Beispiele mit Simulink

theochem.uni.jena.de

Beispiele mit Simulink

WPF Theoretische und Modellierung und Simulation 1

Computerchemie Anlagen: Anwendungsbeispiele

Anlagen: Einfache Anwendungsbeispiele

1. Integration einer Zeitfunktion u(t):

t

Integralgleichung: z = z0

+ ∫ u(

t)

dt ; Differentialgleichung: dz/dt = z´=u(t); z(t0)=z0

t 0

Simulationsdiagramm zur Integration der Zeitfunktion.

2. Integration mit Rückkopplung:

Differentialgleichung (Zustandsgleichung):

dz/dt = z´= u(t) + az; ); z(t0)=z0

Simulationsdiagramm für einen Integrator

mit Rückkopplung

3. Zweifache Integration einer Zeitfunktion u(t):

Integralgleichungen:

t

t

z1

= z10

+ ∫ u(

t)

dt;

z z20

z ( t)

dt

t 0

2 = + ∫t

0 i

Zustandsgleichungen: z´´1= u(t); z´2 = z1

Simulationsdiagramm (links)

4. Zwei linear gekoppelte Zustandsgrößen:

Zwischen zwei Zustandsgrößen gibt es vier mögliche lineare Verkopplungen: (a) jede Größe

mit sich selbst (Eigenkopplung), (b) jede

Größe mit der anderen. Zustandsgleichungen:

: z´´1 = az1 + bz2; z´2 = cz1 + dz2. (1)

Dieses System ist autonom, d.h. ohne Umwelteinwirkung

u(t). Überführung in eine

Diff.-gl. 2. Ordnung liefert: z2=(z1´-az1)/b

und z2´= (z1´´-az1´)/b und damit

(z1´´-az1´)/b – cz1-(d/b)(z1´-az1) = 0

z1´´ - (a+d)z1´+ (ad-bc)z1 = 0.

links: äquivalente Simulationsdiagramme

für zwei linear gekoppelte Zustandsgrößen

– autonomes System.

Mit z1 =x ergibt sich eine zu Gl.(1) äquivalente Beschreibung der Diff.-gl. 2. Ordnung:

x´´-(a+d)x´+(ad-bc)x =0; mit x = x1; x´=x1´=x2

und damit x´´=x2´. Systemdarstellungen:


WPF Theoretische und Modellierung und Simulation 2

Computerchemie Anlagen: Anwendungsbeispiele

5. Nichtlineares Pendel:

Die Differentialgleichung: x´´- dx´+sinx = 0 mit

dem Referenzwert d = -0.1 liefert mit den neuen

Zustandsgrößen: x = x1; x´= x1´= x2; x´´= x2´

bzw. x2´=dx´-sinx die Zustandsgleichungen:

x1´= x2 und x2´= dx2 – sinx1.

Damit ergibt sich das nebenstehende Simulationsdiagramm

für das nichtlineare Kreispendel.

6. Van der Pol Oszillator:

Die Differentialgleichung für den van der Pol Oszillator ist: x´´- (1-x²)x´- cx = 0; c = -1.

Mit den neuen Zustandsgrößen: x = x1; x´=x1´= x2;

x´´= x2´= (1-x²)x´+cx ergeben sich die Zustands-

gleichungen: x1´= x2 und

x2´= cx1 +x2 –x1²x2.

Das nebenstehende Bild zeigt das Simulationsdiagramm

für den van der Pol Oszillator.

7. Gedämpfte harmonische Schwingung:

Das Modell und die Differentialgleichung → Wortmodell → Wirkungsdiagramm

Federkraft FFDR = -KFDR*Weg; Dämpfungskraft

FDAM = -CDAM*VEL (Geschwindigkeit); Beschleunigungskraft

FACC = FFDR + FDAM; Beschleunigung

ACC = FACC/MASS (Masse); Geschwindig-

keit VEL = VEL + ACC*dt; WEG = WEG+VEL*dt

Ergebnis (x = x0cos²(k/m)t harm. Oszillator) für

k = 0.8 N/m; c = 3 N/(m/s)


WPF Theoretische und Modellierung und Simulation 3

Computerchemie Anlagen: Anwendungsbeispiele

8. Das Räuber-Beute-System

Das Wortmodell: Eine Population von Hasen (Beute; HAS; x1) lebt mit der Population von

Füchsen (Räuber, FUX, x2) im gleichen begrenzten Weidegebiet (Weidekapazität WKAP).

Ohne Füchse wird die Hasenpopulation bis zu einem Sättigungswert (Tragfähigkeit der Weide)

anwachsen. Ohne Hasen wird die Population der Füchse allmählich aussterben (Respiration,

Atmungsverlustrate, FUXAB). Füchse und Hasen im gemeinsamen Gebiet: Füchse ernähren

sich von den Hasen, wenn sie diese, treffen fangen und fressen (Treffen, TREFF), die Hasen

werden dezimiert, dadurch wird freie Weidekapazität (freie Kapazität, FREI) geschaffen, die

wiederum die Hasenpopulation (Hasenzuwachs, HASZU) anwachsen lässt.

Das Wirkungsdiagramm: besteht aus mehreren interagierenden Rückkopplungsschleifen mit

unterschiedlichen Vorzeichen (können sich gegenseitig kompensieren). Der Rückkopplungsfad

Treffen enthält dabei beide Zustandsgrößen (x1, x2) multiplikativ, d.h. es entsteht ein

nichtlineares System.


WPF Theoretische und Modellierung und Simulation 4

Computerchemie Anlagen: Anwendungsbeispiele

9. Einige Simulationsdiagramme

Haltespeicherkette zur Verzögerung von Signalen um n Zeitschritte ohne

Signalveränderung

Das allgemeine Simulationsdiagramm

für beliebige dynamische

Systeme

Verzögerungseffekt eines rückgekoppelten

Integrators (Ausgang ≠ Eing.)

Verzögerungseffekt einer Kette rückgekoppelter Integratoren. Mit wachsender Anzahl der Integratoren nähert sich das

Ausgangssignal dem Eingangssignal an. Die Verzögerung ergibt sich aus den Rückkopplungsfaktoren.

10. Übersicht über Verhaltensmöglichkeiten linearer Systeme mit zwei Zustandsgrößen


WPF Theoretische und Modellierung und Simulation 5

Computerchemie Anlagen: Anwendungsbeispiele

Fortsetzung der Übersicht: Verhaltensmöglichkeiten linearer Systeme mit zwei Zustandsgrößen

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine