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Technische Reaktionsführung:Nicht-isotherme ReaktorenUmsatzverhalten von chemischen Reaktoren im technischen Maßstabbei adiabatischer oder polytroper ReaktionsführungBisher: Ideale Reaktoren●Idealer Satzrührkessel abiabatischc 10t=0T 0c 1(t) T(t)t=t Rc 1ET EAdiabatenbilanzc 10T 0c 1 (z) T(z)c 1ET Ec 10T 0c 1(t) T(t)c 1ET E●Idealer Durchflussrührkessel adiabatisch und polytrop●Ideales Strömungsrohr adiabatisch●Reales Strömungsrohr, BilanzgleichungenWeitere Themen:●Reales Strömungsrohr, Adiabatenbilanz●●●●●Polytrope ReaktionsführungFestbettreaktorWirbelschichtreaktorAutotherme ReaktionsführungRegelung chemischer ReaktorenTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-1Idealer SatzrührkesselAdiabatenbilanz:Ideales StrömungsrohrIdealer DurchflussrührkesselT E T 0 = R H c 0c 1c E 1 T E T 0 = R H c 01c 0 E1cbzw.1Uc0PP c 1Es gilt sogar die strengere, lineare Beziehung:TT 0 = R H c 0c 1c 1PGilt dies auch für reale Reaktoren?AdiabatischeTemperaturänderungT adDie Adiabatenbilanz gilt lokal!Satzreaktor, CSTR: c 1(t), T(t)PFR: c 1(z), T(z)Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-2Zusammenfassung: Dispersionsmodell innormierter Darstellung bei einfacher ReaktionStationäre BilanzenStoff:Wärme:0= d c 1d 1 d 2 c iBo d kT c 2 10= d Td 1 d 2 TPe d R H 2Dimensionslose Kennzahlen:Bo= Lu Pe= c P LuD ax axkT cc 1 Hydrodynamische VerweilzeitP= L uWilhelmsche Randbedingungen (geschlossenes System)Linksseitig, z=0:Rechtsseitig, z=L:c 1 0 =c 1 0 1 BoT 0 =T 0 1 Ped c 1 d ∣=0d T d ∣ =0Frage: Gilt die Adiabatenbilanz?d c 1 d T =0d ∣=1Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannoverd =0∣=19-3Dispersionsmodell: Gilt die Adiabatenbilanz?Stationäre BilanzenStoff:Wärme:0= d c 1d 1 d 2 c ikT cBo d 2 10= d Td 1 d 2 T R H kT cPe d 2 c 1P0= dd c 1 1 d c iBo d k T c 10= dd T 1 d TPe d R H dd c 1 1 d c iBo d = k T c 1dd T 1 d TPe d = R H c Pdd ausklammern! ∣⋅ 1ReaktionstermseparierenkT cc 1Pdd T 1 d TPe d = R H kT cc 1Pdd c 1 1 d c iBo d einsetzenund weiter geht’s ...Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-49-1


Dispersionsmodell: Gilt die Adiabatenbilanz?... hier ...dd T 1 d TPe d = R H c Pd T 1 Ped Td = R H c PT 1∫ d T 1 d TT 0Pe d = R H c P[Td TT1=1Pe d ] R H T 0 c Pdd c 1 1 d c iBo d d c 1 1 d c iBo d ∣⋅d und über den gesamtenReaktor von κ=0 bisκ=1 integrierenc 1 1∫ d c 1 1 d c ies giltc 1 0Bo d ∫dx=x[ c 1 1 d c iBoc 1 1d ] c1 0und weiter geht’s ...Dispersionsmodell: Gilt die Adiabatenbilanz?... hier ...