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Röntgen- und Vektor-MOKE-Untersuchung ... - AG Wollschläger

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22 2. Theoretische

22 2. Theoretische Grundlagenaufgrund fehlender Nachbarn den Gesamtfluss dominieren. Dies wird auch als Formanisotropiebezeichnet. Im Festkörper kann eine homogene magnetische Flussdichte modellhaftals von der Oberflächenladung erzeugt betrachtet werden.Die Oberflächenladungen erzeugen ein statisches magnetisches Feld ⃗ H s , welches auchStreufeld oder Entmagnetisierungsfeld genannt wird. Die freie Energie des Streufeldeslässt sich durchf s = 1 2 µ 0∫⃗Hs ⃗ MdV (2.47)beschreiben [26], wobei µ 0 der magnetischen Feldkonstanten entspricht und über dasProbenvolumen integriert wird. Der Vorfaktor 1/2 berücksichtigt die Tatsache, dass dielokale Magnetisierung selbst Ursache der erzeugten Flussdichte ist und Doppelzählungvermieden werden muss. Das Streufeld lässt sich durch⃗H s = − ˆN ⃗ M (2.48)berechnen, wobei ˆN dem Entmagnetisierungstensor entspricht. Die Spur von ˆN hat denWert Eins und kann auf die Hauptachsen transformiert werden. In dünnen Filmen sindaußer der Richtung senkrecht zur Probenoberfläche ( ˆN ⊥ = 1) alle Elemente Null. Fürdünne Filme gilt also ⃗ H s = (0, 0, M z ), wobei M z = M sat cos(θ). Der Winkel θ liegtzwischen Oberflächennormale und Magnetisierung (vgl. Abb. 2.16). Daraus ergibt sichfür die freie Energief s = 1 2 µ 0M 2 sat cos(θ) 2 . (2.49)Die Streufeldenergie wird minimal, wenn die Magnetisierung in der Probenebene liegt(θ=90°), maximal in Richtung der Normalen (θ=0°). Ohne äußeres Feld liegt die Magnetisierungbevorzugt in-plane.zM*3 1yx 2Abbildung 2.16: Darstellung der Richtungskosinus α i (i=1,2,3) in sphärischen Koordinanten.Der Einheitsvektor der Magnetisierung ist gegeben durch ⃗ M ∗ = ⃗ M/M sat .

2.4. Magnetismus 23Mikroskopisch lässt sich Ferromagnetismus näherungsweise durch die Austauschwechselwirkungdes Heisenberg-Modells beschreiben. Es sei angemerkt, dass dieses Modellfür lokalisierte Elektronen entwickelt wurde, im hier untersuchten Eisen aber die delokalisiertenElektronen für den Ferromagnetismus verantwortlich sind (vgl. Kap. 2.4.1).Für eine einfache, qualitative Herleitung der Kristallanisotropie ist es aber ausreichend.Es gilt für den Hamilton-Operator der Austauschenergie in sphärischen KoordinatenH = −2 ∑ i0, die Spins sind parallel ausgerichtet. Für J ij < 0 richten sich die Spins antiparallelaus und das Material ist antiferromagnetisch. Aufgrund der Invarianz des Spin-Koordinatensystems gegenüber Drehungen lässt sich über diesen Operator keine energetischeKopplung an das Kristallsystem erklären.Die Erklärung der experimentell beobachteten magnetokristallinen Anisotropie erfolgtüber die Spin-Bahn-Kopplung. Bei einer Drehung der über die Austauschwechselwirkunggekoppelten Spins wirkt über die Spin-Bahn-Kopplung auf die Bahnmomente ein Drehmoment.Wenn eine anisotrope Elektronenverteilung vorliegt, ist die daraus resultierende Drehungenergieabhängig. Sie verursacht eine Änderung des Überlappens der Wellenfunktionenbenachbarter Atome. Bei Übergangsmetallen wie z.B. Eisen zeigen allen d-Elektronendieses Verhalten. Die Bahnbewegung ist also direkt mit dem Kristallgitter verknüpft, sodass die magnetokristalline Anisotropie die Symmetrieeigenschaften des Gitters widerspiegelt.Eine quantitative, theoretische Berechnung mit ab-initio-Verfahren ist aktuell noch nichtmöglich, deshalb wird häufig eine phänomenologische Beschreibung verwendet. Man nähertdie Kristallanisotropie durch eine Reihenentwicklung an. Dabei verwendet man alsBasis die Richtungskosinus α i (i=1,2,3), welche durch die Magnetisierungsrichtung relativzu den Kristallachsen definiert werden (vgl. Abb. 2.16). Für kubische Systeme giltf krist = K 1 (α 2 1α 2 2 + α 2 2α 2 3 + α 2 3α 2 1) + K 2 α 2 1α 2 2α 2 3 + · · · , (2.51)wobei die Entwicklungskoeffizienten K i (i=1,2,3,· · ·) auch als Anisotropiekonstanten bezeichnetwerden [24]. Man muss dabei beachten, dass diese Konstanten keine direktephysikalische Bedeutung besitzen, sondern nur Koeffizienten einer geeigneten Entwicklungsind. In dünnen Schichten liegt die Magnetisierung aufgrund der Formanisotropiebevorzugt in-plane, daraus ergibt sich α 3 = 0. Gl. 2.51 vereinfacht sich zuf krist = K 1 (α 2 1α 2 2). (2.52)Für die Richtungskosinus lassen sich aus Abb. 2.16 die Beziehungenα 1 = sin(ϕ) und (2.53)α 2 = cos(ϕ) (2.54)

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Kapitel 1 Einleitung - Gruppe - AG Maier - Universität Bonn