Stellenwertsysteme Horner Schema Systembrüche - Pädagogische ...

StellenwertsystemeHorner SchemaSystembrücheProf. Dr. J. ZiegenbalgInstitut für Mathematik und InformatikPädagogische Hochschule Karlsruheelectronic mail :homepage :ziegenbalgüph - karlsruhe.dehttp : ê www.ph - karlsruhe.de ê ~ziegenbalgà LiteraturhinweiseConway J. H. / Guy R. K.: The Book of Numbers; Springer Verlag (Copernicus Imprint), New York 1996Padberg F.: Elementare Zahlentheorie; BI / Spektrum Verlag, 2. überarbeitete Auflage, Mannheim 1991Rademacher H. / Toeplitz O.: Von Zahlen und Figuren; Springer-Verlag, Berlin 1968Ziegenbalg J.: Elementare Zahlentheorie - Beispiele, Geschichte, Algorithmen; Harri Deutsch Verlag, Frankfurt am Main 2002

Systembrueche.nb 2à Vorbereitung: Das SchubfachprinzipDas Schubfachprinzip (nach Lejeune Dirichlet 1805-1859):Sind n Dinge auf s Schubfächer zu verteilen, und ist n > s, so wird mindestens ein Schubfach mehrfach belegt.Beispiel: Wir betrachten die gewöhnliche schriftliche Division natürlicher Zahlen, wie sie standardmäßig im Schulunterricht gelehrt wird. ZurIllustration wird dieses Verfahren am Beispiel der Division 53 : 14 im folgenden ausführlich dargestellt.

Systembrueche.nb 353 : 14 = 3,785714285 ...es geht 3*14: 4211 1. RestRest mal 10: 110es geht 7*14: 9812 2. RestRest mal 10: 120es geht 8*14: 1128 3. RestRest mal 10: 80es geht 5*14: 7010 4. RestRest mal 10: 100es geht 7*14: 982 5. RestRest mal 10: 20es geht 1*14: 146 6. RestRest mal 10: 60es geht 4*14: 564 7. RestRest mal 10: 40es geht 2*14: 2812 8. RestRest mal 10: 120es geht 8*14: 1128 9. RestRest mal 10: 80es geht 5*14: 7010 10. Rest...

Systembrueche.nb 4Als Reste kommen bei der Division durch 14 nur die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 in Frage. Da das Divisionsverfahren (sieheBeispiel) nicht stoppt, muß sich nach dem Schubfachprinzip im Laufe des Verfahrens nach hinreichend vielen (genauer: nach höchstens 14) Schritteneiner der Reste wiederholen. Im Beispiel ist das der 2. Rest (=12), der bereits nach 6 Schritten wieder auftritt. Sobald sich einer der Restewiederholt, wird das Verfahren "zyklisch", d.h. die gesamte Kette der folgenden Rechnungen wiederholt sich. Man erhält so eine periodischeDezimalbruchdarstellung. Im obigen Beispiel besteht die Periode aus den 6 Ziffern 857142.In der elementaren Zahlentheorie werden u.a. die folgenden Fragen untersucht:* Unter welchen Bedingungen bricht eine Dezimalbruchdarstellung ab (wie z.B. im Fall ÅÅÅÅÅÅÅ3 = 0, 15) und wann wird sie periodisch (wie z.B.20im obigen Fall)?* Wie hängt die Periodenlänge vom Zähler und Nenner des Ausgangsbruches ab?* Ab welcher Stelle nach dem Komma beginnt die Periode?* Gibt es Zahlen, deren Dezimalbruchdarstellung weder abbricht noch periodisch wird? Was kann man über solche Zahlen sagen?* Wie lauten die Antworten auf diese Fragen in nichtdekadischen Stellenwertsystemen?à Division mit RestDie folgende Version der Division mit Rest versucht, auch allen Rand- und Sonderfällen Rechnung zu tragen. Als Eingabeparameter sind sämtlichereellen Zahlen zugelassen. Die Division von a durch b mit Rest wird im Sinne der Griechen als das Abtragen der Strecke b auf der Strecke ainterpretiert. Dies geht natürlich nur, falls b von Null verschieden ist. Für positive Werte von a und b läuft das Verfahren "kanonisch" ab. Isteiner der Werte a oder b negativ, so wird das Standard-Verfahren zunächst mit den Absolutbeträgen durchgeführt und danach werden der Quotientund der Rest so angepaßt, daß der Rest stets im Intervall @0, bL liegt. Der Quotient q und der Rest r erfüllen stets die Bedingung a = q * b + r.Im Falle b < 0 unterscheiden sich die Ergebnisse der Funktion DMR von denen der Mathematica-Standard-Funktionen Quotient und Mod.

