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Modulhandbuch M.Sc. Mathematik - Fachbereich Mathematik ...

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Anhang II:<strong>Modulhandbuch</strong> für denStudiengang Master <strong>Mathematik</strong>gültig ab dem WS 2013/14 gemäß <strong>Fachbereich</strong>sratsbeschluss vom 12. Juli 2013


Volume 2 No.5, May 2012 ISSN 2224-3577International Journal of <strong>Sc</strong>ience and Technology©2012 IJST. All rights reservedhttp://www.ejournalofsciences.orgU-235 have energies in the range 0–25 MeV and are far tooenergetic; they would mostly induce fission reaction thatwould rather complicate our work. Therefore, the work isconcerned with the evaluation of cadmium thickness that bestfilters out thermal neutrons optimally in the characterizationof gold from gold matrix.2. MATERIALS AND METHODReconnaissance of locations suspected to have golddeposits were undertaken before the actual collection ofsamples. In total, fourteen samples were collected at placeswhere local gold mining were been undertaken. The sampleswere then pulverized, homogenized and dried, eachseparately to avoid contamination. Of these fourteen samples,one (sample N) was chosen randomly from which fourteensamples were made.Cylindrical cadmium shields of 0.5, 1.0 and 1.5mmwere fabricated. Thereafter, a sample – in cylindricalcadmium shield – was exposed to full neutron flux of thereactor for a pre-determinedirradiation time (1, 2, 10 and 30minutes), thenanalyzed with HPGe detector which initially was calibratedfor energy and efficiency using Co-60 and Cs-137.3. RESULTS AND DISCUSSIONThe gamma spectra obtained for a 0.5mm cadmiumthickness and a minute irradiation revealed that analyte ofinterest (gold) was not significantly activated and that theactivities of elements that usually increases gold detectionlimit was significantly reduced. But at two minutes irradiationand same thickness, the energy peak of gold was clearlyobserved as depicted in figure 2. At ten minutes the gammaspectrum that resulted was not any different from figure 2,but the activities of the interfering elements becamesignificant. Another observation was that the cadmiummaterial became unwieldy. It was significantly radiative. Atthirty minutes irradiation, matrix elements that do interferewith gold irradiation were considerable from the Comptoncontinuum increase in the spectrum.The second arrangement: cadmium of 1.0mm withdifferent irradiation times revealed that only at two minutesirradiation was the optimal desired activation attained in thedesired analyte. In this arrangement, least interference wasachieved. Figure 3 illustrate the gamma spectrum of thisarrangement depicting energypeak of gold much clearer whencompared with figure 2.2.1 Irradiation of StandardsTwo SRMs [IAEA-soil-7 and Single Element (gold)standard foil (0.01396g)] were used for quality control andvalidation. Their irradiations and analyses were done undersame experimental conditions (shielded in cadmium and twominutes exposure period) and the following results wereobtained.Table 1: Elements Concentrations (Ppm) in SelectedReference Materials using Epithermal Gamma-RaySpectrometryIAEA-Soil-7GoldFoil (single element standard)Analyte Reported value This workReported value This workAntimony 1.7 1.66±1.5% - -Arsenic 13.4 13.12±1.5% - -Gold - BDL 0.01396 0.01365±2.5%Mercury 0.04 0.0406±2.0% _ _Figure 2: Gamma ray spectrum depicting energypeak of goldBDL: Below detection limit.282


Graphentheorie 36Halten einer Übungsgruppe 37Harmonische Abbildungen 38Harmonische Analysis 39Incompleteness of Formal Systems 40Innere-Punkte-Verfahren der konvexen Optimierung 41Interacting particle systems and statistical mechanics 42Introduction to Computability Theory 43Kategorielle Logik 44Kategorientheorie 45Kurvenschätzung 46Lie-Algebren 47Lineare Algorithmische Geometrie 48Markovketten und wechselwirkende stochastische Modelle 49Mathematical Fluid Dynamics - Modeling, Analysis and Qualitative Behaviour of Two-Phase Flows 50Mathematical Foundations of Functional Programming 1 51Mathematical Foundations of Functional Programming 2 52Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 1 53Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 2 54Mathematische Modellierung chemisch reagierender Strömungen 55Mathematische Modellierung fluider Grenzflächen 56Mathematische Modellierung fluider Grenzflächen II 57Mathematische Statistik 58Maximale Regularität 59Mehrgitter-Methoden 60Minimalflächen 61Minimalflächen II 62Modal Logics 63Model Theory 64Modellierung und effiziente Simulation dynamischer Systeme ausgewählter <strong>Sc</strong>hlüsselindustrien 65Navier-Stokes Gleichungen I 66Navier-Stokes Gleichungen II 672


Nichtglatte Optimierung 68Nichtlineare Optimierung 69Nichtparametrische Regressionsschätzung 70Numerik der Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen 71Numerik Elliptischer Differentialgleichungen 72Numerik Großer Steifer Differentialgleichungssysteme 73Numerik Steifer Differentialgleichungen 74Numerik von Evolutionsgleichungen 75Numerik von Hyperbolischen Differentialgleichungen 76Numerik von Parabolischen Differentialgleichungen 77Operator semigroups and dispersive equations 78Operator Semigroups in Numerical Analysis 79Operatoralgebren 80Operatoralgebren und nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie 81Optimierung im Funktionenraum 82Optimierung in Transport und Verkehr 83Optimierung mit partiellen Differenzialgleichungen 84Partielle Differentialgleichungen I 85Partielle Differentialgleichungen II 86Partielle Differentialgleichungen II.1 87Partielle Differentialgleichungen II.2 88Partielle Differentialgleichungen II.2 (Evolutionsgleichungen) 89PDEs on Nonsmooth Domains 90Positive Operator-Halbguppen und Anwendungen 91Real Analysis and the Theory of Distributions 92Realizability 93Realizability (englisch) 94Riemannsche Flächen 95Riemannsche Geometrie 96Riemannsche Geometrie 2 97<strong>Sc</strong>hadenversicherungsmathematik 98Simulation und Optimierung Dynamischer Systeme 993


Spektraltheorie 100Spektraltheorie und Operatoralgebren 101Stochastische Partielle Differentialgleichungen 102Stochastische Prozesse 103Stochastische Prozesse I 104Stochastische Prozesse II 105Unvollständigkeit formaler Systeme 106Variationsrechnung 107Vertex-Algebren 108Vertiefungsmodul Algebra 109Vertiefungsmodul Analysis 110Vertiefungsmodul Geometrie und Approximation 111Vertiefungsmodul Logik 112Vertiefungsmodul Numerik 113Vertiefungsmodul Optimierung 114Vertiefungsmodul Stochastik 115Einführung in das wissenschaftliche Arbeiten 116Master-Arbeit 117Mathematisches Seminar (alg), Master 118Mathematisches Seminar (ana), Master 119Mathematisches Seminar (geo), Master 120Mathematisches Seminar (log), Master 121Mathematisches Seminar (num), Master 122Mathematisches Seminar (opt), Master 123Mathematisches Seminar (sto), Master 124Projekt in <strong>Mathematik</strong> (Master) 1254


Advanced Applied Proof TheoryHöhere Angewandte BeweistheorieModulnummer: 04-10-0324/en (Bausteine: 04-10-0324-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KohlenbachKonzeption: KohlenbachBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Basic Applied Proof TheoryLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch dieses Moduls1) beherrschen die Studierenden Spectors Erweiterung der Gödelschen Funktionalinterpretation auf die volle Analysis mittelsBar-Rekursion sowie deren monotone Variante;2) sind die Studierenden mit der Einbeziehung abstrakter metrische, hyperbolischer und normierter Räume als neuen Grundtypenin der Funktionalinterpretation und hierauf aufbauenden logischen Metatheoremen vertraut;3) können die Studierenden diese Methode selbständig auf aktuelle (ineffektive) Beweise insbesondere in der nichtlinearen Analysisanwenden (z.B. im Rahmen einer Master-Arbeit) und so neue effektive <strong>Sc</strong>hranken und Uniformitätsaussagen gewinnen.InhaltDiese Vorlesung setzt die Vertiefungsvorlesung ‘Basic Applied Proof Theory’ fort und entspricht zunammengenommen mit dieserdem 4+2 stündigen Modul ‘Applied Proof Theory’. Es werden behandelt: Funktionalinterpretation der vollen Analysis (Spector),monotone Interpretationen der Analysis und ihre Erweitung auf Systeme mit Klassen von abstrakten (nicht separablen) Strukturen,wie allgemeinen metrischen, hyperbolischen und normierten Räumen. Als Anwendungen dieser Methoden auf konkrete Beweiseder <strong>Mathematik</strong> führen wir explizite Beweisanalysen in den Bereichen Approximationstheorie, metrische Fixpunkttheorie undErgodentheorie durch. Hierbei werden explizite effektive <strong>Sc</strong>hranken und qualitativ neue Uniformitätsresultate aus diesen Beweisenextrahiert.ContentsThis course is a continuation of the course ‘Basic Applied Proof Theory’ and corresponds taken together with the latter withthe 4+2 hours course ‘Applied Proof Theory’. The course develops the Gödel functional interpretation of full analysis (Spector),monotone interpretations of analysis and their extensions to systems based on classes of abstract (nonseparable) metric, hyperbolicand normed spaces. In applications to concrete proofs in mathematics we apply these techniques to analyze proofs in the areasof approximation theory, metric fixed point theory and ergodic theory. These applications are concerned with the extraction ofeffective bounds and new qualitative uniformity results from prima facie ineffective proofs.LiteraturKohlenbach, U.: Applied Proof Theory: Proof Interpretations and Their Use in Mathematics. Springer Monograph in Mathematics,xx+536pp., 20085


Advanced Complexity TheoryKomplexitätstheorie 2Modulnummer: 04-10-0221/en (Bausteine: 04-00-0220-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: ZieglerKonzeption: ZieglerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Komplexitätstheorie oder Einführung in die Berechenbarkeitstheorie oder Einführung in die mathematischeLogik und ein Bachelorseminar in LogikLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNachdem Studierende diese Veranstaltung besucht haben, können sie fortgeschrittene Resultate der strukturellen undquantitativen Komplexitätstheorie wiedergeben und bewerten. Sie können ihre Beweise und Methoden rekonstruierenund deren Grenzen einschätzen und so die <strong>Sc</strong>hwierigkeit offener Fragen bewerten.Inhaltpolynomielle Hierarchie, Platzkomplexitätsklassen wie L und NL; ihre Beziehung zu effizienter Parallelisierbarkeit; Tradeoffszwischen Laufzeit und Speicherplatz; Diagonalisierung und Relativierung; algebraische Modelle, untere und obere<strong>Sc</strong>hrankenContentspolynomial hierarchy, space complexity classes like L and NL, related to efficient parallelizability; trade-offs between timeand space; diagonalization and relativization; algebraic models, lower and upper boundsLiteraturChristos Papadimitriou: Computational Complexity6


Algebraic Complexity TheoryAlgebraic Complexity TheoryModulnummer: 04-10-0374/en (Bausteine: 04-10-0374-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: ZieglerKonzeption:Bemerkungen:Sprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die AlgebraLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseDie Studierenden können algebraische Berechnungsprobleme formalisieren, effiziente Algorithmen für sie angeben und derenKosten hinsichtlich verschiedener Maße analysieren. Sie können mittels Invarianten deren Optimalität nachweisen, d.h.algebraische Hilfsmittel für untere Komplexitätsschranken in der Theoretischen Informatik anwenden. Sie verallgemeinerndiskrete Komplexitätsklassen algebraisch und ordnen Probleme der algorithmischen <strong>Mathematik</strong> darin ein.Inhaltmodels of computation, algebraic algorithms, upper complexity bounds, lower complexity bounds, dimension bound,transcendence degree bound, algebraic reduction and completeness, structural complexity theoryContentsmodels of computation, algebraic algorithms, upper complexity bounds, lower complexity bounds, dimension bound,transcendence degree bound, algebraic reduction and completeness, structural complexity theoryLiteraturBürgisser, Clausen, Shokrollahi: Algebraic Complexity TheoryBlum, Cucker, Shub, Smale: Complexity and Real ComputationBürgisser: Reduction and Completenessselected journal publications7


Algebraic, Topological, and Physical Aspects of ComputingAlgebraische, topologische und physikalische Aspekte des ComputingModulnummer: 04-10-0317/en (Bausteine: 04-10-0317-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: ZieglerKonzeption: ZieglerBemerkungen:Sprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Komplexitätstheorie oder Advanced Complexity TheoryLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können untere Komplexitätsschranken beweisen und Unberechenbarkeitsargumente wiedergeben. Sieerkennen Zusammenhänge zwischen mathematischen Invarianten und der theoretischen Informatik. Sie klassifizierenProbleme der algorithmischen <strong>Mathematik</strong> und der Computerphysik an Hand ihrer un-/Berechenbarkeit und Komplexität.InhaltAlgebraische und analytische Rechenmodelle, Berechenbarkeits-und Komplexitätstheorie, untere <strong>Sc</strong>hranken, Unentscheidbarkeitin der Physok, Church-Turing-HypotheseContentsalgebraic and analytic models of computation, computability and complexity theory, lower bounds, uncomputability inphysics, Church-Turing HypothesisLiteraturselected publications8


Algebraische GeometrieAlgebraic geometryModulnummer: 04-10-0222/de (Bausteine: 04-00-0221-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: <strong>Sc</strong>heithauerKonzeption: <strong>Sc</strong>heithauer, BruinierBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: AlgebraLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studenten verstehen die Grundbegriffe affiner und projektiver Varietäten und können geometrische Problemstellungenmit den vorgestellten Methoden untersuchen und lösen.InhaltAffine Varietäten, projektive Varietäten, Morphismen, rationale Abbildungen, glatte und singuläre Punkte, ebene KurvenContentsAffine varieties, projective varieties, morphisms, rational maps, smooth and singular points, plane curvesLiteraturK. Hulek, Elementary algebraic geometry, AMSR. Hartshorne: Algebraic geometry, SpringerI. R. Shafarevich: Basic algebraic geometry 1,29


Algebraische ZahlentheorieAlgebraic Number TheoryModulnummer: 04-10-0149/de (Bausteine: 04-00-0181-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: <strong>Sc</strong>heithauerKonzeption: <strong>Sc</strong>heithauer, BruinierBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: AlgebraLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studenten beherrschen die Basistechniken der algebraischen Zahlentheorie für Zahlkörper und für deren lokale Körperund können typische Fragestellungen beantworten.InhaltGanze algebraische Zahlen, Dedekindringe, Ideale, Primidealzerlegung, Idealklassengruppe, Einheitengruppe, Erweiterungenvon Dedekindringen, Verzweigung, p-adische Zahlen, Adele, IdeleContentsAlgebraic integers, Dedekind rings, ideals, prime ideal decomposition, ideal class group, unit group, extensions of Dedekindrings, ramification, p-adic numbers, adeles, idelesLiteraturJ. Neukirch: Algebraic Number Theory, SpringerS. Lang: Algebraic Number Theory, Addison-WesleyJ.S. Milne: Algebraic Number Theory, course notesD. Zagier: Zetafunktionen und Quadratische Zahlkörper, SpringerJ. Cassels, A. Fröhlich: Algebraic Number Theory, Thompson10


Angewandte GeometrieApplied GeometryModulnummer: 04-10-0375/de (Bausteine: 04-10-0375-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: ReifKonzeption: ReifBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Differenzialgeometrie (in der Regel)Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden kennen und verstehen grundlegende mathematische Prinzipien des computergestützten geometrischenModellierens von Kurven und Flächen und vermögen diese hinsichtlich theoretischer und anwendungsorientierter Problemstellungenzu beurteilen. Insbesondere werden die engen Verbindungen zwischen den analytischen Eigenschaftender verwendeten Funktionenräume und den geometrischen Eigenschaften der damit parametrisierten Mannigfaltigkeitendurchdrungen.InhaltBernstein-Polynome, Bézierkurven, B-Splines, Splinekurven, Tensorprodukt-Splines, Splineflächen, Subdivisionsalgorithmen,Glättung von Kurven und Flächen, Krümmungsschätzung auf Polygonzügen und Dreiecksnetzen.ContentsBernstein polynomials, Bézier curves, B-splines, spline curves, tensor product splines, spline surfaces, subdivision algorithms,smoothing of curves and surfaces, curvature estimation on polylines and triangular meshesLiteraturHoschek und Lasser, Grunglagen der geometrischen Datenverarbertung, TeubnerPrautzsch, Boehm und Paluszny, Bézier and B-Spline Techniques, SpringerPeters und Reif, Subdivision surfaces, Springer11


Applied Proof TheoryAngewandte BeweistheorieModulnummer: 04-10-0058/en (Bausteine: 04-00-0166-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KohlenbachKonzeption: KohlenbachBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic. Für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen I,IILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden1) Kalküle der intuitionistischen Logik, Arithmetik und Analysis (auch in höheren Typen) angeben und anwenden;2) die behandelten Beweisinterpretationen (modifizierte Realisierbarkeit, Funktionalinterpretation und deren monotone Versionen)und deren Theorie und Anwendungen vertieft beherrschen;3) die behandelten logischen Metatheoreme (sowohl für konkrete polnische Räume, wie auch für abstrakte Strukturen) in ihremAnwendungsbereich einordnen und4) diese selbständig (z.B. im Rahmen einer Master-Arbeit) auf Probleme in der Analysis (Approximationstheorie, Fixpunkttheorieund Ergodentheorie) anwenden;InhaltDiese Vorlesung entwickelt die wichtigsten Methoden der angewandten Beweistheorie, nämlich sogenannte Beweisinterpretationen,und gibt Anwendungen in unterschiedlichen Gebieten der <strong>Mathematik</strong> wie Approximationstheorie, nichtlineare Analysis,Ergodentheorie. Bei diesen Anwendungen geht es um die Extraktion effektiver <strong>Sc</strong>hranken und neuer Uniformitätsaussagen ausprima facie ineffektiven Beweisen. Die hauptsächlich behandelten Methoden sind: Herbrand-Theorie, Kreisels no-counterexampleInterpretation, modifizierte Realisierbarkeit (Kreisel), Gödels Funktionalinterpretation, Negativübersetzungen (Gödel), Funktionalinterpretationder vollen Analysis (Spector), monotone Interpretationen und ihre Erweitung auf Systeme mit Klassen vonabstrakten (nicht separablen) Strukturen, wie allgemeinen metrischen, hyperbolischen und normierten Räumen.ContentsThis course develops the major techniques of applied proof theory, namely so-called proof interpretations together with applicationsto various areas of mathematics such as approximation theory, nonlinear analysis and ergodic theory. These applications areconcerned with the extraction of effective bounds and new qualitative uniformity results from prima facie ineffective proofs.The main techniques studied are: Herbrand theory, no-counterexample interpretation (Kreisel), modified realizability (Kreisel),Gödel’s functional (‘Dialectica’) interpretation, negative translation (Gödel), functional interpretation of full analysis (Spector),monotone interpretations and their extensions to systems based on classes of abstract (nonseparable) metric, hyperbolic andnormed spacesLiteraturKohlenbach, U.: Applied Proof Theory: Proof Interpretations and Their Use in Mathematics. Springer Monograph in Mathematics,xx+536pp., 200812


Asymptotic linearer EvolutionsgleichungenAsymptotics of linear evolutionary equationsModulnummer: 04-10-0304/de (Bausteine: 04-10-0304-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: SaalKonzeption: SaalBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach der Absolvierung des Moduls können Studierende mit Operatorhalbgruppen umgehen. Sie können abstrakte lineareEvolutionsgleichungen behandeln und Langzeitverhalten von Lösungen untersuchen.InhaltStarkstetige Operatorhalbgruppen, Evolutionsgleichungen, Cauchy-Probleme, Asymptotik und StabilitätContentsStrongly continuous operator semigroups, evolution equations, Cauchy problems, asymptotics and stabilityLiteraturArendt, w., Batty, C.J., Hieber, M., Neubrander, F., Vector-valued Laplace transforms and Cauchy porblems. Birkhäuser,Basel etc., 2001.Davies, E.B., Obe-parameter semigroups. Academic Press London etc., 1980.Engel, K.-J., Nagel, R., One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York etc., 2000.Lunardi, A., Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. Birkhäuser, Basel, 1995.Pazy, A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Springer, New York etc., 1992.Tanabe, H., Equations of evolution. Pitman, London etc., 1979.14


Automorphe FormenAutomorphic FormsModulnummer: 04-10-0224/de (Bausteine: 04-00-0223-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: <strong>Sc</strong>heithauerKonzeption: <strong>Sc</strong>heithauer, BruinierBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Algebra, FunktionentheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studenten verstehen fortgeschrittene Techniken der Zahlentheorie wie automorphe Formen und L-Funktionen undkönnen diese anwenden.InhaltDirichletsche L-Funktionen, Modulformen, Eisensteinreihen, Thetareihen, Hecke-Operatoren und L-Funktionen, AutomorpheFormen zu GL(1) und GL(2)ContentsDirichlet L-functions, modular forms, Eisenstein series, theta series, Hecke operators and L-functions, automorphic formsfor GL(1) and GL(2).LiteraturD. Bump: Automorphic Forms and Representations, Cambridge University PressA. Knapp: Elliptic Curves, Princeton University PressS. Lang: Algebraic Number Theory, Addison-WesleyD. Bump et.al.: An Introduction to the Langlands Programm, BirkhäuserJ.H. Bruinier, G. van der Geer, G. Harder, D. Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms, Springer15


Banach- und C*-AlgebrenBanach and C*-algebrasModulnummer: 04-10-0280/de (Bausteine: 04-00-0202-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: RochKonzeption: Kümmerer, RochBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen die Studierenden die Grundkonzepte der Theorie der Banach- und C*-Algebren und können diese wiedergeben,- können sie die Beweise grundlegender Resultate zur Gelfandtheorie für kommutative Banach- und C*-Algebren und zurDarstellungstheorie erläutern,- können sie die Theorie auf einfache Fragestellungen aus der Operatortheorie anwenden.InhaltBanachalgebren, Ideale und Homomorphismen, Spektraltheorie in Banachalgebren, Gelfandtheorie für kommutativeBanach- und C*-Algebren, Positivität, Zustände, Darstellungen, GNS-Konstruktion, irreduzible Darstellungen und reineZustände, nichtkommutative Gelfandtheorien, Algebren von ToeplitzoperatorenContentsBanach algebras, ideals and homomorphisms, spectral theory in Banach algebras, Gelfand theory for commutative Banachand C*-algebras, positivity, states, representations, GNS-construction, irreducible representations and pure states, noncommutativeGelfand theories, algebras of Toeplitz operators.LiteraturArveson: An Invitation to C*-Algebras;Davidson: C*-Algebras by Example;Murphy: C*-Algebras and Operator Theory.16


Banachalgebren und Numerische AnalysisBanach algebras and numerical analysisModulnummer: 04-10-0290/de (Bausteine: 04-00-0285-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: RochKonzeption: RochBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Grundkenntnisse Funktionalanalysis und BanachalgebrenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- haben die Studierenden Einblicke in das Wechselspiel zwischen Diskretem und Kontinuierlichem in der NumerischenAnalysis gewonnen und können diese wiedergeben,- können sie spezielle Fragen der Numerischen Analysis in algebraische Probleme übersetzen,- können sie Banach-algebraische Techniken auf die Lösung dieser Probleme anwenden,- kennen sie Stabilitätsaussagen für konkrete numerische Verfahren für konkrete Operatoren und können deren Beweiseerläutern.InhaltReduktionsverfahren, Stabilität, Algebren von Näherungsfolgen, lokale Prinzipien, spektrale Approximation, fraktaleAlgebren, kompakte Folgen, die Algebra des Reduktionsverfahrens für spezielle Operatorklassen (Toeplitzoperatoren,band-dominierte Operatoren).ContentsFinite sections method, stability, algebras of approximation sequences, local principles, spectral approximation, fractalalgebras, compact sequences, the algebra of the finite sections method for special classes of operators (Toeplitz operators,band-dominated operators).LiteraturBöttcher/Silbermann: Introduction to large truncated Toeplitz operators,Hagen/R./Silbermann: C*-Algebras and Numerical Analysis.17


Basic Applied Proof TheoryGrundzüge der angewandten BeweistheorieModulnummer: 04-10-0225/en (Bausteine: 04-00-0224-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KohlenbachKonzeption: KohlenbachBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Lehrveranstaltungen des ForschungsgebietesLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic. Für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen der InformatikI,IILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden1) Kalküle der intuitionistischen Logik und Arithmetik (auch in höheren Typen) angeben und anwenden;2) die Korrektheits- und Charakterisierungstheoreme der behandelten Beweisinterpretationen (modifizierte Realisierbarkeit,Funktionalinterpretation und deren monotone Versionen) wiedergeben und deren Beweise skizzieren;3) grundlegende Anwendungen der Beweisinterpretationen benennen und skizzieren (z.B. die Elimination des binärenLemmas von König);4) die betrachteten Methoden auf einfachere Beweise aus der <strong>Mathematik</strong> anwenden.InhaltDiese Vorlesung gibt eine Einführung in einige der zentralen Techniken der angewandten Beweistheorie, nämlich verschiedenesog. Beweisinterpretationen. Die hauptsächlich behandelten Methoden sind: Kreisel’s nocounterexample Interpretation,die modifizierte Realisierbarkeitsinterpretation sowie Gödels Funktionalinterpretation und deren monotoneVarianten.ContentsThis course gives a brief introduction to some of the major techniques of applied proof theory, namely so-called proof interpretations.The main methods studied are: no-counterexample interpretation (Kreisel), modified realizability, functional(‘Dialectica’) interpretation (Gödel) and their monotone variants.LiteraturKohlenbach, Ulrich: ‘Applied Proof Theory: Proof Interpretations and Their Use in Mathematics’. Springer Monographin Mathematics, xx+536pp., 2008, Chapters 1-10.18


Categorical LogicKategorielle LogikModulnummer: 04-10-0193/en (Bausteine: 04-00-0193-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- können Logikkalküle in kategoriellen Modellen interpretieren- können mit von Set verschiedenen Presheaf Topoi umgehen- entwickeln ein Verständnis für die intuitionistische Logik.Inhaltkartesisch abgeschlossene Kategorien, elementarer Topos, interne Logik, (Prä-)GarbenContentscartesian closed categories, elementary topos, internal logic, (pre)sheavesLiteraturSkript online erhältlich19


Category TheoryKategorientheorieModulnummer: 04-10-0194/en (Bausteine: 04-00-0194-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- können zentrale Begriffe aus Algebra und Topologie kategoriell formulieren- können das Yoneda Lemma flexibel verwenden- sind mit Limiten und Colimiten vertraut- beherrschen den Begriff der Adjunktion in seinen verschiedenen Formulierungen- können wesentliche mathematische Sachverhalte in Termen von Adjunktionen formulieren.InhaltKategorien, Funktoren, Yoneda Lemma, Limiten und Colimiten, Adjunktionen, MonadenContentscategories, functors, Yoneda lemma, limits and colimits, adjoints monadsLiteraturSkript online erhältlich20


Classical and Non-Classical Model TheoryKlassische und Nichtklassische ModelltheorieModulnummer: 04-10-0311/en (Bausteine: 04-10-0311-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden werden mit den Grundbegriffen der Modellteorie vertraut gemacht und lernen, Beziehungen zwischenSyntax und Semantik zu analysieren, Modelle zu konstruieren, Modelle anhand logischer Methoden zu analysieren, zuklassifizieren und zu vergleichen. In diesem Zusammenhang erlernen sie exemplarisch, Techniken aus universeller Algebra,Kombinatorik und diskreter <strong>Mathematik</strong> anzuwenden. Während in der klassischen Analyse die Sonderstellung der Logikerster Stufe im Vordergrund steht, lernen die Studierenden in der endlichen und algorithmischen Modelltheorie ganzunterschiedliche Logiken – auch solche für spezifische Anwendungserfordernisse – kennen und erwerben die Befähigung,deren Ausdrucksstärke anhand modelltheoretischer und algorithmischer Kriterien zu analysieren und zu bewerten.InhaltVergleich von Logiken: Logik erster Stufe und andere;Kompaktheit, Typen, Saturiertheitseigenschaften;Ehrenfeucht–Fraïssé Spiele und Lindstroemsche Sätze;Erhaltungssätze und Ausdrucksvollständigkeit;algorithnmische Aspekte und Entscheidbarkeit;ausgewählte Themen der algorithmischen und endlichen ModelltheorieContentscomparing logics: first-order and other logics;compactness, types and saturation properties;Ehrenfeucht–Fraïssé games and Lindstroem theorems;tractable theories and tractable models;preservation and expressive completeness;algorithmic issues and decidability;themes in finite and algorithmic model theoryLiteraturCori/Lascar: Mathmatical LogicChang/Keisler: Model TheoryHodges: Model TheoryPoizat: A Course in Model TheoryEbbinghaus/Flum: Finite Model TheoryGrädel et al (eds): Finite Model Theory and Its Applications21


Complex FluidsComplex FluidsModulnummer: 04-10-0339/en (Bausteine: 04-10-0339-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: GeißertKonzeption: GeißertBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Funktionalanalysis, partielle DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls beherschen die Studierenden Methoden zur Lösbarkeit von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungenund können diese auf konkrete Probleme aus der Fluiddynamik anwenden. Insbesondere können dieStudierenden Aussagen über die Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen von partiellen Differentialgleichungentreffen, welche das Verhalten komplexer Flüssigkeiten beschreiben.InhaltAllgemeine Methoden zur Behandlung von nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungen. Diese werden dann auf konkreteDifferentialgleichungen aus der Strömungsdynamik angewandt. Unter anderem werden wichtige Funktionenräumein der Hydrodynamik, die Stokes Gleichungen, die Transportgleichung und Fixpunktsätze diskutiert.ContentsMethods for the solution of nonlinear partial differential equations. These methods are applied to concrete problemsarising in fluid dynamics. Among other things we discuss important function spaces for fluid dynamics, the Stokesequations, transport equations and fixed point theorems.LiteraturSkript der Vorlesung22


