15 Integralrechnung

harrideutsch

15 Integralrechnung

15 Integralrechnung

15.1 Integralbegriff und Integrierbarkeit

Stammfunktion

Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung.

Differentialrechnung: y(x) = f (x) ! y0 (x) = f 0 (x)�

Integralrechnung : y0 (x) = f 0 Z

(x) ! y(x) = f (x) = f 0 (x)dx + c:

Integral- oder Stammfunktion F(x) einer gegebenen Funktion f (x), Funktion, deren Ableitung F0 (x)

gleich f (x) ist und die im selben Intervall definiert ist wie f (x).

Integration einer Funktion f (x):EsisteineStammfunktion F(x) von f (x) gesucht, deren Ableitung wieder

die ursprüngliche Funktion f (x) ergibt. Schreibweise:

Z

F(x) + c = f (x)dx mit F0 (x) = f (x):

Integrand: Bezeichnung für f (x).

Integrationsvariable: Bezeichnung für die unabhängige Variable der Funktion.

. Das stilisierte S als Integralzeichen kommt von der Definition des Integrals als Summe.

Zu jeder integrierbaren Funktion f (x) gibt es unendlich viele Stammfunktionen F(x) + c, die sich nur

durch eine additive Konstante c 2 R Z Z Z unterscheiden,

f (x)dx = F0 (x)dx = dF(x) = F(x) + c� c 2 R

Integrationskonstante c ist bei der Stammfunktion beliebig, da die Ableitung jeder Konstanten c verschwindet.

Geometrische Deutung: Alle Stammfunktionen besitzen an allen Stellen x0 die gleiche Steigung, da ihre

Ableitungen gleich sind.

Die Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung in y-Richtung ineinander über.

. Weglassen der Integrationskonstanten kann zu Fehlern führen!

Unbestimmtes und bestimmtes Integral

Unbestimmtes Integral,

Z Z x

I = f (x)dx = f ( ˜x)d˜x +

x0

Z x0

x1

f ( ˜x)d˜x = F(x) + c:

Integrale, deren Integrationskonstante c unbestimmt (nicht festgelegt) ist; sie werden durch eine Funktionenschar

repräsentiert.

Integrationskonstante c kann durch Angabe von Integrationsgrenzen eindeutig fixiert werden.

Partikulärintegral,

Z x

Z b

P(x) = f ( ˜x)d˜x oder P(x) = f ( ˜x)d˜x:

a

x

Ein bestimmtes Integral mit variabler oberer oder unterer Grenze ist eine Funktion der variablen (oberen

oder unteren) Integrationsgrenze.

. Da hier die eine Integrationsgrenze x ist, darf die Integrationsvariable nicht auch x heißen, sie muß also

formal umbenannt werden.


476 15 Integralrechnung

Bestimmtes Integral,

Z b

A = f (x)dx�

a

beide Integrationsgrenzen sind festgelegt, das bestimmte Integral ist eine Zahl.

Der unten (oben) am Integralzeichen stehende Ausdruck heißt untere (obere) Grenze des Integrals.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, istF(x) eine Stammfunktion von f (x), also

F0 (x) = f (x), so gilt:

partikuläres Integral:

bestimmtes Integral:

Z x

f ( ˜x)d˜x

Za b

f (x)dx

=

=

x

F( ˜x) = F(x) ; F(a)�

a

b

F(x) = F(b) ; F(a):

a

a

Berechnung eines bestimmten Integrals: Man integriert eine Funktion f (x) (den Integranden), indem man

1. eine Stammfunktion F(x) sucht, deren Ableitung wieder die Ursprungsfunktion ergibt, F0 (x) = f (x),

2. den Funktionswert der Stammfunktion F(b) an der oberen Grenze b berechnet und dann

3. den Stammfunktionswert F(a) an der unteren Grenze a abzieht.

4. Die Integrationskonstante fällt beim Integrieren heraus

F(b) + c ; (F(a) + c) = F(b) ; F(a):

Z 2

(4x ; 3x 2 )dx = (2x 2 ; x 3 2

) = (8 ; 8) ; (2 ; 1) = ;1

1

1

. Das Partikulärintegral ist eine Funktion von x,während das bestimmte Integral eine bestimmte feste

Zahl liefert.

Geometrische Deutung

Flächenberechnung, das bestimmte Integral entspricht der Fläche A zwischen der Funktion f (x) und

der x-Achse zwischen x = a und x = b > a, falls die stetige Funktion keine negativen Werte zwischen

den beiden Integrationsgrenzen annimmt:

Z b

A = f (x)dx = F(b) ; F(a) (a < b und f (x) 0für a x b):

a

Flächenfunktion: der variable Flächeninhalt A(x) unter einer Kurve f (x) > 0 entspricht der Integralfunktion

zur unteren Grenze ˜x = a,d.h.demPartikulärintegral von f (x):

Z x

A(x) = f ( ˜x)d˜x = F(x) ; F(a) (a < x und f (x) 0für x a):

a

. Dies gilt nur in dieser einfachen Form, falls die Funktion f (x) im ganzen Intervall [a�b], bzw.für alle

x a, positiv ist.

Ist die Funktion f (x) im ganzen Intervall [a�b] negativ, so ist auch das Integral negativ:

Z b

x 2 [a�b] und f (x) < 0� ) f (x)dx < 0:

.

a

Bei negativen Funktionen kann die Fläche zwischen f (x) und x-Achse durch den Betrag des Integrals

ermittelt werden.

. Ist die Funktion f (x) im ganzen Intervall [a�b] sowohl positiv als auch negativ, so werden die Flächen

unter der x-Achse beim Integrieren abgezogen.

Das Integral über sinx im Intervall [0�2π] ist Null.

Allgemein ( f (x) auch negativ): Das bestimmte Integral ist die Differenz der Flächen über und unter der

x-Achse.


Die Fläche unter einer Kurve läßt sich durch mehrere Rechtecke annähern,

Untersumme,dieFlächenstücke bleiben unter der Kurve,

Obersumme,dieFlächenstücke gehen über die Kurve.

2

fx=x ( )

Obersumme

Untersumme

15.1 Integralbegriff und Integrierbarkeit 477

Integration

Differentiation

Fx= x ( ) +c

3

x x

Ober-/Untersumme Flächen über/unter der x-Achse

Berechnung einer Fläche: Man zerlegt das Intervall [a�b] in beliebige Teilintervalle Δxi. Sindsi und

Si das Infimum und das Supremum der Funktionswerte in dem Teilintervall i, dann definiert man als

Obersumme On =

Untersumme Un =

nX

nX

i=1

i=1

SiΔxi

siΔxi

die Flächeninhalte der Rechtecke, die alle über die Kurve ragen bzw. unter der Kurve liegen.

. Ober- und Untersummen können auch negativ sein, wenn die Funktionswerte negativ sind.

Ober- bzw. Unterintegral, bezeichnen die Grenzwerte der Ober- bzw. Untersumme für unendlich viele Teilintervalle

(falls sie existieren).

. Die Ober- bzw. Untersummen sind die Grundlagen der numerischen Integration mit der Rechteckregel.

Regeln zur Integrierbarkeit

Riemann-Integrierbarkeit von f (x), Gleichheit der Ober- und Unterintegrale einer Funktion f (x) im

Intervall [a�b].

Die Funktion y = x2 ist integrierbar im Intervall [0�1]:

Zerlegung in n gleiche Intervalle der Länge h = 1=n:

Da die Funktion monoton steigt, ist si = f (xi;1) und Si = f (xi) und

lim

n!1 Un = lim

X

n;1

h

n!1

lim

n!1 On = lim h

n!1

nX

i=0

i=1

x 2 i

x 2 i

1

= lim

n!1 n ; 1

1

= lim

n!1 n

nX

i=1

nX

i=1

i

n

i

n

2

2

n(n ; 1)(2n ; 1)

= lim

n!1 6n3 = 1

3 �

n(n + 1)(2n + 1)

= lim

n!1 6n3 = 1

3 :

Unter- und Oberintegral sind gleich, d. h., y = x 2 ist integrierbar.

Stetige Funktionen in einem abgeschlossenen Intervall sind dort integrierbar.

x n ,sinx,cosx,e x ,lnx, jxj und algebraische Ausdrücke von diesen sind integrierbar (siehe ausführliche

Tabellen im Anhang).

. Integrierbare Funktionen müssen nicht unbedingt stetig sein!

Beschränkte Funktionen mit endlich vielen Sprüngen sind integrierbar.

Signum-Funktion y = sgnx ist überall integrierbar.

Betragsfunktion y = jxj ist überall integrierbar.

3


478 15 Integralrechnung

y=|x|

x

y=sgn( x)

Integrierbare Funktionen mit Sprüngen/Knicken

x

y=sin x/ x

Unbeschränkte Funktionen, wie z. B. Funktionen mit Polstellen, sind am Pol nicht integrierbar. Bei solchen

Funktionen darf die Integration nicht über eine Polstelle laufen (siehe auch uneigentliche Integrale).

Z 1

1

dx ist so nicht bestimmbar, da f (x) bei x = 0 eine Polstelle besitzt.

x

;1

Uneigentliche Integrale

Zwei Arten von uneigentlichen Integralen:

a) Integrale mit unendlichem Integrationsintervall, Integrationsgrenzen sind uneigentliche Zahlen, +1

oder ;1.

Ist eine Integrationsgrenze unendlich, so ist

Z 1 Z b Z b Z b Z 1 Z a

f (x)dx = lim f (x)dx� f (x)dx = lim f (x)dx� f (x)dx = lim f (x)dx:

a

b!1 a

;1 a!1 ;a

;1 a!1 ;a

Man berechnet zunächst das Integral mit endlichen Grenzen und bildet dann den Grenzwert.

Z 1

1

Z 1

e ;E=T dE = lim

b!1

0

Z 1 dx

= lim

x2 b!1

a

dx

= lim

xn b!1

Z b

1

Z b

a

Z b

0

e ;E=T dE =;T lim

b!1 e

dx

= lim

x2 b!1 ;1

x

dx

= lim

xn b!1

b

= lim

1

;1

(n ; 1)x n;1

;E=T b

0

=;T lim

b!1

;

b!1 1

+ 1 = 1.

b

b

a

; e ;b=T ; e 0 = (;T )(;1) = T, falls T >0:

;1 ;1

= lim

;

b!1 (n ; 1)bn;1 (n ; 1)an;1 a1;n

= für n > 1, a > 0.

n ; 1

. Vorzeichen bei der Grenzwertbildung beachten!

b) Integrale mit Unstetigkeitsstellen im Integranden, an denen der Integrand uneigentliche Werte, +1

oder ;1, annimmt.

