§13 Kreis und Gerade

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§13 Kreis und Gerade

§13 Schnittpunkte von Geraden Seite 1 von 5§13 Kreis und GeradeAus der klassischen Euklidischen Geometrie wissen wir, dass eine Gerade einen Kreis in keinem, genaueinem oder in genau zwei Punkten schneiden kann.Das deutet darauf hin, dass in der Analytischen Geometrie die Berechnung der Schnittpunkte von Kreisund Gerade über eine quadratische Gleichung erfolgt, weil eine quadratische Gleichung genau diesesLösungsverhalten hat.Der Beweis des folgenden Satzes bestätigt diese Vermutung.Schnittpunktsatz für Kreis und GeradeGegeben sei ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M = (x M ; y M ) und dem Radius r sowie eine Geradeg durch die Gleichung ax + by = c.Dann haben k und g entweder keinen oder genau einen oder genau zwei Punkte gemeinsam.Beweis:Die Schnittmenge k ∩ g wird beschrieben durch das Gleichungssystem∧ [ ax + by = c ]⎡(x⎣− x M ) 2 + (y − y M ) 2 = r 2 ⎤⎦Wir dürfen o.B.d.A. davon ausgehen, dass der Koeffizient b von 0 verschieden ist. Dann gilt:(1) ax + by = c ⇔ y = c − axb(2) (x − x M ) 2 + (y − y M ) 2 = r 2⎞(1) → (2) x − x M− y⎝⎜Mb ⎠⎟ = r 2 (3)Gleichung (3) ist tatsächlich eine quadratische Gleichung in der Variablen x!( ) 2 ⎛+ c − ax2DefinitionGegeben sei ein Kreis k(M; r).Eine Gerade heißt- Passante des Kreises, wenn sie mit k(M; r) keinen Punkt- Tangente des Kreises, wenn sie mit k(M; r) genau einen Punkt- Sekante des Kreises, wenn sie mit k(M; r) genau zwei Punktegemeinsam hat.Eine Gerade heißt Zentrale, wenn sie durch den Mittelpunkt desKreises verläuft.tzspOffensichtlich unterscheidet der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden zwischen den Geradentypen.gKreis-Gerade-AbstandstheoremGegeben sei ein Kreis k(M; r).Eine Gerade g ist genau dann eine- Passante des Kreises, wenn d(M, g) > r- Tangente des Kreises, wenn d(M, g) = r- Sekante des Kreises, wenn d(M, g) < rgilt.Eine Gerade ist genau dann eine Zentrale des Kreises, wenn d(M, g) = 0 gilt.M


§13 Schnittpunkte von Geraden Seite 2 von 5Der Beweis dieses Theorems ist algebraisch ein wenig aufwändig, von der Gedankenführung her jedochrelativ einfach:Sei ∆ die Diskriminante der quadratischen Gleichung (3) aus dem Beweis des Schnittpunktsatzes.Dann ist g offenbar genau dann eine- Passante des Kreises, wenn ∆ < 0- Tangente des Kreises, wenn ∆ = 0- Sekante des Kreises, wenn ∆ > 0gilt.Es kann gezeigt werden (Übungsaufgabe für den Leser), dass b 2 Δ = a 2 + b 2gilt 1 .Weil die Faktoren b 2 und a 2 + b 2Vorzeichen wie r 2 − d( M,g) 2 . Damit folgt:g ist Passante ⇔ Δ < 0 ⇔ r 2 − d M,gDie beiden anderen Fälle werden analog erledigt.( ( ) 2)( ) r 2 − d M,g( ) garantiert positiv sind, hat die Diskriminante ∆ dasselbeDie Aussage über die Zentrale ist trivial, weil ja M ∈g ⇔ d M,g( ) 2 < 0 ⇔ r 2 < d( M,g) 2 ⇔ d( M,g) > r( ) = 0 gilt (vgl. Aufgabe 12.4).Aus dem soeben bewiesenen Theorem folgt nebenbei, dass eine Zentrale immer eine Sekante ist unddeswegen den Kreis immer in zwei Punkten schneidet.Abschließend wollen wir uns nur noch mit der interessantesten Lagebeziehung beschäftigen; diese liegtvor, wenn eine Gerade einen Kreis nur in einem Punkt berührt.Für die Formulierung und den Beweis des aus der Euklidischen Geometrie bekannten Tangententheoremsist es hilfreich, zuvor die folgende Sprechweise einzuführen.DefinitionGegeben sei ein Kreis k(M, r) und ein vom Mittelpunkt M verschiedenerPunkt B.Dann wird die Zentrale MB, die durch den Mittelpunkt M und denPunkt B verläuft, zu B gehörende Zentrale genannt.MBTangententheoremGegeben sei ein Kreis k(M, r) und ein Punkt B auf dem Kreis.Eine Gerade t, die durch B verläuft ist, genau dann eine Tangente desKreises, wenn t orthogonal zu der zu B gehörenden Zentrale MB ist.Beweis:t habe die Gleichung ax + by = c (1)( ) und B = ( x B ; y B ) , so hat MB die Gleichung( x B − x M )( y − y M ) = ( y B − y M )( x − x M )Gilt M = x M ; y M⇔ ( y B − y M )x − ( x B − x M )y = ( y B − y M )x M − ( x B − x M )y M (2)Die Gerade t ist nach dem Orthogonalitätskriterium genau dann orthogonal zur Zentralen MB, wennFolgendes gilt:( ) + b( y B − y M ) = 0 (3)a x B − x M1Der Leser mag sich fragen, woher diese Gleichung stammt: Sie ergibt sich bei der Suche nach einer Äquivalenzumformungskette,die die Ungleichung ∆ < 0 in die Ungleichung d(M, g) > r überführt.MBt


