7. Maßzahlen zur Analyse von Verteilungen

7. Maßzahlen zur Analyse von Verteilungen
Häufigkeitsverteilungen und ihre grafischen Aufbereitungen reichen häufig für die Auswertung des
statistischen Materials nicht aus. Aus dem Material werden deshalb charakteristische Werte,
Maßzahlen, herausgearbeitet, die weitergehende Aussagen, Analysen und Vergleiche zulassen.
Wichtige Maßzahlen sind Mittelwerte und Streumaße.
7.1 Mittelwerte
7.1.1. Häufigster Wert
Eine statistische Masse kann gelegentlich dadurch recht gut gekennzeichnet werden, dass man die
Merkmalsausprägung benennt, die am häufigsten in der Verteilung vorkommt. So kann aus der
Tabelle 3.2 auf Seite 17 (Ausgangsbeispiel) abgelesen werden, dass die Merkmalsausprägung 40
fünfzehnmal aufgetreten ist; d. h. die Gruppe der 40-Jährigen ist in der Großhandlung Anton Müller
die größte Altersgruppe.
Die Merkmalsausprägung mit der größten Häufigkeit in einer statistischen Masse
(oder in einer Häufigkeitsverteilung) bezeichnet man als häufigsten Wert.
In der Tabelle 3.3 auf Seite 19 (Mitarbeiter je Abteilung) kann der häufigste Wert als die am stärksten
besetzte Abteilung interpretiert werden (im Beispiel also die Abteilung Verkauf). Bei den Ergebnissen
der Kaufmannsgehilfenprüfung in Tabelle 3.5 auf Seite 19 ist die Note „3” der häufigste Wert.
Bei klassiertem Material genügt es, wenn die Häufigkeit der am dichtesten besetzten Klasse als
häufigster Wert angenommen wird. So ist z. B. in der Aufbereitung des Ausgangsbeispiels die 4.
Klasse am dichtesten besetzt, der häufigste Wert ist 41 (vgl. Tabelle 3.10 auf Seite 23).
Bei bestimmten qualitativen Merkmalen ist der häufigste Wert der einzige sinnvolle Mittelwert. Zur
Verdeutlichung ein Beispiel: Nach einem Fachwirtelehrgang werden die 20 Teilnehmer danach
gefragt, ob ihre Erwartung mehr oder weniger gut oder nicht erfüllt wurde. Antworten:
gut erfüllt – 11,
teilweise erfüllt – 6,
nicht erfüllt – 3.
Häufigster Wert also 11.
7.1.2 Median (zentraler Wert)
Ein weiterer Mittelwert zur Kennzeichnung einer statistischen Masse ist der sog. Median. Er gibt
für Merkmalsausprägungen, die sich sinnvoll in einer Reihe ordnen lassen, den zentralen Wert an.
Der Median ist also in einer Reihe von Merkmalsausprägungen die Ausprägung, die in der Mitte
dieser Reihe liegt; er teilt die Reihe in zwei Hälften, beide Teile enthalten die gleiche Anzahl von
Merkmalsausprägungen.

Zur Verdeutlichung zwei Beispiele:
Die fünf Mitglieder einer Gruppe geben ihr Alter wie folgt an:
Mitglieder
Alter in Jahren:
7. Maßzahlen zur Analyse von Verteilungen
In dieser geordneten Reihe der Altersangaben gibt die Merkmalsausprägung 31 den zentralen Wert
an. Der Wert 31 teilt die Reihe in zwei gleiche Teile.
Die Ergebnisse der Kaufmannsgehilfenprüfung – Großhandel – (vgl. Tabelle 3.5) zeigen in einer
geordneten Reihe folgendes Bild:
Reihenfolge Note
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Es ist unschwer zu erkennen, dass der zentrale Wert zwischen dem 12. und dem 13. Wert liegen muss.
Der zentrale Wert oder Median ist der Wert, der eine geordnete Reihe von
Merkmalsausprägungen in zwei Teile teilt, die jeweils die gleiche Anzahl von
Merkmalsausprägungen enthalten.
Der zentrale Wert wird mit folgender Formel errechnet:
x n + 1
7.1.3 Arithmetisches Mittel
1
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
4
A
25
Das arithmetische Mittel ist der gebräuchlichste Mittelwert, er wird häufig auch als Durchschnitt
bezeichnet.
Zwei Beispiele sollen das Problem verdeutlichen. Für seine 122 Mitarbeiter zahlte der Großhändler
Anton Müller im April 20.. Löhne von insgesamt 262.300,- €; im Durchschnitt verdiente ein
Mitarbeiter
B
30
1
zW = bzw. zW = (xn
2
2
2
C
31
D
50
E
52
Reihenfolge Note
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
+ x n
2
+ 1)
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
6

