Ein Verfahren zur Approximation von Funktionen - TCI @ Uni ...

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Ein Verfahren zurApproximation vonFunktionenDie Taylor-ReihenentwicklungBernd HitzmannBrook Taylor1685-1731


Ein Verfahren zurApproximation vonFunktionen0,40,350,30,250,20,150,10,05Bernd Hitzmann00 10 20 30 40 50x


Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]Eine Frage des Standpunkts?100806040200-20-40-60-80Bernd Hitzmann-1000 10 20 30 40 50x


Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]0,450,40,350,30,250,20,150,10,05f 0 (x)=kf 1 (x)=mx+b=b 0 +b 1 xBernd Hitzmann00 10 20 30 40 50x


Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]f 2 (x)=b 0 +b 1 x+b 2 x 20,450,40,350,30,250,20,150,10,05Bernd Hitzmann00 10 20 30 40 50x


Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]f 3 (x)=b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +b 3 x 30,50,450,40,350,30,250,20,150,10,05Bernd Hitzmann00 10 20 30 40 50x


Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]f 4 (x)=b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +b 3 x 3 +b 4 x 40,450,40,350,30,250,20,150,10,05Bernd Hitzmann00 10 20 30 40 50x


Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]60,450,40,350,30,250,20,150,10,05f 6 (x)=Σb i *x ii=0Bernd Hitzmann00 10 20 30 40 50x


Betrachtung der e-Funktion um denNullpunkt (x=0)3,02,5f(x)=e x2,0y-Werte1,51,00,50,0-1 -0,5 0 0,5 1Bernd Hitzmannx-Werte


Betrachtung der e-Funktion um denNullpunkt (x=0)3,02,52,0Eine Konstante?f(x)=b 0 =1y-Werte1,51,00,50,0-0,000001 -0,0000005 0 0,0000005 0,000001x-WerteBernd Hitzmann


Betrachtung der e-Funktion um denNullpunkt (x=0)3,02,52,0Eine Gerade?f(x)=b 0 +b 1 xy-Werte1,51,00,50,0-0,1 -0,05 0 0,05 0,1x-WerteBernd Hitzmann


Betrachtung der e-Funktion um denNullpunkt (x=0)3,02,52,0Eine Parabel?f(x)=b 0 +b 1 x+b 2 x 2y-Werte1,51,00,50,0-0,5 -0,25 0 0,25 0,5x-WerteBernd Hitzmann


Betrachtung der e-Funktion um denNullpunkt (x=0)3,0Ein Polynom 4. Ordnung?f(x)=b 2,50 +b 1 x+b 2 x 2 +b 3 x 3 +b 4 x 42,0y-Werte1,51,00,50,0-1 -0,5 0 0,5 1x-WerteBernd Hitzmann


Beobachtung:Wenn |x|


Sei |x|


Sei |x|


Sei |x|


Sei |x|


Gegeben sei eine Funktion f(x), die um einemPunkt x=x E angenähert werden soll!Approximation mit Taylor-Reihenentwicklungn. Ordnung!Allgemeine FormelBernd HitzmannnΣf(x)≈ f(i) (x)| x=xE(x-x E ) ii!i=0i. Ableitung derFunktion an derStelle x E0. Ableitung=f(x)Fakultät von i0!=14!=1*2*3*4


Beispiele für Entwicklungspunkt x E =0:3 5x xsin( x)= x − + −......3! 5!1 1 2 1*31+ x = 1+x − x + x2 2*4 2*4*6= 1+x−2x2!+3x3!e x [ ] [ ]+ ......3−......x =0,1x 2 =0,01x 3 =0,001x 4 =0,0001Nutzen:1+sin( x)2( x + 1)+x≈(1 + x) 1+2( x + 1)x+xe x 2Bernd Hitzmann≈1+1x


Taylor-ReihenentwicklungNutzen:Vereinfachung komplizierterFormeln!In erster Näherung kann eine unbekannteFunktion durch eine Geradeangenähert werden:f(x) ≈ f(x E ) + f‘(x)| xE (x-x E )y = b + m xm=f‘(x)| xEb= f(x E ) - f‘(x)| xE x EBernd Hitzmann

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