§13 Schnittpunkte von Geraden Seite 3 von 5Die Gerade t ist nach dem Kreis-Gerade-Abstandstheorem genau dann eine Tangente des Kreises,wenn der Abstand von M zu t mit dem Radius des Kreises übereinstimmt:d( M,t) = r ⇔ d( M,t) = d( M,B) ⇔ ax M + by M − c = (xa 2 + b 2 B − x M ) 2 + (y B − y M ) 2⇔ ax M + by M − c = ( x B − x M ) 2 + ( y B − y M ) 2 ⋅ a 2 + b 2⇔ ( ax M + by M − c) 2 = (( x B − x M ) 2 + ( y B − y M ) 2)⋅ ( a 2 + b 2) (4)Eine kurze Rechnung zeigt, dass die Gleichung (4) zur Gleichung (3) äquivalent ist. Damit ist dasTheorem bewiesen.Übungen zu §13Übung 13.1Gegeben ist jeweils ein Kreis k(M; r) und eine Gerade g.Untersuche mit Hilfe des Abstands d(M, g), den der Kreismittelpunkt von der Geraden hat, welche Lagedie Gerade g bzgl. des Kreises einnimmt.Bestimme die Koordinaten aller auftretenden Schnittpunkte.(a) M = (–3; 1); r = 52 ; g: 2x + 3y = –3(b) M = (5; 2); r = 34 ; g: x + 4y = 30(c) M = (–1; 4); r = 20 ; g: –2x + y = 16(d) M = (7; –1); r = 26 ; g: 3x + 4y = –11Übung 13.2Der Punkt B liegt auf dem Kreis k(M; r). Bestimme die Gleichung der Tangente, die den Kreis imPunkt B berührt. Welchen Abstand hat der Punkt M von der Tangente?(a) M = (1; 5); B = (7; –4)(b) M = (9; 3); B = (–5; 3)Übung 13.3Gegeben ist der Kreis k(M; r) und der Punkt P. Bestimme die Gleichungen der Tangenten, die denKreis in den Punkten berühren, in denen die Zentrale MP den Kreis schneidet.(a) M = (–4; –7); r = 41 ; P = (11; 5)(b) M = (2; –6); r = 13 ; P = (–8; 9)Übung 13.4Gegeben ist der Kreis mit dem Mittelpunkt M = (–6; 1) und dem Radius r = 53 sowie die Gerade sdurch die Gleichung 9x + 5y = 4 .(a) Zeige, dass s den Kreis in zwei Punkten schneidet.(b) Bestimme die Länge der Sehne, die der Kreis aus der Geraden s herausschneidet.(c) Ermittle den Schnittpunkt der Tangenten, die den Kreis in den Punkten berühren, in denen dieSekante s den Kreis schneidet.


