Schwingungen und Wellen

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Schwingungen und Wellen

Gedämpfte SchwingungenImmer nochm2d s2dtds 2+ γ + mω0sdt=0Jetzt aber mit Reibung (γ ≠ 0):Lösung im Allg.:−γt2ms( t)= A0 e sin( ωt+ ϕ)= A(t)sin(ωt+ ϕ)Auch die Amplitude ist jetzteine Funktion der ZeitA(t)γ− t2m= A0e = A0ω = k m −γm2 42e−δts(t)Abklingzeit 1/δLogarithmisches Dekrement δTDie Frequenz verschiebt sich:Beachte: Vorgänge dieser Artsind keine harmonischeSchwingungenim engeren Sinne!t=ω202−δ≠ ω0Weitere Stichpunkte: Kriechfall,aperiodischer Grenzfall2 2δ ≥ ω0


2d sm2dtds 2+ γ + mω0sdtReibung2d s ds 2m + γ + mω20s =dt dt2d sm2dtds 2+ γ + mω0s =dtErzwungene Schwingung=0RückstellkraftF(t)F0freie Schwingung,homog. Differentialgleichungsin( ω t)im Allg. inhomog. Dgl. mit(äußerer) KraftEinfachster Fall:periodisch treibende Kraftω i.a. verschieden von ω 0Beispiel:„Spezielle Lösung“der inhomog. Dgl.s( t)= A(ω)sin(ω t −ϕ)


m2d s2dtds 2+ γ + mω0s =dtReibung RückstellkraftF0sin( ω t)periodischtreibende KrafterzwungeneSchwingungResonanzs(t)= A(ω)sin(ω t −ϕ)A(ω)=2 2 2( ω −ω) + ( 2δω) 20F0A(ω)ω 0γ kleinω ist Frequenz der treibendenKraft, daher erzwungeneSchwingung.Resonanz („Mit-Tönen“) heißt,dass bei der Anregung die„Eigenfrequenz“ getroffen wurde.γ großω


Fourier-TheoremFouriersches Theorem:Jede beliebige periodischeFunktion s(t) läßt sich in eineSummevon Sinus- und Cosinus-Funktionenzerlegen:s(t)=∑ ∞n=0ancos( nωt)+bnsin( nωt)1768-1830


Fourier-Zerlegung EKGFouriersches Theorem:Jede beliebige periodischeFunktion s(t) läßt sich in eineSummevon Sinus- und Cosinus-Funktionenzerlegen:s(t)=∑ ∞n=0ancos( nωt)+bnsin( nωt)1768-1830


Ton, Klang, Geräusch, KnallTon:harmonische SchwingungLinienspektrumKlang:anharmonische SchwingungGrundton+HarmonischeLinienspektrumGeräusch:Überlagerung von vielenWellen aus großem Frequenzbereichkontinuierliches SpektrumKnall:zeitlich gedämpftes Geräuschkontinuierliches SpektrumSignal in Zeitdomäne(Amplitudenfunktion)Signal in Frequenzdomäne(Spektrum)


SchallwahrnehmungGeigegespielterGrundtonObertöneMetall. Flöte


6.2 aus gkg … pharm. Prüf.6.2 Wellen6.2.1 Ausbreitung: Zusammenhang von Ausbreitungsgeschwindigkeit,Frequenz und Wellenlänge; Abhängigkeit dieser Größen vomMedium; Definition der Wellenzahl; Ausbreitungsgeschwindigkeitelektromagnetischer Wellen im Vakuum (s.a. 5.1.2)6.2.2 Darstellung: Raum- und Zeitdarstellung von sinusförmigen Wellen6.2.3 Schwingungsformen: Transversale und longitudinale Wellen(schematisch); Beispiele (elektromagnetische Wellen, Schallwellen);Lichtpolarisation (s.a. 5.4.1)6.2.4 Interferenz: Huygens’sches Prinzip; Überlagerung zweierWellenzüge, Voraussetzung für vollständige Auslöschung;Grundzüge der Interferenz am optischen Strichgitter (s.a. 5.3.5)