Besitzt der Integrand bei u eine Unstetigkeitsstelle, so berechnet man das Integral links- und rechtsseitig

davon:

Z b Z u;ε Z b

f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx:

a

ε!0

a

ε!0

u+ε

Z 1 Z 1;ε

dx

dx

p = lim p = lim

0 1 ; x2 ε!0

0 1 ; x2 ε!0 [arcsinx]1;ε

π

0 = lim(arcsin(1

; ε ) ; arcsin0) = arcsin1 =

ε!0 2 .

Z b Z b

dx dx ;1

= lim = lim

0 xn a!0

a xn a!0 (n ; 1)xn;1 b

;1 ;1 b1;n

= lim

;

= ,für n < 1, b > 0.

a!0

a (n ; 1)bn;1 (n ; 1)an;1 1 ; n

Cauchy-Hauptwert, Z b Z u;ε Z b

f (x)dx = lim f (x)dx + f (x)dx

a

ε!0

a

u+ε

kann existieren, obwohl das uneigentliche Integral divergiert.

x


Z 2

;1

1

dx = lim

x ε!0

Z ;ε

;1

1

dx +

x


−x

∫ e dx

0

Z 2

ε

1

dx = lim(ln2

; lnε + lnj ; ε j ; lnj ; 1j) = ln2

x ε!0

x

1

∫ 0

1/ x dx

Uneigentliche Integrale

Konvergentes uneigentliches Integral, der Grenzwert existiert.

Divergentes uneigentliches Integral, der Grenzwert existiert nicht.

15.2 Integrationsregeln

Regeln für unbestimmte Integrale

Bei allen unbestimmten Integralen tritt eine Integrationskonstante auf:

Z f (x)dx = F(x) + c:

Integration und Differentiation heben sich gegenseitig auf:

Z x

d

f ( ˜x)d˜x = f (x):

dx a

Konstantenregel,

Z Z

c f (x)dx = c f (x)dx:

Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden.

Summenregel,

Z Z

( f (x) g(x))dx = f (x)dx

Z g(x)dx:

1

x

−1

15.2 Integrationsregeln 479


−1

2

1/x dx

1

nur

2 x

Cauchyintegrierbar

Das Integral einer Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale.

Verallgemeinerung für endlich viele Summanden:

Z nX

nX Z

fi(x)dx = fi(x)dx:

i=1

i=1

Regeln für bestimmte Integrale

Bestimmte Integrale, Berechnung durch Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion und Subtraktion des

Wertes der Stammfunktion an der unteren Grenze von dem Wert an der oberen Grenze:

Z b

b

f (x)dx = F(x)

a

= F(b) ; F(a):

a

Vorzeichenumkehr des Integrales beim Vertauschen der Integrationsgrenzen:

Z b Z a

f (x)dx = ; f (x)dx:

a

b


480 15 Integralrechnung

Gleichheit von oberer und unterer Grenze: das Integral ist Null.

Z a

f (x)dx = 0:

a

Bestimmte Integrale lassen sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, beispielsweise in zwei:

Z b Z c Z b

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx:

a

a

Verallgemeinerung auf n Intervalle:

Z an

a0

f (x)dx =

nX Z ai

i=1

ai;1

c

f (x)dx:

Änderung der Benennung der Integrationsvariablen ändert nicht den Wert des Integrals.

Z b Z b

f (x)dx = f (z)dz:

a

a

Der Wert eines bestimmten Integrals ist allein durch die Grenzen und die Funktion f (x) bestimmt.

Tabelle der Integrationsregeln

Z

Integrationskonstante

f (x)dx = F(x) + c

Z x

Integration $ Differentiation

Faktorregel

Summenregel

Potenzregel

Hauptsatz

Vertauschungsregel

Gleiche Grenzen

Intervallregel

Partielle Integration

Substitutionsregel

Logarithmische Integration

Integration der Umkehrfunktion

Spezielle Form des Integranden

d

f ( ˜x)d˜x = f (x)

Zdx a Z

c f (x)dx = c f (x)dx

Z Z

( f (x) g(x))dx = f (x)dx

Z

r x

x dx = r+1

� r 2 R � r 6= ;1

r + 1

Z b

f (x)dx = F(x)j

a

b

a = F(b) ; F(a)

Z b Z a

f (x)dx = ;

Za a

b

f (x)dx

f (x)dx = 0

a Z b Z c Z b

f (x)dx = f (x)dx +

Za a

c

f (x) g

0

(x)dx = f (x) g(x) ;

Z f (g(x))g 0 (x)dx =

Z f (g(x))dx =

mit x = g ;1 (z)

Z f 0 (x)

dx = lnj f (x)j + c

f (x)

Z g(x)dx

f (x)dx

Z f (z)dz; z = g(x)

Z f 0 (x) g(x)dx

Z Z

dx

1

f (z) dz = f (z)

dz dz

dx

Z f ;1 (x)dx = xf ;1 (x) ; F ; f ;1 (x) + c

Z f (x) f 0 (x)dx = 1

2 ( f (x))2 + c:

dz =

Z f (z) 1

g 0 (x) dz


Integrale einiger elementarer Funktionen

15.2 Integrationsregeln 481

Tabelle elementarer unbestimmter Integrale, durch Umkehrung der Differentialrechnung erhältlich.

. Wegen der besseren Unterscheidbarkeit sind die Arkusfunktionen durch Kleinbuchstaben, die Areafunktionen

aber durch Großbuchstaben (im Unterschied zu DIN) angegeben.

. Bei R 1=(1 ; x2 )dx darf nicht über x = 1 integriert werden (Integrand divergiert).

. Integrale elementarer Funktionen sind nicht immer wieder elementare Funktionen. Sie lassen sich oft

nicht geschlossen angeben, sondern nur numerisch berechnen.

Integralsinus: Z x

sint

Si(x) =

0 t dt

ist nicht in geschlossener Form angebbar, siehe Integration durch Reihenentwicklung.

Z Z

0dx c

sinxdx ;cosx + c

Z 1dx x + c

Z xdx

Z x 2 dx

Z x 3 dx

Z x n dx

Z 1

x dx

Z

1

dx

x2 Z

1

dx

xn Z pxdx

Z 3 p xdx

Z 1px dx

Z x r dx

1

2 x2 + c

1

3 x3 + c

1

4 x4 + c

1

n + 1 xn+1 + c

(n 2 N )

lnjxj + c

(x 6= 0)

; 1

+ c

x

(x 6= 0)

1

;

+ c

(n ; 1)xn;1 (n 2 N �n 6= 1)

p x 3 + c

2

3

(x 0)

3 3p

x4 + c

4

2 p x + c

(x > 0)

1

r + 1 xr+1 + c

(x > 0�r 2 R �r 6= ;1)

Z cosxdx sinx + c

Z tanxdx

Z cotxdx

Z

Z

1

sin 2 x dx

;lnjcosxj + c

(x 6= (2k + 1)(π=2))

lnjsinxj + c

(x 6= kπ)

;cotx + c

für sinx 6= 0

1

cos2 x dx

tanx + c

für cosx 6= 0

Z

sinhxdx coshx + c

Z coshxdx sinhx + c

Z tanhxdx ln(coshx) + c

Z cothxdx

Z

Z

Z

1

sinh 2 x dx

lnjsinhxj + c

(x 6= 0)

;cothx + c

(x 6= 0)

1

cosh 2 dx tanhx + c

x

1

dx

1 + x2 arctanx + c1 =

;arccotx + c2


482 15 Integralrechnung

Z e x dx� x 6= 0 e x + c

Z a x dx

Z lnjxjdx

Z loga xdx

Z e ax dx

1

lna ax + c

(a > 0)

x(lnjxj ; 1) + c

(x 6= 0)

x

(lnx ; 1) + c

lna

(a�x > 0)

1

a eax + c

(a 6= 0)

Z

Z

Z

Z

1

a2 dx

+ x2 1

dx

1 ; x2 15.3 Integrationsverfahren

Z

1

p 1 + x 2 dx

1

p 1 ; x 2 dx

1

p x 2 ; 1 dx

8

><

>:

Artanhx + c

1 x

arctan

a a

(a 6= 0)

= 1 1 + x

ln

2 1 ; x

Arcothx + c

= 1 x + 1

ln

2 x ; 1

+ c (jxj < 1)

+ c (jxj > 1)

Arsinhx + c

p

= ln(x + x2 + 1) + c

arcsinx + c1

= arccosx + c2 (jxj < 1)

Arcoshx + c

p

= ln(x + x2 ; 1) + c (jxj > 1)

. Im Gegensatz zur Differentiation lassen sich keine allgemeingültigen Regeln für die Integration beliebiger

Funktionen angeben!

Häufig benutzte Verfahren:

1) Ganze rationale Funktionen (Polynome) werden gliedweise integriert:

Z (anx n +:::+ a1x + a0) dx = an

n + 1 xn+1 +:::+ a1

2 x2 + a0x + c:

2) Umformung des Integranden in Summe von mehreren Funktionen, d. h. Zerlegung des Integrals in Summe

von Integralen.

Z Z Z Z Z

2 3 2

(x + 1)(4x + 7)dx = 4x dx + 4x dx + 7xdx + 7dx.

3) Konstante Z im Argument:

Ist f (x)dx bekannt, aber f (ax), f (x + b), f (ax + b) zu integrieren, so gilt

Z

1

f (ax)dx = F(ax) + c�

a

Z

1

f (ax + b)dx = F(ax + b) + c:

a

Z

x+b x+b

e dx = e + c,

Z

1

cos(ax)dx = sin(ax) + c.

a


15.3 Integrationsverfahren 483

4) Umkehrung der logarithmischen Differentiation:

Hat der Integrand die Gestalt f 0 (x)

, so ist das Integral gleich dem Logarithmus des Nenners

f (x)

Z f 0 (x)

dx = lnj f (x)j + c:

f (x)

. Der Logarithmus ist von f (x), nicht von f 0 (x) zu nehmen!

5) Spezielle Form des Integranden:

Z

f (x) f

0 1

(x)dx =

2 ( f (x))2 + c:

Integration durch Substitution

Substitutionsregel,ist f (x) stetig, g(x) stetig differenzierbar und umkehrbar, so ist

Z b

a

f (g(x))dx =

Z g(b)

g(a)

f (z) dx

dz =

dz

Z g(b)

g(a)

f (z) 1

g 0 (x) dz:

. Man vergesse nicht, am Ende wieder zurückzusubstituieren (die Variable x ist durch die nach x aufgelöste

Substitutionsfunktion zu ersetzen: x = g ;1 (z)), oder die Grenzen sind zu ändern.

Z 3

6xln(x

1

2 Z 9

)dx = 6xlnz

1

dz

Z 9

= 3 lnzdz = 3(9ln9; 9 ; ln1 + 1) = 27ln9 ; 24.

2x 1

(Substitution z = g(x) = x2 , z0 = dz

dx = 2x, Umkehrfunktion x = p z).