Computable AnalysisBerechenbare AnalysisModulnummer: 04-10-0325/en (Bausteine: 04-10-0325-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: ZieglerKonzeption: ZieglerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Complexity Theory oder Introduction to Computability Theory oder Introduction to MathematicalLogicLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseStudierende können numerische Heuristiken von beweisbar korrekten Algorithmen unterscheiden. Sie verfeinern undverschärfen Existenzbeweise aus der Analysis zu Berechenbarkeitsaussagen. Sie nennen und beweisen Beispiele reellerUnberechenbarkeit und begründen deren Praxisrelevanz. Sie verbinden Berechenbarkeit mit topologischen Eigenschaften.InhaltGrundlagen diskreten und reellen Rechnens; Beispiele berechenbarer und unberechenbarer reeller Zahlen, Funktionenund Relationen; Darstellungen und die Typ-2 Theorie der Effektivität (TTE); Berechenbarkeit von Operatoren; Nutzendiskreter Zusatzinformationen; Aspekte reeller KomplexitätstheorieContentsFoundations of discrete and real computation; Examples of computable and incomputable real numbers, functions, andrelations; Representations and Type-2 Theory of Effectivity (TTE); Computability of operators; Benefit of discrete advice;Aspects of real complexity theoryLiteraturWeihrauch: Computable Analysis (2000)23


Differentialalgebraische Gleichungen und AnwendungenDifferential algebraic Equations and ApplicationsModulnummer: 04-10-0283/de (Bausteine: 04-00-0279-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können für wichtige dynamische Systeme mathematische Modelle in Form von differentialalgebraischenGleichungen aufstellen. Sie können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für differentialalgebraischeDifferentialgleichungen beschreiben, erklären und anwenden. Sie sollen die Verfahren und Prinzipienanalysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltExemplarische Modulierungstechniken wichtiger technischer Anwendungsgebiete, z.B.: Reaktionskinetik, Elektrische<strong>Sc</strong>haltkreise, Mehrkörpersysteme. Simulationstechniken: Differentialalgebraische Gleichungen, Optimierungsmethoden:Parameteridentifikation, SensitivitätsanalyseContentsModeling techniques in technical applications: e.g. reaction kinetics, electrical circuits, multi body system dynamics.Simulation techniques: differential albebraic equations. Optimization methods: Parameter identification, sensitivity analysis.Literatur24


Diskrete OptimierungDiscrete OptimizationModulnummer: 04-10-0073/de (Bausteine: 04-00-0027-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: PfetschKonzeption: PfetschBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel jährlichLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNachdem Studierende das Modul besucht haben, beherrschen Sie die theoretischen Grundlagen der diskreten Optimierung.Die Studierenden können zusätzlich Modellierungsprobleme lösen sowie relevante Algorithmen analysieren undanwenden.InhaltModellierung: Ganzzahlige Gleichungs- und Ungleichungssysteme; Theorie: Ganzzahlige Programme, Polyedrische Kombinatorik;Methoden: Exakte Verfahren, Approximationsalgorithmen, Heuristiken, RelaxierungenContentsModeling: systems of linear equalities and inequalities in integers; theory: integer programs, polyhedral combinatorics;methods: exact algorithms, approximation algorithms, heuristics, relaxationsLiteraturNemhauser, Wolsey: Integer and Combinatorial Optimization,<strong>Sc</strong>hrijver: Theory of Linear and Integer Programming25


Einführung in die Gebäude-TheorieIntroduction to Tits buildingsModulnummer: 04-10-0364/de (Bausteine: 04-10-0364-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: FreynKonzeption: FreynBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Lehrveranstaltungen des ForschungsgebietesLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Algebra oder Gruppentheorie oder Algebraische Gruppen oder Topologische GruppenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreichem Abschluss des Moduls kennen die Studierenden die wichtigsten Beispiele von Coxetergruppen undTits-Gebäuden und sind mit der grundlegenden Struktur vertraut.InhaltDefinition, Beispiele, Darstellungen und Struktur von Coxetergruppen, Elementare Theorie von Kammerkomplexen, Definitionund Beispiele von Tits-Gebäuden, Konstruktion von verschiedenen Gebäuden; Apartment-systeme; Gebäude,BN-Paare und GruppenContentsDefinition, examples, presentations and structure of Coxeter groups; elementary theory of chamber complexes, definitionand examples of Tits-buildings; construction of various buildings; apartment systems; Buildings, BN-pairs and groupsLiteraturAbramenko, Brown: Buildings, Springer, GTM 211Bourbaki: Lie groups, I - IX Garrett: Buildings and Classical groups, Chapman HallRonan: Lectures on Buildings, University Of Chicago Press26


Einführung in die HomogenisierungstheorieIntroduction to the Theory of HomogenizationModulnummer: 04-10-0340/de (Bausteine: 04-10-0340-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: NesenenkoKonzeption: NesenenkoBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Grundkenntnisse Funktionalanalysis und PDGLLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseExistenztheorie von elliptischen partiellen Differentialgleichungen; Energie-Methode nach Tartar; Homogenisierung perforierterMaterialien; Homogenisierung Monotoner Operatoren; Methode der 2-Skalen-Konvergenz nach Allaire undNguetseng.InhaltDie Homogenisierungstheorie ist eine mathematische Theorie, die das Verhalten von makroskopischen Systemen, welcheauf einer mikroskopischen Skala heterogen sind, beschreibt. Das Ziel dabei ist, den Einfluss der physikalischenEigenschaften der heterogenen Struktur auf die Eigenschaften des makroskopischen (homogenen) Systems mathematischzu bestimmen. In den Vorlesungen sollen die grundlegenden Ideen der Existenztheorie von elliptischen partiellenDifferentialgleichungen (die Basis der Homogenisierungstheorie) sowie einigen Homogenizierungsmethoden diskutiertwerden.ContentsExistence theory for elliptic partial differential equations, Energy method of Tartar, Homogenization of perforated domains,Homogenization of monotone operators, Two-scale convergence method of Allaire und Nguetseng.LiteraturG. Allaire, Shape Optimization by the Homogenization Method (Applied Mathematical <strong>Sc</strong>iences), Springer, 2010L. Tartar, The General Theory of Homogenization: A Personalized Introduction (Lecture Notes of the Unione MatematicaItaliana), 200927


Einführung in die TeichmüllertheorieIntroduction to Teichmüller theoryModulnummer: 04-10-0365/de (Bausteine: 04-10-0365-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: FreynKonzeption: FreynBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Lehrveranstaltungen des ForschungsgebietesLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Differentialgeometrie, Riemannsche Geometrie,zusätzlich Funktionentheorie bzw. Riemannsche Flächenwäre hilfreich.Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreichem Abschluss des Moduls kennen die Studierenden die wichtigsten Definition des Teichmüllerraumes;sie sind mit der Klassifikation Riemannscher Flächen vertraut und verstehen den engen Zusammenhang zwischen RiemannschenFlächen und hyperbolischen MannigfaltigkeitenInhaltEinführung in die Teichmüller-Theorie: Zugang über die hyperbolische Geometrie (Fenchel-Nielsen Koordinates, IdealeDreiecke, Laminationen und Erdbeben); Zugang über die komplexe Analysis: quadratische Differentiale, <strong>Sc</strong>hwarzeAbleitung; Modulare Gruppe und quasi-Fuchs’sche GruppenContentsIntroduction to Teichmüller spaces: Approach via hyperbolic geometry (Fenchel-Nielsen coordinates; ideal triangles,laminations, earthquakes); Approach via complex anaylsis: quadratic differentials, schwartzian derivative; Modular groupand quasi-Fuchsian groupsLiteraturHubbard: Teichmüller theory and Applications to Geometry, Topology, and Dynamics, Matrix editions, Imayoshi and M.Taniguchi, An Introduction to Teichmuller Spaces. Springer Thurston: Notes on 3-manifolds28


Finite Elemente MethodeFinite Element MethodModulnummer: 04-10-0067/de (Bausteine: 04-00-0072-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik von DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- die wesentlichen Konstruktionsprinzipen numerischer Lösungsverfahren für elliptische Differentialgleichungen beherrschen- Vor-und Nachteile, Einsatzbereich, Genauigkeit, Aufwand, etc. angeben- für gegebene Anwendungsaufgaben geeignete Sofware auswählen und adaptieren- Fachartikel der aktuellen Forschung verstehen und diskutierenInhaltWoher kommen partielle Differentialgleichungen? Klassische Lösungen elliptischer Probleme, Elliptische Variationsprobleme,Finite Elemente.ContentsWhere do PDE’s come from? Classical solutions of elliptic problems, variational formulation, finite element methods.LiteraturBraess: Finite Elemente, Springer 2007,Larsson/Thomee: PDE with Numerical Methods, Springer 2003,Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.29


Finite Model TheoryEndliche ModelltheorieModulnummer: 04-10-0231/en (Bausteine: 04-00-0230-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic; für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen der InformatikIILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können wesentliche Unterschiede zwischen klassischer und endlicher Modelltheorie anhand einschlägigerSätze erklären und interpretieren; sie verfügen über das methodische Rüstzeug, die Ausdrucksstärke von Logiken überendlichen Strukturen zu untersuchen und können Zusammenhänge zwischen Definierbarkeit und Komplexität anhandeinschlägiger Sätze diskutieren.InhaltUnterschiede zwischen endlicher und klassischer Modelltheorie, wo klassische Techniken und Resultate versagen; modelltheoretischeSpiele und die Ehrenfeucht-Fraïssé Methode, Definierbarkeit und Lokalität; 0-1-Gesetze (Satz von Fagin);Deskriptive KomplexitätstheorieContentsfinite versus classical model theory, failure of classical techniques and results; model-theoretic games and the Ehrenfeucht-Fraisse method, definability and locality; zero-one laws (Fagin’s Theorem); descriptive complexityLiteraturEbbinghaus, Flum: Finite Model TheoryGrädel et al.: Finite Model Theory and Its ApplicationsLibkin: Elements of Finite Model TheoryLecture Notes (online under www.mathematik.tu-darmstadt.de/˜otto)30


Flächen konstanter mittlerer KrümmungSurfaces of constant mean curvatureModulnummer: 04-10-0214/de (Bausteine: 04-00-0214-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: Große-BrauckmannKonzeption: Große-BrauckmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: DifferentialgeometrieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseAm Beispiel des Inhaltsfunktionals können die Studierenden den Zusammenhang zwischen dem Minimierungsproblem fürein Integralfunktional und den Lösungen seiner Euler-Gleichung beurteilen. Sie wissen um die <strong>Sc</strong>hwierigkeit, Lösungeneiner nichtlinearen partiellen Differentialgleichung anzugeben, und verstehen, welche Lösungsansätze es gibt. Sie sindvertraut damit, wie mit Methoden der Funktionentheorie und Analysis Eindeutigkeitssätze erzielt werden können. Siekönnen für ein Beispielthema Ergebnisse aktueller Forschung darstellen.InhaltMittlere Krümmung, 1. und 2. Variation des Flächeninhalts, Delaunay-Flächen, Maximumsprinzip, Sätze von Hopf undAlexandrow, Asymptotik eingebetteter EndenContentsMean curvature, 1st and 2nd variation of area, Delaunay surfaces, maximum principle, Theorems of Hopf and Alexandrov,asymptotics of embedded endsLiteraturKenmotsu: Surfaces with constant mean curvature, AMS 2003,Oprea: The mathematics of soap films: explorations with maple, AMS 200031


Fluid-Structure InteractionFlüssigkeits-Feststoff WechselwirkungenModulnummer: 04-10-0232/en (Bausteine: 04-00-0231-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: KyedKonzeption: Farwig, Hieber, KyedBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Partielle DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseStudierende können nach dem Besuch dieser Vorlesung Methoden der mathematischen Strömungsmechanik im Kontextder Fluid-Struktur-Wechselwirkung neu arrangieren und bisherige Ergebnisse auf Kopplungsprobleme transferieren.InhaltIn this lecture we will focus on solving the systems of partial differential equations describing the interaction of a fluidand a solid. This special type of problem is usually described by two coupled systems, one describing the motion of thefluid and one the motion and, in the case of a deformable body, the deformation of the solid.ContentsIn this lecture we will focus on solving the systems of partial differential equations describing the interaction of a fluidand a solid. This special type of problem is usually described by two coupled systems, one describing the motion of thefluid and one the motion and, in the case of a deformable body, the deformation of the solid.LiteraturSkript der Vorlesung.32


Free boundary problems in fluid dynamicsModulnummer: 04-10-0305/en (Bausteine: 04-10-0305-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: KyedKonzeption: KyedBemerkungen:Sprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Partielle DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden mathematische Methoden zur Lösung von freien Randwertaufgabenin der Strömungsmechanik wiedergeben und erklären. Die Studierenden sollen Lösungen von freien Randwertaufgabenin der Strömungsmechanik ermitteln und deren Eigenschaften analysieren können.InhaltContentsA mechanical system where the shape of one or more objects is unknown can be characterized as a free boundaryproblem. In this lecture we study a selected number of free boundary problems occurring in fluid dynamics. We studythese problems from an analytical point of view. We will prove existence theorems for the corresponding mathematicalmodels and establish basic properties of the solutions.LiteraturSkript der Veranstaltung33


Function SpacesFunktionenräumeModulnummer: 04-10-0234/en (Bausteine: 04-00-0233-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: FarwigKonzeption: Farwig,HieberBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseStudierende beherrschen nach dem Besuch der Veranstaltung die Grundtechniken der Interpolation von Banachräumen.Sie können verschiedene Klassen und Skalen von Funktionenräumen benennen und definieren und sie sind in der Lage,Funktionenräume durch ihre Normen zu klassifizieren. Die Studierenden erkennen Anwendungen der Interpolationstheoriefür die Analysis partieller Differentialgleichungen, wie Einbettungs- und Spursätze.InhaltLebesgueräume, Sobolevräume und ihre Interpolationsräume, reelle und komplexe Interpolation, AnwendungenContentsLebesgue spaces, Sobolev spaces and their interpolation spaces, real and complex interpolation, applicationsLiteraturBergh, J., Löfström, J., Interpolation Spaces. An Introduction. Springer-Verlag 1976.Hans Triebel. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. Elsevier <strong>Sc</strong>ience Publishing 1978Lunardi, A., Interpolation Theory. Publ. <strong>Sc</strong>uola Normale Superiore, Vol. 9, 200934


Geometric CombinatoricsGeometrische KombinatorikModulnummer: 04-10-0327/en (Bausteine: 04-10-0327-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: JoswigKonzeption: JoswigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Optimierung, nach Möglichkeit: Diskrete OptimierungLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNachdem Studierende diese Veranstaltung besucht haben, verstehen Sie die Grundlagen der geometrischen Kombinatorikund ihrer Beziehung zur kombinatorischen Optimierung. Sie können Beweise und Methoden aus diesem Gebietrekonstruieren und deren Grenzen einschätzen.InhaltDas Modul behandelt ein jeweils aktuelles Thema aus der geometrischen Kombinatorik. Ein Ziel ist es, bekannte Verfahrenaus der kombinatorischen Optimierung in einen weiteren geometrischen Zusammenhang zu stellen. Beispielthemen umfassen:tropische Arithmetik und lineare Algebra, tropische Polynome, kürzeste Wege, lineares Zuordnungsproblem, geradeZyklen in gerichteten Graphen, tropische Polytope, Matroide und Matroidpolytope, Gitterpolytope, torische Varietäten.ContentsThis module features recent topics in geometric combinatorics. It is a goal to relate known methods from combinatorialoptimization to a wider range of geometric concepts. Examples include: tropical arithmetic and linear algebra, tropicalpolynomials, shortest paths, linear assignment problem, even-dicycle-problem, tropical polytopes, matroids and matroidpolytopes, lattice polytopes, toric varieties.LiteraturMichael Joswig: Essentials of Tropical Combinatorics, Springer (to appear). (Materialien werden den Teilnehmern zurVerfügung gestellt.)Bernd Sturmfels: Gröbner bases and convex polytopes, AMS (1995).Rekha Thomas: Lectures in geometric combinatorics, AMS (2005).35


