Wiederholungsklausur KT SS 03 - TU Ilmenau

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TU Ilmenau, Fakultät IAInstitut TTI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente AlgorithmenProf. Dr. (USA) M. DietzfelbingerKKlausur Komplexitätstheorie SS 035. Juli 2003NICHT MIT BLEISTIFT ODER ROTSTIFT SCHREIBEN!Heften Sie die Blätter bei Abgabe zusammen, und tragen Sie auf jedem BlattIhren Namen, Vornamen, Studiennummer und Matrikel ein. Es sind keineHilfsmittel, insbesondere Taschenrechner oder Mobiltelefone, zugelassen.Name, Vorname:Studiennummer und Matrikel:Codeabgegeben:2 Aufgabenblätter. . . eigene BlätterDatum, UnterschriftEinsichtnahmeAufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Ges.erreichbare Punktzahl 30 14 12 10 10 12 12 100erreichte PunktzahlAufgabe 1[30 Punkte]Bitte kreuzen Sie für jede der folgenden 10 Fragen entweder JA“ oder NEIN“ in jeder Zeile an.” ”Bewertung: Ist C die Anzahl der richtigen Antworten, so errechnet sich die Anzahl Pder erzielten Punkte aus P := 3 2 ·max{0, C−10}. Insbesondere: Kein Kreuz, kein Punkt.Hinweis: Bisher nur vermutete Aussagen oder unbewiesene Behauptungen sind zu verneinen.(a) Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?JA NEIN[ ] [ ] (log n) 2 + 3 log n ∈ O(n log n)[ ] [ ] log(n 2 ) + 2 √ log n ∈ O(log n)[ ] [ ] e n ∈ Ω(3 n )(b) Welche der folgende Aussagen stimmen bewiesenermaßen für alle Sprachen L und L ′ ?JA NEIN[ ] [ ] Wenn SAT ≤ p L ′ gilt, so auch L ′ ∈ NP.[ ] [ ] Wenn L ′ ≤ p SAT gilt, so auch L ′ ∈ NP.[ ] [ ] Wenn L ≤ p SAT und CLIQUE ≤ p L ′ gilt, so auch L ≤ p L ′ .(c) Welche der folgenden Aussagen sind bewiesenermaßen korrekt?JA NEIN[ ] [ ] SAT ∉ P.[ ] [ ] k-COLORING ∈ P, falls k = 2.[ ] [ ] NON-3-COLORING ∈ NP, wobei NON-3-COLORING = {〈G〉 |G ist ein Graph, der nicht dreifärbbar ist}.


2 Klausur Komplexitätstheorie SS 03(d) Welche der folgenden Aussagen stimmen für alle Probleme A und B mit A ≤ N B?JA NEIN[ ] [ ] Wenn zur Lösung von B Ω(n log n) Schritte benötigt werden, dann werden zurLösung von A auch Ω(n log n) Schritte benötigt.[ ] [ ] Wenn zur Lösung von A Ω(n 3 ) Schritte benötigt werden, dann werden zurLösung von B auch Ω(n 3 ) Schritte benötigt.[ ] [ ] Wenn B einen O(n 2 )-zeitbeschränkten Algorithmus hat, dann hat A ebenfallseinen O(n 2 )-zeitbeschränkten Algorithmus.(e) Der Satz von Ben-Or zieht nach sich, dass. . .JA NEIN[ ] [ ] das Sortieren von n Zahlen Ω(n log n) Schritte auf einer RRAM benötigt.[ ] [ ] man Ω(n log n) Schritte benötigt, um mit einer RRAM in einer Menge von nPunkten ein Punktepaar mit minimalem Abstand zu finden.[ ] [ ] k-COLORING ∉ P für k ≥ 3.(f) Der Satz von Cook sagt aus oder impliziert, dass. . .JA NEIN[ ] [ ] mindestens Ω(n log n) Schritte benötigt werden, um ELEMENT UNIQUENESS zuentscheiden.[ ] [ ] sich jede beliebige Sprache L in polynomieller Zeit auf SAT reduzieren lässt.[ ] [ ] SAT ∉ P, falls P ≠ NP.(g) Aus P = NP folgt, dass. . .JA NEIN[ ] [ ] der Satz von Cook nicht wahr ist.[ ] [ ] der Satz von Ben-Or nicht wahr ist.[ ] [ ] k 1 -COLORING ≤ p k 2 -COLORING für alle k 1 , k 2 ≥ 2.[ ] [ ] P ≠ co -P.[ ] [ ] NP = co -NP.[ ] [ ] SAT = UNSAT, wobei UNSAT = {ϕ | ϕ ist eine unerfüllbare KNF-Formel}.(h) Es ist ein offenes Problem, ob. . .JA NEIN[ ] [ ] es einen Polynomialzeitalgorithmus gibt, der das Binpacking-Problem exakt löst.[ ] [ ] es einen Polynomialzeitalgorithmus gibt, der der das Binpacking-Problem mitGüte 3 approximiert.[ ] [ ] es einen Polynomialzeitalgorithmus gibt, der NON-3-COLORING entscheidet, wobeiNON-3-COLORING = {〈G〉 | G ist ein Graph, der nicht dreifärbbar ist}.(i) Sind folgende Aussagen für alle Sprachen L, ∅ L Σ ∗ , richtig?JA NEIN[ ] [ ] Wenn L ≤ p {11, 10}, dann gilt L ∈ P.[ ] [ ] Wenn L ∉ P, dann gilt {11, 10} ≤ p L.[ ] [ ] L ≤ p ∅.