Z Z

1 1 1 1 1

dx = dz = lnjzj + c = lnj5x ; 7j + c

5x ; 7 5 z 5 5

(Substitution: z = 5x ; 7).

Z Z

1

1 1

sin(3 ; 7x)dx = ; sinzdz = cosz + c = cos(3 ; 7x) + c.

7

7 7

(Substitution: z = 3 ; 7x).

Z Z Z

1

1

1

p dx = 2 zdz = 2

x + x z + z2 1 + z dz = 2lnjz + 1j + c = 2lnjpx + 1j + c.

(Substitution: z = p x).

Z

x

xe 2

dx = 1

Z

z 1

e dz =

2 2 ez + c = 1

2 ex2 + c.

(Substitution: z = x 2 ).

Z

1

ex dx =

+ e ;x

Z

(Substitution: z = e x ).

Z p1 + x 2 dx =

1 1

dz =

z + 1=z z

Z cosh 2 zdz = 1

(Substitution: z = Arsinhx).

Z

dx

sinx =

Z 2 Z

1 + z 2dz dz

=

2z 1 + z2 z

(Substitution: z = tan(x=2).

2

Z

1

z 2 + 1 dz = arctanz + c = arctan(ex ) + c.

(z + sinhz coshz) + c = 1

2 (Arsinhx + x p 1 + x 2 ) + c.

= lnjzj + c = lnjtan(x=2)j + c.


484 15 Integralrechnung

Integral Substitution Ergebnis

Z Z

1

f (ax + b)dx z = ax + b

f (z)dz

a

Z f (ax 2 + bx + c)dx z = x + b

Z ( f (x)) n f 0 (x)dx� n 6= 1 z = f (x)

Z f 0 (x)

2a

Z f ; az 2 + c ; b 2 =4a dz

1

n + 1 [ f (x)]n+1 + c

dx z = f (x) lnj f (x)j + c

f (x)

Z

f (z)dz

Z f (g(x))g 0 (x)dx z = g(x)

Z f

Z f (z)

1

dx

x

z = 1

Z ;p

f x dx

x

p

z = x

; dz

z2 Z

2 z f (z)dz

Z

f

np

ax + b dx z

n

= p ax + b

Z

n

f (z)

a zn;1 Z

f

p

x2 + a2 dx

z = Arsinh

dz

x

p a

x2 + a2 = acoshz

Z

f (acoshz)acoshzdz

Z

f

p

x2 ; a2 dx

z = Arcosh x

p a

x2 ; a2 = asinhz

Z

f (asinhz)asinhzdz

Z p

f a2 ; x2 dx

z = arcsin x

Z

f (sinx;cosx)dx

p a

a2 ; x2 = acosz

x

z = tan

2

Z

f (acosz)acoszdz

Z

2z 1 ; z2

f ;

1 + z2 1 + z2 Z

x

f (a ) dx x z = a

2

dz

1 + z2 Z

1 1

f (z)

lna z dz

Z

f (sinhx;coshx)dx x z = e

Z

z

f

2 ; 1

;

2z

z2 + 1 1

2z z dz

. Die Integrationsgrenzen müssen im Definitionsbereich der Substitution sein.

. Die neuen Integrationsgrenzen werden über die Substitutionsgleichung ausgerechnet.

. Möglicherweise muß man nach der Substitution das erhaltene Integral mit einer anderen Substitution,

einer partiellen Integration oder mit Hilfe der Partialbruchzerlegung weiterbearbeiten.

Z

x3 Z 3 Z Z

cosh z

3 2 p dx = sinhzdz = cosh zdz = (1 + sinh z)coshzdz�

x2 ; 1 sinhz

Z

2 1

(1 + v )dv = sinhz +

3 sinh3 p 1 ;

z + c = x2 2 3=2

; 1 + x ; 1 + c.

3

(1. Substitution: z = Arcoshx, 2. Substitution: v = sinhz)

Z 8 Z

du 1

I = (3x + 4)dx = u =

2

3 6 u2 = 1

8

(3x + 4)2 = 114�

6 2

u = 3x + 4


Z 8

Z 28

15.3 Integrationsverfahren 485

oder

I = (3x + 4)dx = u

2

10

du 1 28

= u2 =

3 6 10

1

6 (282 ; 10 2 ) = 114.

. Gegebenenfalls führen einfache Substitutionen schneller zum Ziel, als die angegebenen trigonometrischen

(hyperbolischen) Substitutionen.

Z p Z

1 pzdz 1 2

x x2 ; 4dx = =

2 2 3 z3=2 = 1 ; 2 3=2

x ; 4 .

3

(Substitution: z = x2 ; 4, dz = Z Z 2xdx).

3 3 1

sin xcosxdx = z dz =

4 z4 + c = 1

4 sin4 x + c.

(Substitution: z = sinx).

Z

x3 Z

1 zdz 1

p dx = =

1 + x4 2 z 2

p

(Substitution: z = 1 + x4 Z Z ).

sinx

tanxdx = dx = ;

cosx

(Substitution: z = Z

cosx). Z

cosx

p dx =

2

1 + sin x

Z dz = 1

2

Z dz

z

1p

z + c = 1 + x4 + c.

2

= ;lnjzj + c = ;lnjcosxj + c.

dz

p = Arsinh(z) + c = Arsinh(sinx) + c.

1 + z2 (Substitution: z = sinx).

. Weitere in der Praxis häufig vorkommende Integrale sind in der Integraltafel im Anhang angegeben.

Substitutionen Z von Euler für das spezielle Integral

p

I = f ( ax2 + bx + c)dx:

Fall Substitution Differential

a > 0

p p

ax2 + bx + c = x a + z

x = z2 ; c

b ; 2z p a

dx = 2 ;z2pa + bz ; c p a

(b ; 2z p a) 2

c > 0

p p

ax2 + bx + c = xz + c

x =

dz

2zpc ; b dx = 2 apc ; bz + z2pc (a ; z2 ) 2 dz

reelle

Wurzeln x1�x2

Partielle Integration

a ; z 2

p ax 2 + bx + c = z(x ; x1)

x = z2 x1 ; ax2

z 2 ; a

dx = 2 az(x2 ; x1)

(z2 dz

; a) 2

Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentiation.

Symbolisch:

(uv) 0 = u 0 v + v 0 u !

Z Z

uv

0

dx = uv ; u

0

vdx:

Integrationaufgabe Z wird durchZ zwei Teilintegrationen gelöst:

f (x)g

0

(x)dx = g(x) f (x) ; g(x) f

0

(x)dx:

Anwendung der Regel besonders bei Produkten von Funktionen als Integrand.


486 15 Integralrechnung

. Die Ableitung f 0 (x) sollte eine einfachere Funktion ergeben als f (x).

. Die Funktion g0 (x) sollte einfach zu integrieren und das Ergebnis sollte nicht komplizierter sein.

Z Z

x x x x x

xe dx = xe ; e dx = xe ; e + c:

. Gegebenfalls die partielle Integration mehrfach nacheinander anwenden.

Z Z

2 x 2 x x 2 x x x

x e dx = x e ; 2 xe dx = x e ; 2xe + 2e + c.

Manchmal Z führtZdie Einführung eines Produktes Z zum Ziel.

1

lnxdx = 1 lnxdx = xlnx ; x dx = xlnx ; x + c.

x

. Merkregel:

1) Integriere den ersten Faktor,

2) schreibe das entstehende Produkt hin,

3) leite dann den zweiten Faktor ab und

4) schreibe das entstehende Produkt mit einem Minuszeichen unter das Integral.

. Häufig wird das Minuszeichen vor dem Integral vergessen, besonders bei mehrfacher Anwendung der

partiellen Integration.

Manchmal erhält man das Ausgangsintegral bei der partiellen Integration wieder. Dann löst man die Gleichung

Z nach diesem Integral auf. Z

2

sinxcosxdx = sin x ; cosxsinxdx !

Z

1

sinxcosxdx =

2 sin2 Spezialfälle der partiellen Integration:

x + c.

a) Integrand ist Produkt aus einem Polynom p(x) vom Grade n und einer der Funktionen ex ,sinx,cosx,sinhx,

coshx:

Mehrfache (n-fache) partielle Integration für f (x) = Z Z p(x). Z

2 2 2

x sinxdx = ;x cosx + 2xcosxdx = ;x cosx + 2xsinx ; 2sinxdx

= ;x 2 cosx + 2xsinx + 2cosx + c.

b) Integrand ist Produkt aus zwei der Funktionen ex ,sinx,cosx,sinhx,coshx:

Zweimalige Produktintegration führt auf Ausgangsintegral zurück, nach dem dann die Gleichung aufgelöst

wird. Gegebenenfalls folgende Beziehungen verwenden:

sin 2 x + cos 2 x = 1� cosh 2 x ; sinh 2 x = 1:

Z Z Z

x x x x x x

e sinxdx = e sinx ; e cosxdx = e sinx ; e cosx ; e sinxdx

Z

x 1

! e sinxdx =

2 ex (sinx ; cosx) + c.

. Bei einem Produkt aus ex mit einer Hyperbelfunktion diese durch

coshx = 1

2 (ex + e ;x )� sinhx = 1

2 (ex ; e ;x )

ersetzen und mit z = ex substituieren.

c) Integrand ist Produkt aus einer rationalen Funktion und einer logarithmischen, Arkus- oder Area-Funktion:

Man setze die rationale Funktion gleich g0 Z Z (x).

1

dx

Arsinhxdx = ;1 Arsinhx +

x2 x x p 1 + x2 = ; 1

Z

dz

Arsinhx +

x z2 = ;1

; 1 x Arsinhx ; Arcothpx2 + 1 + c, x > 1.

(Substitution z =

p x 2 + 1).


Integration durch Partialbruchzerlegung

15.3 Integrationsverfahren 487

Gebrochenrationale Funktionen, wie sie z. B. bei der Anwendung der Laplacetransformation auftreten, lassen

sich oft über eine Partialbruchzerlegung integrieren.

1) Integrand z. B. durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion P(x) und eine echt gebrochen rationale

Funktion R(x) aufspalten:

f (x)

Z(x)

= P(x) + R(x) = P(x) +

g(x) N(x) �

wobei der Polynomgrad des Zählers Z(x) kleiner als der des Nenners N(x) ist.

. Zähler- und Nennerpolynom müssen teilerfremd (relativ prim) sein.

. Wichtig bei Einschaltvorgängen in Elektrotechnik und Regeltechnik, ! Laplacetransformation.

2) Alle Nullstellen xi des Nenners N(x) bestimmen (auch komplexe):

N(x) = a Y (x ; xi) mi�

wobei die einzelnen Nullstellen xi auch mehrfach (mi-fach) auftreten können.