Systembrueche.nb 5DMR@a_, b_D :=Module@ 8a1 = Abs@aD, b1 = Abs@bD, q, r 0 && b < 0, q =−q, a < 0 && b > 0, q =−q − 1,a < 0 && b < 0, q= q + 1 DD;If@Not@r == "DMR−Fehler"D, r = a − q ∗ bD ;Return@8q, r< DDDMR@17, 5D83, 2

Systembrueche.nb 68Quotient@17, −5D, Mod@17, −5D

Systembrueche.nb 7à Das Horner SchemaHorner@KL_, x_D :=If@KL == 8

Systembrueche.nb 8Basis1@H577 ê 408L ∗ 60^10, 60D91, 24, 51, 10, 35, 17, 38, 49, 24, 42, 360 17 =Basis@0, 60D80

Systembrueche.nb 9à Horner und Basis als UmkehrfunktionenBasis@918273, 60DHorner@84,15,4,33

Systembrueche.nb 10Systembruch@1824 ê 17, 60, 6D981, 47

Systembrueche.nb 11In der modularen Schreibweise gehen zwar die Ziffern verloren, das Schema wird aber strukturell durchsichtiger - besonders, wenn man zu denRestklassen übergeht.Mit anderen Worten:53 ≡ 11 (mod 14)11 * 10 ≡ 12 (mod 14)12 * 10 ≡ 8 (mod 14)8 * 10 ≡ 10 (mod 14)10 * 10 ≡ 2 (mod 14)2 * 10 ≡ 6 (mod 14)6 * 10 ≡ 4 (mod 14)4 * 10 ≡ 12 (mod 14)12 * 10 ≡ ...53 ≡ 11 (mod 14)11 * 10 ≡ 12 (mod 14)11 * 10 2 ≡ 8 (mod 14)11 * 10 3 ≡ 10 (mod 14)11 * 10 4 ≡ 2 (mod 14)11 * 10 5 ≡ 6 (mod 14)11 * 10 6 ≡ 4 (mod 14)11 * 10 7 ≡ 12 (mod 14)11 * 10 8 ≡ ...Aus der zweiten und der vorletzten Zeile folgt11 * 10 ≡ 12 ≡ 11 * 10 7 (mod 14)Da 11 teilerfremd zu 14 ist, kann man die letzte Gleichung mit 11 kürzen:

Systembrueche.nb 1210 1 ≡ 10 7 (mod 14)Die Periodenlänge (hier 6) ist die kleinste positive natürliche Zahl s mit der Eigenschaft10 s+1 ≡ 10 (mod 14)Ergänzung: Darstellung mit Hilfe von Restklassen im Ring der R 14 I = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ14 M der ganzzahligen Restklassen modulo 14.¯¯¯¯¯¯¯¯53 = 11¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯11 ∗ 10 1 ¯¯¯¯ = 12¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯11 ∗ 10 2 = 8¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯11 ∗ 10 3 ¯¯¯¯ = 10¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯11 ∗ 10 4 = 2¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯11 ∗ 10 5 = 6¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯11 ∗ 10 6 = 4¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯11 ∗ 10 7 ¯¯¯¯ = 12à Division: Implementierung der Schulmethode