[Td TT1=1Pe d ] R H T 0 c PT 1 1 d TPe d ∣ =1 T E0T ET 0= R H c PT ET 0=T adU T 0 1 PeAusrechnen!d Td ∣=0 = R H cc P {11 1 d c i∣ Bod =1ET 0 c 10... laut Randbedingungen! c 1 E c 10 [ c 1 1 d c iBoc 1 1d ] c1 0 c 0c 1c 1E = R H c 01P= R H c 1 0 1 d c iBo0c 1 ∣ =0 } dc PT adc 1 0 c 1E0c 1UIm stationären Zustand gilt die Adiabatenbilanz!Gilt auch lokal T T 0= R H c 0 ?c 1c 1PTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-5Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-6Dispersionsmodell: Gilt die Adiabatenbilanz lokal?Ausgangspunkt sind wieder die stationäre BilanzenStoff:Wärme:wiezuvor!0= d c 1d 1 d 2 c ikT cBo d 2 10= d Td 1 d 2 T R H Pe d 20= dd c 1 1 d c ikT cBo d 10= dd T 1 d TPe d R H dd T 1 d TPe d = R H c PT ∫ d T 1 d TT 0Pe d = R H c P[Td TT=1Pe d ] R H T 0 c Pdd c PkT c 1einsetzenausklammern! ∣⋅ 1dd c 1 1 d c i∣⋅d und über denBo d Reaktor von κ=0c 1 ∫ d c 1 1 d c ic 1 0Bo[ c 1 1 d c iBobis zu beliebigemκ integrieren!Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannoverd c 1 d ] c1 0und weiter geht’s ...9-7Dispersionsmodell: Gilt die Adiabatenbilanz lokal?... hier ...[Td TT=1Pe d ] R H T 0 c PT 1 d T Pe d T 1 Ped T d [ c 1 1 cd c 1 iBo d ] c1 0Ausrechnen! T 0 1 d TPe d ∣ =0 = R H c P { c 1 1 d c 1Bo d c 1 0 1 d c iBo d ∣ =0 T 0 ... laut Randbedingungen!0c 1T 0= R H c P{ c 1 1 d c 1Bo d c 10} UmsortierenT T 0 R H cc 1c 10 = 1 d T R H 1 d c 1PPe d c PBo d T T 0 R H cc 1c 10 = dPd T Pe R H c 1c PBo Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannoverdd }ausklammernund weitergeht’s ...9-89-2


Dispersionsmodell: Gilt die Adiabatenbilanz lokal?... hier ...T T 0 R H cc 1c 10 = dPd T Pe R H c 1c PBo Dies ist für beliebige Ortskoordinaten, Parameter und linksseitigeRandwerte nur erfüllbar, wenn beide Seiten für sich verschwinden!T T 0 R H c P c 1c 10 = 0dd T Pe R H c 1= 0c PBo dd T 0Pe R H c P c 1 Pe c 01AuflösenPe R H c PEinsetzendd R H c 1c PPe R H c 1= 0c PBo c 1c 10 T =T0 R H c PDies ist die lokaleAdiabatenbilanz!c 1Bo = 0Die konstantenTerme fallen weg!und weiter geht’s ...Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-9Dispersionsmodell: Gilt die Adiabatenbilanz lokal?... hier ...dd R H c 1c PPe R H c 1= 0c PBo RH c Pdd c 1 Bo c 1 Pe = 01Bo 1 Pe d c 1 = 0d Folgerung: Die lineare BeziehungT T 0= R H c P c 1 0 c 1Dimensionslose Kennzahlen:Bo= Lu Pe= c P LuD ax axgilt nur dann, wennBo=Pe bzw. D ax= ax,c Palso Stoff- und Wärmetransport nach dem gleichen Mechanismus erfolgt!Dies ist in homogenen Systemen zumeist erfüllt.Konstanten FaktorausklammernKonstanten FaktorausklammernIn diesem Fall existieren keine mehrfachen stationären Zustände!Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-10●●Ermittlung der Parameter D ax und λ axDie axialen Dispersionskoeffizienten für Stoff und Wärme sind nichtgenau voraus berechenbar!Grobe Näherung bei turbulenter Strömung (Re>2000):Bo= L 1D ax= Lud [ 3⋅107 1,352,1Re Re ] 1 /8 BoImmer durch Verweilzeitexperimente ermitteln: Spurstoffpuls!0δ(t)tAchtung: Hier offenes System!E(t)E(t) für Bo >50: Gauß-FunktionE≈BoBo4 1 2⋅e4Halbwertsbreite ≈2.5 2 ≈ 2 BoTheoretisches Verweilzeitspektrum↑ E(θ)Bo=200Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover501051100= t → θ9-11Simulationsbeispiel für ein reales,adiabatisches StrömungsrohrDie Lösung der Bilanzgleichungen und Umsatzberechnungist nur durch numerische Simulation möglich!Beispiel: Stationärer Zustand für eine einfache, irreversible, exothermeReaktion 1. Ordnung mit 0c 1 =10 kmol Tm 3 0 =350K Bo=Pe=2c 1Ablesen:U = c 0 E1c 10c 1U = 100.810U =0.92dd =0Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni HannoverκTDie Temperatursteigt monoton!dd =0κ9-129-3


