Computermethoden zur Lösung einiger konkreter kombinatorischer ...

2.4 Computermethoden in der Literatur 19
1975 verbesserte Spencer die untere Schranke von Erdös um den Faktor 2. Die Asymptotik
diagonaler Ramsey-Zahlen ist nicht bekannt. Allerdings führt Bolobás folgende
Vermutung an: ”It is widely believed that there is a constant c, perhaps even c = 1,
such that
R(s) = 2 (c+o(1))s ,
but this is very far from being proved”.
Für den nichtdiagonalen Fall R(3,t) gibt Kim 1995 eine untere Schranke an. Zusammen
mit der bekannten oberen Schranke kann er zeigen, dass sich R(3,t) asymptotisch
wie t2
logt verhält:
mit c = 1
2∗9 2 .
c(1 − o(1)) t2
logt
≤ R(3,t) ≤ (1 + o(1)) t2
logt ,
2.4 Computermethoden in der Literatur
Betrachtet man den Einsatz von Algorithmen bei der Bestimmung von Ramsey-Zahlen,
so sind Grinstead u. Roberts (1982) die Ersten, die damit erfolgreich eine neue Ramsey-
Zahl exakt angeben (R(3,9) = 36) und zudem für eine weitere Ramsey-Zahl die Schranken
verbessern können (28 ≤ R(3,8) ≤ 29). Alle zeitlich folgenden exakten Ergebnisse
für Ramsey-Zahlen (McKay u. Zhang Ke Min (1992): R(3,8) = 28 und McKay u.
Radziszowski (1995): R(4,5) = 25) können ausschließlich unter intensivem Einsatz
von Computeralgorithmen erbracht werden. Diese Art von Beweisen ist umstritten, da
dabei Probleme wie z.B. die Korrektheit der Implementierung von Algorithmen oder
Reproduzierbarkeit und Verifizierbarkeit auftreten.
Ein ”brute-force”-Ansatz ist schon bei kleinen Parametergrößen nicht mehr geeignet,
um Ramsey-Zahlen zu bestimmen. Ein naheliegender brute-force-Algorithmus für die
Schranke R(s,t) > n ist das Prüfen aller Graphen mit n Knoten auf das Vorhandensein
einer s-Clique oder einer t-Clique im dualen Graph. Wird ein Graph gefunden,
der sowohl keine s-Clique als auch keine t-Clique im dualen Graph enthält, so stoppt
der Algorithmus mit der Aussage: R(s,t) > n. Sonst gilt, nach dem Durchsuchen des
gesamten Suchraums: R(s,t) ≤ n.
Allein das Entscheiden, ob ein gegebener Graph eine Clique bestimmter Größe hat, ist
NP-vollständig. Dieses Problem ist wegen der kleinen Parameter s und t vernachlässigbar.
Es gibt, in der Größe des Graphen, exponentiell viele Möglichkeiten der Konstruktion
von Graphen. Das Problem des großen Suchraums wird mit kombinierten Methoden
behandelt. Dabei benutzt man kombinatorische Lemmata, um den Suchraum
oder die Suchräume praktikabel klein zu bekommen und spezialisierte Suchalgorithmen,
die diese Fälle auf behauptete Eigenschaften (nicht unbedingt das Vorhandensein
von Cliquen bestimmter Größen) prüfen. So wird beim Beweis von R(3,8) ≤ 29