Systembrueche.nb 13à Division: BeispieleDivisionMitRestAnalyse@53, 14DZähler HzL: .......................... 53Nenner HnL: .......................... 14Dezimalbruch Hmax. 30 StellenL: ...... 3.78571428571428571428571428571Ganzteil: ............................ 3Rest−Bruch Hohne GanzteilL: .......... 11 ê 14Zum Rest−Bruch Halso zum Nachkomma−TeilL:Liste der Reste Hbis zur ersten WiederholungL: ... 811,12,8,10,2,6,4,12

Systembrueche.nb 14DivisionMitRestAnalyse@1, 13DZähler HzL: .......................... 1Nenner HnL: .......................... 13Dezimalbruch Hmax. 30 StellenL: ...... 0.0769230769230769230769230769231Ganzteil: ............................ 0Rest−Bruch Hohne GanzteilL: .......... 1 ê 13Zum Rest−Bruch Halso zum Nachkomma−TeilL:Liste der Reste Hbis zur ersten WiederholungL: ... 81,10,9,12,3,4,1

Systembrueche.nb 15DivisionMitRestAnalyse@5, 28DZähler HzL: .......................... 5Nenner HnL: .......................... 28Dezimalbruch Hmax. 30 StellenL: ...... 0.178571428571428571428571428571Ganzteil: ............................ 0Rest−Bruch Hohne GanzteilL: .......... 5 ê 28Zum Rest−Bruch Halso zum Nachkomma−TeilL:Liste der Reste Hbis zur ersten WiederholungL: ... 85, 22, 24, 16, 20, 4, 12, 8, 24

Systembrueche.nb 16Zähler HzL: .......................... 1Nenner HnL: .......................... 17Dezimalbruch Hmax. 30 StellenL: ...... 0.0588235294117647058823529411765Ganzteil: ............................ 0Rest−Bruch Hohne GanzteilL: .......... 1 ê 17Zum Rest−Bruch Halso zum Nachkomma−TeilL:Liste der Reste Hbis zur ersten WiederholungL: ... 81,10,15,14,4,6,9,5,16,7,2,3,13,11,8,12,1

Systembrueche.nb 171 ∗ 10 = 0 ∗ 17 + 10 » 1 ∗ 10 ≡ 10 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 1 L ≡ 10 Hmod 17 L10 ∗ 10 = 5 ∗ 17 + 15 » 10 ∗ 10 ≡ 15 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 2 L ≡ 15 Hmod 17 L15 ∗ 10 = 8 ∗ 17 + 14 » 15 ∗ 10 ≡ 14 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 3 L ≡ 14 Hmod 17 L14 ∗ 10 = 8 ∗ 17 + 4 » 14 ∗ 10 ≡ 4 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 4 L ≡ 4 Hmod 17 L4 ∗ 10 = 2 ∗ 17 + 6 » 4 ∗ 10 ≡ 6 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 5 L ≡ 6 Hmod 17 L6 ∗ 10 = 3 ∗ 17 + 9 » 6 ∗ 10 ≡ 9 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 6 L ≡ 9 Hmod 17 L9 ∗ 10 = 5 ∗ 17 + 5 » 9 ∗ 10 ≡ 5 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 7 L ≡ 5 Hmod 17 L5 ∗ 10 = 2 ∗ 17 + 16 » 5 ∗ 10 ≡ 16 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 8 L ≡ 16 Hmod 17 L16 ∗ 10 = 9 ∗ 17 + 7 » 16 ∗ 10 ≡ 7 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 9 L ≡ 7 Hmod 17 L7 ∗ 10 = 4 ∗ 17 + 2 » 7 ∗ 10 ≡ 2 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 10 L ≡ 2 Hmod 17 L2 ∗ 10 = 1 ∗ 17 + 3 » 2 ∗ 10 ≡ 3 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 11 L ≡ 3 Hmod 17 L3 ∗ 10 = 1 ∗ 17 + 13 » 3 ∗ 10 ≡ 13 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 12 L ≡ 13 Hmod 17 L13 ∗ 10 = 7 ∗ 17 + 11 » 13 ∗ 10 ≡ 11 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 13 L ≡ 11 Hmod 17 L11 ∗ 10 = 6 ∗ 17 + 8 » 11 ∗ 10 ≡ 8 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 14 L ≡ 8 Hmod 17 L8 ∗ 10 = 4 ∗ 17 + 12 » 8 ∗ 10 ≡ 12 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 15 L ≡ 12 Hmod 17 L12 ∗ 10 = 7 ∗ 17 + 1 » 12 ∗ 10 ≡ 1 Hmod 17 L » 1 ∗ 10Hhoch 16 L ≡ 1 Hmod 17 LPeriode festgestellt.Stop!Ergebnis: 1 : 17 = 0 , Periode 0 5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7 6 4 7