PFRModellvergleich adiabatisches Strömungsrohrc 1(z)c 1(z)Höhere Temperaturdurch WärmerückvermischungDispersionsmodell(Bo=Pe=7)für Bo=PelinearerZusammenhangU =1Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni HannoverzU =1zT(z)T(z)Beschleunigter Umsatzdurch höhere TemperaturlinearerZusammenhangWas tun, wennT Ezu hoch ist?Kühlen!T adzT adz9-130 Ec 1 t=0 t=t Rc 1T 0T Ec 1(t) T(t)Idealer SatzrührkesselAdiabatenbilanz:Adiabatische Betriebsweisec 10T 0c 1 (z) T(z)Ideales StrömungsrohrT ET 0= R H c 0c 1c E 1PIdealer DurchflussrührkesselTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannoverc 1EReales StrömungsrohrDie Adiabatenbilanz gilt sogar lokal:T ET T 0= R H c 0c 1c 1Pc 10T 0Idealer Rührkessel ✓Ideales Strömungsrohr ✓Reales Strömungsrohr ✓ nur für Bo=Pec 1(t) T(t)c 1ET ESatzreaktor, CSTR: c 1(t), T(t)Rohrreaktoren: c 1(z), T(z)9-14Polytrope ReaktionsführungKühlmittel T Kc i0V R T K˙Vc i0T 0V R˙Vc iET E˙VT 0uzc i (z,t), T(z,t)z=L˙Vc iET E●●Nicht-isotherme Reaktionsführung mit Zu- oder Abfuhr vonWärme über Wärmetauscher innerhalb des Reaktors– Reaktormantel– Einbauten (Kühl- oder Heizschlangen)Reaktionstechnische Zielsetzung– Beschleunigung der Reaktionz.B. bei endothermer Reaktion:Verlöschen durch zu starke Abkühlung– Vermeidung extremer Temperaturenz.B. hohe Temperaturen bei exothermer Reaktion:Sicherheits- und MaterialproblemEinsetzen unerwünschter NebenreaktionenTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-159-4


Idealer, polytroper Durchflussrührkessel:Graphische Ermittlung des stationären Zustands●●●Mehrfache stationäre Zuständemöglich (stabil oder instabil,Steigungskriterium)Hysterese bei langsamerVariation von ParameternOszillatorische Instabilitätmöglich (Grenzzyklus)Sind solche oder ähnliche Phänomene beimpolytropen Strömungsrohr zu erwarten?˙QVan Herden-DiagrammWärmeproduktion˙Q PT EWärmeabfuhr˙Q TT ET EStoff:Wärme:Ideales, polytropes StrömungsrohrAllgemeine lokale Bilanzgleichungen∂c 1= divuc∂t1 div J 1 1r VStrömung Leitung Reaktion∂Tc P∂t =divc uT P div J q RH r VPfropfenströmungu=e zuKein Stofftransport durch Leitung: J 1=0∂c 1=∂tu ∂c 1∂z 1r V˙Vc i0T 0V R T Kuzc i (z,t), T(z,t)Wärmetransport durch Leitung in radiale Richtung:rJ q= e rJ qz ,r div J q= 1 ∂r ∂r r J q z T(z) J,rqz∂Tc P∂t = c Pu ∂T∂ z ∂ r J qr ,zr ∂rRH r Vund weiter geht’s ...T Kz=L˙Vc iET ER0Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-17Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-18Ideales, polytropes