WellentypenPeriodendauerTransversalwelleLongitudinalwelleWellenlänge


Periodendaueru( x,t)= u0 sin( kx −ωt)2π1T = =ω νPeriodendauer2πλ =kWellenlängeWellengeschwindigkeitmath. Form einer Welleλ ωc = ν λ = =T kAusbreitungsgeschwindigkeitder WelleAusbreitungsgeschwindigkeit cAllgemein:ccPhaseGruppeω=kdω=dkDispersionWellenlänge


Wellen-BeispieleFederGas imRohrSeil


Reflexion, Brechung, InterferenzReflexion: 'α 1 α 1 ‘Brechung:α =sinα1sinα1α 12=cc12Medium 1 mit c 1α 2Medium 2 mit c 2Interferenz:VerstärkungAuslöschungHuygens-Fresnelsches Prinzip:Der Schwingungszustand eines Punktes im Wellenfeld ist gegebendurch die Überlagerung sämtlicher Elementarwellen in diesem Punkt


Doppler-EffektBetrachte eine im schwingungsfähigen Medium bewegte Quelle:Hinter der Quelle:größere Wellenlänged.h. kleinere FrequenzVor der Quelle:kleinere Wellenlänged.h. größere FrequenzDemonstrationmit WasserwellenChristian Doppler 1803-1853


Doppler-Effekt 2Bewegter EmpfängerBewegte Quelle


Weitere StichpunkteFermatsches Prinzip:Licht nimmt den schnellsten Weg (nicht den kürzesten!)=> Erklärung der DispersionStehende Wellen:- insb. bei Reflexion an senkrechter Begrenzung- Interferenz zwischen einlaufender und reflektierter Welle- Knoten an geschlossenem Ende, Bauch an offenem EndePolarisation:- Nur bei Transversalwellen!- Lineare Polarisation, zirkulare (elliptische) Polarisation


AkustikSchallwellen: in Gasen Longitudinalwellen (Kompression und Verdünnung)c=κRTM molκ: Adiabatenkoeffizient = 7/5 für O 2 und N 2R: Gaskonstante = 8.31 J/(mol K)T: Gastemperatur (typ. 300 K)M mol : molare Masse = 29 g/mol für Luftc = 347 m/s für LuftFestkörper(20°C)c in m/sFlüssigkeiten(20°C)c in m/sGase(0°C)c in m/sAluminium 6260 Wasser 1483 Helium 965Eisen 5860 Aceton 1192 CO 2259Gummi 1040 Glycerin 1923 Luft 331Akustische Wellen zeigen keine Dispersion.


HörwahrnehmungHörschwelleSchallintensitätAudiogrammWeber-Fechnersches Gesetz:Die Empfindungsstärke ist proportional demLogarithmus der ReizstärkeDer Schallpegel L steigt logarithmisch mit derSchallintensität I (bzw. dem Schalldruck p)I pL = 10log = 20log Einheit dB (Dezibel)I p00MusikbereichSprachbereichHörbereich: 16 Hz – 20.000 Hz


Weber-FechnerWeber-Fechnersches Gesetz:Die Empfindungsstärke ist proportional demLogarithmus der ReizstärkeIL = 10log =I020logpp0Schallintensität (Anzahl von Taschenuhren)


Ultraschall-AnwendungFolgende Welleneigenschaften werden ausgenutzt:• stoffspezifisches AbsorptionsvermögenIntensitätsänderung• stoffspezifische Ausbreitungsgeschwindigkeitstoffspezifische Laufzeit der Impulse• Änderung des Wellenwiderstandsf=20 kHz – 1 GHzReflexionLaufzeit des reflektierten Signals entspricht der Tiefe derGrenzschicht• DopplereffektBestimmung von Strömungsgeschwindigkeiten


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