Harmonisches Potential - Nadirpoint.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Lösung der Schrödinger- Gleichung für ein HarmonischesPotential.Gegeben ist die Schrödinger Gleichung in stationärer Form:2h− ψ ′′ + E 2 mψpot=EψEs soll ein Harmonischer Oszillator vorliegen:⇒⇒2h− ψ ′′ +2m1 E pot= kx21222kx ψ = Eψ22E− kxψ ′ + m ψ = 02hEine Variablentransformation wird durchgeführt:⇒⎛ E x ⎞ψ ′ +⎜⎟ψ⎝ h h ⎠22m− km ⎟ =2 22( ε − q ) = 0φ′ + φLösung durch den Ansatz nach „Allgemeine, homogene, lineareDifferentialgleichung 2. Ordnung“. Die CharakteristischeGleichung:22λ + ( ε − q ) = 0⇒*⇒λ022( − )( q −ε) = ± −1;2= ± 1 ε qa ± ib = 0 ± i qSchwingungsfähig dann, wenn gilt:**2− ε⇒q2− ε >0* Diese „Missachtung“ der Umformungsregel, respektive „Erzwingung“ einer komplexen Lösung, bewirkt das„Erzeugen“ eines kontinuierlichen Spektrums. Die Lösung der Schrödinger- Gleichung und Ziel vorliegenderBerechnungen ist die Ermittlung des diskreten Spektrums. Dies verlangt im exakten Sinne „q 2 < ε“ (**) welches erfülltist bei korrekter Umformung, jedoch als restriktivere Annahme im Folgenden „q 2

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“2q> εLiegt diese Bedingung vor, ist das System schwingungsfähig. Füreine noch restriktivere Annahme,2q>> εvereinfacht sich die Differentialgleichung:⇒2( ε − q ) = 0φ′ + φ2φ′ − q φ = 0Die Charakteristische Gleichung:⇒⇒2λ − qλ2= 021;2= ± qλ = + q1λ = −q2Das Ergebnis der Charakteristischen Gleichung ergibt diesmal denFall:( λ 1λ ) ∈ R≠ 2Die partikulären Lösungen daher:φ = e1φ = e2+ qx−qxKontrolle der Lösung:⇒φ = e1φ = e2+ qxφ′′−−qx→ φ′= + qe2q φ1→ φ′= −qe=1+ qxq e−qx2→ φ′′= + q e1→ φ′′= + q1− q e2 + qx 2 + qx0 →2 −qx2 −qxq e− q ee+ qx2 −qx= 0= 0If question:2B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Die Lösungen sind exakt. Zu sehen ist, dass die Wellenfunktion nurdann gegen einen konkreten Wert konvergiert, wenn „ e−∞ “ gilt, sowird „ φ 1“ und „ φ 2“ sinnvoll zusammen gefasst und dieTransformation vollendet.⇒+ qx−qx( x) e ( x) = eφ 1 φ= 2φ2q−2( q) = eEs wird ein „Formfaktor“ „H“ eingeführt, um die nun vorliegendenormierte Normalverteilung „ φ ( q)“ zu präzisieren:⇒⇒⇒⇒⇒φ′′φ′′φ′2qφ2q−2( q) = H( q) e−−−( q) H′22( q) e qH ( q) e H′2= − = ( q) e − qφ( q)2q2q2q2q−−( q) H ′′2( q) e qH′2= − ( q) e −φ( q) − qφ( q)φ ′′′2q2q−−−−( ) ′′2( ) ′22= − ( ) − ( ) − ′2q H q e qH q e H q e q H ( q) e − qH( q)2q2q−−−−−2222 22( q) = H ′′ ( q) e − qH′( q) e − H( q) e − qH′( q) e + q H( q) eφ′′2q−−−22 22( q) = H ′′ ( q) e − 2qH′( q) e + ( q −1) H( q) e2q2q2q⎡⎢⎢⎣2q2q2qe2q−22q⎤⎥⎥⎦Vorliegende Differentiale werden in die ursprüngliche DGLeingesetzt:⇒⇒⇒H ′′2q2q2( ε − q ) = 0φ ′′ + φ−−−−22 2222( q) e − 2qH′( q) e + ( q −1) H( q) e + ( ε − q ) H( q) e = 022( q) − 2qH′( q) + ( q −1) H( q) + ( ε − q ) H( ) = 0H ′′ q22( q) − 2qH′( q) + q H( q) − H( q) + εH( q) − q