12. Übung - JKU

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12. Übung theoretische Physik I Institut für theoretische Physik, JKU LinzWS 2008 Übungstermin: 9.1.200945. Massenpunkt auf ZylinderBetrachten Sie die Bewegung eines Massenpunktes, die auf einen Zylindermantel (Radius R,Achse parallel zur z-Achse durch den Koordinatenursprung) beschränkt ist. Weiters ist dieMasse über eine Feder mit dem Koordinatenursprung verbunden.(a) Bestimmen Sie kinetische und potentielle Energie in Zylinderkoordinaten.(b) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion und daraus die kanonischen Impulse. Gibt eszyklische Koordinaten?(c) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion und daraus die kanonischen Bewegungsgleichungen.(d) Nutzen Sie die offensichtliche Erhaltungsgröße um das Problem auf ein eindimensionaleszurückzuführen.46. Poisson-Klammern: IdentitätenBeweisen Sie für die Poisson-Klammern{f, g} = ∑ i( ∂f∂p i∂g− ∂g )∂f∂q i ∂p i ∂q ifolgende Identitäten:(a) Jacobi Identität:(b){f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0{A, BC} = {A, B} C + B {A, C}(c)47. Poisson-Klammern: Beispiele{ } {∂∂f∂t {f, g} = ∂t , g + f, ∂g }∂t(a) Bestimmen Sie die Poisson-Klammern aus den kartesischen Komponenten des Impulsesp und des Drehimpulses L = r × p eines Massenpunkten. Hinweis: Verwenden Sie diefundamentalen Poisson-Klammern, {L i , p j }.(b) Bestimmen Sie die Poisson-Klammern, die aus den Komponenten des Drehimpulses (inkartesischen Koordinaten) gebildet werden, {L i , L j }.(c) Zeigen Sie, dass für eine beliebige skalare Funktion f, die nur von den Koordinatenund Impulsen eines Teilchens abhängt, gilt:{f, L z } = 0


48. Geladenes Sphärisches PendelAn einem sphärischen Pendel der Länge l ist ein punktförmiges Teilchen der Masse m undLadung e befestigt. Es wirkt ein homogenes Gravitationsfeld in z-Richtung und ein konstantesMagnetfeld B = −B ê z .(a) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion.(b) Benutzen sie die Euler-Lagrange Gleichungen um Bewegungsgleichungen abzuleiten.(c) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion.(d) Stellen sie die Hamilton’schen (kanonischen) Gleichungen auf.Hinweise:(a) Verwenden Sie Kugelkoordinaten.(b) Die potentielle Energie setzt sich aus der Gravitationsenergie und der magnetischenEnergie zusammen.(c) Im cgs-System führt die Lorentzkraft auf ein Teilchen mit der Ladung q,F L = q(E + 1 )c ẋ × B ,zusammen mit den PotentialenE = −∇φ − 1 cB = ∇ × A∂A∂tauf die LagrangefunktionL = m 2 ẋ2 + q c A · ẋ − q φund den verallgemeinerten ImpulsDie Hamiltonfunktion ist alsop = ∂∂ẋ L = m ẋ + q c A .H = ẋ p − L = 12 m(p − q c A ) 2+ qφ .(d) Wählen Sie ein Vektorpotential welches auf B = −B ê z führt. Da B konstant ist, muss∂Averschwinden und weil zusätzlich auch kein elektrisches Feld E vorhanden ist muss∂tauch φ verschwinden. Setzen Sie A explizit in die Lagrangefunktion ein.(e) Verwenden sie die Erhaltungsgröße die aus der zyklischen Variable folgt um das Problem(im Lagrange Formalismus) als eine Differentialgleichung zweiter Ordnung darzustellen.(f) Stellen sie die Hamiltonfunktion nach dem bekannten “Rezept”H = ∑ iẋ i p i − L = ˙ϕ p ϕ + ˙θ p θ − Lauf.


Abbildung 1: Skizze zuWeihnachtsbeispiel I:Käfer auf Globus.Abbildung 2: Skizze zuWeihnachtsbeispiel II:Sechseck.W1. Weihnachtsbeispiel I: Käfer auf GlobusEin Globus (Kugelförmig, Masse M, Radius R) rotiert frei und ohne Reibung mit einerinitialen Winkelgeschwindigkeit ω 0 . Plötzlich fällte ein punktförmiger Käfer der Masse mauf den Nordpol. Der Käfer beginnt mit konstanter Geschwindigkeit v auf direktem Wegezum Südpol zu laufen. Die Rotationsachse des Globus wird konstant gehalten.Zeigen Sie, dass sich der Globus währen der Reise des Käfers um den Winkel∆ϕ = π ω √0 R 2 Mv 2 M + 5 mweiter dreht.Hinweise:(a) Ist der Käfer nicht an einem Pol, so ändert er das Trägheitsmoment des Globus unddamit die Winkelgeschwindigkeit.(b) Ein hilfreiches Integral ist∫dx1a + b cos x =2 π√a2 − b 2 (a 2 > b 2 ) .W2. Weihnachtsbeispiel II: SechseckSechs gleichartige (unendlich dünne) Stäbe der Masse m sind an ihren Enden mit reibungsfreienGelenken so verbunden, dass sie Anfangs ein regelmässiges Sechseck bilden. Sie liegenauf einer reibungsfreien, ebenen Oberfläche. Zur Zeit t = 0 wird ein Stab an seiner Mittesenkrecht zur Länge angestoßen, sodass er unmittelbar nach dem Stoß die Geschwindigkeitu hat.Zeigen Sie, dass der gegenüberliegende Stab sich mit der Geschwindigkeit v = u zu bewegen10beginnt.Hinweis: Für beliebige Zeiten ist dieses Problem nur schwer zu lösen, gefragt ist deshalb nurdie Geschwindigkeit des gegenüberliegenden Stabs unmittelbar nach dem Stoß.Die Übungsleiter wünschen ein gesegnetes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch in’s neueJahr!

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