichtekontrastzwischen flüssig- und gasphase ρ l /ρ g beträgt hier etwa 13. Es ist eineRückströmung in den Bereich höherer Dichte zu beobachten. Ferner exisitierenunmittelbar vor der Grenze Bereiche rotierender unphysikalischer Strömungen.Zur Gestalt der Profile in einzelnen Ebenen siehe auch Abb. 3.30.


90 Ergebnisse


Kapitel 4Zusammenfassung undAusblickDiese Arbeit einleitend wurden Grundlagen der Gitter-Boltzmann-Methode undmikrofluider Systeme, sowie eine Übersicht über deren Anwendungen erarbeitet.Ziel war es ein Mehrkomponenten-Einphasen-Shan-Chen-Gitter-Boltzmann-Modell mit einfacher Relaxationszeit, wie es in dem Programm LB3D bereitsvorlag, für die Simulation von Systemen mit Mehrphasenströmungen im Bereichder Mikrofluidik zu evaluieren.Durch die Reproduktion des Laplace-Gesetzes und Beobachtung des Entmischungsverhaltenskonnte zunächst das physikalische Verhalten des Modells erfolgreichüberprüft werden. Unter Verwendung einer Pseudowanddichte als Benetzungsparameterwar es möglich Tropfen auf einer Wandfläche mit Kontaktwinkelnvon 0 ◦ bis 180 ◦ zu simulieren. Verschiedene Methoden zur Kontakwinkelbestimmungwurden verglichen. Hier stellte sich die direkte geometrische Messung alspräziseste heraus. Daher wurde mit dieser die Parameterabhängigkeit des Kontaktwinkelsvermessen. Eine analytische Berechnung des Kontaktwinkels konnteim zeitlichen Rahmen dieser Arbeit nicht abgeschlossen werden. Es exisitiert jedochein vielversprechender Ansatz, welcher künftig eine Bestimmung des Kontaktwinkelsa priori erlauben könnte. Auch die Untersuchung von dynamischenKontaktwinkeln, bedingt durch heterogene Benetzbarkeit, Oberflächenrauhigkeitoder Strömung ist für weitere Forschungen interessant.Anhand der Simulation des kapillaren Füllens konnte ein einfaches dynamischesModellsystem der Mikrofluidik untersucht werden. Das Lucas-Washburn-Gesetz beschreibt hier die Geschwindigkeit der Grenzfläche einer, in einem kapillarenSystem aufsteigenden, Flüssigkeit. Bis auf geringe Abweichungen durcheinen unphysikalischen inertialen Effekt wurde, mit der Oberflächenspannung alsfreiem Parameter, sehr gute Übereinstimmung mit der Theorie erzielt. Die Untersuchungbeschränkte sich hier, wegen des ohnehin großen Parameterraums,


92 Zusammenfassung und Ausblickauf zwei Komponenten gleicher Dichte und Viskosität. Die Evaluierung der Simulationvon Systemen mit Dichte- und Viskositätsgradienten bietet sich damitals ein Gegenstand weiterer Forschung an.Die Betrachtung des lokalen Geschwindigkeitsfeldes zeigte im Bereich derGrenzfläche unphysikalische Geschwindigkeiten, welche aus den rein repulsivenWechselwirkungen, sowie der Diskretisierung des Modells resultieren. Es wurdeüberprüft inwieweit diese Artefakte mit denen eines weniger rechenaufwändigen,Mehrphasen-Shan-Chen-Modells mit nur einer Komponente und attraktivenWechselwirkungen vergleichbar sind. Dazu wurde ein solches Modell in das ProgrammLB3D integriert und damit die Simulation des kapillaren Füllens wiederholt.Wie sich zeigt sind in einem solchen System aufgrund ständiger Diffusionund Kondensation an der Grenzfläche die unphysikalischen Effekte gut eine Größenordnunghöher.Weiterhin wurde ein einkomponentiges Mehrphasen-Shan-Chen-Modell mitmehrfachen Relaxationszeiten implementiert. Neben höherer numerischer Stabilitätwurde hier auch eine Reduktion der unphysikalischen Strömungen erwartet.Der Vergleich führte jedoch im Gegenteil zu einer geringfügigen Erhöhung derGeschwindigkeiten im Grenzbereich. Dieses ist sehr wahrscheinlich auf nicht optimierteRelaxationszeiten zurückzuführen.Von den hier betrachteten System konnten mit dem Mehrkomponenten-Einphasen-Shan-Chen-Gitter-Boltzmann-Modell die am geringsten gestörten Ergebnisseerzielt werden. Eine Erweiterung des Modells auf mehrfache Relaxationszeiten,mit, durch lineare Stabilitätsanalyse, optimierten Parametern, versprichteine weitere Verbesserung der Methode.Auch die Verwendung separater Kopplungen für die Wandwechselwirkungenkann die Qualität der Ergebnisse unter Umständen verbessern. Dies muss jedochgegen die Zunahme der Komplexität mit der Einführung weiterer freier Parameterabgewägt werden.Mit der Untersuchung komplexerer Systeme bietet sich schlielich ein weitesFeld zukünftiger Forschung. Nachdem das Lucas-Washburn-Gesetz gut reproduziertwerden konnte und von Lucas auch an Filtrierpapier überprüft wurde, bietetsich die Simulation von Mehrphasenströmungen in porösen Medien hier als einnächster Schritt an.


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100 LITERATURVERZEICHNIS


Dankean Hartmut Bantelmann, Marta Bantelmann, Fabian Dörfler, Florian Doster,Jens Harting, Martin Hecht, Gregor Hehl, Jari Hyväluoma, Frank Huber, BadrKaoui, Christian Kunert, Florian Janoscheck, Frank Raischel, Aniruddha Sarkar,Jochen Schäfer, Wita Schmieschek, Christine Schoch, Scientific SupercomputingCenter (SSC Karlsruhe), Udo Seifert, David Sinz, John von Neumann-Institut fürComputing (NIC), Thomas Zauner und hier vergessene,für verschiedene Mengen von Anteilnahme, Diskussion, Freundlichkeit, Freundschaft,Geduld, Geld, Hilfestellung, Motivation, Leben, Rechenzeit, Zeit, Zuneigungund den ganzen Rest!


102 LITERATURVERZEICHNIS


ErklärungHiermit erkläre ich die Arbeit selbständig verfaßt und keine anderen als die angegebenenQuellen und Hilfsmittel benutzt zu haben.Stuttgart, den 21. Oktober 2009

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