3) Echt gebrochen rationale Funktion R(x) in eine Summe von Partialbrüchen aufspalten, wobei für jede

Nullstelle gilt:

einfache reelle Nullstelle bei x0:

R(x) = Z(x)

N(x) =

A

+:::�

x ; x0

zwei reelle Nullstellen bei x0�x1:

; 1

+:::�

x ; x1

R(x) = Z(x)

N(x) =

A 1

x0 ; x1 x ; x0

doppelte reelle Nullstelle bei x0:

A2 A1

+

(x ; x0) 2 x ; x0

R(x) = Z(x)

N(x) =

n-fache reelle Nullstelle bei x0:

R(x) = Z(x)

N(x) =

i=1

nX

Ai

+:::�

(x ; x0) i

+:::�

i=1

einfache komplexe Nullstelle bei x0 = s0 jt0:

R(x) = Z(x)

N(x) =

Ax + B

x2 ; 2s0x + s2 0 +t2 +:::�

0

doppelte komplexe Nullstelle bei x0 = s0 jt0:

A2x + B2

R(x) =

(x2 ; 2s0x + s2 0 +t2 A1x + B1

+

0

)2 x2 ; 2s0x + s2 0 +t2 0

n-fache komplexe Nullstelle bei x0 = s0 jt0:

nX Aix + Bi

R(x) =

(x2 ; 2s0x + s2 0 +t2 +::::

0

)i

+:::�

4) Bestimmung der Konstanten Ai und Bi der Zerlegung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner, dann

anschließender Koeffizientenvergleich (die Vorfaktoren der Terme x i auf beiden Seiten der Gleichung gleichsetzen)

oder Anwenden der Einsetzmethode (verschiedene x-Werte, z. B. die zuvor bestimmten Nullstellen

von N(x), einsetzen). Bei sehr vielen Gleichungen die Eliminationsmethode von Gauß anwenden (siehe unter

Gleichungssysteme).

x + 1

R(x) =

x2 A B

= + ! x + 1 = A(x ; 2) + B(x ; 1)

; 3x + 2 x ; 1 x ; 2

! A + B = 1� ;2A ; B = 1 ! A = ;2� B = 3

R(x) = ; 2 3

+

x ; 1 x ; 2 :


488 15 Integralrechnung

R(x) = 3x2 ; 20x + 20

(x ; 2) 3 A1

=

(x ; 4) x ; 2 +

A2

+

(x ; 2) 2 A3 A4

+

(x ; 2) 3 x ; 4

! 3x 2 ; 20x + 20 = A1(x ; 2) 2 (x ; 4) + A2(x ; 2)(x ; 4) + A3(x ; 4) + A4(x ; 2) 3

Einsetzmethode:

x = 2: ;8 = ;2A3 ! A3 = 4

x = 4: ;12 = 8A4 ! A4 = ;3=2

x = 0: 20 = ;16A1 + 8A2 ; 4A3 ; 8A4

x = 1: 3 = ;3A1 + 3A2 ; 3A3 ; A4

! A1 = 3=2, A2 = 6

3

R(x) =

2(x ; 2) +

6 4

+

(x ; 2) 2 (x ; 2)

3

; 3 2(x ; 4) :

5) Integration der einzelnen Terme,

ganzrationale Funktion P(x):

Z Z ;anx P(x)dx =

n +:::+ a1x 1 + a0 dx = an

n + 1 xn+1 +:::+ a1

2 x2 + a0x�

einfache reelle Nullstelle x0:

Z

A

dx = Alnjx ; x0j�

x ; x0

zwei reelle Nullstellen x0�x1:

Z

A 1

; 1

x0 ; x1

x ; x0

x ; x1

doppelte reelle Nullstelle x0:

Z

A2 A1

dx +

(x ; x0) 2 x ; x0

n-fache reelle Nullstelle x0:

Z nX

i=1

Ai

dx = ;

(x ; x0) i

Xn;1

i=1

dx =

A

x0 ; x1

ln

x ; x0

x ; x1

dx = ; A2

+ A1 lnjx ; x0j�

x ; x0

Ai+1

i(x ; x0) i + A1 lnjx ; x0j�

ein Paar komplexer Nullstellen x0 = s0 jt0:

Z

Ax + B

(x2 ; 2s0x + s2 0 +t2 A

dx =

0 ) 2 lnjx2 ; 2s0x + s 2 +t 2 j + As0 + B

t0

arctan

x ; s0

t0


doppeltes Paar komplexer Nullstellen x0 = s0

Fall einer einfachen komplexen Nullstelle):

jt0, Teilintegration (die andere Teilintegration wie bei dem

Z

A2x + B2

(x2 ; 2s0x + s2 0 +t2 dx =

0

)2

Z A2x + B2

X 2

= (A2s0 + B2)x ; A2s2 0 ; A2t2 0 ; B2s0

2t2 0X + A2s0 + B2

2t3 arctan

0

n-faches Paar komplexer Nullstellen, Integration über folgende Rekursionsformeln:

Z

Ax + B

(x2 ; 2sx + s2 +t 2 Z

Ax + B

dx =

) n X n dx = (As + B)x ; As2 ; At2 ; Bs

2t2 (n ; 1)X n;1

+ (As + B)(2n ; 3)

Z

dx

(x2 ; 2sx + s2 +t 2 Z

dx x ; s

= =

) n X n 2t2 2n ; 3

+

(n ; 1)X n;1 2t2 Z

dx

(n ; 1) X n;1

mit X = x 2 ; 2sx + s 2 +t 2 .

. Viele Integrale sind in der Integraltafel im Anhang explizit angegeben.

dx


x ; s0

t0

2t 2 (n ; 1)

Z


dx

X n;1


R(x) = N(x)

Z(x) = 2x2 ; 2x + 4

x 3 ; x 2 + x ; 1 Z(x) = (x ; 1)(x2 + 1).

Ansatz: R(x) = A Bx +C

+

x ; 1 x2 + 1 .

Koeffizientenvergleich:

2x 2 ; 2x + 4 = A(x 2 + 1) + (Bx +C)(x ; 1)

= x 2 (A + B) + x(C ; B) + A ;C

! A = 2� B Z=

0� C = ;2.

15.3 Integrationsverfahren 489

2 2

Integration: ;

x ; 1 x2 dx = 2lnjx ; 1j ; 2 arctanx.

+ 1

Zusammenfassung der Partialbruchzerlegung und der Integration der Partialbrüche für die verschiedenen

Arten der Nullstelle x0 der Nennerfunktion N(x):

Nullstelle x0 von N(x) Partialbruchansatz Integration

einfach, reell

zwei einfache reelle

doppelt, reell

n-fach, reell

einfach�komplex

(x0 = s0 jt0)

n-fach, komplex

(x0 = s0 jt0)

A

x ; x0

A 1

;

x0 ; x1 x ; x0

1

x ; x1

A B

+

(x ; x0) 2 x ; x0

nX

i=1

Ai

(x ; x0) i

Ax + B

(x 2 ; 2s0x + s 2 0 +t2 0 )

nX

Aix + Bi

i=1 (x2 ; 2s0x + s2 0 +t2 0 )i

Integration durch Reihenentwicklung

Potenzreihenentwicklung des Integranden mit dem Konvergenzradius r:

f (x) =

1X

k=0

;

nX

i=2

Alnjx ; x0j

A

x0 ; x1

ln

x ; x0

x ; x1

; A

+ Blnjx ; x0j

x ; x0

Ai

(i ; 1)(x ; x0) i;1 + A1 lnjx ; x0j

A

2 lnjx2 ; 2s0x + s 2 +t 2 j

+ As0 + B x ; s0

arctan

t0

t0

rekursiv, siehe oben

ak x k = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 +::: (ak = 1

k! f (k) (0)� jxj < r):

Anschließende Integration der einzelnen Glieder der Potenzreihe:

Z f (x)dx =

1X

x

ak

k=0

k+1

k + 1 = a0x + a1

2 x2 + a2

3 x3 +::::

In der Regel sowohl für unbestimmte als auch für bestimmte Integrale möglich!

. Die Integrationsgrenzen müssen innerhalb des Konvergenzradius r liegen!

Z sin p xdx:

Potenzreihe: sinx = x ; x3

3!

Integration:

x5

+

Z

p 2x

sin xdx = 3=2

5! ;:::,sinpx = p x ; x3=2

3!

3

2x5=2 2x7=2

; +

5 3! 7 5! ;:::

+ x5=2

5! ;:::,


490 15 Integralrechnung

Z 0�5 p

1 + x2 dx auf 2 Stellen genau:

0

Potenzreihe für z = x2 : p 1 + z = (1 + z) 1=2 = 1 + 1 1

z ;

2 8 z2 + 3

48 z3 ;:::,

! p 1 + x2 = 1 + 1

2 x2 ; 1

8 x4 + 3

48 x6 ;:::,

Z p1 1

+ x2 dx = x +

Integration:

6 x3 ; 1

40 x5 + 3

336 x7 ;:::,

Z 0�5 p

1 + x2dx = 0�5 + 0�021 ; 0�001 +::: 0�520.

0

Häufig vorkommende nichtelementare Integrale elementarer Funktionen:

Integralsinus:

Z x

sint x3 x5 x7

Si(x) = dt = x ; + ;

0 t 18 600 35280 +:::+

(;1) ix2i+1 (2i + 1) (2i + 1)! +:::

Integralcosinus (Eulersche Konstante C = 0�57721566:::):

Z 1

Ci(x) =

x

cost

t

Exponentialintegral:

F(x) = 1

p 2π

x2 x4 x6

dt = C + lnjxj ; + ;

4 96 4320 +:::+ (;1)ix2i 2i (2i)! +:::

Z x

e

Ei(x) =

;1

t

x2 x3 x4 xi

dt = C + lnjxj + x + + + +:::+

t 4 18 96 i i! +:::

Integrallogarithmus:

Z x

dt

(lnx)2 (lnx)3 (lnx)4 (lnx)i

li(x) = = C + lnjlnxj + lnx + + + +:::+

0 lnt 4 18 96 i i! +:::

Gaußsches Fehlerintegral:

Z x

p x ;

2π x3

6

Elliptisches Integral 1. Art:Für jkj < 1 gilt

Z π=2

dt

F(k�π=2) = p =

1 ; k2 2

sin t π

1 +

2

1

4 k2 + 9

64 k4 + 25

256 k6 + 1225

16384 k8 +:::+

0

;1 e;t2 =2 1 1

dt = +

2

x5 x7

+ ;

40 336 +:::+ (;1)ix2i+1 2i i! (2i + 1) +:::

Elliptisches Integral 2. Art (Umfang einer Ellipse mit der Exzentrizität k):

U = 4aE(k�π=2) = 4a

= 2πa

Z π=2

0

p 1 ; k 2 sin 2 t dt

1 ; 1

4 k2 ; 3

64 k4 ; 5

256 k6 ; 175

16384 k8 ;:::; (2i)!

