Aufrufe
vor 3 Jahren

Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

8.2. MENGEN VON RANG

8.2. MENGEN VON RANG 61Eigenschaften des Ranges(i)(ii)a ⊆ b → ρ(a) ≤ ρ(b)a ∈ b → ρ(a) < ρ(b)(iii) ρ({a}) = ρ(P(a)) = ρ(a) + 1(iv)ρ(α) = ρ(V α ) = α(v) V α = {x|ρ(x) < α}(vi)ρ(α) = ⋃ x∈a ρ(x) + 1 = sup + x∈aρ(x)Beweis: Übungsaufgabe!□Bemerkungen• Wegen ω ⊆ V ω , P(ω) ⊆ V ω+1 , P(ω) ∈ V ω+2 kommen reelle Zahlen, Mengenund Funktionen von reellen Zahlen und alle Objekte der reellen Analysisin V ω+ω vor (sicher schon in V ω+10 ). Darüber hinaus sind die Stufen V αtransitive Mengen mit interessanten Abschlußeigenschaften:• a,b ∈ V α → {a},{a,b},P(a) ∈ V α+1 ,(a,b) ∈ V α+2 .• Ist λ eine Limeszahl, so ist also V λ abgeschlossen unter{a},{a,b},(a,b), ⋃ a,P(a),a × bund enthält mit jedem a auch jede Teilmenge b ⊆ a.• (V ω ,∈) ist Modell aller Axiome von ZF, bis auf das Unendlichkeitsaxiom,das hierin falsch ist (da alle Mengen in V ω endlich sind, s. unten 9.2).• (V λ ,∈) ist für Limeszahlen λ > ωdas Ersetzungsaxiom,Modell aller Axiome von ZF, bis auf• HC := {x | TC(x) abzählbar} ist ein Modell aller Axiome von ZF, bis aufdas Potenzmengenaxiom.• Die Frage nach der Existenz von Ordinalzahlen α, für die (V α ,∈) ein Modellvon ZF ist, führt zu den “großen Kardinalzahlen”, deren Existenz in ZFnicht beweisbar ist (“unerreichbare” Zahlen).Offensichtlich weisen die von-NEUMANNschen Stufen V α gewisse “Ähnlichkeiten”mit V auf. Genauer läßt sich dieser Zusammenhang in der Form eines

8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Reflexionsprinzips∃α[a ∈ V α ∧ ∀x 1 ...x n ∈ V α (ϕ V α(x 1 ...x n ) ↔ ϕ(x 1 ...x n ))]ausdrücken, wobei die Formel ϕ a (die Relativierung von ϕ nach a) aus ϕ hervorgeht,indem dort jeder Quantor Qx durch den relativierten Quantor Qx ∈ aersetzt wird. Somit besagt das Reflexionsprinzip, daß zu jeder Formel ϕ ein beliebiggroßes V α existiert, das bezüglich der Eigenschaft ϕ sich wie die AllklasseV verhält. Man kann Reflexionsprinzipien benutzen als alternative Möglichkeit,die Theorie ZF zu axiomatisieren - bei geeigneter Formulierung machen sie alleAxiome über die Existenz von Mengen (bis auf das Aussonderungsaxiom) überflüssigund sind natürlich modelltheoretisch von besonderem Interesse (Näheresim Teil V).8.3 Anwendungen des RangesEine Einteilung aller Mengen in Äquivalenzklassen führt häufig zu echten Klassen;ein geeignetes Repräsentantensystem erhält man dann meistens nur unter Anwendungdes Auswahlaxioms. Mit Hilfe des Rangbegriffes kann man sie aberauch nach SCOTT-TARSKI 1955 auf Mengen beschränken: Jeder Klasse A ordnetman die Elemente von A zu, die minimalen Rang haben:DefinitionSatz(i) a,b ∈ A min → ρ(a) = ρ(b),(ii) A min ⊆ A ∧ A min ∈ V,(iii) A min ≠ /0 ↔ A ≠ /0.A min := {x ∈ A | ∀y ∈ A ρ(x) ≤ ρ(y)}Beweis: (i) folgt aus unmittelbar aus der Definition. Ist A ≠ /0, so existiert nach demFundierungsaxiom für Klassen ein a ∈ A mit a∩A = /0, dieses hat dann unter allenElementen von A den minimalen Rang (es kann aber natürlich mehrere Elementevon minimalem Rang geben). Ist ρ(a) = α, so A min ⊆ V α+1 und somit eine (nichtleere)Menge.□

Folien der Vorlesung - ICR
Folien der Vorlesung - ICR
Vorlesung 16. Mai 2011 - IKS
Vorlesung SWE - Gliederung
Vorlesung vom 22.4.2013
Folien der Vorlesung - ICR
Folien der Vorlesung - ICR
Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung
Skriptum zur Vorlesung
Skriptum zur Vorlesung Stahlbau
Mengenlehre
Axiomatische Mengenlehre 1