Modulnummer: 04-00-0284 (Bausteine: 04-00-0280-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoGraphentheorieGraph TheoryBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: keineLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden sicher mit Grundbegriffen und Methoden der Graphentheorieumgehen, sind mit üblichen Beweistechniken vertraut und können exemplarisch einige tiefere Resultate erarbeiten.InhaltGrundbegriffe der Graphentheorie;Zusammenhang;Planare Graphen;FärbbarkeitContentsbasic concepts of graph theory;connectedness;planar graphs;graph colouringsLiteraturDiestel: Graphentheorie36


Halten einer ÜbungsgruppeTutoring a Problem SessionModulnummer: 04-10-0077/de (Bausteine: 04-00-0049-ku)Forschungsgebiet:Administration: WeißKonzeption: Mars, WeißBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: jedes SemesterLehrformen: Übungsgruppe, VorbesprechungLeistungspunkte: 3Voraussetzungen: die nötige fachliche und didaktische KompetenzLeistungsnachweise: Aktive Teilnahme an der Übungsgruppenleiterschulung, erfolgreiches Halten einer Übungsgruppe,aktive Teilnahme an Vorbesprechungen. Positive Evaluation der individuellen Leistung durch den Dozenten; dazukann ein kurzer Bericht verlangt werden.LernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- <strong>Mathematik</strong> vermitteln und Verständnisprobleme erkennen,- vor einer größeren Gruppe frei sprechen,- auf Fragen eingehen und die Gruppe moderieren,- Vorlesungsinhalte selbständig durchdringen.InhaltTeilnahme an Übungsgruppenleiterschulung Vorbereiten und Halten einer Übungsgruppe Korrektur schriftlicher ÜbungenTeilnahme an Vorbesprechungen.ContentsParticipation in tutor training Preparing and tutoring a problem session Correction of written exercises Participation inpreliminary discussionsLiteratur37


Harmonische AbbildungenHarmonic MapsModulnummer: 04-10-0323/de (Bausteine: 04-10-0323-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: <strong>Sc</strong>hneiderKonzeption: <strong>Sc</strong>hneiderBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2VLeistungspunkte: 3Voraussetzungen: Einführung in die Algebra, FunktionentheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden verstehen den Begriff der harmonischen Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Siebeherrschen grundlegende Techniken zum Studium der harmonischen Abbildungen, wie Variation der Energie und SpannungsfelderInhaltZusammenhänge auf Vektorbündeln, erste und zweite Variation der Energie, Spannungsfeld, Existenzresultat von Eells-Sampson, Formeln von Bochner und WeitzenböckContentsConnections on vector bundles, first and second variation of the energy, tension field, existence result of Eells-Sampson,Bochner-Weitzenboeck formulaLiteraturJ. Jost: Riemannian Geometry and Geometric AnalysisH. Urakawa: Calculus of Variations and Harmonic MapsF. Lin, C. Wang: The Analysis of Harmonic Maps and Their Heat Flows38


Harmonische AnalysisHarmonic AnalysisModulnummer: 04-10-0216/de (Bausteine: 04-00-0216-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: KyedKonzeption: Farwig, Hieber, KyedBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutsch oder englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Integrationstheorie.Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseStudierende beherrschen nach dem Besuch dieser Veranstaltung die Grundtechniken der Distributionentheorie sowie dieInterpolationsmethoden für Funktionen im euklidischen Raum. Ferner sind sie in der Lage diese Techniken im Kontextvon singulären Integralen anzuwenden.InhaltDistributionentheorie, Interpolationssätze, singuläre Integrale.ContentsDistributions, interpolation, singular integrals.LiteraturGrafakos: Classical Fourier Analysis39


Incompleteness of Formal SystemsUnvollständigkeit formaler SystemeModulnummer: 04-10-0238/en (Bausteine: 04-00-0236-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: Kohlenbach, StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Mathematische LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- kennen den Unterschied zwischen Gültigkeit und Beweisbarkeit- können den 1. und 2. Gödelschen Unvollständigkeitssatz beweisen- sind mit dem Satz von Löb vertraut- können die Tragweite formaler Systeme und ihre Limitationen beurteilen.InhaltGödelsche Unvollständigkeitssätze, Satz von Löb, BeweisbarkeitslogikContentsGödel’s Incompleteness Theorems, Löb’s Theorem, Provability LogicLiteraturSkript online erhältlich40


Innere-Punkte-Verfahren der konvexen OptimierungInterior Point Methods for Convex OptimizationModulnummer: 04-10-0203/de (Bausteine: 04-00-0200-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen und verstehen sie moderne Innere-Punkte-Verfahren- beherrschen sie die allgemeine Methodik zum Entwurf von Innere-Punkte-Verfahren für konvexe Optimierungsproblemeauf Basis selbstkonkordanter Barrierefunktionen- kennen sie Anwendungsszenarien der allgemeinen TheorieInhaltEinführung: Beispiele, klassisches Barriere-Verfahren, zentraler Pfad, Newton-Verfahren; Innere-Punkte-Verfahren fürlineare Optimierung: primale Pfadverfolgungsmethode, primal-duale Pfadverfolgungsmethode, Konvergenztheorie, Komplexität;Innere-Punkte-Verfahren für allgemeine konvexe Optimierung: Selbstkonkordante Barrierefunktionen, Newton-Verfahren und Selbstkonkordanz, Short-Step Methode, Long-Step-Methode, AnwendungenContentsIntroduction: Examples, classical barrier method, central path, Newton’s method; interior point methods for linearoptimization: primal path following method, primal-dual path following method, convergence theory, complexity; interiorpoint methods for general convex optimization: selfconcordant barrier funtions, selfconcordance and Newton’s method,short step method, long step method, applicationsLiteraturS.J. Wright: Primal-Dual Interior Point Methods;Y. Nesterov, A. Nemirovski: Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming;J. Renegar: A Mathematical View of Interior-Point Methods in Convex Optimization;Y. Ye: Interior Point Algorithms: Theory and Analysis; Wiley-Interscience41


Interacting particle systems and statistical mechanicsInteracting particle systems and statistical mechanicsModulnummer: 04-10-0341/en (Bausteine: 04-10-0341-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: BetzKonzeption: BetzBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie. Grundkenntnisse in Funktionalanalysis sindsehr hilfreich.Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseStudents will get to know some basic theory of continuous time Markov jump processes. They will learn the infinitesimaldescription of these processes in terms of generators, and how to reconstruct transition semigroups and eventually theprocess from its generator. They will then be introduced to the active field of interacting particle systems. These arestochastic processes where many relatively simple small parts interact and create effects on a greater scale - examplesare spreading of diseases or opinions, or magnetization in matter. Models covered will include the ferromagnetic Isingmodel (modeling magnetism) , the contact process (modeling spreading of diseases), and the simple exclusion process.In the second part of the lecture, we will cover the foundations of statistical mechanics. Mathematically this is to studythe equilibrium distributions of some of the particle systems above. We will introduce the thermodynamic limit andthe thermodynamic quantities such as pressure and free energy, and their significance for the bulk properties of theinteracting particle system.InhaltStochastische Sprungprozesse in stetiger Zeit: Zustandsraum, Halbgruppe, Generator. Markovketten in stetiger Zeit.Interagierende Teilchensysteme: Wichtige Beispiele (Spin-Systeme, Kontaktprozess, Exclusion process); Korrelationsungleichungen,Monotonie und Kopplung, graphische Darstellungen, DualitätStatistische Mechanik: Thermodynamische Größen und thermodynamischer Limes, ideales Gas, Gibbs-Maße und Phasenübergänge.ContentsStochastic jump processes in continuous time: state space, semigroup, generator, Markov chains in continuous time.Interacting particle systems: important examples (spin systems, contact process, exclusion process); correlation inequalities,monotonicity and coupling, graphical representation, duality.Statistical Mechanics: thermodynamic quantities and thermodynamic limits, the ideal gas, Gibbs-measures and phasetransitions.LiteraturKlenke: Wahrscheinlichkeitstheorie (for the basics)Liggett: Continuous time Markov Processes: an introduction; (the first two parts of the lecture will follow chapters 2-4there).Liggett: Interacting particle systems (a much more in depth book for some background reading).Georgii: Gibbs measures und phase transitions (we will introduce some of the material there in the last third of thecourse, but with some significant simplifications).42


Introduction to Computability TheoryEinführung in die BerechenbarkeitstheorieModulnummer: 04-10-0059/en (Bausteine: 04-00-0167-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KohlenbachKonzeption: KohlenbachBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Mathematische Logik. Für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen derInformatik I.Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden1) die grundlegenden Theoreme der klassischen Berechenbarkeitstheorie (Normalformtheoreme, S-m-n Theorem, Rekursionstheoreme)in ihrem Inhalt und ihrer Bedeutung wiederzugeben und in einfacheren Situtationen anzuwenden;2) arithmetisch definierte Prädikate ihrer Komplexität nach in der arithmetischen Hierarchie einzuordnen;3) verschiedene Reduktionsbegriffe (many-one, truth-table, Turing) in ihrer unterschiedlichen Bedeutung wiedergebenund gegebüberstellen;4) zu einem Grundverständnis der Prioritätsmethode von Friedberg und Muchnik und zur selbstständigen Erarbeitenweiterführender Literatur hierzu.InhaltDiese Vorlesung gibt eine Einführung in die klassische Rekursionstheorie (Berechenbarkeitstheorie) und kulminiert inder Lösung von Posts Problem durch die Prioritätsmethode (Friedberg/Muchnik). Inhaltsverzeichnis: Basis- Maschine,Definition rekursiver Funktionen, Kodes und Indizes, Kleenes Normalform-Theorem, Kleenes Rekursionstheorem, Thesevon Church, relative Rekursion, arithmetische Hierarchie, rekursiv aufzählbare Relationen, Turing-Grade, Lösung desProblems von Post, berechenbare Funktionale.ContentsThis course gives a brief introduction to classical recursion (computability) theory culminating in the solution of Post’sproblem by the priority method (Friedberg/Muchnik). Table of contents: the basic machine, definition of recursivefunctions, codes and indices, Kleene normal form theorem, Kleene recursion theorem, Church’s thesis, relative recursion,arithmetical hierarchy, recursively enumerable relations, Turing degrees, solution of Post’s problem, computablefunctionals.LiteraturShoenfield, Joseph R.: Recursion Theory. ASL and A K Peters, 96pp., 2001.43


Kategorielle LogikCategorical LogicModulnummer: 04-10-0211/de (Bausteine: 04-00-0211-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- können Logikkalküle in kategoriellen Modellen interpretieren- können mit von Set verschiedenen Presheaf Topoi umgehen- entwickeln ein Verständnis für die intuitionistische Logik.Inhaltkartesisch abgeschlossene Kategorien, elementarer Topos, interne Logik, (Prä-)GarbenContentscartesian closed categories, elementary topos, internal logic, (pre)sheavesLiteraturSkript online erhältlich44


KategorientheorieCategory TheoryModulnummer: 04-10-0210/de (Bausteine: 04-00-0210-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- können zentrale Begriffe aus Algebra und Topologie kategoriell formulieren- können das Yoneda Lemma flexibel verwenden- sind mit Limiten und Colimiten vertraut- beherrschen den Begriff der Adjunktion in seinen verschiedenen Formulierungen- können wesentliche mathematische Sachverhalte in Termen von Adjunktionen formulieren.InhaltKategorien, Funktoren, Yoneda Lemma, Limiten und Colimiten, Adjunktionen, MonadenContentscategories, functors, Yoneda lemma, limits and colimits, adjoints monadsLiteraturSkript online erhältlich45


Kurvenschätzungcurve estimationModulnummer: 04-10-0243/de (Bausteine: 04-00-0241-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KohlerKonzeption: KohlerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 3 JahreLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische StatistikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- die wichtigsten Verfahren der Kurvenschätzung (d.h. Dichte- und Regressionsschätzung) beschreiben,- diese mathematisch analysieren und die dabei behandelten Beweismethoden auf verwandten Fragenstellungen uebertragen.InhaltDichteschätzung (Bedeutung des L1-Fehlers, universelle Konsistenz des Kerndichteschätzers), Regressionsschätzung beifestem Design (Analyse von nichtparametrischen Kleinste-Quadrate-<strong>Sc</strong>hätzern mit Hilfe der Theorie empirischer Prozesse),Regressionsschätzung bei zufälligem Design (lokale Durschschnittsschätzer, universelle Konsistenz und optimaleKonvergenzraten).ContentsDenisity estimation (L1 error, kernel estimate, universal consistency), regression estimation with fixed design (leastsquares estimates, application of empirical process theory), regression estimation with random design (local averaging,universal consistency, optimal rate of convergence)LiteraturDevroye: A Course In Density Estimation.Györfi, Kohler, Krzyzak, Walk: A distribution-free theory of nonparametric regression.van de Geer: Empirical Processes in M-Estimation.46


Lie-AlgebrenLie AlgebrasModulnummer: 04-10-0147/de (Bausteine: 04-00-0022-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: <strong>Sc</strong>heithauerKonzeption: <strong>Sc</strong>heithauerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: AlgebraLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreichem Abschluss des Moduls kennen die Studierenden die wichtigsten Beispiele von Lie-Algebren und sind mitder grundlegenden Strukturtheorie von Lie-Algebren vertraut. Sie kennen außerdem die Grundzüge der Darstellungstheoriehalbeinfacher Liealgebren.InhaltBeispiele von Lie-Algebren, nilpotente, auflösbare und halbeinfache Lie-Algebren, Cartan-Unteralgebren, Darstellungstheorievon sl2(C), Wurzelsysteme, Strukturtheorie halbeinfacher Lie-Algebren, Darstellungstheorie halbeinfacher Lie-AlgebrenContentsExamples of Lie algebras, nilpotent, solvable and semisimple Lie algebras, Cartan subalgebras, representation theory ofsl2(C), root systems, structure theory of semisimple Lie algebras, representation theory of semisimple Lie algebrasLiteraturSerre: Complex semisimple Lie algebras, SpringerHumphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory, SpringerBourbaki: Lie groups and Lie algebras, Springer47


Lineare Algorithmische GeometrieLinear Computational GeometryModulnummer: 04-10-0292/de (Bausteine: 04-00-0287-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: JoswigKonzeption: JoswigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: LA und Ana, Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierendeno geometrische Probleme algorithmisch lösen,o konvexe Hüllen berechnen,o die geometrischen Grundlagen der linearen Optimierung besser verstehen.InhaltBerechnung konvexer Hüllen, Voronoi-Diagramme, Delone-Triangulierungen, Anwendung: KurvenrekonstruktionContentsconvex hull computation, Voronoi diagrams, Delone triangulations, applications: curve reconstructionLiteraturM. de Berg, M. van Krefeld, M. Overmars and O. <strong>Sc</strong>hwarzkopf, Computational geometry, Springer, 2000 (2nd ed.).H. Edelsbrunner, Algorithms in combinatorial geometry, Springer, 1987.M. Joswig and T. Theobald, Algorithmische Geometrie, Vieweg, 2008.48


