1 4. Das Zwei-Körper-Problem 4.1 Lagrange-Gleichungen, Integrale ...

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1 4. Das Zwei-Körper-Problem 4.1 Lagrange-Gleichungen, Integrale ...

Der erste Term auf der linken Seite beschreibt in dieser Analogie die kinetische Energie (u-

Auslenkung des Schwingers, ϕ-Zeit, Masse gleich Eins) und der zweite Term die potentielle

Energie (Federkonstante gleich Eins, Auslenkungen um die Ruhelage 1/p . In der von uns

gewählten Interpretation ist der Term auf der rechten Seite von (H4) die Energie EHO des

2

fiktiven harmonischen Oszillators, die sich über EHO

= A / 2 durch die Amplitude A

4

2

2μE

1 1 2μE

2 1 2μE

Lz

1 2E

Lz

A : = + = 1+

p = 1+

= 1+

2 2

2

2 2 4 2

2 3 2

L p p L p L γ μ M p γ μ M

z

z

z

ε

=

p

2

2E

L z

der harmonischen Schwingung ausdrücken lässt. Dabei ist ε : = 1+

.

2 3 2

γ μ M

1

Die gesuchte Lösung u(ϕ) lautet demzufolge u( ) A cos( 0 )

p

ϕ − ϕ = − ϕ , d.h. wir erhalten

2

2

p

Lz

2E

Lz

r(

ϕ ) =

, p = , ε = 1+

. (H5)

2

2 3 2

1+

εcos(

ϕ − ϕ ) γμ

M γ μ M

0

(H5) ist die Darstellung der Kegelschnitte in Polarkoordinaten. Der Parameter ε bestimmt die

Exzentrizität der Bahnkurven in Abhängigkeit von Energie und Drehimpuls der Bewegung.

Fallunterscheidung:

(i) E < 0 ( ε < 1) → finite Bewegung:

Bahnkurven sind Ellipsen mit M in einem der Brennpunkte. Da

p p

zwischen +1 und -1 liegen muss, gilt r min = < r < = rmax

.

1+

ε 1−

ε

(ii) E > 0 ( ε > 1) → infinite Bewegung:

ϕ − ϕ ) =

cos( 0




p ⎞ 1

−1⎟

r ⎠ ε

Die Bahnkurven der infiniten Bewegung sind Hyperbeln. Das fiktive Teilchen mit der Masse

μ nähert sich aus dem Unendlichen auf einer für hinreichend große r annähernd geraden Bahn

kommend dem Zentrum des Gravitationsfeldes, wird abgelenkt ( → gestreut) und entfernt

sich wieder Richtung Unendlich. Der Streuwinkel

Drehimpuls.

1

θ = 2 arcsin ist abhängig von Energie und

ε

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