Mechanik der Kontinua Blatt 3 — Druck und Energie von ...

Lösung3) Oktoberfest: Bekannterweise ist Oktoberfestbier eine praktisch inkompressibleFlüssigkeit, die der Grundgleichung der Hydrostatik ∇p = ρ ⃗ F genügt.a) Lassen Sie die aufsteigenden Gasbläschen für einen Moment ausser acht. BerechnenSie den zeitabhängigen Bierdruck auf den Boden einer Maß (Höhe H = 20cm)für den Fall, dass das Bier mit einer konstanten Rate von 1 Liter pro Minute (!)konsumiert wird. Der äussere Druck auf das Bier betrage 1bar.b) Vernachlässigen Sie nun das Bier in den Bläschen und betrachten Sie diese alsIdealgas (Luft). Für ν mol eines idealen Gases gilt die Beziehung pV = νRT , wobeiR = 8.31JK −1 mol −1 die Gaskonstante ist. Bis zu welcher Höhe muss ein Gefäß mitder Grundfläche einer Maß mit Luft gefüllt werden, um den gleichen Druck wie eineMaß Bier auf den Boden zu erzeugen? Wie ändert sich der Druck, wenn die Luftmit der gleichen Geschwindigkeit wie in a) konsumiert wird? Die Temperatur imBierzelt betrage 300K, der äussere Druck auf das Gas sei 1bar.1) Energiebilanzgleichung: Die in der Vorlesung gegebene Energiebilanzgleichungbeschreibt die Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie und umgekehrt.Nun führen wir den Beitrag eines Potentialfeldes U in die Energiebilanzgleichungein. Wir tun dies, indem wir sämtliche Terme in der Impulsgleichung mit der Geschwindigkeitmultiplizieren. Die Kraft ist definiert alsWir betrachtenF = −∇U .ρv i F i = −ρv i ∇ i U = −∇ i (ρv i U) + U∇ i ρv iwobei wir die Kettenregel für die Ableitung∇ i (ρv i U) = ρv i ∇ i U + U∇ i (ρv i )verwendet haben. Dann benutzen wir die Kontinuitätsgleichung∂ρ∂t + ∇ i(ρv i ) = 0ρv i F i = −∇ i (ρv i U) + U ∂ρ∂tNun wenden wir die Kettenregel auf die Ableitung der ρU nach der Zeit an:∂(ρU)∂t= U ∂ρ∂t + ρ∂U ∂tρv i F i = −∇ i (ρv i U) + ∂(ρU) − ρ ∂U∂t ∂tZusammen mit der Bilanzgleichung der kinetischen Energie erhalten wir:[ [( ) ]∂ 1 1∂t 2 ρv2 + ρU]+ ∇ j2 ρv2 + ρU v j − v i σ ij = −σ ij ∇ j v i + ρ ∂U∂t2