Markovketten und wechselwirkende stochastische ModelleMarkov chains and interacting stochastic systemsModulnummer: 04-10-0318/de (Bausteine: 04-10-0318/vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: BetzKonzeption: BetzBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra und WahrscheinlichkeitstheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden lernen mit Makovketten die wichtigsten und einfachsten stochastischen Modelle kennen, die überrein unabhängige Zufallsvariable hinausgehen. Sie lernen klassische Ergebnisse, aber auch wichtige neuere Technikenwie stochastische Kopplung und spektrale Methoden. Andererseits lernen sie die wichtigsten Modelle der statistischenMechanik kennen, und sehen einfachste Meispiele für Phasenübergänge. Am Ende des Kurses haben sie einen solidenÜberblick über die wichtigsten Grundlagen des Gebietes.InhaltMarkovketten: stationäre Verteilungen, Rekurrenz und Transienz, Konvergenz zur stationären Verteilung, Variationsdistanz,Mischungszeit, Kopplung; Beidpiele: Irrfahrt auf Z und allgemeinen Gruppen, Geburts- und Todesprozesse,Urnenmodelle, Diaconis’ Spielkarten-Mischen.Teilchensysteme: Ising-Modell, Curie-Weiss-Modell, Thermodynamischer Limes, Phasenübergänge.ContentsMarkov chains stationary distribution, recurrende and transience, convergence to equilibrium, total variation distance,mixing time, coupling. Examples: random walk on Z and general groups, birth- and death chains, urn models, Diaconis’card shuffling.Particle systems: Ising model, Curie-Weiss model, Thermodynamic limit, phase transitions.LiteraturD. A. Levin, Y. Peres, E. L. Wilmer: Markov Chains and Mixing Times; AMS publishing (2009).J. R. Norris: Markov chains; Cambridge University Press, (1998).T. M. Liggett: Interacting Particle Systems, Springer Classics in Mathematics (2005).49


Mathematical Fluid Dynamics - Modeling, Analysis and Qualitative Behaviour ofTwo-Phase FlowsMathematical Fluid Dynamics - Modeling, Analysis and Qualitative Behaviour of Two-Phase FlowsModulnummer: 04-10-0336/de (Bausteine: 04-10-0336-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: KöhneKonzeption: KöhneBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutsch oder englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Funktionalanalysis, Partielle DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden erhalten einen Einblick in die aktuellen Methoden im Bereich Mathematical Fluid Dynamics. Begleitetvon einem durchgehenden Beispiel – Zwei-Phasen-Strömungen ohne Phasenübergang – werden hierbei die mathematischeModellierung auf Basis kontinuumsmechanischer Methoden sowie die aktuellen Methoden der Analysis quasilinearer,parabolischer Systeme auf Basis maximaler L p -Regularität und deren Anwendung auf konkrete Problemstellungen erlernt.Weiterhin erlernen die Studierenden die aktuellen Methoden zur Untersuchung des qualitativen Verhaltens von Lösungenzu komplexen dynamischen Systemen und deren Anwendung auf konkrete Problemstellungen, insb. auf Probleme mitfreien Rändern.InhaltZwei-Phasen-Strömungen ohne Phasenübergang:Modellierung auf Basis kontinuumsmechanischer Methoden,Analysis auf Basis maximaler L p -Regularität,Equilibria,Generalized Principle of Linearized (In-) Stability,Rayleigh-Taylor-InstabilitätContentstwo-phase flows without phase transition:modeling (continuum mechanics),analysis (maximal L p -regularity),equilibria,generalized principle of linearized (in-) stability,Rayleigh-Taylor instabilityLiteraturG. K. Batchelor: An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press, 2000W. Noll, C. Truesdell: The Non-Linear Field Theories of Mechanics Springer, 200350


Mathematical Foundations of Functional Programming 1Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 1Modulnummer: 04-10-0247/en (Bausteine: 04-00-0245-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- kennen die grundlegenden Techniken der operationalen und denotationalen Semantik- sind mit Beweistechniken für rein funktionale Programme vertraut- können logische Relationen verwenden, um computational adequacy zu beweisen- können Domain Equations lösen.Inhaltoperationale und denotationale Semantics, Domaintheorie, logische Relationen, Logik funktionaler ProgrammeContentsoperational semantics, denotational semantics, domain theory, logical relations, logic of functional programsLiteraturT. Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World <strong>Sc</strong>ientific (2006)51


Mathematical Foundations of Functional Programming 2Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 2Modulnummer: 04-10-0248/en (Bausteine: 04-00-0246-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 1Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- können rekursive Domain Equations lösen und Eigenschaften darüber beweisen- kennen den Begriff der full abstraction und können überprüfen, ob er für ein Modell vorliegt oder nicht- kennen eine Konstruktion des voll abstrakten Modells für PCF mithilfe von Kripke logischen Relationen- sind mit der Erweiterung des Berechenbarkeitsbegriffs auf Domains vertraut.InhaltFull Abstraction, Berechenbarkeit in DomainsContentsfull abstraction, computability in domainsLiteraturT. Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World <strong>Sc</strong>ientific (2006)52


Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 1Mathematical Foundations of Functional Programming 1Modulnummer: 04-10-0247/de (Bausteine: 04-00-0259-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- kennen die grundlegenden Techniken der operationalen und denotationalen Semantik- sind mit Beweistechniken für rein funktionale Programme vertraut- können logische Relationen verwenden, um computational adequacy zu beweisen- können Domain Equations lösen.Inhaltoperationale und denotationale Semantics, Domaintheorie, logische Relationen, Logik funktionaler ProgrammeContentsoperational semantics, denotational semantics, domain theory, logical relations, logic of functional programsLiteraturT. Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World <strong>Sc</strong>ientific (2006)53


Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 2Mathematical Foundations of Functional Programming 2Modulnummer: 04-10-0248/de (Bausteine: 04-00-0260-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 1Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- können rekursive Domain Equations lösen und Eigenschaften darüber beweisen- kennen den Begriff der full abstraction und können überprüfen, ob er für ein Modell vorliegt oder nicht- kennen eine Konstruktion des voll abstrakten Modells für PCF mithilfe von Kripke logischen Relationen- sind mit der Erweiterung des Berechenbarkeitsbegriffs auf Domains vertraut.InhaltFull Abstraction, Berechenbarkeit in DomainsContentsfull abstraction, computability in domainsLiteraturT. Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World <strong>Sc</strong>ientific (2006)54


Mathematische Modellierung chemisch reagierender StrömungenMathematical modeling of chemically reactive flowsModulnummer: 04-10-0335/de (Bausteine: 04-10-0335-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: BotheKonzeption: BotheBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Analysis, Analysis III oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden erlernen Methoden der Bilanzierung und Modellierung und können diese auf mehrkomponentige Fluidsystemeanwenden. Sie haben das notwendige mathematische Rüstzeug, um differentielle Bilanzgleichungen aus derintegralen Form abzuleiten. Sie kennen das Entropieprinzip und können Flüsse in dissipative Mechanismen thermodynamischkonsistent modellieren. Sie erlernen die Grundlagen zur Beschreibung chemischer Reaktionskinetiken undkönnen den Zusammenhang zwischen detailliertem Gleichgewicht und dem Entropieprinzig herstellen. Sie verstehen denZusammenhang zwischen Fickscher Diffusion und den Maxwell-Stefan Gleichungen.InhaltKontinuumsmechanische Modellierung für gasförmige oder flüssige Mischungen; das Entropieprinzip und die Formulierungkonstituierender Gleichungen; <strong>Sc</strong>hließung des Systems von Partialimpulsbilanzen ohne und mit chemischen Reaktionen;Zusammenhang zur klassischen Theorie der Thermodynamik irreversibler Prozesse; Multikomponenten-Diffusion; Herleitungder Maxwell-Stefan Gleichungen und deren Erweiterung auf chemisch reagierende Systeme; Grundlegendes zurAnalysis der Maxwell-Stefan-Gleichungen; Massenwirkungskinetik und Prinzip des detaillierten Gleichgewichts; Modellreduktionmittels QuasistationaritätContentsContinuumsmechanical modeling of fluid mixtures; the entropy principle and a framework for constitutive equations; closureof the partial momentum balances without or with chemical reactions; relations to the classical TIP; multicomponentdiffusion; the Maxwell-Stefan equations and their extension to reactive mixtures; basic analysis of the Maxwell-Stefanequations; mass action kinetics and the principle of detailed balance; model reduction via quasi-steady-state approximationLiteraturV. Giovangigli: Multicomponent Flow Modeling, Springer 1999.S. R. De Groot, P. Mazur: Non-Equilibrium Thermodynamics, Dover 1983.R. Taylor, R. Krishna: Multicomponent Mass Transfer, Wiley 1993.55


Mathematische Modellierung fluider GrenzflächenMathematical modeling of fluidic interfacesModulnummer: 04-10-0291/de (Bausteine: 04-00-0286-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: BotheKonzeption: BotheBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Analysis, Analysis III oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen sie die an fluiden Grenzflächen auftretenden Phänomene- können sie integrale Bilanzen zweiphasiger Fluidsysteme aufstellen- können sie differentielle Form der Bilanzgleichungen herleiten- können sie <strong>Sc</strong>hließungsterme und Transmissionsbedingungen aufstellen- kennen sie numerische Ansätze zur Beschreibung kapillarer GrenzflächenInhaltAnalysis: Grundlagen des Calculus auf Flächen; zweiphasige Transport- Theoreme; Transporttheoreme für bewegte Flächenstücke;einige Grundlagen zur Analysis quasilinearer freier Randwertprobleme. Modellierung: zweiphasige Erhaltungsgleichungenfür Masse, Impuls und Stoffmenge in integraler Form; lokale Formulierung mittels Sprungbedingungenam Interface; Modellierung von Grenzflächenspannung, Stoffübergang sowie Ad- und Desorptionsvorgängen. Numerik:Prinzipielle numerische Zugänge für zweiphasige Strömungen wie Front-Tracking, Level Set, Volume of Fluid (VOF);Diskretisierung von VOF mittels Finite Volumen; Interface Rekonstruktion, Behandlung der Grenzflächenspannung.ContentsBasic calculus on surfaces; two-phase and surface transport theorems; remarks on quasilinear free boundary problems.Derivation of two-phase integral balance equations for mass, momentum and species mass; derivation of local balancesand interfacial jump conditions; modeling of surface tension, mass transfer, ad- and desorption. Principal numericalapproaches like Front Tracking, Level Set or Volume of Fluid method (VOF); Finite Volume discretisation of VOF;interface reconstruction, surface tension treatment.LiteraturR. Aris: Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Dynamics, Dover 1962.J.C. Slattery, L. Sagis, E.-S. Oh: Interfacial Transport Phenomena (2nd ed.), Springer 2006.D.A. Edwards, H. Brenner, D.T. Wasan: Interfacial Transport Processes and Rheology, Butterworth-Heinemann 1991.56


Mathematische Modellierung fluider Grenzflächen IIMathematical modeling of fluidic interfaces IIModulnummer: 04-10-0309/de (Bausteine: 04-10-0309-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: BotheKonzeption: BotheBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen:Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden erlernen Methoden der Bilanzierung und Modellierung und können diese auf Transportprozesse inzweiphasigen Fluidsystemen anwenden. Sie haben das notwendige mathematische Rüstzeug, um differentielle Bilanzgleichungenaus der integralen Form abzuleiten. Sie kennen die an fluiden Grenzflächen auftretenden Transportprozesse(Stoff- & Wärmeübergang, Phasenübergang sowie Kontaktlinien) und können diese mathematisch modellieren.Inhalt1) Thermodynamisch konsistente Modellierung von 3-Phasen Kontaktlinien: Interface Belegung mit Masse, InterfaceImpulsbilanz, Kontaktlinienmodellierung2) Stoffübergang über deformierbare, in Form und Lage freie fluide Grenzflächen: chemische Potentiale, Sprung- undTransmissionsbedingungen an fluiden Grenzflächen3) Wärmeübergang mit Phasenwechsel: Stefan-Strom, zwei-phasige Energiebilanz, latente Wärme, VerdampfungContents1) Thermodynamically consistent modeling of three phase contact line: interfacial mass and momentum balance, triplephase contact line2) Mass transfer across fluidic interfaces: chemical potential, interfacial jump conditions3) Heat transfer with phase change: Stefan flow, two-phase energy balance, latent heat, evaporationLiteraturI. Müller: Thermodynamics, Pitman 1985J.C. Slattery, L. Sagis, E.-S. Oh: Interfacial Transport Phenomena (2nd ed.),Springer 2006.D.A. Edwards, H. Brenner, D.T. Wasan: Interfacial Transport Processes and Rheology, Butterworth-Heinemann 1991.57


Mathematische StatistikMathematical StatisticsModulnummer: 04-10-0199/de (Bausteine: 04-00-0073-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KohlerKonzeption: KohlerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 3 JahreLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: WahrscheinlichkeitstheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- die wichtigsten Problemstellungen und Verfahren der Mathematischen Statistik beschreiben,- Verfahren der Mathematischen Statistik im Hinblick auf den Einsatz in verwandten Fragenstellungen modifizieren,- den Einsatz von Verfahren der Mathematischen Statistik in Anwendungsbeispielen beurteilen.Inhalt<strong>Sc</strong>hätzen von Verteilungen, VC Theorie, Dichteschätzung, Punktschätzverfahren, statistische Tests, Konfidenzintervalle,nichtparametrische Regression.ContentsEstimation of distributions, VC theory, density estimation, point estimation, statistical tests, confidence intervals, nonparametricregression.LiteraturWitting: Mathematische Statistik I58


Maximale RegularitätMaximal RegularityModulnummer: 04-10-0315/de (Bausteine: 04-10-0315-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: SaalKonzeption: SaalBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Lehrveranstaltungen des ForschungsgebietesLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Funktionalanalysis, Grundlagen über Halbgruppentheorie und partielle DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistungen als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungenLernergebnisseNach der Absolvierung des Moduls können die Studierenden mit der operatorwertigen Verallgemeinerung des Muliplikatorsatzesvon Mikhlin umgehen. Sie können ihn anwenden, um maximale Regularität für quasilineare parabolischepartielle Differentialgleichungen nachzuweisen und um weitere Regularitätseigenschaften von Lösungen zu untersuchen.InhaltUMD-Räume, R-Beschränktheit, operatorwertige Fouriermultiplikatoren, maximale Regularität, quasilineare parabolischeProblemeContentsUDM-spaces, R-boundedness, Operator-valued Fourier multipliers, maximal regularity, quasilinear parabolic problemsLiteraturAmann, H., Linear and Quasilinear Parabolic Problems, vol. I. Monographs in Mathematics, vol. 89, Birkhäuser, Boston,1995.Denk, R., Hieber, H., Prüß, J., R-boundedness, Fourier multipliers and problems of elliptic and parabolic type. Mem.Amer. Math. Soc. 166 (2003), no. 788, pp. viii+114.Kunstmann, P.C., Weis, L., Maximal Lp-regularity for parabolic equations, Fourier multiplier theorems and H1-functionalcalculus. Functional Analytic Methods for Evolution Equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1855, Springer,Berlin, 2004, pp. 65-311.59


Mehrgitter-MethodenMultigrid MethodsModulnummer: 04-10-0068/de (Bausteine: 04-00-0035-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik von DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien für Mehrgittermethoden beschreiben, erklären undanwenden.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltFinite Differenzenverfahren, Finite Volumen Methode, CG-Verfahren, Hierarchische Basen, MehrgitterverfahrenContentsFinite differences, finite volume method, conjugate gradient, hierarchical bases, multigrid methodsLiteraturBraess: Finite Elemente, Springer 2007Großmann/Loos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.60


