1 lokale Bilanzen globale Bilanzen - TCI @ Uni-Hannover.de

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Reaktorstabilität bei derDurchführung exothermer ReaktionenPolytroper idealerDurchflussrührkesselreaktor (CSTR)V& , c , T 1 ,0 0V & c , T,1,EEAnalyse des dynamischen VerhaltensGekühlte ideale DurchflussrührkesselKühlungc , T 1, E EKühlungV& , c T, 1 ,0Kühlung0c , T 1, E EV & ,, c T 1,E EKühlungT KAuf dasVolumenbezogen !!Kühlfläche A K( )VT KB. Hitzmann, TCI Uni-Hannover∂Trρcp= −divρcpvT+( −∆RH)r+ a k ( T −T∂tρ ( ) )V K w KB. Hitzmann, TCI Uni-Hannover∂cdiv vc r= −1∂t∂Tρcp= −div∂t( ) + r 1 V1 νr( ρcvT ) + ( −∆ H ) r + a k ( T −T)pBerücksichtigung einer Reaktion 1. Ordnung (exotherm),Integration über Reaktorvolumen undVerwendung des Gaußschen Satzes ergibt:VRV ρcRdc1 = Vc & −Vc&1,0 1− k0c1VdtpREA−R TRelokale BilanzenAdT−RT= ρcVT &p 0− ρcVT &p+ ( −∆RH) k0c1VRe+ AKkw(TK−T)dtzusätzlicheradiabatische ideale CSTRB. Hitzmann, TCI Uni-Hannover TermVKEwglobale BilanzenKVRV ρcRJpdc1 = Vc & −Vc&1,0 1− k0c1VdtEA−R TReAdT−RT= ρcVT &p 0− ρcVT &p+ ( −∆RH) k0c1VRe+ AKkw(TK−T)dtWärmeerzeugung: J[ c VT & − ρcVT + A k ( T − )]= &&EA−RTQ chem= Q&, chem= ( −∆RH) k0c1VReQ, AbfuhrQAbfuhr= − ρp 0 p K w KTWärmeabfuhrEB. Hitzmann, TCI Uni-HannoverVRV ρcRpdc1 = Vc & −Vc&1,0 1− k0c1VdtEA−R TReAdT−RT= ρcVT &p 0− ρcVT &p+ ( −∆RH) k0c1VRe+ AKkw(TK−T)dtGekoppelte nichtlineare DGLSie sind analytisch allgemein nicht lösbar!Numerische Verfahren sind notwendigfür eine LösungBetrachtung einer NäherungslösungEB. Hitzmann, TCI Uni-HannoverVRdc1 = Vc & −Vc&1,0 1− k0c1VdtEA−R TReAdT−RTVRρcp= ρcVT &p 0− ρcVT &p+ ( −∆RH) k0c1VRe+ AKkw(TK−T)dtVerwendung von c und T als VariabledcdtdTdtE − AR T=0c0− c− k eτcVτ =V&EAT0 −T( −∆ H ) −RA kRT K w= + k0ec + ( TK−T)τ ρcρcVAllgemein:pd cd T= f1(c,T ) = f ( , ) 2c TdtdtpREhydrodynamischeVerweilzeitB. Hitzmann, TCI Uni-Hannover1


p=-spur JpDynamische Verhalten derstationären BetriebspunkteSattelpunktinstabilp43210Oszillationq-1 -0,5 -1 0 0,5 1 1,5 2instabile Spirale-2SterneSattelpunkt-3stabiler Knoten2p − 4q = 0stabile Spiraleinstabiler KnotenWenn eine kleine Änderung der Parameter p,qeine signifikante Änderung -4 des Verhaltensbewirkt, 2wird das Bifurkation genannt.− p ± p − 4qq=det Jλ1/2=qZ.B. Übergang 2 vom stabilen zum instabilen Verhalten B. Hitzmann, TCI Uni-HannoverFolgende Fälle können unterschieden werden:1. λ 1/2 < 0 und reell Stabiler Knoten2. λ 1/2 >0 und reell Instabiler Knoten3. λ 1


λ 1/2 >0 und reellλ 1 0 )Re λ 0 aber λ imaginärInstabiler BrennpunktWiederholung⎛ j11− λdet⎜⎝ j21j12⎞⎟ = 0j22− λ ⎠T(t)B. Hitzmann, TCI Uni-Hannoverc(t)22λ − j + j ) λ + j j − j j = 0 λ + pλ + q = 0λ1/ 2(11 22 11 22 12 21p= − ±2p +d c = f1(c,T )dtdT= f ( , ) 2c Tdt2p − p ±− q =4dcdtdTdt2p − 4q2= −( j 11j22)q = j11 j22− j12j21E − AR T=0c0− c− k eτT=ddtAusgangsgleichungenc⎛ ∂f1⎜r ⎜ ∂c∆ =⎜ ∂f2⎜⎝ ∂ccS, TScS, TS∂f1∂T∂f2∂TcS, TScS, TSJacobi-Matrixam Punkt c s , T s⎞⎟⎟r⎟∆⎟⎠EA0−T( −∆ H ) −RA kRT K w+ k0ec + ( TK−Tτ ρcpρcVB. Hitzmann, TCI p RUni-Hannover)5