StrömungsrohrZiel: Unabhängigkeit vom Radiusc P∂T∂t=c Pu ∂T∂ z1r∂r J qr ,z∂rRH r Vc P∂T∂t r ∂r =c P u ∂T∂z r ∂r ∂ r J qr , z RH r Vr ∂rR∂Tc P∂t ∫ 0c P∂T∂tc P∂T∂tr ∂r =c Pu ∂T∂ z ∫ Rr∂r0R 22 =c P u ∂T R 2∂ z 2R⋅J q R,z∫0=c Pu ∂T∂ z 2 R J q R, z R H r V∂r J qr , z RH r V ∫0R J q R,z RH r VR 2Wärmebilanz mit Berücksichtigung der Kühlungc P∂T∂t =c P u ∂T∂ z a k W TT K R H r VWärmedurchgang:J q R , z=k W T z T K ∣⋅r ∂ rTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni HannoverRr ∂r2 ∣ ⋅ 2 R 2rüber rintegrierenausrechnenT KT(z)wobei a= A KV R= 2R L R 2 L = 2 RzJ qR09-19BilanzgleichungenStoff:Ideales, polytropes StrömungsrohrNicht-lineare, partielleDGLn 1. Ordnung∂c 1∂t =u ∂c 1∂zAnfangsbedingungenc 1 z ,t=0=c 1 S zT z ,t=0=T S z 1r V∂TWärme: c P∂t =c P u ∂T∂ z R H r V ak WT KT Randbedingungen bei z=0 (DGLn 1. Ordnung):c 1 z=0,t =c 10T z=0,t =T 0Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover˙Vc i0T 0Zur Lösung der Bilanzgleichungen muss r V(c 1,T) bekannt sein!V R T K ak Wuzc i (z,t), T(z,t)z=La= A K= 2R LV R R = 2 2 R˙Vc iET Ea: spezifische WärmeaustauschflächeR: Reaktordurchmesser9-209-5


c 1(z)adiabatischSimulationsbeispiel für ein ideales,gekühltes StrömungsrohrEinfache irreversible, exotherme Reaktion erster OrdnungLösung der Bilanzen im stationären Zustand:Nicht-lineare, gewöhnliche DGLn (ODEs) 1. OrdnungAnfangswertproblem, analytische Lösung nicht möglich!Numerische Lösung erforderlich mit ODE-Solver, z.B. Runge-KuttaT K=339KT K=330Kc 1fällt monotonT K=338,1KT K=338,5KadiabatischT K=339KT K=330KAchtung: Hohe Parametersensitivität ist zu erwarten!Die Lösung ist jedoch eindeutig: keine mehrfachen Steady states!T K=338,5KTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni HannoverT(z)T kann Maximumdurchlaufen!Hot spotT K=338,1K9-21Stoff:Reales, gekühltes Strömungsrohr:Erweiterung des DispersionsmodellsBilanzgleichungen (adiabatisch)Nicht-lineare, partielle DGLn 2. Ordnung∂c 1∂t =u ∂c 1∂ zD ax∂ 2 c i∂ z 2 1 r V∂TWärme: c P∂t =c P u ∂T∂ z ∂ 2 Tax∂ z 2 R H r Vak WT KT Anfangsbedingungenc 1 z ,t=0=c 1 S zT z ,t=0=T S zWilhelmsche Randbedingungen (DGLn 2. Ordnung)Links:z=0uc 1 0 =uc 1 z=0,t D ax∂c 1 z ,t∂z ∣ z=0∂c 1 z ,t uc PT 0=uc PT z=0,t ax∂T∂ z ∣ z=0Rechts:z=L∂z ∣ z=0=0∂T z ,t ∂ z ∣ z=0=0Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover˙Vc i0T 0V R T K ak Wuzc i (z,t), T(z,t)z=La= 2 R˙Vc iET E9-22Simulationsbeispiel für ein reales,gekühltes StrömungsrohrDifferenzenverfahren zur Lösung vonRandwertproblemen bei gewöhnlichen DGLnEinfache irreversible, exotherme Reaktion erster Ordnung, Bo=PeLösung der Bilanzen im stationären Zustand:Nicht-lineare, gewöhnliche DGLn (ODEs) 2. OrdnungRandwertproblemAnalytische Lösung nicht möglich!Numerische Lösung erforderlich,z.B. Schieß- oder Differenzenverfahren!c 1 0 =10T●Betrachtung der Lösung nur andiskreten Ortspunkten z i= i