MinimalflächenMinimal surfacesModulnummer: 04-10-0062/de (Bausteine: 04-00-0164-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: Große-BrauckmannKonzeption: Große-BrauckmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionentheorie, DifferentialgeometrieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die Minimalflächengleichung in verschiedenen Versionen herleiten. Sie handhaben die variationelleBeschreibung und können das Maximumprinzip in geometrischen Situationen einsetzen. Sie können ihre Argumentationauf genügend viele Beispielflächen stützen. Sie können die Weierstraß-Darstellung einsetzen, um Flächen zu konstruierenoder analysieren.InhaltMinimalflächengleichung und Beispiele 1. und 2. Variation des Inhalts Maximumprinzip Weierstraß-Darstellung weitereThemenContentsminimal surface equation and examples 1st and 2nd variation of area maximum principle Weierstrass representationfurther topicsLiteraturEschenburg, Jost: Differentialgeometrie und MinimalflächenDierkes, Hildebrandt, Sauvigny: Minimal surfacesNitsche: Minimalflächen61


Minimalflächen IIMinimal surfaces IIModulnummer: 04-10-0064/de (Bausteine: 04-00-0165-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: Große-BrauckmannKonzeption: Große-BrauckmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Minimalflächen ILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können auf dem Plateauproblem basierende Existenzsätze darstellen. Sie lernen einige Ergebnisse derFunktionentheorie kennen, die sie in die Lage versetzen, Minimalflächen zu analysieren und systematisch zu konstruieren;Studierende können damit die Existenz einiger prominente Beispielflächen beweisen.InhaltPeriodische Minimalflächen; <strong>Sc</strong>hwarzsches Spiegelungsprinzip; Weierstraß-Darstellung und Beispiele; Konjungierten-KonstruktionContentsperiodic minimal surfaces; <strong>Sc</strong>hwarz reflection principle; Weierstrass representation with examples; conjugate surfaceconstructionLiteraturOsserman: Minimal surfaces;Dierkes, Grüter, Hildebrandt, Wohlrab: Minimal surfaces I;Nitsche: Minimalflächen62


Modal LogicsModallogikenModulnummer: 04-10-0061/en (Bausteine: 04-00-0170-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic; für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen der InformatikIILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden beherrschen die grundlegenden Begriffe und Techniken der Modelltheorie von Modallogiken. Sie könnendie klassischen Sätze und Beweismethoden einsetzen, um die Kripkesemantik diverser klassischer Modallogiken und einigerexemplarischer Weiterungen zu analysieren.InhaltKripke Semantik für Modallogiken; Bisimulation: Spiele und Ausdruckstärke; Modallogik als Fragment der Logik ersterStufe; klassische Korrespondenztheorie; Endliche Modelltheorie der Modallogik; relevante Erweiterungen der Modallogik(z.B. temporale Logiken, Programm-Logiken, µ-Kalkül, guarded logics)ContentsKripke semantics for modal logics; bisimulation techniques: games and expressive power; modal logic as a fragment offirst-order logic; classical correspondence theory; finite model theory of modal logics; relevant extensions of basic modallogic (e.g., temporal logics, program logics, modal µ-calculus, guarded logics)LiteraturBlackburn, de Rijke, Venema: Modal LogicGoranko, Otto: Model Theory of Modal Logics, in: Handbook of Modal Logic, Blackburn, van Benthem, Wolter (eds)63


Model TheoryModelltheorieModulnummer: 04-10-0212/en (Bausteine: 04-00-0212-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Introduction to Mathematical LogicLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden verfügen über ein vertieftes Verständnis der Zusammenhänge zwischen syntaktischen Formalisierungenund semantischen Phänomenen und gewinnen Einsichten in die Ausdrucksstärke der Logik erster Stufe. Sie sind in derLage, grundlegende Kenntnisse und Techniken aus universeller Algebra, Mengenlehre und Kombinatorik in der Diskussionvon Beweisen und Resultaten der klassischen Modelltheorie zu demonstrieren.InhaltModellkonstruktionen (z.B. Ultraprodukte, Kettenkonstruktionen); klassische Erhaltungssätze (Sätze über Ausdrucksvollständigkeit);modelltheoretische Spiele, back&forth, partielle Isomomorphie; Typen und Saturiertheit; abzählbare Modelleund Kategorizität; Fraïssé Limiten and 0-1-GesetzeContentsmodel constructions (e.g. ultra-products, elementary chains); classical preservation theorems (expressive completenessresults); model theoretic games, back&forth, partial isomomorphy; types and saturation properties; countable modelsand categoricity; Fraïssé limits and 0-1-lawsLiteraturCori/Lascar: Mathematical LogikChang/Keisler: Model TheoryHodges: Model TheoryHodges: A Shorter Model TheoryMarker: Model Theory, an IntroductionRothmaler: ModelltheoriePoizat: A Course in Model Theory64


Modellierung und effiziente Simulation dynamischer Systeme ausgewählter<strong>Sc</strong>hlüsselindustrienModeling and efficient simulation of dynamical systems in selected core industriesModulnummer: 04-10-0334/de (Bausteine: 04-10-0334-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können für dynamische Systeme der ausgewählten Anwendungsgebiete mathematische Modelle in Formvon Differentialalgleichungen und differentialalgebraischen Gleichungen aufstellen. Sie kennen wesentliche Ursachen fürhohen Rechenaufwand und Simulationeschwierigkeiten und können sie durch geeignete Modellierung beseitigen.InhaltExemplarische Anwendungsgebiete: Reaktionskinetik, elektrische <strong>Sc</strong>haltkreise, Mehrkörpersysteme. Modellierungstechniken:Explizite und implizite Erhaltungsgrößen, automatische Modellgeneratoren, Projektionsmethoden. Simulationstechniken:Automatisches Differenzieren, Sensitivitätsanalyse, differentialalgebraischen Gleichungen.ContentsTechnical applications: e.g. reaction kinetics, electrical circuits, multi body system dynamics. Modeling techniques: explicitand implicit conservation laws, automatic model generators, projection techniques. Simulation techniques: automaticdifferentiation, sensitivity analysis, differential algebraic equations.Literatur65


Navier-Stokes Gleichungen INavier-Stokes Equations IModulnummer: 04-10-0213/de (Bausteine: 04-00-0213-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: GeissertKonzeption: Farwig, Geissert, HieberBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis,oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- die (Navier-)Stokes Gleichungen physikalisch interpretieren- die Helmholtz-Projektion definieren und über deren Existenz diskutieren- Existenz- und Eindeutigkeitssätze für starke oder schwache Lösungen der Stokes-Gleichung auflisten und die entsprechendenBeweisideen skizzieren- Eigenschaften der Lösung der Stokes-Gleichung beschreibenInhaltMethoden zur Behandlung partieller Differentialgleichungen, die zur Lösung von Problemen der Strömungsmechaniknützlich sind. Halbgruppentheorie, Wärmeleitungsgleichung, Divergenzproblem, elliptische Randwertprobleme. WichtigeFunktionenräume der Hydrodynamik. Lösungstheorie der Stokes Gleichungen in L p . Der Stokes-Operator und Resolventenabschätzungen.<strong>Sc</strong>hwache Lösungen und das Galerkin-Verfahren.ContentsMethods for the solution of partial differential equations that are useful for the solution of hydrodynamical problems.Semigroup theory, the heat equation, the divergence-problem, elliptic boundary-value problems. Important functionspaces of hydrodynamics. Solvability of the Stokes equations in L p . The Stokes-operator and resolvent estimates. Weaksolutions and the Galerkin method.LiteraturGaldi: An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Springer VerlagSohr: The Navier-Stokes equations. An elementary functional analytic approach. Birkhäuser VerlagTemam: Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North-Holland Publishing Co.66


Navier-Stokes Gleichungen IINavier-Stokes Equations IIModulnummer: 04-10-0254/de (Bausteine: 04-00-0248-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: HeckKonzeption: Farwig, Heck, HieberBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis, Die Navier-Stokes Gleichungen Ioder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- verschiedene für die Navier-Stokes Gleichungen relevante Lösungsbegriffe nennen- mehrere Methoden zur Lösung der Navier-Stokes Gleichungen beschreiben und insbesondere die Unterschiede der KatoIteration und der Methode der maximalen Regularitaet skizzieren- das Problem der Stabilität stationärer Lösungen erklären und Ergebnisse hierzu wiedergeben- weitere Modelle der Strömungsmechanik auflistenInhaltDie linearen Stokes Gleichungen in Gebieten des n . Fixpunktsätze. Lokale und globale Existenz und Eindeutigkeit starkerLösungen der Navier-Stokes Gleichungen mittels Kato Iteration oder Maximaler Regularität. Asymptotik und Stabilitätstationärer Lösungen. Boundary layers. Strömungen um sich bewegende oder rotierende Objekte. Die Euler Gleichungen.ContentsThe linear Stokes equations in a domain of n . Fixed point theorems. Existence and uniqueness of solutions to theNavier-Stokes equations with help of the Kato iteration technique or maximal regularity. Asymptotics and stability ofstationary solutions. Boundary layers. Fluids in the exterior of moving or rotating obstacles. The Euler equations.LiteraturGaldi: An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Springer VerlagSohr: The Navier-Stokes equations. An elementary functional analytic approach. Birkhäuser VerlagTemam: Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North-Holland Publishing Co.67


Nichtglatte OptimierungNonsmooth OptimizationModulnummer: 04-10-0202/de (Bausteine: 04-00-0199-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen sie die analytischen Grundlagen und Verfahren für nichtglatte Optimierungsprobleme- verstehen sie die spezifischen <strong>Sc</strong>hwierigkeiten und die resultierenen Konzepte bei nichtglatten Problemen- kennen sie Anwendungsszenarien und können diese lösen- beherrschen sie Verfahren zur Lösung nichtglatter Gleichungen- kennen sie relevanter Anwendungen für nichtglatte Gleichungssysteme und können diese mit den erlernten VerfahrenlösenInhaltNichtglatte Optimierung: Beispiele, Subdifferential konvexer Funktionen, Subgradienten-Verfahren, <strong>Sc</strong>hnittebenenverfahren,epsilon-Subdifferential, Bundle-Methoden, Anwendungen; Nichtglatte Gleichungssysteme: Beispiele, allgemeineNewton-artige Verfahren, verallgemeinerte Differentiale, Semiglattheit, semiglatte Newton-Verfahren, AnwendungenContentsNonsmooth optimization: Examples, subdifferential of convex functions, subgradient method, cutting plane method,epsilon-subdifferential, bundle methods, applications; Nonsmooth equations: Examples, generalized Newton methods,generalized differentials, semismoothness, semismooth Newton methods, applicationsLiteraturC. Geiger, C. Kanzow, Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben;W. Alt: Numerische Verfahren der konvexen, nichtglatten Optimierung68


Nichtlineare OptimierungNonlinear OptimizationModulnummer: 04-10-0074/de (Bausteine: 04-00-0174-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel jährlichLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- können sie praktische Fragestellungen als mathematische Optimierungsprobleme modellieren- beherrschen sie Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsprobleme und kennen deren Konvergenzeigenschaten- kennen sie die Optimalitätstheorie der nichtlinearen Optimierung und können sie anwenden- beherrschen sie Verfahren zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme und kennen deren KonvergenzeigenschatenInhaltModellierung praktischer Fragestellungen als Optimierungprobleme; Optimalitätsbedingungen, Dualitätstheorie; Verfahrenfür Probleme ohne Nebenbedingungen: Linesearch-und Trust-Region-Verfahren; Verfahren für Probleme mit Nebenbedingungen:Straf-, Innere-Punkte-, Multiplikator- und SQP-VerfahrenContentsModelling of practical applications as optimization problems; optimality conditions, duality theory; methods for unconstrainedproblems: Linesearch- and Trust-Region-Methods; methods for constrained problems: penalty-, interior-point-,multiplier- and SQP-methodsLiteraturGeiger, Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter OptimierungsaufgabenGeiger, Kanzow: Theorie und Numerik restringierter OptimierungsaufgabenNocedal, Wright: Numerical Optimization69


Nichtparametrische RegressionsschätzungNonparametric regressionModulnummer: 04-10-0256/de (Bausteine: 04-00-0250-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KohlerKonzeption: KohlerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 3 JahreLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische StatistikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- die wichtigsten Verfahren der nichtparametrischen Regressionsschaetzung beschreiben,- diese mathematisch analysieren und die dabei behandelten Beweismethoden auf verwandten Fragenstellungen übertragen.InhaltAufgabenstellung, L2-Fehler, Universelle Konsistenz, Minimax-Konvergenzraten, <strong>Sc</strong>hätzprinzipien, Untersuchung von LokalenDurschnittsschätzern und Kleinsten-Quadrate-<strong>Sc</strong>hätzern auf universelle Konsistenz und Konvergenzgeschwindigkeit,Grundlagen aus der VC Theorie.ContentsNonparametric regression, L2 error, universal consistency, Minimax principle, principle of estimation, universal consistencyand rate of convergence of local averaging estimates and least squares estimates, VC theoryLiteraturGyörfi, Kohler, Krzyzak, Walk: A distribution-free theory of nonparametric regression.70


Numerik der Optimierung mit partiellen DifferentialgleichungenNumerical analysis of optimal control problems governed by partial differential equationsModulnummer: 04-10-0368/de (Bausteine: 04-10-0368-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: YouseptKonzeption: YouseptBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutsch oder englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Nichtlineare Optimierung, ein Modul zu partiellen Differentialgleichungen (z.B. Partielle Differentialgleichungen:Klassische Methoden, Partielle Differentialgleichungen: Funktionalanalytische Methoden, Numerikelliptischer Differentialgleichungen)Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- beherrschen Sie die numerische Analyse auf Basis von Finiten-Elementen-Methoden (FEM) und wichtige Lösungsverfahrenzur Behandlung elliptischer Optimalsteuerungsproblemen- kennen Sie die mathematischen Grundlagen der Divergenz- und Rotationsoperatoren der modernen Vektoranalysis sowiederen numerische Analyse auf Basis der Nedelec-Kantenelemente und Raviart-Thomas-Elemente- beherrschen sie die mathematische und numerische Analyse zur Behandlung von Optimalsteuerungsproblemen magnetostatischerMaxwell-Gleichungen.InhaltNumerische Analyse auf Basis der Finiten-Elemente für elliptische Optimalsteuerungsaufgaben, Fehlerabschätzungen,Einführung in die Finite-Elemente-Software FEniCS, Divergenz- und Rotationsoperatoren der modernen Vektoranalysis,gemischte Variationsformulierungen, Helmholtz-Zerlegung, Nedelec Kantenelemente, Raviart-Thomas-Elemente, stetigeP1-Elemente, Optimalsteuerungsprobleme magnetostatischer Maxwell-Gleichungen.ContentsNumerical FE-analysis for elliptic optimal control problems, error estimates, Finite-Element-Software FEniCS, mathematicaland numerical analysis for Div- and Rot-Operators, mixed variational formulation, Helmholtz-decomposition,Nedelec edge elements, Raviart-Thomas-Elements, continuous P1-elements, optimal control of magnetostatic Maxwell’sequations.LiteraturTröltzsch: Optimale Steuerung partieller DifferentialgleichungenP. Monk: Finite Element Methods for Maxwell’s EquationsS. Brenner, R. <strong>Sc</strong>ott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods71