2 2i (i!) 2

2

(2i)!

2 2i (i!) 2

Umfang einer Ellipse p mit den Halbachsen a = 25 cm und b = 20 cm:

Exzentrizität: k = 1 ; b2=a2 p

= 1 ; 202=252 = 0�6

Umfang der Ellipse: U 2π 25(1 ; 0�09 ; 0�00608 ; 0�00091 ;:::) cm 141�8 cm.

15.4 Numerische Integration

k 2i

2i ; 1 ;:::

2

k 2i !

+::: :

Integrale, die analytisch nur schwer oder gar nicht zu lösen sind, können numerisch durch eine Aufspaltung

des Integrals in eine endliche Summe berechnet werden:

Z b

a

f (x)dx = h

NX

i=0

ci f (a + ih) + F(a�b�h) h

NX

i=0

ci f (a + ih)

!

:


15.4 Numerische Integration 491

mit verfahrensabhängigen Konstanten ci und

b ; a

h =

N :

F(a�b�N) ist der Fehler der Näherung. N ist die Anzahl der Unterteilungen des Intervalles, h die Breite der

Intervalle. Je größer N, um so besser ist die Näherung, desto länger ist die Rechenzeit.

. Bei zu feiner Unterteilung (zu großem N)können Rundungsfehler das Ergebnis verfälschen.

Man vergrößere die Anzahl der Unterteilung N so lange, bis sich der Wert des Integrals innerhalb der signifikanten

Stellen nicht mehr ändert:

I(2N) ; I(N)

I(2N)

< 10 ;n

(n Anzahl der signifikanten Stellen.)

. n darf nicht über der Stellenzahl des verwendeten Datentyps liegen (einfach-genau: n = 8, doppeltgenau:

n = 16).

. Die Güte der Näherung für ein bestimmtes Integral hängt ab von

1. der Fehlerordnung O(hn ),

2. der Feinheit der Zerlegung h,

3. der Glattheit des Integranden.

Rechteckregel

Annäherung durch Obersumme bzw. Untersumme (Rechtecke):

Z b

a

f (x)dx =

b ; a

N

NX

i=1

Für konstante Funktionen exakt.

Trapezregel

f (a + ih) +O(h) =

b ; a

N

NX

i=1

f (a + (i ; 1)h) +O(h):

Annäherung der zu berechnenden Fläche durch ein Trapez:

Z b

b ; a

f (x)dx ( f (b) + f (a)):

a

2

Unterteilung des Integrales in N Intervalle der Breite h und N-fache Anwendung der Trapezformel (summierte

Trapezformel):

Z b

a

f (x)dx =

b ; a

2N

Für Polynome ersten Grades exakt.

Simpson-Regel

X

N;1

f (a) + f (b) + 2

i=1

f (a + ih)

!

+ O(h 2 ):

Simpson-1/3-Regel, Annäherung des Integranden durch ein Polynom zweiten Grades:

Z b

b ; a

a + b

f (x)dx = f (a) + f (b) + 4 f

+ O(h

a

6

2

4 ):

Für Polynome bis einschließlich dritten Grades exakt.

Anwendung auf N Teilintervalle: In jedem Teilintervall wird die Funktion durch ein Polynom zweiten Grades

angenähert.

Z b

a

f (x)dx =

b ; a

3N

0

X

N=2

@ f (a) + f (b) + 4

i=1

X

N=2;1

f (a + (2i ; 1)h) + 2

i=1

f (a + 2ih)

. Das Intervall muß in eine gerade Anzahl N von Segmenten unterteilt sein.

1

A + O(h 4 )


492 15 Integralrechnung

Simpson-3/8-Regel:

Z b

b ; a ; 5

f (x)dx = f (a) + 3 f ((2a + b)=3) + 3 f ((a + 2b)=3) + f (b) +O(h ) :

a

8

. Programmsequenz zur Simpsonintegration der Funktion f mit n + 1Stützstellen.

BEGIN Simpson

INPUT a,b (Integrationsgrenzen)

INPUT n (Anzahl der Stützstellen)

h := (b - a)/n

m := n

FOR i=0 TO n DO

x[i] := a + i*h

ENDDO

INPUT f(x[i]), i=0..n

IF (n ist ungerade AND n > 1) THEN

dummy:=f(x[n-3])+3*(f(x[n-2])+f(x[n-1]))+f(x[n])

int := int + 3*h*dummy/8

m := n - 3

ENDIF

IF (m > 1) THEN

sum1 := 0

sum2 := 0

FOR i=1 TO m-1 STEP 2 DO

sum1 := sum1 + f(x[i])

ENDDO

FOR i=2 TO m-2 STEP 2 DO

sum2 := sum2 + f(x[i])

ENDDO

int := int + h*(f(x[0]) + 4*sum1 + 2*sum2 + f(x[m]))/3

ENDIF

OUTPUT int

END Simpson

Romberg-Integration

DieIdeederRomberg-Integration ist, zusätzlich zu einer feineren Unterteilung der Intervalle in der Trapezregel

den Integrations-Fehler abzuschätzen und in die Integralberechnung mit einzubeziehen (Extrapolation).

Dadurch erhöht sich die Ordnung des Fehlergliedes, und man braucht meist wesentlich weniger Iterationsschritte,

um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen.

Die Berechnungsvorschrift nach Romberg lautet:

Z b

f (x)dx Ij�k = 4k;1 Ij+1�k;1 ; Ij�k;1

:

a

4k;1 ; 1

Der Index j bezeichnet die Anzahl der Unterteilungen des Intervalles bei der Trapezregel, k ist ein Maß für

die Fehlerordnung der Näherung.

Programmablauf:

1. Berechne in einem Unterprogramm das Integral über die summierte Trapezformel für 1 Intervall (I1�1).

2. Starte eine Schleife über i und berechne in einem Unterprogramm das Integral Ii�1 über die summierte

Trapezformel für 2i Intervalle.

3. Berechne in einer Schleife über k = 2�i + 1dasgenäherte Integral Ij�k mit j = 2 + i ; k über die oben

angegebene Romberg-Beziehung.

4. Beende die i-Schleife, falls der maximale Iterationsschritt erreicht ist, oder wenn der Fehler genügend

klein ist:

I1�i+1 ; I1�i

< 10 ;n

(n Anzahl der signifikanten Stellen):

I1�i


15.4 Numerische Integration 493

. Tabellierte Daten können mit der Romberg-Integration meist nicht berechnet werden, da die Schrittweite

immer weiter halbierbar sein muß. Hauptanwendung bei analytisch angegebenen Funktionen.

. Programmsequenz zur numerischen Integration von f nach dem Rombergschema. In dem Unterprogramm

Trapezregel wird das Integral mit jeweils n Stützstellen berechnet und wieder an Romberg

übergeben.

BEGIN Romberg

INPUT a,b (Integrationsgrenzen)

INPUT eps (Abbruchkriterium)

INPUT maxit (maximale Anzahl von Iterationen)

n := 1

CALL Trapezregel(n,a,b,integral)

int[1,1] := integral

epsa := 1.1*eps

i := 0

WHILE (epsa > eps AND i < maxit) DO

i := i + 1

n := potenz(2,i)

CALL Trapezregel(n,a,b,integral)

int[i+1,1] := integral

FOR k = 2 TO i+1 DO

j := 2 + i - k

int[j,k]:=potenz(4,(k-1))*int[j+1,k-1]-int[j,k-1]

int[j,k]:=int[j,k]/(potenz(4,(k-1))-1)

ENDDO

epsa:=abs((int[1,i+1]-int[1,i])/(int[1,i+1]))*100

ENDDO

END Romberg

BEGIN Trapezregel

INPUT n, a, b

sum := 0

step := (b-a)/n

FOR i=1 TO n-1 DO

x := a + i*step

sum := sum + f(x)

ENDDO

integral := (b-a)*(f(a) + 2*sum + f(b))/2/n

OUTPUT integral

END Trapezregel

Gauß-Quadratur

Ausnutzen des Mittelwertsatzes der Integralrechnung: Das bestimmte Integral entspricht der Intervallänge

(b ; a) multipliziert mit dem Funktionswert f (c) an einer optimal zu wählenden Zwischenstelle c.

Z b

f (x)dx = (b ; a) f (c)� c 2 [a�b]:

a

Gauß-Quadratur. Wahl von n geeigneten nichtäquidistanten Stützstellen xi und Gewichten gi, sodaßdie

Quadraturformel für Polynome vom Höchstgrad 2n ; 1 exakt ist:

Z b

a

f (x)dx =

nX

i=1

gi f (xi) + Rn( f ):

Dabei ist Rn( f ) = 0, falls f im Polynom vom Grad 2n ; 1ist.

Vorteil: Gauß-Quadraturen sind schon für wenige Stützstellen sehr genau.


494 15 Integralrechnung

. Gauß-Quadraturen erfordern die Berechnung von Funktionswerten an genau vorgegebenen Stützstellen,

daher für tabellierte Daten meist nicht geeignet.

Gauß-Legendre-Integralbestimmung, für Legendre-Polynome n-ter Ordnung exakt. Für n = 2:

Z 1

;1

f (x)dx = f (;1= p 3) + f (1= p 3):

. Bei Gauß-Legendre-Quadraturen wird die Integration im Intervall [;1�1] durchgeführt.

Umformung auf ein beliebiges Intervall [a�b] möglich über die Substitution

b ; a b + a

x = z +

2 2 :

Für n = 2: Z b Z 1

b ; a

f (x)dx = f

2

b ; a b + a

z +

2 2

dz

b ; a

2

f

b ; a

;

2 p b + a

+

3 2

+ f

b ; a

2 p b + a

+

3 2

a

;1

Tabelle der Stützstellen xi und Gewichte gi für Gauß-Legendre-Quadraturen bis zur 4. Ordnung:

n i xi gi

1 1 0 2

2 1 ;0�5773503 1

2 0�5773503 1

1 ;0�7745967 0�5555556

3 2 0 0�8888889

3 0�7745967 0�5555556

1 ;0�8611363 0�3478548

4 2 ;0�3399810 0�6521455

3 0�3399810 0�6521455

4 0�8611363 0�3478548

. Die Gauß-Quadraturen können bei großen Integrationsintervallen auf Teilintervalle mit anschließender

Summation der Teilintervalle effektiv angewendet werden, ohne die Zahl der Stützstellen zu erhöhen!

Gauß-Legendre bei n = 2Stützstellen (!) für die Normalverteilung:

1

p 2π

Z 2

0

e ;x2 =2 dx = 1

p2π

Z 1

;1

e ;(1+x)2 =2 dx

1

p 2π e ;(1;1=

p p

3)

2 =2 ;(1+1= 3)

2 =2

+ e

0�4798:

Abweichung vom wahren Wert (0�4772): nur 0�5%!

