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Röntgen- und Vektor-MOKE-Untersuchung ... - AG Wollschläger

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6 2. Theoretische

6 2. Theoretische Grundlageneinzubeziehen, muss der konstante Brechungsindex n durch eine Verteilung ersetzt werden.Diese Verteilung lässt sich durch verschiedene Modelle (Debye-Waller, Nevot-Crocet, tanh-Profil) simulieren. Eine genaue Beschreibung lässt sich in [7] finden.2.2. Röntgenbeugung (XRD)ndAbbildung 2.4: Bragg’sche Reflexionsbedingung an einer Netzebenenschar. θ istder Einfalls- bzw. Ausfallswinkel der Röntgenstrahlung, d der Netzebenenabstand.Wenn θ passend zu d gewählt wird, ist die Bedingung für konstruktive Interferenzerfühlt. Bei einem Gangunterschied von nλ der an den Netzebenen reflektiertenStrahlen tritt konstruktive Interferenz auf.Die Röntgenbeugung ist eine Untersuchungsmethode, welche es ermöglicht die genaueStruktur von Kristallen zu bestimmen. Trifft Röntgenstrahlung auf Materie, wirken dielokalisierten Elektronen der Atome als Streuzentren. Die Elektronen werden zu harmonischenSchwingungen angeregt und reflektieren so die einfallende Strahlung. Manbezeichnet diesen Vorgang auch als kohärente Streuung.Durch Energieverlust (Compton-Streuung, usw.) entsteht noch ein kleiner Strahlungsanteilanderer Wellenlängen, welcher jedoch bei Beugungsmethoden vernachlässigt werdenkann.In Kristallen sind die Atome in periodischen Strukturen angeordnet. Die Abstände zwischenden Atomen entsprechen in etwa der Wellenlänge der einfallenden Strahlung, sodass Interferenz möglich ist. Es gilt die Bragg’sche Gleichung2 d sin(θ B ) = n λ, (2.7)wobei d dem Netzebenenabstand entspicht. Es gilt das aus der Optik bekannte Reflexionsgesetz.Der Winkel θ entspricht Einfalls- und Ausfallswinkel. Wird θ passend zu dgewählt, ergibt sich für die an der betrachteten Netzebenenschar reflektierte Strahlungein Gangunterschied von nλ mit n= 1, 2, 3, · · ·. Es kommt zur konstruktiven Interferenz(vgl. Abb. 2.4). Dieser Winkel wird auch als Bragg-Winkel θ B bezeichnet.Betrachtet man einen unendlich ausgedehnten Kristall, interferieren unter anderen Einfallswinkelnθ die von den Netzebenen reflektierten Teilstrahlen destruktiv und löschensich aus.Es existieren nur unter bestimmten Winkeln scharfe Beugungsmaxima. Eine alternative

2.2. Röntgenbeugung (XRD) 7Formulierung der Beugungsbedingung sind die Laue-Gleichungen⃗q · ⃗a = 2πh (2.8)⃗q ·⃗b = 2πk (2.9)⃗q · ⃗c = 2πl, (2.10)welche die Bragg-Bedingung auf drei Dimensionen erweitern. Der Vektor ⃗q entsprichtdem in Gl. 2.3 definierten reziproken Streuvektor, wobei der Einfallswinkel der Strahlungbei Röntgenbeugung relativ zu den Netzebenen betrachtet wird. Der Streuvektorsteht bei der Röntgenbeugung senkrecht zu den Netzebenen und nicht wie bei der Reflektometriesenkrecht auf der Oberfläche. Die Vektoren ⃗a, ⃗ b und ⃗c entsprechen denTranslationsvektoren des Kristallgitters. Die reziproken Koordinaten h,k,l beziehen sichauf das reziproke Kristallgitter, welches zur Identifikation der einzelnen Reflexe verwendetwerden kann.Mithilfe einer monochromatischen Röntgenquelle lassen sich die Gitterkonstanten überdie Bragg- oder Laue-Bedingung bestimmen. Normiert man die gemessenen spekularenDiffraktogramme auf den reziproken Lagenabstand des Substrats c sub , lässt sichüberc schicht = c subl subl schicht(2.11)der Lagenabstand c schicht und damit die vertikale Gitterkonstante bestimmen.Um Aussagen über die vertikale Kristallitgröße machen zu können, muss die Intensitätsverteilungder gebeugten Strahlung betrachtet werden. Vereinfacht lässt sich die Intensitätdurch die aus der Optik bekannte N-Spalt-Funktion beschreiben (vgl. Abb. 2.5). Dieperiodisch angeordneten Netzebenen verhalten sich analog zu einem Strichgitter in derOptik. Je mehr Striche das Gitter hat, um so schärfer sind die Reflexe. Für die gebeugteIntensität gilt|S 0,N (⃗q)| 2 = sin2 (N⃗q · ⃗a/2)sin 2 (⃗q · ⃗a/2) . (2.12)Charakteristisch für diese Funktion sind die Hauptmaxima bei Vielfachen von 2π/a mitFunktionswerten von N 2 . Des Weiteren treten noch Nebenmaxima auf, welche auchLaue-Oszillationen genannt werden. Ihre Intensität ist N − 2 kleiner als die Hauptmaximaund haben den Abstand 2π/Na. Die Ausprägung der Laue-Oszillationen istabhängig von der Rauheit der Schicht. Je höher die Rauheit, um so stärker werdendie Oszillationen gedämpft. Eine genaue Herleitung der N-Spalt-Funktion befindet sichin Anhang A.1. Für die komplette Breite ∆q 0 des Hauptmaximums von Minimum zuMinimum ergibt sich (vgl. Abb. 2.5)∆q 0 = 2 2πNa . (2.13)

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Kapitel 1 Einleitung - Gruppe - AG Maier - Universität Bonn