Numerik Elliptischer DifferentialgleichungenNumerical Analysis of Elliptic EquationsModulnummer: 04-10-0066/de (Bausteine: 04-00-0172-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für elliptische Differentialgleichungenbeschreiben, erklären und anwenden.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltWoher kommen partielle Differentialgleichungen? Klassische Lösungen elliptischer Probleme, Finite Differenzenverfahren,Finite Volumen Methode, Elliptische Variationsprobleme, Finite Elemente, CG-Verfahren, Hierarchische Basen, Mehrgitterverfahren.ContentsWhere do PDE’s come from? Classical solutions of elliptic problems, finite differences, finite volume method, variationalformulation, finite element methods, conjugate gradient, hierarchical bases, multigrid methods.LiteraturBraess: Finite Elemente, Springer 2007,Larsson/Thomee: PDE with Numerical Methods, Springer 2003,Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.72


Numerik Großer Steifer DifferentialgleichungssystemeNumerical Analysis of Large Stiff Differential Equation SystemsModulnummer: 04-10-0321/de (Bausteine: 04-10-0321-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für große steife Differentialgleichungssystemebeschreiben, erklären und anwenden. Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen undvergleichen können.InhaltLjapunovsche und exponentielle Stabilität, Runge-Kutta-Verfahren (RKV). Rosenbrock-Verfahren, Stabilitätsfunktionen,partitionierte linear implizite RKV, stabilisierte explizite RKV, Krylov-W-Methoden, exponentielle W-Methoden.ContentsLjapunov and exponential stability, Runge-Kutta methods (RKM), Rosenbrock methods, stability functions, partitionedlinearly implicit RKM, stabilised explicid RKM, Krylos-W-Methods.LiteraturStrehmel/Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Teubner 1995.Hairer/Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Springer 1995.73


Numerik Steifer DifferentialgleichungenNumerical Analysis of Stiff Differential EquationsModulnummer: 04-10-0257/de (Bausteine: 04-00-0251-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für steife Differentialgleichungenbeschreiben, erklären und anwenden.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltSteife Differentialgleichungen, Differentialalgebraische Gleichungen, Randwertprobleme, Kollokation, <strong>Sc</strong>hießverfahren.ContentsStiff differential equations, differential algebraic equations, boundary value problems, collocation methods, shootingmethods.LiteraturStrehmel/Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Teubner 1995.Brenan/Campbell/Retzold: Numerical Solution of IVPs in DAEs, Siam 1996.74


Numerik von EvolutionsgleichungenNumerical Analysis of Evolution EquationsModulnummer: 04-10-0069/de (Bausteine: 04-00-0154-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für Evolutionsgleichungenbeschreiben, erklären und anwenden.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltParabolische Differentialgleichungen: Klassische Lösungen, Maximumprinzip, Finite Differenzen, Finite Elemente, Einschrittverfahren.Hyperbolische Differentialgleichungen: Klassische Lösungen, schwache Lösungen, Konsistenz, CFL-Bedingung, Konvergenz, Finite-Volumen-Verfahren, Verfahren höherer Ordnung, Randbedingungen.ContentsParabolic Equations: Classical solutions, maximum principle, fiinite differences, finite elements, onestep methods. HyperbolicEquations: Classical solutions, weak solution consistence, CFL-condition, convergence, finite volumne, higher ordermethods, boundary conditions.LiteraturLeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press 2003Larsson/Thomee: PDE with Numerical Methods, Springer 2003Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.75


Numerik von Hyperbolischen DifferentialgleichungenNumerical Analysis of Hyperbolic EquationsModulnummer: 04-10-0071/de (Bausteine: 04-00-0156-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für hyperbolische Differentialgleichungenbeschreiben, erklären und anwenden.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltHyperbolische Differentialgleichungen: Klassische Lösungen, schwache Lösungen, Konsistenz, CFL-Bedingung, Konvergenz,Finite-Volumen-Verfahren, Verfahren höherer Ordnung, Randbedingungen.ContentsHyperbolic Equations: Classical solutions, weak solution consistence, CFL-condition, convergence, finite volumne, higherorder methods, boundary conditions.LiteraturLeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press 2003;Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.76


Numerik von Parabolischen DifferentialgleichungenNumerical Analysis of Parabolic EquationsModulnummer: 04-10-0070/de (Bausteine: 04-00-0155-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für parabolische Differentialgleichungenbeschreiben, erklären und anwenden.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltParabolische Differentialgleichungen: klassische Lösungen, Maximumprinzip, Finite Differenzen, Finite Elemente, Einschrittverfahren.ContentsParabolic Equations: classical solutions, maximum principle, fiinite differences, finite elements, onestep methods.LiteraturLarsson/Thomee: PDE with Numerical Methods, Springer 2003;Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.77


Operator semigroups and dispersive equationsOperator-Halbguppen und dispersive GleichungenModulnummer: 04-10-0329/en (Bausteine: 04-10-0329-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: Haller-DintelmannKonzeption: Haller-DintelmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: Lesekurs mit ÜbungenLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden-die wesentlichen Sätze und Methoden des Kurses wiedergeben und erklären-die Methoden auf konkrete partielle Differentialgleichungen anwenden und passende Probleme damit lösenDie Studierenden sollen-Die Ergebnisse der Veranstaltung in ihrer Bedeutung einschätzen können-Methoden entwickeln, sich selbstständig in mathematische Texte einzulesen.InhaltAnfangswertprobleme und Operator-Halbgruppen, abstraktes Cauchy-Problem, Hille-Yosida- und Lumer-Phillips-Theorem, Stabilität, semilineare Gleichungen, Wohlgestelltheit, Blow-up, Fixpunktmethoden, lineare und nichtlineareWellengleichung, lineare und nichtlineare <strong>Sc</strong>hrödinger-Gleichung, Strichartz-AbschätzungenContentsInitial value problems and operator semigroups, abstract Cauchy problem, Hille-Yosida and Lumer-Phillips theorem,stability, semilinear equations, well-posedness, blow-up, fixed point methods, linear and non-linear wave equations, linearand non-linear <strong>Sc</strong>hrödinger equations, Strichartz estimatesLiteraturSkript der Veranstaltung78


Operator Semigroups in Numerical AnalysisOperator-Halbgruppen in der Numerischen AnalysisModulnummer: 04-10-0239/en (Bausteine: 04-10-0303-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: Haller-DintelmannKonzeption: Haller-DintelmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: Lesekurs mit ÜbungenLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden-die wesentlichen analytischen Sätze und numerischen Methoden des Kurses wiedergeben und erklären-die Methoden auf konkrete partielle Differentialgleichungen anwenden und passende Probleme damit lösenDie Studierenden sollen-Die Ergebnisse der Veranstaltung in ihrer Bedeutung einschätzen können-Methoden entwickeln, sich selbstständig in mathematische Texte einzulesen.InhaltAnfangswertprobleme und Operator-Halbgruppen, gebrochene Potenzen von Operatoren, Interpolationsräume, Trotter-Kato Theoreme, Approximationen mit finiten Elementen und finiten Differenzen, Lax Equivalence Theorem, ChernoffsTheorem, Fehlerabschätzungen, rationale Approximationen, Runge-Kutta-Methoden, Operator-splitting, Anwendungenauf verschiedene partielle DifferentialgleichungenContentsInitial value problems and operator semigroups, fractional powers, interpolation spaces, Trotter-Kato theorems, finiteelement and finite difference approximations, Lax Equivalence Theorem, Chernoff Theorem, error estimates, rationalapproximations, Runge-Kutta methods, operator splitting, applications to various partial differential equationsLiteraturSkript der Veranstaltung79


OperatoralgebrenOperator AlgebrasModulnummer: 04-10-0151/de (Bausteine: 04-00-0183-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KümmererKonzeption: KümmererBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis, grundlegende Kenntnisse in Spektraltheorie sind hilfreich aber nicht notwendig.Leistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung sind die Studierenden in der Lage, das Spektrum beschränkterOperatoren auf einem Hilbertraum zu definieren und zu bestimmen sowie ihre Spektraldarstellung zu berechnen. Siekönnen verschiedene lokalkonvexe Topologien auf von Neumann Algebren unterscheiden und die zentralen Approximationssätze,den Bikommutantensatz und den Dichtesatz von Kaplansky, erklären. Mit Hilfe des Vergleichstheorems vonvon Neumann können Sie Projektionen in von Neumann Algebren vergleichen und mit ihrer Hilfe von Neumann Algebrennach ihren Typen unterscheiden.InhaltSpektraltheorie beschränkter Operatoren auf Hilberträumen, Quantenmechanik für <strong>Mathematik</strong>er, Tensorprodukte,Hilbert-<strong>Sc</strong>hmidt-, kompakte, und Spurklasseoperatoren, verschiedene Operatortopologien, von Neumann Algebren, Bikommutantensatzund Dichtesatz von Kaplansky, normale Zustände auf von Neumann Algebren und GNS-Darstellung,Geometrie von Projektionen, Klassifikation von von Neumann Algebren, Spuren und Dimensionsfunktionen.ContentsSpectral theory for bounded operators on Hilbert spaces, quantum mechanics for mathematicians, tensor products,Hilbert-<strong>Sc</strong>hmidt-, compact, and trace class operators, various operator topologies, von Neumann algebras, double commutanttheorem and density theorem of Kaplansky, normal states on von Neumann algebras and GNS-representation,geometry of projections, classification of von Neumann algebras, traces and dimension functions.LiteraturR. V. Kadison, J.R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I,II.M.Takesaki: Theory of Operator Algebras I.80


Operatoralgebren und nichtkommutative WahrscheinlichkeitstheorieOperator Algebras and Noncommutative ProbabilityModulnummer: 04-10-0258/de (Bausteine: 04-00-0252-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg), Analysis (ana)Administration: KümmererKonzeption: KümmererBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis, Spektraltheorie und OperatoralgebrenLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung sind die Studierenden in der Lage, kommutative von nichtkommutativerWahrscheinlichkeitstheorie zu unterscheiden, Tensorprodukte zu definieren und zu interpretieren, beliebigenormale Zustände und zugehörige Darstellungen zu konstruieren und schließlich die grundlegenden Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie(insbes. Zufallsvariable, bedingte Erwartungen, Übergangsoperatoren, Markov-Prozesse) in denoperatoralgebraischen Kontext zu übertragen und an ausgewählten Beispielen zu illustrieren.InhaltEinführung in die nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie, Tensorprodukte, Spurklasseoperatoren und die Algebraaller beschränkter Operatoren auf Hilberträumen, von Neumann Algebren, normale Zustände und Darstellungen,Grundbegriffe der operatoralgebraischen Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitsräume, zusammengesetzte Systeme,Zufallsvariable, bedingte Erwartungen, Übergangsoperatoren), vollständig positive Operatoren, stationäre Markov-Prozesse und Beispiele.ContentsIntroduction to noncommutative probability, tensor products, trace class operators and the algebra of all boundedoperators on a Hilbert space, von Neumann algebras, normal states and representations, basic notions of noncommutativeprobability (probability spaces, compound systems, random variables, conditional expectations, transition operators),completely positive operators, stationary Markov processes and examples.LiteraturG.J. Murphy: C*-Algebras and Operator TheoryR. V. Kadison, J.R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I,II.M.Takesaki: Theory of Operator Algebras I.Skripte aus B. Kümmerer, H. Maassen: Probability in Open Quantum Systems, in Vorbereitung.81


Optimierung im FunktionenraumOptimization in function spacesModulnummer: 04-10-0259/de (Bausteine: 04-00-0253-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Nichtlineare Optimierung, FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen sie prototypische Beispiele für unendlichdimensionale Optimierungsprobleme- beherrschen sie die wesentlichen Techniken der konvexen Analysis- kennen sie Techniken zur theoretischen Analyse von Optimierungsproblemen in unendlichdimensionalen Räumen- beherrschen und verstehen sie grundlegende Algorithmen zur Lösung unendlichdimensionaler OptimerungsproblemeInhaltDifferentiation im Banach-Raum: Gâteaux- und Fréchet-Ableitungen; Satz von Hahn-Banach, Trennungssätze; Dualitätstheorie,Minimaxtheorem, Lagrange-Dualität, Fenchel-Dualität; Sätze über Lagrange-Multiplikatoren: Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen, Regularitätbedingungen nach Robinson und Zowe/KurcyuszContentsDifferentiation in Banach spaces: Gâteaux- and Fréchet-derivatives; Hahn- Banach theorem, separation theorems; dualitytheory, minimax theorem, Lagrange duality, Fenchel duality; Lagrange multiplier theorems: Karush-Kuhn- Tuckerconditions, regularity conditions of Robinson and Zowe/KurcyuszLiteraturLuenberger: Optimization by Vector Space Methods;Ekeland, Temam: Convex Analysis and Varational Problems82


Optimierung in Transport und VerkehrOptimization in Transport and TrafficModulnummer: 04-10-0330/de (Bausteine: 04-10-0330-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: PfetschKonzeption: PfetschBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Optimierung, nach Möglichkeit: Diskrete OptimierungLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNachdem Studierende das Modul besucht haben, kennen sie grundlegende Optimierungsprobleme in Transport undVerkehr, sie beherrschen fundamentale Optimierungsmethoden (Modellierung, Spaltengenerierung, ...), und können Optimierungsmodelleund -ansätze eigenständig erarbeiten.Inhalt• Einführung in die Planung von Transport, Verkehr und Logistik (Strategische Planung, Operative Planung, OnlinePlanung)• Modelle für öffentlichen Verkehr/Güterverkehr (Netzdesign, Linienplanung, Fahrplanung, Umlaufplanung, Dienstplanung)• Modellierungstechniken (Set-Partitioning, Vehicle Routing, Multicommodity Flow, Chvatal-Gomory <strong>Sc</strong>hnitte etc.)• Komplexität• Optimierungsmethodik - Spaltengenierung• Modelle für Individualverkehr (Dynamische Flüsse, Gleichgewichtszustände, Braess-Paradoxon etc.)Contents- Introduction into the planning of transport and logistics (strategic planing, operative planning, online planning)- models for public and freight transport (network design, line planning, timetabling, vehicle and duty scheduling)- modeling techniques (set partitioning, vehicle routing, multicommodity flow, Chvatal-Gomory inequalities, etc.)- Computational complexity- Optimization methods - column generation- models for car traffic (dynamic flows, equilibria, Braess-paradoxon etc.)LiteraturSkript83


Optimierung mit partiellen DifferenzialgleichungenOptimization with partial differential equationsModulnummer: 04-10-0279/de (Bausteine: 04-00-0276-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Nichtlineare Optimierung, ein Modul zu partiellen Differentialgleichungen (z.B. Partielle Differentialgleichungen:Klassische Methoden, Partielle Differentialgleichungen: Funktionalanalytische Methoden, Numerikelliptischer Differentialgleichungen)Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- können sie Optimierungsprobleme mit partiellen Differentialgleichungen sachgerecht als Optimalsteuerungsproblememodellieren- beherrschen sie Techniken zur theoretischen Analyse von Optimalsteuerungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen(Existenz von Lösungen, Optimalitätsbedingungen) und können diese anwenden- kennen sie grundlegende Algorithmen zur Loesung von Optimalsteuerungsproblemen mit partiellen DifferentialgleichungenInhaltGrundlagen der schwachen Theorie partieller Differentialgleichungen; Linearquadratische Probleme mit Steuerungsbeschränkungen:Existenz und Eindeutigkeit, notwendige Bedingungen, adjungierte Gleichung; Semilineare Probleme mitSteuerbeschränkungen: Existenz, Nemyzkii-Operatoren, notwendige und hinreichende Bedingungen; Algorithmik: FiniteElemente für Optimalsteuerungsaufgaben, Semiglatte Newton-Verfahren, SQP-VerfahrenContentsWeak solutions of partial differential equations; Linear-quadratic problems with control constraints: existence and uniqueness,first-order necessary conditions, adjoint equations; semilinear problems with control constraints: existence,Nemyzkii operators, first-order necessary and second-order sufficient conditions; algorithms: finite elements in optimalcontrol, semismooth Newton methods, SQP methodsLiteraturTröltzsch: Optimale Steuerung partieller DifferentialgleichungenHinze, Pinnau, M. Ulbrich, S. Ulbrich: Optimization with PDE Constraints84


