Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

1.2. DISKRETE ERGEBNISMENGEN 5• Sind A 1 ,A 2 ,A 3 , ... abzählbar viel Ereignisse, die paarweise unvereinbar sind, so ist∞∑P (∪ ∞ k=1 A k)= P (A k )Es gilt für nicht notwendig unvereinbare Ereignisse:1.2.1 Hilfssatz. Sei P : P(Ω) −→ [0, 1] ein W-Maß. Dann gilt für zwei Mengen A, B ⊂ Ω:Ist A ⊂ Ω, so gilt P (A c )=1− P (A).k=1P (A ∪ B) =P (A)+P (B) − P (A ∩ B)Beweis. Denn sei C := A ∪ B \ (A ∩ B) =A 1 ∪ A 2 ,wobeiA 1 = A \ (A ∩ B) und A 2 = B \ (A ∩ B).Dann ist A ∪ B = C ∪ (A ∩ B) und C ist mit (A ∩ B) unvereinbar. AlsoP (A ∪ B) =P (C)+P (A ∩ B)Aber auch A 1 und A 2 sind miteinander unvereinbar, alsoP (C) =P (A 1 )+P (A 2 )Da A = A 1 ∪ (A ∩ B) und B = A 2 ∪ (A ∩ B), wobei dies Zerlegungen in unvereinbare Ereignissesind, haben wir weiterAlsoP (A) =P (A 1 )+P (A ∩ B), P(B) =P (A 2 )+P (A ∩ B)P (A ∪ B) = P (C)+P (A ∩ B)= P (A 1 )+P (A 2 )+P (A ∩ B)= P (A)+P (B) − P (A ∩ B)Die zweite Behauptung folgt aus A ∪ A c =Ω,wobeiA und A c natürlich miteinander nichtvereinbar sind.□Auf P(Ω) können wir auf folgende Weise ein W-Maß erklären:• Bei endlichem Ω (mit N Elementen) wähle man Zahlen p 1 , ...., p N ≥ 0, so dass p 1 + p 2 +... + p N =1,• Bei abzählbar unendlichem Ω wähle man Zahlen p j ≥ 0, so dass die Reihe ∑ ∞j=1 p j konvergiertund∞∑p j =1j=1