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Abbildung 8: Pfad des CIR-Modells für d ≤ 14.7.1. PositivitätDefinition[vgl. [6]]Es sei X t ein positiver stochastischer Prozess, das heißt es gilt für alle t > 0,P ({X t > 0}) = 1.Unter dieser Bedingung nennen wir das numerische Diskretisierungsverfahren mit derApproximation X(n) für X(t n ) positivitätserhaltend genau dann, wenngilt für alle n ∈ N.4.7.2. Euler-Maruyama-VerfahrenP ({X(n + 1) > 0|X(n) > 0}) = 1Wir beginnen wieder mit dem einfachsten Verfahren, dem Euler-Maruyama-Verfahren.Das Euler-Maruyama-Verfahren haben wir folgendermaßen definiert (siehe Kapitel 3)X(n + 1) = X(n) + a(X(n))∆ n + b(X(n))∆W (n),n = 0, 1, 2, ..., N − 129
mit ∆ n = t n+1 − t n = ∫ t n+1t n1 · ds und ∆W n = W (t n+1 ) − W (t n ) = ∫ t n+1t n1 · dW (s).Daraus ergibt sich für das CIR-ModellX(n + 1) = X(n) + κ(θ − X(n))∆ n + σ √ X(n)∆W (n),n = 0, 1, 2, ..., N − 1.Dieses Verfahren liefert an den Zeitpunkten t n+1 = t 0 + (n + 1)∆ n , die für∆W < − X t n+ κ(θ − X tn )∆ nσ √ X tntrotz X tn > 0 eine negative Approximation für X tn+1 [vgl. [6], p.237]. In diesem Fallwürde das Verfahren scheitern. Das Euler-Maruyama-Verfahren ist also nicht positivitätserhaltend.Wir wollen uns nun Verfahren anschauen, mit denen man das CIR-Modell approximierenkann, ohne dass das Verfahren auf Grund <strong>von</strong> negativen Werten scheitert.Euler-Verfahren nach HighamHigham hat folgende Lösung für das Problem der Strukturerhaltung vorgeschlagen. Erhat √ X(t) durch √ |X(t)| ersetzt. Daraus erhält man folgendes VerfahrenX(n + 1) = X(n) + κ(θ − X(n))∆ n + σ √ |X(n)|∆W (n). (4.7.1)Dieses Verfahren ist nicht positivitätserhaltend für <strong>Wurzel</strong>-Diffusionsgleichungen, wiedas CIR-Modell [vgl. [12] ].Euler-Verfahren nach Deelstra und DelbaenDeelstra und Delbaen haben eine andere Möglichkeit vorgeschlagen, die Probleme zuverhindern. Sie haben folgendes Verfahren untersucht:X(n + 1) = X(n) + κ(θ − X(n) + )∆ n + σ √ X(n) + ∆W (n), (4.7.2)mit X + = max(x, 0). Die Besonderheit dieses Prozesses ist, dass der Prozess kleiner Nullwerden kann, an den Punkten, an denen das Verfahren deterministisch wird mit einerAufwärtsbewegung κθ. Das bedeutet, man kann die Positivität der Diskretisierung nichtgarantieren.Euler-Maruyama-Verfahren nach DiopDiop betrachtete die folgende Lösung für das Problem:X(n + 1) = |X(n) + κ(θ − X(n))∆ n + σ √ X(n)∆W (n)|. (4.7.3)Dieses Verfahren spiegelt die Lösung an der Achse X = 0. Das Euler-Verfahren nachDiop ist positivitätserhaltend für CIR-Prozesse.30
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Seite 9 und 10: genannt. Der Parameter a(X, t) hei
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Seite 14: 2. Die Anfangszufallsvariable X t0
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Seite 22 und 23: • Durch pfadweise Integration erh
Seite 24 und 25: zu vereinfachen. Wir erhalten= L i
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