Gauß-Laguerre-Integration, für uneigentliche Integrale mit exponentiell abfallenden Integranden (z. B. für

Boltzmann-Verteilungen).

Tabelle der numerischen Integrationsverfahren

In der Fehlerabschätzung ist ξ ein Punkt aus dem Intervall [x�x + h].

Methode Punkte für eine Fehler Anwendbarkeit Bemerkungen

Anwendung

Trapez 2 h3 f 00 (ξ ) allgemein

3 h5 f (4) (ξ ) allgemein

Simpson

(1/3)

Simpson

(3/8)

4 h 5 f (4) (ξ ) allgemein

Romberg 3 f (x) bekannt nicht für tabellierte Daten

Gauß 2 f (x) bekannt nicht für tabellierte Daten

:


f( x)

f( x)

f( x)

a b x a ( a+b ) / 2 b x

a) b) c)

15.4 Numerische Integration 495

a ( a+b ) / 2 b

Numerische Integrationsverfahren:

a) Trapezregel, b) Rombergverfahren, c) Simpson-Regel

. Die Romberg-Näherung I11 ist identisch mit der Simpson-(1/3)-Formel.

. Programmsequenz zur Integration einer diskretisiert gegebenen Funktion f .DieStützstellen, an denen

die Funktionswerte bekannt sind, brauchen nicht äquidistant zu sein.

BEGIN Integration

INPUT n (Anzahl der Segmente)

INPUT x[i], f(x[i]), i = 0..n

h := x[1] - x[0]

k := 1

int := 0

FOR j = 1 TO n DO

hfuture := x[j+1] - x[j]

IF (h = hfuture) THEN

IF (k = 3) THEN

int:=int+2*h*(f(x[j-1])+4*f(x[j-2])+f(x[j-3]))/6

k := k - 1

ELSEIF

k := k + 1

ENDIF

ELSEIF

IF (k = 1) THEN

int := int + h*(f(x[j]) + f(x[j-1]))/2

ELSEIF

IF (k = 2) THEN

int:=int+2*h*(f(x[j])+4*f(x[j-1])+f(x[j-2]))/6

ELSEIF

dummy:=f(x[j])+3*(f(x[j-1])+f(x[j-2]))+f(x[j-3])

int := int + 3*h*dummy/8

ENDIF

k := 1

ENDIF

ENDIF

h := hfuture

ENDDO

END Integration

. Die Integration einer durch eine Wertetabelle (ti�yi)� i = 0�1�:::�n, diskretisierten Funktion wird wie

folgt ausgeführt: Man berechnet kubische Spline-Interpolierende s; als Randbedingungen verwende

man ” s dreimal stetig differenzierbar in t1 und tn;1“. Die Integration von s erfolgt segmentweise mit

Hilfe der Simpsonregel. Diese Wahl der Randbedingungen stellt sicher, daß die Methode Polynome

vom Höchstgrad 3 exakt integriert. (Die Programmteile Spline-Funktion, Randbedingungen und spline

sind in Abschnitt 5.14 angegeben.)

BEGIN Integration tabellierter Daten

CALL Spline-Funktion

CALL Randbedingungen (c,u,v,w,t,4,n); fvgl. Spline-Interpolationg

x


496 15 Integralrechnung

integral=0

FOR i=1 TO n DO

BEGIN

h:=t[i]-t[i-1]

integral:=integral+h/6*(y[i-1]+4*spline(t[i-1]+h/2,y,c,n)+y[i]);

ENDDO

OUTPUT integral

END Integration tabellierter Daten

15.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung

Mittelwertsatz der Integralrechnung,istf (x) in [a�b] stetig, so gibt es eine Stelle c im Intervall [a�b],

für die gilt

Z b

f (x)dx = (b ; a) f (c)� für ein c 2 [a�b]:

a

. Das bestimmte Integral

Z b

f (x)dx mit f (x) 0 kann also durch ein Rechteck der Seitenlänge (b ; a)

a

und der Höhe f (c) dargestellt werden, das Problem ist, die richtige Stelle x = c zu finden.

Linearer Mittelwert (Integralmittelwert) f (c) der Funktionswerte im Intervall [a�b]:

f (c) = 1

Z b

f (x)dx� c 2 [a�b]:

b ; a a

Für eine lineare Funktion ist c = (a + b)=2.

Quadratischer sMittelwert, definiert man als das Integral über das Quadrat der Funktion f (x):

Z b

1

Mquadr =

( f (x))

b ; a a

2 dx:

Anwendungen des Mittelwertsatzes:

Numerische Integration mit Gauß-Verfahren n-ter Ordnung,

die Funktionswerte werden nicht am Rand des Intervalles [a�b], sondern an geeigneten x-Werten im Innern

von [a�b] berechnet, so daß das Integral bis zu einem Polynom n-ter Ordnung exakt ist.

Erweiterter erster Mittelwertsatz der Integralrechnung,sindf (x) und g(x) im Intervall [a�b] stetig

und wechselt g(x) im Intervall das Vorzeichen nicht, so gilt

Z b

Z b

f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx� c 2 (a�b):

a

a

Erweiterter zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung,istf (x) monoton und beschränkt und ist

g(x) im Intervall [a�b] integrierbar, so gilt

Z b

Z c Z b

f (x)g(x)dx = f (a) g(x)dx + f (b) g(x)dx� c 2 [a�b]:

a

a

15.6 Kurven-, Flächen- und Volumenintegrale

Bogenlänge (Rektifikation)

Linienelement einer Kurve, nach Pythagoras

p p

ds = dx2 + dy2 = 1 + ( f 0 (x)) 2 dx:

Bogenlänge einer Kurve ist daher

Z Z s

b

s = ds = 1 + dy

2 Z b

dx =

dx

a

c

p

1 + ( f 0 (x)) 2 dx:

a


p

Umfang des Einheitskreises: y = 1 ; x2 , y0 x

= ; p

1 ; x2 ,

s = 2

Z 1

;1

s

Flächeninhalt

1 + x2

Z 1

dx = 2

1 ; x2 ;1

dx

p = 2arcsinx

1 ; x2 15.6 Kurven-, Flächen- und Volumenintegrale 497

1

= 2π:

;1

Flächen zwischen einer Kurve f (x) und der x-Achse berechnet man mit Hilfe des Integrals

Z b

I = f (x)dx = F(b) ; F(a):

a

. Ist f im Integrationsintervall negativ, so wird auch das Integral negativ.

Das Vorzeichen des Integrals hängt auch davon ab, welche Integrationsgrenze größer ist.

Funktionswert Integrationsgrenzen Integralwert

f (x) > 0 a < b I > 0

f (x) < 0 a < b I < 0

f (x) > 0 a > b I < 0

f (x) < 0 a > b I > 0

Betrag der Fläche:

1. Nullstellen x1�x2�:::�xn berechnen und x0 = a, xn+1 = b setzen,

2. Aufteilung des Integrals in Flächenstücke von xi bis xi+1, (i = 0�1�:::�n).

3. Integration der Teil-Integrale.

4. Summation der Absolutbeträge der einzelnen Integrationen.

Z b

nX Z xi+1

nX

A = j f (x)jdx = f (x)dx =

a

i=1

xi

i=1

jF(xi+1) ; F(xi)j:

Fläche zwischen der Kosinus-Kurve und der x-Achse im Intervall [0�π]:

Z π=2 Z π

A = cosxdx + cosxdx = sinπ=2 + j ; sinπ=2 + sinπj = 1 + j ; 1j = 2:

0

π=2

(Das Integral über cosx ohne Absolutbetrag ist dagegen: I =

Z π

0

cosxdx = 0.)

Bei geraden Funktionen mit symmetrisch zur y-Achse liegenden Integrationsgrenzen braucht nur eine

Seite integriert zu werden

Z a Z a

I = f (x)dx = 2 f (x)dx ( f gerade):

;a

0

Parabel:

Z 2

x

;2

2 Z 2

dx = 2 x

0

2 dx = 2 x3

3

2

=

0

16

3 .

Bei ungeraden Funktionen mit symmetrisch zur y-Achse liegenden Integrationsgrenzen ist das Integral

gleich Null

Z a

I = f (x)dx = 0

Z a

A = 2 j f (x)jdx ( f ungerade):

;a

y = x 3 :

Z π

x


3 dx = 0:

0

Betrag einer Fläche bei geraden oder ungeraden Funktionen mit symmetrisch zur y-Achse liegenden

Integrationsgrenzen:


498 15 Integralrechnung

A =

Z a

;a

j f (x)jdx = 2

Z a

Fläche zwischen zwei Funktionen,

Z b

nX

A = j f (x) ; g(x)jdx =

a

0

j f (x)jdx ( f (x) gerade oder ungerade Funktion):

i=0

Z xi+1

xi

( f (x) ; g(x))dx �

wobei x0 = a�xn+1 = b und xi� (i = 1�2�:::�n) die Schnittpunkte der beiden Funktionen sind.

. Es ist empfehlenswert, den Funktionsverlauf des Integranden zu skizzieren.

Fläche zwischen einer Kurve und der y-Achse: entspricht der Integration der Umkehrfunktion U(y).

A =

Z f (b)

f (a)

U(y)dy:

fx ( )

b


a

fx ( ) dx

a b

fx ( )

Rotationskörper (Drehkörper)

x

+


π/2

π/2

cosx dx


0

π/2 −

π

− cosx dx

π

x

Flächenberechnungen

Rotationskörper (Drehkörper), entsteht durch Rotation einer Funktion y = f (x) bzw. einer Umkehrfunktion

U(y) um eine Achse.

. Nicht notwendigerweise eine Koordinatenachse.

Schräg im Raum liegende Rotationshyperboloide, Symmetrieachse 45o (x = y).

Volumen des Rotationskörpers: Integration über alle Kreisscheiben.