Klausur Komplexitätstheorie SS 03 3Aufgabe 2 (Definitionen)Geben Sie die Definition der folgenden Konzepte an.Achtung: Keine Charakterisierungen nennen, sondern die ”Original-Definitionen“![14 Punkte](a) L ist NP-vollständig.(b) v(l), v(C), v(ϕ) für ein Literal l, eine Klausel C, eine KNF-Formel ϕ und eine Belegung v.(c) Die Sprache 3-SAT.(d) Die Sprache BINPACKING.(e) co -NP.(f) Die Menge SOL ∗ (x) der optimalen Lösungen zu einer Eingabe x ∈ D eines NPO-ProblemsP = (D, O, SOL, m, goal).Aufgabe 3 (Resultate aus der Vorlesung)[12 Punkte]Geben Sie die Reduktionsfunktion für die Reduktion 3-SAT ≤ p RUCKSACK * an. Sie müssen dieKorrektheit Ihrer Lösung nicht beweisen.Aufgabe 4 (Linearzeitreduktionen mit unteren Schranken)[10 Punkte]Das Problem AREA OF UNION OF RECTANGLES ist wie folgt definiert: Die Eingabe besteht aus nachsenparallelen abgeschlossenen Rechtecken R i = [a i , b i ] × [c i , d i ] ⊂ R 2 , i = 1, . . . , n. Gesucht istdie Fläche, die in der Ebene von diesen Rechtecken überdeckt wird, also die Fläche der VereinigungR 1 ∪ · · · ∪ R n .Zeigen Sie: ε-CLOSENESS ≤ N AREA OF UNION OF RECTANGLES, wobei ε > 0 undε-CLOSENESS := {(x 1 , . . . , x n ) ∈ Seq(R) | mini≠j |x i − x j | < ε}.Stichworte: Algorithmus, Laufzeit, Korrektheit.Aufgabe 5 (Grundlagen)Sei L ∈ NP und f ∈ FP. Zeigen Sie, dass dann gilt:[10 Punkte]L ′ := {x ∈ {0, 1} ∗ | f(x) ∈ L} ∈ NPHinweis: Achten Sie auf eine gute Begründung für die Laufzeitschranke der beschriebenen NTM.


4 Klausur Komplexitätstheorie SS 03Aufgabe 6 (Güte von Approximationsalgorithmen)[12 Punkte]Betrachten Sie den folgenden Algorithmus BEST FIT INCREASING, kurz BFI, für das Binpacking-Problem, wobei die Kapazität der Behälter b sei und die Behälter mit 1, 2, . . . bezeichnet sind:Eingabe: x := (a 1 , . . . , a n ) ∈ Q n , wobei n ≥ 1 und 0 < a i ≤ b für 1 ≤ i ≤ nSortiere die Folge (a 1 , . . . , a n ) aufsteigend. Die so entstandene Folge sei(a ′ 1 , . . . , a′ n)for i := 1, 2, . . . , n doPacke a ′ i in einen maximal beladenen, angefangenen Behälter, der nochgenügend Platz bietet, falls ein solcher existiert; andernfalls packe a ′ i in denersten unbenutzten Behälter j.end forAusgabe: BFI(x) := Anzahl der benutzten BehälterBezeichne opt(x) die Anzahl der benutzten Behälter in einer optimalen Verteilung der Objekteeiner Eingabe x auf die Behälter.Zeigen Sie, dass für alle Eingaben x gilt: BFI(x)opt(x) < 2.Aufgabe 7 (Überführung von Problemvarianten)[12 Punkte]Sei A ein Algorithmus, der zu einem gegebenen Graphen G = (V, E), V = {1, . . . , n}, die Größeeiner größten unabhängigen Knotenmenge berechnet.Geben Sie einen Algorithmus B an, der zu einem gegebenen Graphen G = (V, E) eine möglichstgroße unabhängige Knotenmenge V ′ in G berechnet. B soll A als Unterprogramm benutzen.Dabei soll die Laufzeit von B ohne die Aufrufe von A polynomiell in der Größe von G sein.Begründen Sie (kurz!) die Korrektheit von B.Zur Erinnerung: Eine Knotenmenge V ′ ⊆ V heißt unabhängig in einem Graphen G = (V, E), falls füralle u, v ∈ V ′ gilt: (u, v) ∉ E.Viel Erfolg!

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