Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel ... - G-CSC Home

A. ProgrammcodesListing 1: Code zur Simulation eines Wiener-Prozesses1 %Programm zur Simulation e i n e s Pfades des Wiener P r o z e s s e s2 %Dieser Code wurde verwendet , um d i e Figure 1 zu erzeugen3 randn( ’ s t a t e ’ , 5 )4 N=2ˆ16;5 t = ( 0 : 1 :N) ’ /N;6 W = [ 0 ; cumsum(randn(N, 1 ) ) ] / sqrt (N) ;7 plot ( t ,W) ;8 hold on9 plot ( t , 0 ∗ t , ’ : r ’ )10 axis ( [ 0 1 −2 2 ] )11 t i t l e ( ’ Pfad e i n e s Wiener−P r o z e s s e s mit dem M i t t e l w e r t ’ )12 legend ( ’ Wiener−Prozess ’ , ’ M i t t e l w e r t ’ )13 xlabel ( ’ Z e i t ’ )14 ylabel ( ’ Wert des Wiener−P r o z e s s e s ’ )15 hold o f fDie nächsten beiden Codes sind die wichtigsten dieser Arbeit. Sie sind universell einsetzbar.Man kann mit ihnen beliebige stochastische Differentialgleichungen auf ihreKonvergenzordnungen überprüfen. Mann muss lediglich die Funktionen f und g auf diezu betrachtende stochastische Differentialgleichung anpassen.Listing 2: Code Test auf starke Konvergenz1 function t a y l o r s d e ( X 0 , f , g , dg , rounds )2 %Mit H i l f e d i e s e s Programmes kann man3 %s t o c h a s t i s c h e D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n4 %auf s t a r k e Konvergenz t e s t e n5 function t a y l o r s d e ( X 0 , f , g , dg , rounds )6 % dX t = f ( t , X t ) dt + g ( t , X t ) dW t7 maxM = 2ˆ16;8 M = f l i p l r ( 2 . ˆ ( 5 : 1 4 ) ) ;%Anzahl der S c h r i t t e9 e r r o r e u l e r = zeros ( numel (M) , 1 ) ;10 e r r o r m i l s t e i n = zeros ( numel (M) , 1 ) ;11 for r = 1 : rounds12 %R e f e r e n z l o e s u n g13 h = 1/maxM; %S c h r i t t w e i t e der R e f e r e n z l o e s u n g14 U = randn(maxM, 2 ) ;15 dW = U( : , 1 ) ∗ sqrt ( h ) ; %Inkremente des Wiener−Porozesses16 W = [ 0 ; cumsum(dW) ] ;%Wiener−Prozess17 X r e f = zeros (maxM + 1 , 1 ) ;18 X r e f ( 1 ) = X 0 ;19 %Berechnung der R e f e r e n z l o e s u n g20 for i =2:maxM+121 X r e f ( i ) = m i l s t e i n ( X r e f ( i −1) , f , g , dg , dW( i −1) , h ) ;22 end23 %Berechnung der Loesung mit g r o e b e r e r S c h r i t t w e i t e24 for m=1:numel (M)25 h=1/M(m) ;26 f a c t o r = maxM/M(m) ;42