7.1 Mittelwerte
262.300
122
2.150,- €.
= 2.150
Die fünf Mitglieder einer Gruppe sind 25, 30, 31, 50 und 52 Jahre als. Das Durchschnittsalter (37,6
Jahre) ergibt sich durch folgende Berechnung:
25 + 30 + 31 + 50 + 52
5
= 188
5
= 37,6 Jahre
In diesen Beispielen wurde das sog. einfache arithmetische Mittel (der einfache Durchschnitt)
ermittelt. Das einfache arithmetische Mittel wird errechnet, wenn die einzelnen Merkmalsausprägungen
einer Reihe addiert und die sich ergebende Summe durch die Zahl der Merkmalsausprägungen
(d. h. durch die Gesamtheit) dividiert wird.
Formel für die Errechnung des einfachen arithmetischen Mittels:
x =
n
∑
i=1
N
Das folgende Beispiel zeigt, wie das arithmetische Mittel errechnet wird, wenn einzelne Merkmalsausprägungen
mehrfach auftreten.
Als Grundlage für Vergleiche soll die Durchschnittsnote für das Ergebnis der Kaufmannsgehilfenprüfung
(Industrie) ermittelt werden. Diese Note ergibt sich durch folgende Berechnung:
3 · 1 + 4 · 2 + 11 · 3 + 8 · 4 + 4 · 5 96
= = 3,2
30
30
oder in der Tabelle (vgl. Tabelle 7.1)
Tab. 7.1: Gewogenes arithmetisches Mittel (nach Tab. 3.8)
x i
1
2
3
4
5
6
h i
x i
x i · h i
3 3
4 8
11 33
8 32
4 20
– –
30 96
x = 96
= 3,2
30

7. Maßzahlen zur Analyse von Verteilungen
In diesem Beispiel wurde das sog. gewogene arithmetische Mittel errechnet. Bei der Ermittlung des
gewogenen arithmetischen Mittels werden die Merkmalsausprägungen mit ihren Häufigkeiten
multipliziert, die so gewichteten Ausprägungen werden addiert und das Ergebnis durch die
Gesamtheit der Ausprägungen dividiert.
Formel für die Errechnung des gewogenen arithmetischen Mittels:
x =
n
∑
i=1
(x i · h i )
N
Auch für klassierte Merkmalsausprägungen lässt sich das arithmetische Mittel berechnen. Dazu
gewichtet man die jeweiligen Klassenmitteln mit den Häufigkeiten der Ausprägungen in den
entsprechenden Klassen. Zur Verdeutlichung wird das Ausgangsbeispiel herangezogen (vgl. dazu
Tabelle 3.10).
Tab. 7.2: Gewogenes arithmetisches Mittel bei klassierten Merkmalsausprägungen (nach Tab. 3.10)
Das Durchschnittsalter der Mitarbeiter ist 41,4 Jahre.
i
1
2
3
4
5
6
km i
17,9
25
35
45
55
62,5
Formel für die Errechnung des gewogenen arithmetischen Mittels bei klassiertem Material
h i
n
∑ (kmi · xi )
i=1
x =
N
7
24
18
41
20
12
122
x = 5.050,3 = 41,4
122
Hier zeigt sich ein Problem. Bei Berechnung des Durchschnitts aus dem noch nicht klassierten
Material ergibt sich folgender Wert:
4.695
x = = 38,5.
122
km i · h i
125,3
600
630
1.845
1.100
750
5.050,3