Systembrueche.nb 18DivisionMitRestAnalyse@1, 7DZähler HzL: .......................... 1Nenner HnL: .......................... 7Dezimalbruch Hmax. 30 StellenL: ...... 0.142857142857142857142857142857Ganzteil: ............................ 0Rest−Bruch Hohne GanzteilL: .......... 1 ê 7Zum Rest−Bruch Halso zum Nachkomma−TeilL:Liste der Reste Hbis zur ersten WiederholungL: ... 81, 3, 2, 6, 4, 5, 1

Systembrueche.nb 19DivisionMitRestAnalyse@4, 7DZähler HzL: .......................... 4Nenner HnL: .......................... 7Dezimalbruch Hmax. 30 StellenL: ...... 0.571428571428571428571428571429Ganzteil: ............................ 0Rest−Bruch Hohne GanzteilL: .......... 4 ê 7Zum Rest−Bruch Halso zum Nachkomma−TeilL:Liste der Reste Hbis zur ersten WiederholungL: ... 84, 5, 1, 3, 2, 6, 4

Systembrueche.nb 20à Einige NachbetrachtungenIm folgenden sollen die Gesetzmässigkeiten in der Dezimalbruchentwicklung von gewöhnlichen Brüchen der Form ÅÅÅÅz (mit z, n œ , n ∫ 0)nuntersucht werden. Dabei soll der Bruch ÅÅÅÅzn o.B.d.A. stets in gekürzter Form gegeben sein (mit anderen Worten: Es sei stets GGTHz, nL = 1).Wie die Beispiele zeigen, kommen folgende Fälle vor:1. Typ: ÅÅÅÅÅÅÅ123 . Dezimalbruchdarstellung: ÅÅÅÅÅÅÅ12 = 4, 000. .. = 43Der "Bruch" ÅÅÅÅznist eine ganze Zahl. Dies ist offenbar genau dann der Fall, wenn der Nenner n den Zähler z teilt. Die Dezimalbruckdarstellungdes Bruches besteht dann aus lauter Nullen - und wird samt des Dezimalkommas in der Regel weggelassen.2. Typ: ÅÅÅÅÅÅÅ320 . Dezimalbruchdarstellung: ÅÅÅÅÅÅÅ3 = 0, 15 .20Der "Bruch" ÅÅÅÅznhat eine abbrechende ("endliche") Dezimalbruchentwicklung. Dies kommt genau dann vor, wenn der Nenner nur die Primfaktoren2 und 5 besitzt.Beweis: ÜbungHinweis: Bruch so erweitern, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist. Überlegen, wie die Multiplikation mit 10 und die "Kommaverschiebung"zusammenhängen.3. Typ: ÅÅÅÅ47 . Dezimalbruchdarstellung: ÅÅÅÅ4êêêêêêê êê= 0, 571428571428571. .. = 0, 5714287(reinperiodischer Fall).Dies kommt genau dann vor, wenn der Nenner durch (mindestens) eine Primzahl, aber weder durch 2 noch durch 5 teilbar ist.Die Periodenlänge ist die kleinste positive natürliche Zahl s mit der Eigenschaft10 s ≡ 1 (mod n)4. Typ: ÅÅÅÅÅÅÅ528 . Dezimalbruchdarstellung: ÅÅÅÅÅÅÅ5êêêêêêê êê= 0, 1785714285714285. .. = 0, 17 85714228(gemischt-periodischer Fall).Dies kommt genau dann vor, wenn der Nenner durch 2 oder 5 und durch (mindestens) eine weitere Primzahl teilbar ist.