Z b

Rotation um x-Achse: Vx = π f (x) 2 dx�

Rotation um y-Achse: Vy = π

y = x2 Z

4 5

: Vx = π x dx = (π=5)x ,

fx ( )

a Z f (b)

U(y)

f (a)

2 Z b

dy = π x

a

2 f 0 (x)dx:

Volumen eines Rotationsparaboloids der Höhe h:

Z h

Vy = π (

0

p y) 2 dy = πh2

Z

= π

2 p h

x

0

2 2xdx:

Oberfläche eines Rotationskörpers, oder Mantelfläche, entspricht einer Integration über alle Kreisumfänge

entlang der Kurve. Z Z p

Rotation um x-Achse: AMx = 2π f (x)ds = 2π f (x) 1 + f 0 (x) 2 dx�

Rotation um y-Achse: AMy = 2π

p

Oberfläche einer Kugelzone: y = r2 ; x2 ,

Z s

h p

AMx = 2π r2 ; x2 0

1 + x2

r2 dx = 2πr

; x2 x i

fx ( )

Z Z p

U(y)ds = 2π U(y) 1 +U 0 (y) 2 dy:

Z h

0

dx = 2πrh:

x i+1

gx ( )

x


πU( y)

2

a)

fx ( )

y=x 2

Uy= ( ) y

x

Δy

15.7 Funktionen in Parameterdarstellung 499

fx ( )

b)

πy 2

Δx

Rotationskörper: a) Paraboloid b) Kegel

15.7 Funktionen in Parameterdarstellung

Parameterdarstellung einer Kurve, mit dem Parameter t:

x = x(t) y = y(t):

Darstellung in Polarkoordinaten, mit dem Winkel φ :

x = r(φ )cosφ y = r(φ )sinφ :

Bogenlänge in Parameterdarstellung

Bogenlänge Z in Parameterdarstellung, und in Polarkoordinaten

p

s = ˙x 2 + ˙y 2 dt� s =

Bogenlänge eines Kreisstückes:

Z α

r = r0� ˙r = 0� s =

Sektorenformel

Z pr 2 + ˙r 2 dφ � ˙r = dr

dφ :

0

Z r 2 dφ :

q r 2 0 + 0dφ = α r0:

Das Flächendifferential und die Fläche zwischen der Kurve und dem Ursprung lauten in Polarkoordinaten:

dA = 1

1

r r dφ � A =

2 2

Leibnizsche Sektorenformel, für Funktionen in Parameterdarstellung berechnet man die Fläche zwischen

der Kurve und dem Ursprung über

A = 1

Z

(x ˙y ; ˙xy)dt:

2

Die Fläche der Lemniskate r = a p cos2φ :

A = 4 1

2 a2

Z π=4

π=4

2 1

cos2φ dφ = 2a sin(2φ ) = a

2 2 :

0

fx ( )

r+ dr

φ+ dφ


rdrdφ φ

dr

r

x

fx ( )

0

xt,yt () ()

t1 t2 x

fx ( )

Sektorenformel Lemniskate

h

x

a x


500 15 Integralrechnung

Rotationskörper in Parameterdarstellung

Mantelflächenberechnung (Komplanation) und Volumenberechnung (Kubatur) eines Drehkörpers in Parameterdarstellung:

Drehachse Mantelfläche Volumen

x-Achse AMx = 2π

y-Achse AMy = 2π

Z y p ˙x 2 + ˙y 2 dt Vx = π

Z y 2 ˙xdt

Z p Z

x ˙x 2 + ˙y 2 2

dt Vy = π x ˙ydt

Mantelfläche und Volumen eines Drehkörpers in Polarkoordinaten:

Drehachse Mantelfläche Volumen

Z p

x-Achse 2π r sinφ r2 + ˙r 2 dφ π

y-Achse 2π

Z r 2 sin 2 φ (˙r cosφ ; r sinφ )dφ

Z p

r cosφ r2 + ˙r 2 Z

2 2 dφ π r cos φ (˙r sinφ + r cosφ )dφ

15.8 Mehrfachintegrale und ihre Anwendungen

Definition von Mehrfachintegralen

Doppelintegral, Grenzübergang einer Doppelsumme über Flächenbereiche über eine Funktion von zwei

unabhängigen Variablen f (x�y) (Integral in zwei Dimensionen), analog zum einfachen Integral definiert:

Z Z f (x�y)dydx = lim

n�m!1

Flächendifferential,

dA = dxdy:

nX

mX

i=1 j=1

f (xi�y j)ΔxiΔy j:

Doppelintegral setzt sich aus äußerem und innerem Integral zusammen. Es wird durch zwei aufeinanderfolgende

gewöhnliche Integrationen berechnet.

Z b Z o(x)

f (x�y)dy

x=a y=u(x) | {z }

inneres Integral

dx:

| {z }

äußeres Integral

In Polarkoordinaten lautet das Flächendifferential dA = r dr dφ :

Z φ2

φ =φ1

Z r(φ )

r=0

f (r�φ )r dr dφ :

Dreifachintegral, berechnet man durch drei aufeinanderfolgende gewöhnliche Integrationen. Je nach Form

des zu integrierenden Volumens wählt man entsprechend angepaßte Koordinaten bzw. passende Volumenelemente.

kartesisch Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten

Z Z Z dxdydz

| {z }

dV

Z Z Z r dr dφ dz

| {z }

dV

Z Z Z r 2 sinθ dr dφ dθ

| {z }

dV


Volumen einer Kugel:

Z R Z 2π Z π

r=0

φ =0

θ =0

r 2 sinθ dr dφ dθ = R3

3 2π

Z π

θ =0

15.8 Mehrfachintegrale und ihre Anwendungen 501

sinθ dθ = 4π

3 R3 :

Substitutionsregel für Mehrfachintegrale, Berechnung eines Integrals in beliebigen Koordinaten u, v und

w, die durch

x = x(u�v�w)� y = y(u�v�w) z = z(u�v�w)

definiert sind. Zerlegung des Integrationsgebietes in Volumenelemente durch die Koordinatenflächen

u = const, v = const und w = const:

dV = jDjdudvdw

mit der Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante):

D =

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

∂z

∂v

Substitution des Integrals möglich für D 6= 0:

:

Z Z Z Z Z Z

f (x�y�z)dV = f (u�v�w)jDjdwdvdu:

. Numerische Berechnung von Mehrfachintegralen: Monte-Carlo-Methoden, besonders bei großen n

effizient (n Anzahl der Integrationen).

y

dy

Flächenberechnung

gx ( )

fx ( )

a dx b x

x

z

Mehrfachintegrale

Fläche zwischen zwei Kurven f (x) und g(x) in kartesischen Koordinaten:

Z b Z f (x) Z b

A = dydx = ( f (x) ; g(x))dx:

x=a g(x)

x=a

Kreisabschnitt:

Z hZ

A =

0

p r2 ;x2 Z h p

dydx = r

0

0

2 ; x2dx = 1

2 hpr2

; h2 + r 2 arcsin h

r

Fläche zwischen zwei Kurven in Polarkoordinaten (r = r(φ )):

Z Z φ2 f (φ )

A =

φ =φ1

r=g(φ )

r dr dφ :

dy

:

fx,y ( )

fx,y ( ) dxdy dx

y


502 15 Integralrechnung

Kreissegment (r(φ ) = r):

Z α Z r Z α

r

A = r dr dφ =

0 0

0

2

r2

dφ = α

2 2 :

Schwerpunkt von Bögen

Schwerpunkt von Bögen: in den drei verschiedenen Darstellungsformen des Bogens in kartesischen Koordinaten,

Parameterdarstellung und Polarkoordinaten. xS: x-Koordinate des Schwerpunktes, yS: y-Koordinate

des Schwerpunktes, s: Länge der Kurve

y = f (x) x = x(t)� y = y(t) r = r(φ )

xS = 1

Z p

x 1 + y02dx xS =

s

1

Z p

x ˙x 2 + ˙y 2dt xS =

s

1

Z p

r r

s

2 + ˙r 2 cosφ dφ

yS = 1

Z p

y 1 + y02dx yS =

s

1

Z p

y ˙x 2 + ˙y 2dt yS =

s

1

Z p

r r

s

2 + ˙r 2 sinφ dφ

Z p1 Z p Z p

s = + y02dx s = ˙x 2 + ˙y 2dt s = r2 + ˙r 2dφ Trägheitsmoment von Bögen

Trägheitsmoment von Bögen:

Ix:Trägheitsmoment in bezug auf die x-Achse, Iy:Trägheitsmoment in bezug auf die y-Achse.

y = f (x) Ix =

äquatoriales Trägheitsmoment

Z y 2 p 1 + y 02 dx Iy =

Z y 2 p ˙x 2 + ˙y 2 dt Iy =

Z x 2 p 1 + y 02 dx

Z x 2 p ˙x 2 + ˙y 2 dt

x(t)�y(t) Ix =

Z p

2 2

r = r(φ ) Ix = r sin φ r2 + ˙r 2 Z p

2 2 dφ Iy = r cos φ r2 + ˙r 2dφ Ip:Trägheitsmoment in bezug auf einen Punkt.

polares Trägheitsmoment

Z p 2 2

y = f (x) Ip = (x + y ) 1 + y02dx x = x(t)� y = y(t) Ip =

r = r(φ ) Ip =

Z p 2 2

(x + y ) ˙x 2 + ˙y 2dt Z r 2 p

r 2 + ˙r 2 dφ

. Das polare Trägheitsmoment ist immer gleich der Summe der äquatorialen Trägheitsmomente

Ip = Ix + Iy.

Schwerpunkt einer Fläche

Schwerpunkt einer Fläche:

xS: x-Koordinate des Schwerpunktes, yS: y-Koordinate des Schwerpunktes, A:Flächeninhalt.


y = f (x) xS = 1

A

r = r(φ ) xS = 1

A

Trägheitsmoment von Flächen

15.8 Mehrfachintegrale und ihre Anwendungen 503

Z Z

xdydx yS = 1

Z Z Z Z

ydydx A = dxdy

A

Z Z

2

r cosφ dr dφ yS = 1

Z Z Z Z

2

r sinφ dr dφ A = r dr dφ

A

Trägheitsmoment von Flächen:

Ix:Trägheitsmoment in bezug auf die x-Achse, Iy:Trägheitsmoment in bezug auf die y-Achse, Ip:Trägheitsmoment

in bezug auf einen Punkt, Ixy: zentrifugales Trägheitsmoment.

äquatoriales Trägheitsmoment polares Trägheitsmoment

Z Z y 2 dxdy Iy =

Z Z x 2 dxdy Ip =

Z Z (x 2 + y 2 )dxdy

y = f (x) Ix =

Z Z Z

3 2 3 2 3

r = r(φ ) Ix = r sin φ dr dφ Iy = r cos φ dr dφ Ip = r dr dφ

. Es gilt generell Ip = Ix + Iy.

Zentrifugales Trägheitsmoment:

Z

Ixy = xydxdy:

Schwerpunkt eines Körpers

Schwerpunkt eines Körpers in kartesischen Koordinaten:

xS = 1

Z Z Z

xdxdydz� yS =

V

1

Z Z Z

ydxdydz� zS =

V

1

Z Z Z

zdxdydz:

V

Z Z Z

Volumen V = dxdydz:

Schwerpunkt einer Halbkugel: V = 2π

3 R3� zS = 1

V

Z 2π Z R Z p R2 ;r2 zr dzdr dφ = 3

2πR3 φ =0

r=0

z=0

Trägheitsmoment eines Körpers

Trägheitsmoment eines Körpers in kartesischen Koordinaten:

Iz =

Z Z Z (x 2 + y 2 )dxdydz:

Bezugsachse ist die z-Achse.