H( ) = 0H ′′ q2q2qIf question:3B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“⇒( q) − 2 qH′( q) + ( ε −1) H( ) = 0H ′′ qDie nun ermittelte Differentialgleichung ist als die HermitescheDifferentialgleichung bekannt. Für die Funktion „H“ stehen nun dieBerechnungsgrundlagen der Hermiteschen Polynome zurVerfügung. Für H(q) existiert eine unendliche Potenzreihe:⇒⇒H( q ) = ∑( q ) = ∑′kc k qH kc q k −1k k( q ) = k ( k −1)′′∑H c q k −2kkkVorliegende Differentiale werden in die Hermitesche DGLeingesetzt:⇒⇒⇒⇒∑kk( q) − 2 qH′( q) + ( ε −1) H( ) = 0H ′′ qk −2k −1k( k −1) c q − 2qkc q + ( ε −1) c q = 0∑kk∑kk∑k −2k −1k[ k( k −1) c q − 2qkcq + ( ε −1)c q ] = 0kkkkk[( k + 2)( k + 1) c2q − 2kcq + ( ε −1)c q ] = 0∑ kk +[( k + 2)( k + 1) c2 − ( 2k+ 1−ε ) c ] = 0k∑ qkk +kkkkkkEine Rekursionsformel für die Berechnung der Koeffizienten istextrahierbar:⇒( k 2)( k + 1) c2 − ( 2k+ 1−ε ) c = 0+k + kck + 2=2k+ 1−εc( k + 2)( k + 1) kFür die spätere Normierung der Wellenfunktion ist es nötig, dassein endliches Polynom vorliegt, daher muss die obige Rekursionabbrechen, bedeutet konkret:If question:4B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“⇒⇒c k +2= 02k+ 1−ε( k + 2)( k + 1)c kε = 2 k +1= 0Die Abbruchbedingung ist dann erfüllt, wenn der Wert „ε“ eineungerade positive Zahl darstellt. Daher gilt:ε = 2 n +1 mit n ∈ N0Für „ε“ war außerdem festgelegt worden:ε =2mhE2Rücktransformiert von:⇒⇒2( ε − q ) = 0φ′ + φ2h ⎛ 1 2 ⎞ψ ′ + ⎜ E − kx ⎟ψ= 02m⎝ 2 ⎠ε =EDie Energie der ersten Potentialstufe ( 1 / 2 - Welle von ω n = ω 0 = ω)definiert durch (Begründung folgend):⇒⇒ε =2E nhω22 n + 1 =hωE nE n⎛ 1 ⎞= hω⎜n+ ⎟⎝ 2 ⎠Damit ist die Berechnung der Oszillatorenenergien beendet, wobeifür diese Darstellung noch „ω“ zu ermitteln wäre.If question:5B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Der noch gebrauchte Wert „ω“ kann einfach über dieBewegungsdifferentialgleichung berechnet werden. Für dieEnergien gilt dann:⇒⇒⇒EEEkinpot1= mx′21 2= kx2+ Ekin pot=2E1 2 1 2m x′+ kx = E2 2kx′ + x = 0mDie Charakteristische dieser Bewegungsdifferentialgleichung:2 kλ + m= 0⇒⇒λ 1;2= ±−a ± ib = 0 ± ikmkmSchwingungsfähig dann, wenn gilt:km> 0Da diese Bedingung uneingeschränkt gilt (Die Werte „k“ und „m“sind intrinsisch immer positiv) ist das System schwingungsfähig:⇒⎡ω = b⎢⎣Nmkg=kgm2s mkg=12s1⎤= ⎥s ⎦ω =kmIf question:6B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Für eine geänderte Annahme der kinetischen Energie:EEkinpot21 p=2 m1= kx2Ergibt sich folgendes nichtrelativistisches Ergebnis:ω =kpc⎡⎢⎣2Nm 1 1⎤= =2 2 ⎥mNs s s ⎦Für das vorliegende harmonische Potential ergibt sich damit eineneue Schreibweise⇒⇒⇒⇒⇒⇒If question:E pot2ω=ωkcp2k = m =2h− ψ ′′ + E 2 m=12m7=kmp 2ωcψpot=2 2ω x =2h ⎛ 1 2− ψ ′′ + ⎜ mωx2m⎝ 22h ⎛ 1 p 2− ψ ′′ + ⎜ ω x2m⎝ 2 c1222Eψp 2ω xc2⎞− E ⎟ψ= 0⎠⎞− E ⎟ψ= 0⎠2 2⎛ 2mm ω 2 ⎞ψ ′′ +⎜ E − x 022⎟ψ=⎝ h h ⎠⎛ 2mm p 2 2 ⎞ψ ′′ + ⎜ E − ω x = 02 2⎟ψ⎝ h h c ⎠2 22 ⎛ 2mm ω 2 ⎞λ +⎜ E − x 022⎟ =⎝ h h ⎠2 ⎛ 2mm p 2 2 ⎞λ + ⎜ E − ω x = 02 2⎟⎝ h h c ⎠B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“⇒⇒a ± ib = 0 ± ia ± ib = 0 ± i2mωx2m ω2hm2h22x2p 2ω xc2m− E2h2− 2E> 02m− E2h⇒ω >ω >E2mx2cE22px⎡> 0⎢⎣⎡> 0⎢⎢⎣2pωxJkgm2JmsNsm22=− 2cE> 0=Nkgm=2Nm2Nm s2kgm2s kgm=12s=1⎤= ⎥s ⎥⎦12s1⎤= ⎥s ⎦Beide Bedingungen sind nur erfüllt, wenn „E >! 0“. Das System istdann schwingungsfähig. Daher muss gelten:⇒⇒EE n⎛ 1 ⎞= hω⎜n+ ⎟⎝ 2 ⎠1= E = hω20 >hω > 00Da dies immer erfüllt ist, schwingt das System sicher. Der Term12„ n + “ ist zwingend notwendig. Die Nullstufenenergie „ n = 0 “ istimmer höher als das Minimum des Potentials.Die Lösungen sind exakt, jedoch muss noch überprüft werden:2q−+∞C ∫ψψdx−∞= 12Wobei hier φ ( q) = H( q) e hinreichend ist.+∞C ∫φφdx−∞= 1If question:8B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“⇔⇒CC 0 =π = 11π• „n = 1“:⇔⇒4C+∞∫−∞qqe2−q+∞2dq = 4C∫ q e−∞2 C π = 11 1 1C1 = = C2 π 22−q0dq = 1• „n = 3“:⇔⇒C+∞∫−∞233−q( 8q−12q)( 8q−12q) e dq = 148 C π = 11 1C3 = =48 π148C0• „n = 5“:⇔⇒C+∞∫−∞25353−q( 32q−160q+ 120q)( 32q−160q+ 120q) e dq = 13840 C π = 11 1C5 = =3840 π13840C0• „n ∈ N 0 “:If question:C1=n2 n!1n=π101Cn2 n!0B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Sowie nichtrelativistische Zusammenhänge:⇒XYct = x( x;ω) = φ ( x q0)n⎛ ω ⎞cos⎜x ⎟⎝ c ⎠ω⎜⎝ c⎛ ⎞( x;ω) = −φ( x q ) sin x ⎟⎠n0⇒Wobei real gelten muss:XYc cω = 2 π =λ λ( x) = φ ( x q0)n⎛ x ⎞cos⎜⎟⎝ λ ⎠x⎜⎝ λ⎛ ⎞( x) = −φ( x q ) sin ⎟⎠n0⇒⇒⇒⇒⇒hEm1 λ[ m] ≤ [ m]→ λ q 0 ≥ 2q 20=hωm=xqλ≤ =212Eq ≥ 2 t = 2ωthc c=ω 2q h 1 x ⎡ m kgm⎤E ≤ = hmω⎢Jkg = m = Nm = J22 t 2 t⎥⎣ s s⎦hEp x ⎡ m ⎤ 1E ≤ Ns Nm J = pv =2 t ⎢ = =s ⎥⎣⎦ 2E ≤ E kin↔E v ≤p 2=1212xtmvhE2Für ein „ λ q 0 >> 2 “ kann vereinfacht werden:⎛ x ⎞cos⎜⎟ = cos⎝ λ ⎠⎛ x ⎞⎜ ⎟⎝ λ ⎠xλ( ωt) ≈ 1 sin = sin( ωt) ≈ = ωtIf question:13B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“⇒⇒XYY( x) = φ ( x q0)nx( x) = −φn( x q )0 λ↔XY( q) = φn( q)( q;ω;t) = −φ( q) ωt( x) ⋅λ = −X( x) ⋅ x ↔ Y( q;ω;t) = −X( q) ωtnDiese parametrische Funktion kann nun dargestellt werden.Die ersten sechs Hermiteschen Polynome grafisch dargestellt:Transformation der Funktionen „ φ ( ) ↔ ( x)“ zur Verteilung „ φ ( p)“:1x φ2⇒If question:14B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Die ersten sechs Verteilungen „ φ ( q)“ grafisch dargestellt:nIf question:15B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Die Funktionen „X(x)“ und „X(x)“ in grafischer Darstellung:If question:16B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Die Orbitale aus der parametrischen Funktion „ Y( x)( x) ⋅ x⋅λ = −X“:If question:17B_Zindler@t-online.de

Björnstjerne ZindlerLösungen der Schrödinger- Gleichung„π- Oszillator“Wirkung des Verhältnisses „ λ q0“ auf das Orbital mit „n = 5“:If question:18B_Zindler@t-online.de