d c = f1(c,T )dtdT= f ( , ) 2c TdtAusgangsgleichungendcdtdTdtStationäre Werte:E − AR T=0c0− c− k eτcEAT0 −T( −∆ H ) −RA kRT K w= + k0ec + ( TK−T)τ ρcρcVpJacobi-Matrixam Punkt c s , T spRE00AEAEAcc c−S== ∂fEcST−1(,S) 1 RT ∂f0−ASR T⎛− ⎞S= 0 = − k0ec ⎜ 1 + τkRT 1S 1 1( ( cS, T )−SRT E= − − k eS A= −kS00cSe2S ⎟S τ + k0e∂cτ∂TRTSτ⎜ ⎟⎝τ⎠EA∂fcSTSRH−2( , ) ( −∆ ) RTSEA= kT0−TS( −∆RH)−0eRT AKkSw∂c ρcp= 0 = + k0ecS+ ( TK−TS)τ ρcpρcpVERA∂f2( cSTS−∆RH−2( , ) 1 ( ) RT EAAKkSw= − + k0cSe−S= f ( T0 , τ , ∆RH, ρ,cp,k0,EA,.........)= ....2B. Hitzmann, geht TCI nicht!! Uni-Hannover∂Tτ ρcpRTSB. ρHitzmann, cpVRTCI Uni-HannoverdcdtdTdtTccd c = f1(c,T )dtdT= f ( , ) 2c TdtAusgangsgleichungendcdtdTdtE − AR T=0c0− c− k eτc⎛ ∂f1⎜⎜ ∂c⎜ ∂f2⎜⎝ ∂ccScS, TS, TS∂f1∂T∂f2∂TAT0 −T( −∆ H ) −RA kRT K w= + k0ec + ( TK−T)τ ρcρcVpJacobi-MatrixStabilitätsuntersuchung des polytropen iCSTR:EpRcScS, TS, TS⎞⎟⎟⎟⎟⎠Elemente derJacobi-Matrix∂ f1(cS, TS) 1= − − k∂cτ∂ f∂c2p p − p ± pλ1/ 2= − ± − q =2 42p −( j 11+ j22)q = j j − jp−∆=ρc2( cS, TS) (RH)p2− 4q=11 22 12j212EA−RTS0eEA−RTS0ek∂ f c T∂T⎛( −∆ H )Jacobi-MatrixA k⎛ ∂f1⎜⎜ ∂c⎜ ∂f2⎜⎝ ∂cEAR AK wj j k ⎜Sc ⎟−= −( 11+22)= + 1−S+RTτ2SρcpRTSρcpVkRS= k 0ewird später genutzt⎝∂ f∂T1( cS, TS)E= −kc e2(S,S) 1 (R)⎞⎠p0 S−∆ H= − + kτ ρcEA−RTSEA−RTS0cSeERTA2SElemente derJacobi-MatrixE AKkw−RT ρcV, TS∂f1∂T∂f2∂T, TSB. Hitzmann, TCI Uni-HannovercSA2ScS, TSp RcScS, TS⎞⎟⎟⎟⎟⎠∂ f1(c,T ) 1= − − k∂cτ∂ f∂c−∆=ρc2( c,T ) (RH)∂ f c T∂TpEA−RTS0eEA−RTS0e2( , ) 1 ( −∆R)q == − +τj11 j22− j12j21⎡ 1q = ⎢−− k0e⎢⎣τEA−RTSkHρcpEA−RTS0cSek1( c,T )∂ f∂T⎤⎡1 ( −∆RH)⎥⎢−+ k⎥⎦⎢⎣τ ρcp⎡− ⎢ −⎢⎣A2S= −kc e0 SE AKkw−RT ρcVp REA−RTSERTA2SElemente derJacobi-MatrixEA−RT EAAKkSw0cSe−2⎥RTSρcpVR⎥⎦EAEA− ⎤⎡−∆− ⎤RT ES A(RH) RTSk0cSe⎥⎢k e20 ⎥RTB.SHitzmann,⎥⎢ρcTCIpUni-Hannover⎥⎦⎣⎤⎦⎡ 1q = ⎢−− k0e⎢⎣τAusnutzen von:qc1,0cS= 1 + τkjjE A −RTSjSj⎤⎡1⎥⎢−⎥⎦⎢⎣+τEA( −∆−⎤RH) RT EAAKkSwk0cSe−2⎥ρcpRTSρcpVR⎥⎦E A⎡ − ⎤⎡−∆− ⎢ −RT ES A(RH)k0cSe⎥⎢k e20⎢⎣RTS⎥⎦⎢⎣ρcpEinsetzen in obige Gleichung und umformen ergibt:1 1+k τ ⎛⎜⎝c V&A kEH )= SA 1,0 S11 22−12 21=⎜ρ + − −∆2p K w R 2τ ρc(1 + τ )2 ⎟pV&RTB. Hitzmann, TCI SkUni-Hannover S(E A −RTSc V&τk⎤⎥⎥⎦⎞⎟⎠λp=-spur Jp1/ 2q


= 1 1+k ⎛τSτ⎜E c1,0V& kASq j11j22− j12j21=ρc+ − ( −∆ )2pV& AKkwRH2τ ρc⎝(1 + τ )2pV&RTSkSAnnahme: q


d Q&AbfuhrdTSdQ&

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