Systembrueche.nb 21Die Periodenlänge ist die kleinste positive natürliche Zahl s mit der Eigenschaft10 s+1 ≡ 10 (mod n)Satz: Gegeben sei der gekürzte Bruch z ÅÅÅÅn (mit z, n œ , n ∫ 0); d.h. GGTHz, nL = 1. Weiterhin sei d = GGTHn, 10L.Wenn der Nenner n von (mindestens) einer Primzahl geteilt wird, die von 2 und 5 verschieden ist, dann ist die Dezimalbruchdarstellung desBruches periodisch. Die Periodenlänge besitzt die folgenden Eigenschaften:(a) Die Periodenlänge ist gleich l - k, wo l > k und 10 k ª 10 l Hmod nL mit kleinstmöglichem l ist.(b) Die Periodenlänge ist die kleinste positive natürliche Zahl s mit der Eigenschaft10 s ≡ 1 (mod ÅÅÅÅÅnd ).(c) Die Periodenlänge s ist ein Teiler von j( ÅÅÅÅÅnd ), wo j die Eulersche Funktion ist.Beweisskizze:Das Standardverfahren der Division führt auf ein Gleichungssystem der Artz = q 0 ÿ n + r 0r 0 ÿ 10 = q 1 ÿ n + r 1r 1 ÿ 10 = q 2 ÿ n + r 2...r s-1 ÿ 10 = q s ÿ n + r sr s ÿ 10 = q s+1 ÿ n + r s+1...Bzw. in modularer Dartellung:z ª r 0 Hmod nLr 0 ÿ 10 ª r 1 Hmod nLr 0 ÿ 10 2 ª r 2 Hmod nL...r 0 ÿ 10 s ª r s Hmod nL

Systembrueche.nb 22r 0 ÿ 10 s+1 ª r s+1 Hmod nL...Da es nach dem Schubfachprinzip modulo n nur endlich viele verschiedene Reste gibt, können die Reste im obigen Gleichungssystem nicht alleverschieden sein.Zu Eigenschaft (a):Es sei also r k = r l mit l > k. Dabei sei l der kleinstmögliche Index mit dieser Eigenschaft. Das Divisionsverfahren wiederholt sich dann abder Zeile l + 1 in zyklischer Form; d.h. die Dezimalbruchentwicklung wird periodisch mit der Periodenlänge l - k.Zu Eigenschaft (b):Aus r k = r l folgtr 0 ÿ 10 k ª r 0 ÿ 10 l Hmod nL (*)Da z und n als teilerfremd vorausgesetzt waren, sind auch r 0 und n teilerfremd (man beachte: z = q 0 ÿ n + r 0 ).Man kann Gleichung (*) also durch r 0 dividieren und erhält:10 k ª 10 l Hmod nL (**)Gleichung (**) darf nicht grundsätzlich, sondern nur dann durch 10 gekürzt werden, wenn die Zahlen n und 10 teilerfremd sind.Wir gehen deshalb zur Gleichung10 k ª 10 l Imod ÅÅÅÅÅnd M (***)über. Sie folgt aus (**), denn aus a ª b Hmod nL folgt stets a ª b Imod ÅÅÅÅnt M für jeden beliebigen Teiler t von n. (Beweis: Übung; bzw.siehe auch Ziegenbalg 2002, Seite 73).Da d der größte gemeinsame Teiler von n und 10 war, ist GGTI ÅÅÅÅÅnd ,10M = 1 und Gleichung (***) darf mit 10 k gekürzt werden. Wir erhalteninsgesamt:10 l-k ª 1 Imod ÅÅÅÅÅnd M (****)und nach dem Beweisteil (a) ist s := l - k die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft.Zu Eigenschaft (c):Wir betrachten die Gruppe G der primen Restklassen im Ring der Restklassen modulo ÅÅÅÅÅnd ; im Zeichen G := 9x êê œÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ nÅÅÅÅÅd ÿ :GGTIx, n ÅÅÅÅÅd M = 1=. Ihre