Schwerpunkt von Drehkörpern


2

Z R

r(R

r=0

2 ; r 2 )dr = 3

2R3 R4 3

=

4 8 R:

Schwerpunkt von Drehkörpern:

zS = 1

Z Z Z Z Z Z

zr dr dzdφ � V = r dr dzdφ :

V

Rotationsachse ist die z-Achse.

Der Schwerpunkt liegt aus Symmetriegründen immer auf der z-Achse.


504 15 Integralrechnung

A y

fx ( )

y S

−1

x=f (y)

x

fx ( )

A x

y=f (x)

x S

Schwerpunkt eines Drehkörpers

15.9 Technische Anwendung der Integralrechnung

Statisches Moment, Schwerpunkt

Statisches Moment M eines Massenpunktes, das Produkt aus der Masse m mit dem Abstand r von der Drehachse

M = rm:

Bei ausgedehnten Z Körpern gilt

M = r dm:

Schwerpunkt eines ausgedehnten Körpers, der Punkt, in dem sich alle statischen Momente aufheben

rS = 1

Z

r dm�

m

wobei rS der Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse ist.

Drehachse

Massenpunkt

m

r

Drehachse

r

dm

x

Körper der

Masse m

Volumenelement dV der

Masse dm, dm= ρdV

Momentberechnungen

Homogen mit Masse belegte Objekte: Für die Momente Mx und My und die Schwerpunkte xS und yS bezüglich

der x- und y-Achsen gilt folgende Tabelle:

Objekt Momente Schwerpunkt

Z Z p

Mx = yds = f (x) 1 + f 0 (x) 2 dx

Kurve

xS = Z Z My=s

der Länge s

p

My = xds = x 1 + f 0 (x) 2 yS dx = Mx=s

Z Z 1 2

Mx = ydA = f (x) dx

Fläche A

2

xS = Z Z My=A

yS =

My = xdA = xf(x)dx

Mx=A

Z Z

2

My = xdV = π xf(x) dx

Rotationskörper

xS = Z My=V

mit dem Volumen V

yS Mx = ydV = 0

= 0


. Der Schwerpunkt liegt im allgemeinen nicht auf der Kurve.

15.9 Technische Anwendung der Integralrechnung 505

1. Guldinsche Regel: Der Inhalt der Mantelfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus

der Länge s des auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Kurvenstücks und dem Umfang

des Kreises, den der Schwerpunkt des erzeugenden Kurvenstücks bei einer Volldrehung um

die Drehachse beschreibt.

AMx = 2πySs� AMy = 2πxSs:

y

y S

A x

x

1. Guldinsche Regel

2. Guldinsche Regel:DasVolumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der

auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Fläche und dem Umfang des Kreises, den der

Flächenschwerpunkt bei einer Volldrehung um die Drehachse beschreibt.

Vx = 2πySAx� Vy = 2πxSAy:

y

y S

A x

x

2. Guldinsche Regel

. Die erste Regel beinhaltet den Schwerpunkt der Kurve, die zweite Regel den Schwerpunkt der Fläche.

. Die Guldinschen Regeln dienen in der Praxis zur Bestimmung des jeweiligen Schwerpunktes, wenn

vom Rotationskörper die Bogenlänge s und Vx, Ax,bzw.AMx bekannt sind.

Massenträgheitsmoment

Massenträgheitsmomente J starrer Körper mit homogener Massendichte der Gesamtmasse m und dem

Schwerpunkt S:

Typ Drehachse Moment

Stab senkrecht durch S

1

12 ml2

(Länge l) senkrecht durch einen Endpunkt

Platte senkrecht durch S

(Seitenlängen a�b) parallel zu b durch S

y

y

x S

x S

A y

A y

x

x

1

3 ml2

1

12 m(a2 + b 2 )

1

12 ma2


506 15 Integralrechnung

Typ Drehachse Moment

Kreis senkrecht durch S

1

2 mr2

(Radius r) auf dem Kreis durch S

1

4 mr2

Kreisring senkrecht durch S mr 2

(Radius r) parallel durch S

Quader parallel zu c durch S

(Seitenlängen a�b�c) parallel zu c, mittig durch b

Kreiszylinder Zylinderachse

(Radius r, Höhe h) senkrecht zur Zylinderachse durch S

Kreiskegel Kegelachse

(Radius r, Höhe h) senkrecht zur Kegelachse durch S

Kugel durch S

(Radius r) tangential

Hohlkugel durch S

(Außenradius ra)

(Innenradius ri)

Ellipsoid

(Halbachsen a�b�c)

1

2 mr2

1

2 m(a2 + b 2 )

1

2 m(4a2 + b 2 )

1

2 mr2

1

12 m(h2 + 3r 2 )

3

10 mr2

3

80 m(h2 + 4r 2 )

2

5 mr2

7

5 mr2

2

5 mr5 a ; r5 i

r3 a ; r3 i

tangential m 7r5 a + 5r2 ar 3 i ; 2r5 i

5(r 3 a ; r3 i )

parallel zu c durch S

1

5 m(a2 + b 2 )

Massenträgheitsmoment eines Massenpunktes, Produkt aus Masse m und Abstandsquadrat a 2 von der Bezugsachse.

J = a 2 m

Äquatoriale Flächenmomente, Bezugsachsen x�y liegen in der Ebene der Fläche.

Polares Flächenmoment, bezogen auf Punkt in der Ebene der Fläche.

Bezug Trägheitsmoment

x-Achse (äquatorial) Jx = y 2 m

y-Achse (äquatorial) Jy = x 2 m

Punkt (polar) Jp = r 2 m = (x 2 + y 2 )m = Jx + Jy

Massenträgheitsmoment eines Rotationskörpers,bezüglich der Rotationsachse, homogen mit Masse der

Dichte ρ belegt:

J =

Z Z

2 2

r dm = ρ r dV:

. r ist der Abstand von der Drehachse, kein Ortsvektor!


15.9 Technische Anwendung der Integralrechnung 507

Flächenträgheitsmomente I von ebenen Flächen und Massenträgheitsmomente J von Rotationskörpern:

Bezugsachse Massenträgheitsmoment

Z

2 1

x-Achse Jx = ρ y dV =

Z

2 1

y-Achse Jy = ρ x dV =

2 πρ

2 πρ

Z f (x) 4 dx

Z U(y) 4 dy

Satz von Steiner,dasTrägheitsmoment eines starren Körpers bezüglich einer beliebigen Achse JA entspricht

dem Trägheitsmoment bezüglich einer dazu parallelen Achse durch den Schwerpunkt JS plus

dem Produkt aus der Masse m und dem Abstandsquadrat der beiden Achsen a:

JA = JS + ma 2 :

. Berechnung des Trägheitsmomentes um einen beliebigen Punkt erfolgt über die einfachere Berechnung

des Trägheitmoments für Drehachsen durch den Schwerpunkt.

Trägheitsmoment einer Kugel bezüglich einer Drehachse im

Abstand a = R vom Kugelmittelpunkt:

JS = 2

Z 2π Z R Z

φ =0 r=0

p R2 ;r2 r

z=0

3 Z R

dzdr dφ = 4π r

r=0

3p

R2 ; r2dr = 4π ; 1

5 R5 + R2

3 R3

JS = 8π

15 R5 � JA = JS +Va 2 = 8π

15 R5 + 4π

3 R3 R 2 = 28π

15 R5

Statik

Auflagerkräfte eines Balken der Länge l auf zwei

Stützen,

FA = FG(l ; a)

� FB = FGa

l

l

mit der Gesamtgewichtskraft FG und dem Abstand a

des Schwerpunktes vom Lager A

Z l

FG = f (x)dx� a = 1

Z l

xf(x)dx:

0

Schnittkräfte, die Querkraft FQ und das Moment M

am Orte x sind unter Berücksichtigung der Auflagerkräfte

und -momente Z x

FQ(x) = FA ; f ( ˜x)d˜x� M(x) = xFQ(x) +

0

FG

0

Z x

0

fx ( )

˜xf( ˜x)d˜x:

F

S

( JS ) ( JA) S a

Satz von Steiner

A

x

a

B

l

FG Balken auf zwei Stützen

Der Anstieg des Momentes entspricht der Querkraft, der Anstieg der Querkraft entspricht der negativen Gewichtskraft

an der Stelle x:

dM dFQ

= FQ�

= ; f (x):

dx dx

Arbeitsberechnungen

Elektrische Arbeit von Wechselspannung u(t) und -strom i(t) mit der Kreisfrequenz ω , der Periode

T = 2π=ω und der Phasenverschiebung φ :

Z T Z T

WStrom = u(t)i(t)dt = u0i0

0

0

sin(ω t)sin(ω t + φ )dt = u0i0

T cosφ :

2

x


508 15 Integralrechnung

Arbeit einer Feder, mit der wegabhängigen Kraft F(s) = ks (Hookesches Gesetz, k Federkonstante):

Z l

WFeder = F(s)ds =

0

kl2

2 :

Ausdehnungsarbeit eines idealen Gases mit dem Volumen V und dem Druck p = p1V1=V (Boyle-Mariottesches

Gesetz): Z Z V2

V2

dV

WGas = p(V )dV = p1V1

V = p1V1 ln V2

:

V1

V1

Mittelwerte

V1

Wichtig für zeitliche Mittelung (z. B. periodische Funktionen).

Linearer Mittelwert, folgt aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung:

Mlin = 1

Z b

f (x)dx:

b ; a a

. Mlin ergibt Null für periodische Funktionen, die um die Abszisse oszillieren (z. B. f (x) = sinx oder

cosx), wenn über ein Vielfaches der Periode integriert wird.

Quadratischer sMittelwert, definiert durch

Z b

1

Mquadr =

( f (x))

b ; a a

2 dx:

Mittelwerte für y = sinx zwischen 0 und π:

Mlin =

1

Z π

sinxdx =

π ; 0 0

1

π (;cosx)

π

0

= 1

1 2

(;cosπ ; (;cos0)) = (1 + 1) =

π π π �

s Z π

1

Mquadr =

sin 2 xdx =

s

π

1

(;sinxcosx + x)

2π 0

π ; 0 0

r r

1

1 1

= (;sinπcosπ + π ; (;sin0cos0 + 0)) = π = p

2π 2π 2 :

Anwendung in der Elektrotechnik:

Gleichrichtwert der zeitabhängigen Stromstärke i(t) = i0 sin(2πt=T ) mit der Periodendauer T:

jij = 1

Z T

ji(t)jdt =

T 0

2

π i0 0�637 i0:

Effektivwert der zeitabhängigen Stromstärke i(t) = i0 sin(2πt=T ) mit der Periodendauer T:

s Z T

1

ieff =

0�707 i0:

T

0

(i(t)) 2 dt = i0

p

2

i

i eff

it () |i() t |

Mittelwert

t

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