h(=Stützstellen)Abkürzende Schreibweise:Allgemeine Schreibweise:T(z)h= L1Hier: =4T(z i) = T ii=0 i=1 i=2 i=3 i=4 i=5T kann einAblesen: c E 1=2,5Maximum durchlaufen(Hot spot)U = 102.5 =0.7510c 1z zTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-23●●●y(z i) = y iz i-z i-1= hErsetzen des Differentialquotienten durch DifferenzenquotientenDGL-System wird zu nicht-linearem GleichungssystemLösen des Gleichungssystems durch übliche Verfahren, z.B. NewtonTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannoverz/L9-299-6


Approximation der Ableitungendurch DifferenzenquotientenErste AbleitungAufsteigende Differenz Zentrale Differenz Absteigende Differenzyy iy i-1yyy i+1iy i-1yyy i+1izUmformung der Stoffbilanz mit DifferenzenquotientenBilanz:ZentraleDifferenzenquotienten:Randbedingungen:0=u d c 1d zd c 1dz ≈ c 1,i1c 1,i12hD axd 2 c id z 2 1 r Vd 2 c 1dz ≈c 1,i12c 1,i c 1,i12h 2uc 1 0 =uc 1 0D axd c 1 z d z ∣ z=0d c 1 z d z ∣ z=L=0i-1 i i+1y'= dy x i dx≈ y y i i1hZweite Ableitungy' '= d 2 y x i dx 2zi-1 i i+1zy'= dy x i dx≈ y i1 y i12h(mit auf- und absteigenden Differenzen)≈ y' i1 y' i1h≈y i1y i y i y i1h hhi-1 i i+1y'= dy x i dx≈ y y i1 ih= y i12y i y i1Differenzenquotienten:Umgeformte Bilanz:UmgeformteRandbedingungen:0=u c 1,i1c 1,i12huc 1 0 =uc 1,0 D axc 1,1 c 1,0hd c 1dz ≈c 1,i1c 1,ihcD1,i1 2c 1,i c 1,i1axh 21r V c i,T i z=0 ⇔ i=0 z=L ⇔ i=1c 1, 1c 1,=0h 2 Analoge Vorgehensweise bei der Wärmebilanz9-31Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-30Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni HannoverGesucht:Lösung des GleichungssystemsAn jeder Stützstelle sindc 1,iund T izu berechnen,insgesamt 2(N+2) UnbekannteGegeben:Jeweils Bilanzen an N Stützstellenfür Stoff und Wärmeplus je 2 Randbedingungen,insgesamt 2(N+2) GleichungenDas Gleichungssystem ist daherlösbarLösungsmethode für nicht-lineareGleichungssysteme:z.B. Newton-VerfahrenT(z)Es gibt N+2 Stützstellendavon N (hier 4)innere Stützstelleni=0 i=1 i=2 i=3 i=4 i=5Aus BilanzenAus RandbedingungenSimulationsbeispiel für das Schieß- undDifferenzenverfahrenBerechneter Konzentrationsverlauf nach dem Dispersionsmodell:z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Schießverfahren4,186 3,172 2,404 1,823 1,385 1,056 0,812 0,634 0,511 0,437 0,411h=0.05 4,358 3,303 2,505 1,901 1,446 1,105 0,852 0,670 0,546 0,476 0,462h=0.0125 4,229 3,204 2,428 1,842 1,400 1,068 0,821 0,642 0,519 0,446 0,422Die Lösung des Schießverfahrens ist hier aufdie angegebene Stellenzahl genauDie Lösungen mit dem Differenzenverfahrenbasieren auf 201 bzw. 801 StützstellenDer Fehler reduziert sich mit zunehmenderZahl der StützstellenTechnische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-32Technische Reaktionsführung: Nicht-isotherme Reaktoren / Prof. Dr. K.-H. Bellgardt / Institut für Technische Chemie / Uni Hannover9-339-7

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