Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel ... - G-CSC Home

verfahren nicht strukturerhaltend für Wurzel-Diffusionsgleichungen sind. Dazu verwendenwir das Drift-implizite Milstein-Verfahren als Referenzlösung. Wir haben ja bereitsdie starke Konvergenzordnung dieses Verfahrens gesehen, aus diesem Grund können wirdas Verfahren ohne Probleme als Referenzlösung verwenden.Um zu zeigen, dass unsere Standard-Diskretisierungsverfahren für Wurzel-Diffusionsgleichungenungeeignet sind verwenden wir den Matlabcode (10). Wir erhalten dabei diefolgende Fehlermeldung:“negativer Wert für X(n), Verfahren scheitert”.Damit folgt, dass durch die Simulation der Pfade mittels der Standard-Diskretisierungsverfahrennegative Werte für das CIR-Modell geliefert werden und diese die Strukturvon Wurzel-Diffusionsgleichungen nicht erhalten.6. SchlussbetrachtungIn dieser Arbeit wurden strukturerhaltende stochastische Approximationen für Wurzel-Diffusionsgleichungen vogestellt, ihre Konvergenzordnung numerisch bestimmt und untereinanderverglichen.Um diese Diskretisierungsverfahren zu bekommen, wurden erst die Standard-Diskretisierungsverfahren,wie das Euler-Maruyama-Verfahren und das Milstein-Verfahren, hergeleitet.Es wurde die lineare Ausgleichsrechnung erläutert, um numerisch die Konvergenzordnungbestimmen zu können. Um eine Vorstellung von der Konvergenzordnung zu bekommen,wurden die Standard-Diskretisierungsverfahren getestet. Dies ergibt für dasEuler-Maruyama-Verfahren eine starke Konvergenz von ≈ 1 2und eine schwache Konvergenzvon ≈ 1. Das Milstein-Verfahren hat eine starke sowie eine schwache Konvergenzordnungvon ≈ 1.Das CIR-Modell wurde betrachtet und festgestellt, dass es keine geschlossene Lösungsformelfür dieses Modell gibt. Durch die nichtzentrale Chi-Quadrat-verteilteÜbergangswahrscheinlichkeit kann man dieses Modell jedoch exakt simulieren. Dies istjedoch numerisch sehr aufwendig, da man in jedem Schritt eine normalverteilte undeine gammaverteilte Zufallsvariable simulieren muss. Aus diesem Grund ist es sinnvoll,sich Diskretisierungsverfahren für Wurzel-Diffusionsgleichungen anzuschauen. Diese sindzwar nicht exakt, jedoch schneller zu simulieren.Für Wurzel-Diffusionsprozesse sind stochastische Approximationen, die die Positivitätdes Prozesses garantieren, strukturerhaltend. Grund dafür ist die Wurzel im Diffusionsterm.Bezogen auf das CIR-Modell wird gezeigt, dass unsere Standard-Diskretisierungsverfahrennicht positivitätserhaltend sind. Eine Implementierung dieser Verfahren, angewendet aufdas CIR-Modell, scheitert. Um dies zu verhindern, gibt es verschiedene Abänderungender Standard-Diskretisierungsverfahren für Wurzel-Diffusionsgleichungen.Das Euler-Verfahren nach Deelstra und Delbaen verhindert das Ziehen einer Wurzel aus40