Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN 10Wir werden gleich zeigen, daß alle Ordinalzahlen durch die ∈-Relation nicht nurgeordnet, sondern sogar wohlgeordnet sind, so daß diese Bezeichnungsweise gerechtfertigtist. Der obige Satz 1.3 besagt also im Teil (ii) : α = {ξ | ξ < α}.Satzα ≤ β ↔ α ∈ β ∨ α = β ↔ α ⊆ β.Beweis: Wir zeigen zunächst etwas allgemeiner:trans(a) ∧ a ⊆ β → Ord(a) ∧ (a ∈ β ∨ a = β)Sei trans(a) ∧ a ⊆ β. Dann ist auch ∈ a eine Wohlordnung, also Ord(a).Falls a ≠ β, so a ⊂ β, d. h. β − a ≠ /0, und wir können wegen der Fundiertheitein minimales γ ∈ β −a wählen, von dem wir zeigen werden, daß a = γ und damita ∈ β wie erwünscht:Sei also γ ∈ β − a ∈-minimal, so daß insbesondere ∀x ∈ γ x ∈ a, d. h. γ ⊆ a.Es gilt dann aber auch a ⊆ γ :Sei x ∈ a. Dann x ∈ β (nach Voraussetzung) und x ∈ γ ∨ x = γ ∨ γ ∈ x wegencon(β). Aber die letzten beiden Fälle können nicht eintreten: x = γ → γ ∈ a undγ ∈ x → γ ∈ a (wegen trans(a)), es ist aber nach Wahl von γ : γ ∉ a. □Somit haben wir mengentheoretisch nicht nur eine einfache