7.2 Streumaße
Die unterschiedlichen Werte ergeben sich dadurch, dass sich die Merkmalsausprägungen in den
Klassen nicht gleichmäßig um die Klassenmitte verteilen. Die Klassenmitte ist nicht das Mittel der
Ausprägungen in der Klasse.
In manchen Fällen ist es nicht zweckmäßig, das arithmetische Mittel zu berechnen. Wenn etwa in
einer Gruppe 90 % der Mitglieder zwischen 20 und 30 Jahren, die anderen 60 Jahre und älter sind,
würde das arithmetische Mittel den Sachverhalt verzerrt darstellen. Hier erscheint es sinnvoll, den
häufigsten Wert zu ermitteln.
Häufigster Wert
7.2 Streumaße
Mittelwerte
Median
(zentraler Wert)
einfaches
arithmetisches
Mittel
Sehr häufig sagen Mittelwerte nicht genug über eine Häufigkeitsverteilung oder über eine Reihe von
beobachteten Werten aus. Wichtig ist die weitergehende Information, wie weit Häufigkeiten bzw.
beobachtete Werte vom Mittelwert abweichen, d. h. wie sie streuen.
Streumaße geben also Informationen über Abweichungen von errechneten Mittelwerten; sie
messen, wie die Häufigkeiten bzw. die beobachteten Werte um den Mittelwert streuen.
Zur Verdeutlichung der Fragestellung zwei Beispiele:
arithmetisches
Mittel
gewogenes
arithmetisches
Mittel
Bei der Ermittlung des Durchschnittslohns der 122 Arbeitnehmer bei der Großhandlung Anton
Müller ergab sich ein Wert von 2.150,- €. Ein vergleichbares Unternehmen in Bremen ermittelte für
seine Mitarbeiter den gleichen Durchschnittslohn. Ein Vergleich ist aber wenig sinnvoll, weil man
nicht weiß, wie weit die Löhne einzelner Mitarbeiter vom Durchschnitt abweichen. So könnte z. B.
bei der Firma Müller eine relativ große Gruppe von Mitarbeitern erheblich weniger verdienen als
2.150,- €.
„Der Kongressabgeordnete John Jennigs führte am 06.06.1946 vor dem Amerikanischen Kongress
aus, dass die durchschnittliche Tiefe des Tombigbee River zu gewissen Zeiten nur ein Fuß betrage.
Mit anderen Worten, man kann den Fluß von der Mündung bis zur Quelle durchwaten. Ein Fluss mit
einer durchschnittlichen Tiefe von 1 Fuß kann in Wirklichkeit an manchen Stellen sehr tief sein. Die
durchschnittliche Tiefe sagt darüber, ob man den Fluss durchwaten kann, gar nichts”. 1
1 Vgl. J. Pfanzagl, Allgemeine Methodenlehre der Statistik, Bd. I, Berlin 1964, S. 29

7. Maßzahlen zur Analyse von Verteilungen
Im Folgenden sollen einige Streumaße besprochen und an einfachen Beispielen verdeutlicht werden.
7.2.1 Spannweite
Das einfachste Maß zur Angabe einer Streuung ist die Spannweite. Sie gibt die Spanne zwischen den
beiden äußersten Beobachtungswerten an, d. h. den Unterschied zwischen dem größten und dem
kleinsten Beobachtungswert.
Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten
Beobachtungswert.
Sp = x n – x 1
Im Ausgangsbeispiel ist der größte Wert 65, der kleinste Wert 17 (vgl. Tabelle 3.2 auf Seite 17); die
Spannweite beträgt also 65 – 17 = 48. Bei klassierten Merkmalen gibt die Differenz zwischen der
obersten und der untersten Klassengrenze die Spannweite an.
Die Spannweite ist ein grobes und darum wenig aussagefähiges Streumaß. Sie berücksichtigt nur die
beiden äußeren Werte (bzw. äußeren Grenzen) einer Verteilung, die dazwischenliegenden Werte
werden vernachlässigt.
7.2.2 Mittlere lineare Abweichung
Mit der mittleren linearen Abweichung, die gelegentlich auch lineare Streuung genannt wird,
ermittelt man, wie die Ausprägungen einer Reihe von beobachteten Werten von ihrem Mittelwert
durchschnittlich abweichen. Der Mittelwert kann das arithmetische Mittel, aber auch der Median
sein. Für die Berechnung der linearen Streuung (mittlere lineare Abweichung) ist also zunächst
die Ermittlung des Mittelwerts erforderlich; sodann wird festgestellt, wie die einzelnen Werte von
diesem Mittelwert abweichen; schließlich wird aus diesen einzelnen Abweichungen der Durchschnitt
errechnet.
Zur Veranschaulichung ein einfaches Beispiel: Die 5 Reisenden der Großhandlung Anton Müller
haben im April 20.. die in der Tabelle angegebenen Umsätze erzielt. Hieraus werden das arithmetische
Mittel und die mittlere lineare Abweichung errechnet.