§13 Schnittpunkte von Geraden Seite 4 von 5Übung 13.5Zeige, dass der Punkt P außerhalb des Kreises k(M; r) liegt. Bestimme alle Tangenten des Kreises, diedurch P verlaufen. Berechne die Koordinaten der zugehörigen Berührpunkte.Hinweis:Ermittle die Gleichung der Geraden g, die mit der Steigung m durch den Punkt P verläuft (Punktsteigungsgleichung).Bestimme m dann so, dass diese Gerade mit dem Kreis nur einen Punkt gemeinsamhat.(a) M = (0, 0); r = 5; P = (25; 25)(b) M = (0; 0); r = 2; P = (2; –4)(c)* M = (3; –8); r = 29 ; P = (0; –1)TangentengleichungenAnhang zu §13: Formeln für die Tangentengleichung( ) .Gegeben sei ein Kreis k(M; r) und ein Punkt B = x B ; y BDann hat die Tangente, die den Kreis k(M; r) im Punkt B berührt, die Gleichung( )( x − x B ) + ( y B − y M )( y − y B ) = 0(1) x B − x Mbzw. dazu äquivalent( )( x − x M ) + ( y B − y M )( y − y M ) = r 2(2) x B − x MBeweis:Die zu B gehörende Zentrale MB hat die Gleichung( x B − x M )( y − y M ) = ( y B − y M )( x − x M )⇔ ( y B − y M )x − ( x B − x M )y = ( y B − y M )x M − ( x B − x M )y MOffenbar verläuft die Gerade t, die durch die Gleichung( x B − x M )x + ( y B − y M )y = ( x B − x M )x B + ( y B − y M )y Bgegeben ist, durch B. Wegen( y B − y M )( x B − x M ) + ( −( x B − x M ))( y B − y M ) = 0ist t orthogonal zu MB.Da es nur eine Gerade gibt, die durch B verläuft und orthogonal zu MB ist, ist t aufgrund desTangententheorems die Tangente, die den Kreis k(M; r) im Punkt B berührt.Die Gleichung von t lässt sich direkt in die in Gleichung (1) umformen.Weiterhin gilt( x B − x M )( x − x B ) + ( y B − y M )( y − y B ) = 0⇔ ( x B − x M )( x − x M + x M − x B ) + ( y B − y M )( y − y M + y M − y B ) = 0⇔ ( x B − x M )( x − x M ) + ( x B − x M )( x M − x B ) + ( y B − y M )( y − y M ) + ( y B − y M )( y M − y B ) = 0⇔⇔⇔( x B − x M )( x − x M ) − ( x B − x M ) 2 + ( y B − y M )( y − y M ) − ( y B − y M ) 2 = 0( x B − x M )( x − x M ) + ( y B − y M )( y − y M ) = ( x B − x M ) 2 + ( y B − y M ) 2( x B − x M )( x − x M ) + ( y B − y M )( y − y M ) = r 2


§13 Schnittpunkte von Geraden Seite 5 von 5Die zweite Gleichung hat den Vorteil der großen Ähnlichkeit mit der Kreisgleichung. Man kann sichdie Tangentengleichung dadurch entstanden denken, dass in der Kreisgleichung⎛ ⎞x− x⎝ M ⎠ x − x M↑⎛⎝⎜( ) + y↑⎞− y M⎠⎟ y − y M( ) = r 2das Variablenpaar (x; y) in dem linken Faktor durch die Berührpunktkoordinaten ersetzt wird.Übungen zum Anhang von §13Übung 13.6Überprüfe die in den Aufgaben 13.2, 13.3 und 13.4 ermittelten Tangentengleichungen mit Hilfe derFormel für die Tangentengleichung.Übung 13.7Löse die Aufgabe 13.5 durch die Berechnung der Berührpunktkoordinaten. Dazu ist zu beachten:( ) müssen die Kreisglei-* Die Koordinaten eines jeden geeigneten Berührpunkts B = x B ; y Bchung erfüllen.* Außerdem müssen die Koordinaten des gegebenen Punktes P die Tangentengleichung für jedengeeigneten Berührpunkt erfüllen.Übung 13.8*( ) und k (( 15; −3), 153) . Bestimme die gemeinsamen Tangen-Gegeben sind die Kreise k ( −3;1), 17ten dieser beiden Kreise.

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