Systembrueche.nb 23Ordnung ist » G » =jI ÅÅÅÅÅnd M.Wegen GGTI10, ÅÅÅÅÅnd M = 1, liegt die zur Basis 10 êêêgehörende Restklasse 10 in der Gruppe G.êêês êêDie von ihr erzeugte zyklische Untergruppe habe die Ordnung s; d.h. s ist die kleinste natürliche Zahl mit der Eigenschaft 10 = 110 s ª 1 Imod ÅÅÅÅÅnd M). Nach dem Satz von Lagrange ist s ein Teiler der Ordnung der Gruppe G, also ein Teiler von jI ÅÅÅÅÅnd M.Folgerung: Gegeben sei der gekürzte Bruch z ÅÅÅÅn (mit z, n œ , n ∫ 0); d.h. GGTHz, nL = 1.Wenn der Nenner n von (mindestens) einer Primzahl geteilt wird, die von 2 und 5 verschieden ist, dann ist die Dezimalbruchdarstellung desBruches periodisch.Weiterhin seien n und 10 teilerfremd; d.h. GGTHn, 10L = 1.Die Periodenlänge ist die kleinste positive natürliche Zahl s mit der Eigenschaft10 s ≡ 1 (mod n).Die Periodenlänge ist ein Teiler von j(n), wo j die Eulersche Funktion ist.(bzw.

Systembrueche.nb 24Satz: Die reelle Zahl r habe eine periodische Dezimalbruchdarstellung. Dann ist r eine rationale Zahl.Beweisskizze: Die Begründung wird zunächst nur in exemplarischer Form gegeben. Es sei r = 0, êê 9. Das heißt r = 0, 99999. .. oderr = ÅÅÅÅÅÅÅ910 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9100 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ91000 + ... .Zieht man den Faktor ÅÅÅÅÅÅÅ910 heraus, so erhält man r = ÅÅÅÅÅÅÅ910 ÿ I1 + ÅÅÅÅÅÅÅ110 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1100 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ11000 + ...M = ÅÅÅÅÅÅÅÅ910 ÿ ⁄ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1k=0 10 k .Die geometrische Reihe ⁄ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1k=0 10k hat den Reihenwert ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ11- ÅÅÅÅÅÅÅ101 , also ÅÅÅÅÅÅÅ10 und insgesamt ist r = ÅÅÅÅÅÅÅ9910 ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅ10 = 1.9Hat r eine komplexere Dezimalbruchdarstellung (Vorperiode, Periodenlänge grösser als 1), so ändert sich nichts wesentliches: Ganzteil plusVorperiode ergeben immer eine rationale Zahl. Fasst man die restlichen Ziffern nach Periodenblöcken zusammen, so ergibt auch dies einegeometrische Reihe, deren Reihenwert eine rationale Zahl ist.Einige Beispiele in Mathematica: 0,999999...∞ 9‚ k=1 10 k1Beispiel 0,285285285...Blöcke: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2851000 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ285ÅÅÅÅÅÅÅÅ1000000 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ285ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å1000000000+ ... =285ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1000 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 285 Å1000 2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2851000 3 + ...∞ 285‚ k=1 1000 k95333N@%, 50D0.28528528528528528528528528528528528528528528528529

Systembrueche.nb 25Bemerkung: Irrationale Zahlen müssen also nichtabbrechende und nichtperiodische Dezimalbruchdarstellungen haben. So ist z.B. die Zahl0,101001000100001000001... , bei der die Anzahl der 0-Ziffern zwischen je zwei 1-Ziffern immer um eins anwächst, eine irrationale Zahl.à Weitere Demonstrationenà Einige Hilfsprogramme