Klausur Komplexitätstheorie WS 02/03 20. Februar 2003

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Klausur Komplexitätstheorie WS 02/03 20. Februar 2003

Klausur Komplexitätstheorie WS 02/03 3Aufgabe 2 (Definitionen)Geben Sie die Definition der folgenden Konzepte an.Achtung: Bitte keine Charakterisierungen nennen.[13 Punkte](a) L ist co -NP-vollständig.(b) ”ϕ ist erfüllbar“ für eine KNF-Formel ϕ.Hinweis: Sie brauchen nicht zu definieren, was der Wert von ϕ unter einer Belegung v ist.(c) Die Sprache SAT.(d) Die Sprache PARTITION.(e) NP.(f) Die Menge SOL ∗ (x) der optimalen Lösungen zu einer Eingabe x ∈ D eines NPO-Problems P = (D, O, SOL, m, goal).Aufgabe 3 (Resultate aus der Vorlesung)[10 Punkte]Geben Sie zu genau eine der beiden Reduktionen (a) oder (b) die Reduktionsfunktion an.Sie müssen die Korrektheit Ihrer Lösung nicht beweisen.Achtung! Sollten Sie beide Reduktionen bearbeiten, kennzeichnen Sie, welche der Lösungen Sie bewertethaben möchten. Wenn Sie in diesem Fall die Kennzeichnung weglassen, wird keine Lösung bewertet.(a) SAT ≤ p 3-SAT.(b) 3-SAT ≤ p CLIQUE.Aufgabe 4 (Linearzeitreduktionen mit unteren Schranken)[15 Punkte]Das Problem CIRCLE INTERSECTION, informal beschrieben, ist folgende Aufgabe: Gegeben isteine Folge (p 1 , r 1 , . . . , p n , r n ) von Punkten p 1 , . . . , p n in der Ebene und Radien r 1 , . . . , r n > 0,wobei jedes Paar (p i , r i ) den Kreis C i := {x ∈ R 2 | |x − p i | < r i } mit dem Mittelpunkt p i unddem Radius r i repräsentiert. Entscheide, ob sich zwei dieser Kreise schneiden, das heißt einegemeinsame Teilfläche besitzen.Zeigen Sie:(a) ε-CLOSENESS ≤ N CIRCLE INTERSECTION, wobei ε > 0 undε-CLOSENESS := {(x 1 , . . . , x n ) ∈ Seq(R) | mini≠j |x i − x j | < ε}.Stichworte: Algorithmus, Laufzeit, Korrektheit.(b) Eine reelle RAM, die CIRCLE INTERSECTION entscheidet, benötigt mindestens Ω(n log n)Schritte.Hinweis: Sie dürfen alles aus den Übungsaufgaben benutzen.


4 Klausur Komplexitätstheorie WS 02/03Aufgabe 5 (Güte von Approximationsalgorithmen)[12 Punkte]Betrachten Sie den folgenden Algorithmus WORST FIT, kurz WF, für das Binpacking-Problem,wobei die Kapazität der Behälter b = 1 sei und die Behälter mit 1, 2, . . . bezeichnet sind:Eingabe: x := (a 1 , . . . , a n ) ∈ Q n , wobei n ≥ 1 und 0 < a i ≤ 1 für 1 ≤ i ≤ nfor i := 1, 2, . . . , n doPacke a i in einen minimal beladenen, angefangenen Behälter, der nochgenügend Platz bietet, falls ein solcher existiert; andernfalls packe a i inden ersten unbenutzten Behälter j.end forAusgabe: WF(x) := Anzahl der benutzten BehälterBezeichne opt(x) die Anzahl der benutzten Behälter in einer optimalen Verteilung der Objekteeiner Eingabe x auf die Behälter.Zeigen Sie: Für alle Eingaben x gilt WF(x)opt(x) < 2.Aufgabe 6 (co -NP)Zeigen Sie:[8 Punkte]NON-3-COLORING := {〈G〉 | G ist ein Graph, der nicht dreifärbbar ist}ist co -NP-vollständig.Hinweis: Sie dürfen die Methoden aus den Übungsaufgaben verwenden, wenn sie richtig zitiert undangewendet werden.Aufgabe 7 (Überführung von Problemvarianten)[12 Punkte]Sei A ein Algorithmus, der zu einem gegebenen Graphen G = (V, E), V = {1, . . . , n}, dieGröße einer größten Clique berechnet.Geben Sie einen Algorithmus B an, der zu einem gegebenen Graphen G = (V, E) eine möglichstgroße Clique in G berechnet. B soll A als Unterprogramm benutzen.Dabei soll die Laufzeit von B ohne die Aufrufe von A polynomiell in der Größe von G sein.Begründen Sie (kurz!) die Korrektheit von B.Viel Erfolg!

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