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Anfangs werden im

Anfangs werden im Kapitel 2 die wichtigsten Grundlagen zu stochastischen Prozessengegeben. Im Kapitel 3 wird auf die Standard-Diskretisierungsverfahren eingegangen. Eswerden wichtige Begriffe, wie beispielsweise die Konvergenzordnung, eingeführt. Im Kapitel4 beginnt der Hauptteil dieser Arbeit. Es wird auf die Wurzel-Diffusionsgleichung eingegangenund das CIR-Modell näher vorgestellt. Außerdem werden die positivitätserhaltendenDiskretisierungsverfahren für das CIR-Modell gegeben. Im letzten Kapitel 5 werden numerischeErgebnisse dieser Diskretisierungsverfahren aufgezeigt.Die verwendeten Programme dieser Bachelorarbeit wurden in Matlab implementiert. Siebefinden sich im Anhang.2. Stochastische ProzesseIn diesem Kaptiel wird in die Theorie stochastischer Prozesse eingeführt. Der wichtigstestochastische Prozess für diese Bachelorarbeit, der Wiener Prozess, wird vorgestellt.Ausserdem beschäftigt sich dieses Kapitel mit dem Begriff des Ito-Prozesses, sowie demLemma von Ito. Die Herangehensweise dieses Kapitels orientiert sich an [3], sowie [10].Definition [Stochastischer Prozess]Unter einem stochatischer Prozess versteht man eine Zufallsgröße X(t), deren Wert überdie Zeit t zufälligen Änderungen ausgesetzt ist. Genauer gesagt handelt es sich bei einemstochastischen Prozess um eine Familie von Zufallsvariablen.Für eine stetige, kontinuierlich variierende Zeitvariable t ∈ I = [0, T ] ⊆ R bezeichnet{X(t)|t ∈ I} einen stetigen stochastischen Prozess.2.1. Wiener ProzessEin Wiener-Prozess, auch Brownsche Bewegung genannt, ist ein zeitstetiger stochastischerProzess, dessen Zuwächse dW (t), mit denen sich der Prozess über die Zeit t ändert,unabhängig und normalverteilt mit Mittelwert 0 und dem Zeitintervall dt entsprechendeVarianz sind. Das heißt es gilt:dW (t) ∼ N(0, dt). (2.1.1)Die Verteilung der Zuwächse eines Wiener Prozesses lässt sich mittels einer standardnormalverteiltenZufallsvariablen simulieren. Es gilt:dW (t) ∼ √ dtZ(t) mit Z(t) ∼ N(0, 1). (2.1.2)Das zeigt, dass die Zuwächse des Wiener Prozesses entsprechend einer √ dt-mal standardnormalverteiltenZufallsvariablen verteilt sind. Dies ist bedeutsam für die Implementierungstochastischer Differentialgleichungen.Eine weitere Eigenschaft des Wiener Prozesses ist, dass die nichtüberlappenden Zuwächseunabhängig sind. Es gilt demnach für 0 ≤ t 1 < t 2 ≤ t 3 < t 4W t2 − W t1 und W t4 − W t3 sind unabhängig. (2.1.3)6

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