Partielle Differentialgleichungen IPartial Differential Equations IModulnummer: 04-10-0037/de (Bausteine: 04-00-0184-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: FarwigKonzeption: FarwigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel jährlich im SSLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis und Lineare Algebra, Grundkenntnisse der FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- elliptische Randwertprobleme mit verschiedenen Methoden der Funktionalanalysis untersuchen und verschiedene Loesungsbegriffeidentifizieren- Differentialoperatoren in Sobolevraeumen anwendenInhaltKlassische Behandlung des Laplace-Operators. Formulierung elliptischer Randwertaufgaben als Minimierungs- bzw. Variationsproblem.Theorie der Sobolevräume, Einbettungssätze und Kompaktheit. Theorie elliptischer Randwertprobleme2. Ordnung im Hilbertraum. Regularitätstheorie, Eigenwerte elliptischer OperatorenContentsClassical treatment of the Laplacian. Formulation of elliptic boundary value problems as a minimization or variationalproblem. Theory of Sobolev spaces, embedding theorems and compactness. Theory of elliptic boundary value problemsof 2nd order in Hilbert spaces, regularity theory, eigenvalues of elliptic operatorsLiteraturH.W. Alt: Funktionalanalysis (Springer)L.C. Evans: Partial Differential Equations (AMS)D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order (Springer)M. Renardy, R.C. Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations (Springer)85


Partielle Differentialgleichungen IIPartial Differential Equations IIModulnummer: 04-10-0038/de (Bausteine: 04-00-0065-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: AlberKonzeption: Alber, Farwig, Hieber, RochBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel jedes WintersemesterLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: je nach <strong>Sc</strong>hwerpunktsetzung: Modul Partielle Differentialgleichungen I, oder Modul Funktionalanalysis+ Modul Partielle Differentialgleichungen: klassische Methoden.Leistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisse-sind die Studierenden mit aktuellen Problemen für partielle Differentialgleichungen aus verschiedenen Anwendungsgebieten(z.B. Strömungsmechanik, Materialwissenschaften) vertraut und können diese erläutern,-beherrschen sie moderne funktionalanalytische Methoden zum Studium von partiellen Differentialgleichungen und könnendiese auf einfache konkrete Probleme anwenden,-kennen Sie wesentliche Eigenschaften von Sobolevräumen und können deren Rolle in der Lösungstheorie partiellerDifferentialgleichungen erklären.InhaltUntersuchung von Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen linearer und nichtlinearer partieller Differentialgleichungenmit funktionalanalytischen Methoden. Bevorzugt werden Gleichungen betrachtet, die Anwendingen zumBeispiel in der Strömungsmechanik oder den Materialwissenschaften haben. Die Ausrichtung der Vorlesung ist vomInteressens- und Forschungsgebiet des jeweiligen Dozenten geprägt.ContentsInvestigation of existence, uniqueness and regularity of linear and nonlinear partial differential equations with methods offunctional analysis. The emphasis lies on consideration of partial differential equations with applications, for example inhydrodynamics or material science. The contents of the lecture depends partially on the field of research of the lecturer.LiteraturGilbarg, Trudinger: Elliti Partial Differential Equations of Second OrderAmann: Linear and Quasilinear Parabolic ProblemsDafermos: Hyperbolic Conservation Laws in Continuum PhysicsGaldi: An Introduction to Mathematical Theory of the Navier-Strokes Equations86


Partielle Differentialgleichungen II.1Partial Differential Equations II.1Modulnummer: 04-10-0306/de (Bausteine: 04-10-0306-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: FarwigKonzeption: Alber, Farwig, Hieber, RochBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 2ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodul Partielle Differentialgleichungen ILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können Studierende- parabolische Anfangsrandwertprobleme mit mehreren Techniken untersuchen und verschiedene Lösungsbegriffe gegeneinanderabgrenzen,- Methoden der Funktionalanalysis auf parabolische Anfangsrandwertprobleme anwendenInhaltKlassische Behandlung der Wärmeleitungsgleichung in speziellen Gebieten. Funktionalanalytische Begriffsbildungen fürinstationäre Differentialgleichungen. Lösung parabolischer Randwertprobleme mit dem Galerkin-Verfahren, Regularität.Halbgruppenmethoden.ContentsClassical treatment of the heat equation. Functional analytic prerequisites for nonstationary partial differential equations.Solution of initial boundary value problems by Galerkin’s method, regularity. Semigroup approach.LiteraturL.C. Evans: Partial Differential Equations (AMS)M. Renardy, R.C. Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations (Springer)87


Partielle Differentialgleichungen II.2Partial Differential Equations II.2Modulnummer: 04-10-0307/de (Bausteine: 04-10-0307-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: FarwigKonzeption: FarwigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 2ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodul Partielle Differentialgleichungen ILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können Studierende- die Grundgleichungen der Strömungsmechanik herleiten- mit funktionalanalytischen Methoden analysieren- verschiedene Lösungsbegriffe gegeneinander abgrenzen- offene Probleme selbständig im mathematischen und physikalischen Kontext diskutierenInhaltHerleitung der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen. Lösung der Navier- Stokes-Gleichungen mit dem Galerkin-Verfahren, Eindeutigkeits- und Regularitätsprobleme. Der Leraysche Struktursatz schwacher LösungenContentsDerivation of Euler and Navier-Stokes equations. Solution of the Navier- Stokes system by Galerkin’s method, questionsof uniqueness and regularity, Leray’s structure theoremLiteraturH. Sohr, The Navier-Stokes Equations: An Elementary Functional Analytic Approach, Birkhäuser BaselVorlesungsmanuskript88


Partielle Differentialgleichungen II.2 (Evolutionsgleichungen)Partial Differential Equations II.2 (Evolution Equations)Modulnummer: 04-10-0369/de (Bausteine: 04-10-0396-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: GeißertKonzeption: GeißertBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studenten können - mit Operatorhalbgruppen umgehen. - partielle Differentialgleichungen als Abstraktes Cauchyproblemdarstellen und lösen.InhaltStarkstetige Halbgruppen, Analytische Halbgruppen, Generatorresultate, Regularität von Lösungen, semilineare Probleme,Anwendung auf konkrete Problem wie z.B. Wärmeleitungsgleichung oder Stokesgleichung.ContentsStrongly continuous semigroups, analytic semigroups, generators of semigroups, regularity of solutions, semilinear problems,applications to concrete problems as, for example, heat equation or Stokes equation.LiteraturEngel, Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer, New York, 2000Pazy: Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer, New York, 199289


PDEs on Nonsmooth DomainsModulnummer: 04-10-0303/en (Bausteine: 04-10-0308-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: MonniauxKonzeption: MonniauxBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis oder vergleichbara VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden-die wesentlichen Sätze und Methoden des Kurses wiedergeben und erklären-die Methoden auf elliptische und parabolische partielle Differentialgleichungen anwenden und passende Probleme damitlösenDie Studierenden sollen-Die Ergebnisse der Veranstaltung in ihrer Bedeutung einschätzen können-Methoden entwickeln aktuelle mathematische Ergebnisse einzuordnen.InhaltContentsLipschitz domains, Dirichlet and Neumann Problem on Lipschitz domains, reularity, weak and strong solutions, parabolicequations on Lipschitz domains, differential forms, divergence equation, Stokes equation operatior on Lipschitz domains,applications to various partial differential equationsLiteraturwird in der Vorlesung bekannt gegeben90


Positive Operator-Halbguppen und AnwendungenPositive operator semigroups and applicationsModulnummer: 04-10-0370/en (Bausteine: 04-10-0370-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: Haller-DintelmannKonzeption: Haller-DintelmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: Lesekurs mit ÜbungenLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden-die wesentlichen Sätze und Methoden des Kurses wiedergeben und erklären-die Methoden auf konkrete Differentialgleichungen anwenden und passende Probleme damit lösenDie Studierenden sollen-Die Ergebnisse der Veranstaltung in ihrer Bedeutung einschätzen können-Methoden entwickeln, sich selbstständig in mathematische Texte einzulesen.InhaltEndliche Dimension: Matrix-Exponentialfunktion, Funktionalkalkül, positive Matrizen und Perron-Frobenius-Theorie,Anwendungen in Graphentheorie und Kontrolltheorie; Unendliche Dimension: Operator-Halbgruppen, Banachverbände,positive Operatoren, positive Halbgruppen, Spektraltheorie positiver Halbgruppen, Anwendungen bei Transport- undPopulationsmodellen.ContentsFinite dimensions: Matrix exponential function, functional calculus, positive matrices and Perron-Frobenius theory, applicationsto graph theory and control theory; Infinite dimensions: Semigroups of linear operators, Banach lattices, positiveoperators, positive semigroups, spectral theory for positive semigroups, applications in transport and population models.LiteraturSkript der Veranstaltung91


Real Analysis and the Theory of DistributionsReelle Analysis und DistributionentheorieModulnummer: 04-10-0342/en (Bausteine: 04-10-0342-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: FarwigKonzeption: FarwigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Integrationstheorie, FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseStudierende beherrschen nach dem Besuch der Veranstaltung Methoden der Fourier-Analysis sowie der Distributionentheorieund können diese auf Diferentialgleichungen anwenden.InhaltFourier-Reihen in L 2 und in L q , Fourier-Transformation in L 1 , L 2 und L q ,Distributionentheorie.Singuläre Integraloperatoren, Maximal-Funktionen.Multiplier-Operatoren, Littlewod-Paley-Zerlegung.Anwendungen zur Lösung von DifferentialgleichungenContentsFourier series in L 2 und in L q , Fourier transformation in L 1 , L 2 and L q ,Theory of distributions.Singular integral operators, maximal functions.Multiplier operators, Littlewod-Paley decomposition.Applications to differential equationsLiteraturE.M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press 1970L. Grafakos: Classical Fourier Analysis, Springer 2008W. Walter: Einführung in die Theorie der Distributionen, B.I. Wissenschaftsverlag 199492


RealizabilityRealizabilityModulnummer: 04-10-0261/de (Bausteine: 04-00-0255-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- sind mit Kleene’s number realizability vertraut und können realizer aus formalen Beweisen extrahieren- kennen den Begriff einer partial combinatory algebra und seine wichtigsten Instanzen- können realizability Modelle für diverse Typtheorien konstruieren.InhaltRealizability, Modified Realizability, Assemblies, Tripos, effektiver ToposContentsrealizability, modified Realizability, assemblies, tripos, effective toposLiteraturSkript online erhältlich93


Realizability (englisch)RealizabilityModulnummer: 04-10-0261/en (Bausteine: 04-00-0263-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- sind mit Kleene’s number realizability vertraut und können realizer aus formalen Beweisen extrahieren- kennen den Begriff einer partial combinatory algebra und seine wichtigsten Instanzen- können realizability Modelle für diverse Typtheorien konstruieren.InhaltRealizability, Modified Realizability, Assemblies, Tripos, effektiver ToposContentsrealizability, modified Realizability, assemblies, tripos, effective toposLiteraturSkript online erhältlich94


Riemannsche FlächenRiemann SurfacesModulnummer: 04-10-0314/de (Bausteine: 04-10-0314-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg), Geometrie und Approximation (geo)Administration: BruinierKonzeption: BruinierBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Algebra, FunktionentheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden verstehen den Begriff der Riemannschen Fläche. Sie beherrschen grundlegende Techniken zum Studiumder Geometrie von Riemannschen Flächen wie etwa Überlagerungen, Differentialformen und KohomologietheorieInhaltRiemannsche Flächen, holomorphe Abbildungen, die Fundamentalgruppe, Überlagerungen, die universelle Überlagerung,algebraische Funktionen, Differentialformen, Kohomologie-Gruppen, der Satz von Riemann-RochContentsRiemann Surfaces, holomorphic maps, fundamental group, coverings, the universal covering, algebraic functions, differentialforms, cohomology groups, the Riemann-Roch TheoremLiteraturO.Forster: Riemannsche Flächen (Riemann Surfaces)E.Freitag: Funktionentheorie IIK.Lamotke: Riemannsche FlächenH.M.Farkas and I.Kra: Riemann surfaces95


Riemannsche GeometrieRiemannian GeometryModulnummer: 04-10-0288/de (Bausteine: 04-00-0283-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: Große-BrauckmannKonzeption: Große-BrauckmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Differentialgeometrie, MannigfaltigkeitenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden kennen den Abstraktionsprozess von Untermannigfaltigkeiten zu Mannigfaltigkeiten. Sie verstehen diezentrale Rolle des Parallelitätsbegriffs für einen invarianten Ableitungsbegriff. Sie haben ein anschauliches Verständnisdes Krümmungsbegriffs und können ihn technisch handhaben. Sie können verschiedene Aussagen angeben, in denen dieKrümmung eine wesentliche Rolle spielt und erkennen, auf welche Weise sie eingeht.InhaltWiederholung: Mannigfaltigkeiten, VektorfelderRiemannsche Metriken, Parallelität auf UntermannigfaltigkeitenZusammenhänge, Geodätische, Exponentialabbildung, Satz von Hopf-Rinow, Hyperbolischer RaumKrümmungstensor, Satz von Myers, Jacobifelder, Satz von HadamardContentsReview of manifolds and vector fields. Riemannian metrics, parallel transport on submanifoldsConnections, geodesics, exponential map, Hopf-Rinow theorem, hyperbolic spaceCurvature tensor, Myers theorem, Jacobi fields, Hadamard theoremLiteraturLee: Riemannian manifolds, an introduction to curvatureGallot, Hulin, Lafontaine: Riemannian GeometryDoCarmo: Riemannian Geometry96


Riemannsche Geometrie 2Riemannian Geometry 2Modulnummer: 04-10-0343/de (Bausteine: 04-10-0343-vl)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: <strong>Sc</strong>hneiderKonzeption: <strong>Sc</strong>hneiderBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2VLeistungspunkte: 3Voraussetzungen: Riemannsche GeometrieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können die in der Vorlesung Riemannsche Geometrie eingeführten Begriffe und Konzepte auf globaleFragestellungen anwenden.InhaltAusgewählte Themen der Riemannschen Geometrie wie etwa: der Satz von Gauß-Bonnet, geschlossene Geodäten, Minimalflächenoder das Yamabe Problem.ContentsTopics of Riemannian geometry such as: the Gauss-Bonnet theorem, closed geodesics, minimal surfaces, or the Yamabeproblem.LiteraturJost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis DoCarmo: Riemannian Geometry Gallot, Hulin, Lafontaine: RiemannianGeometry Lee: Riemannian manifolds, an introduction to curvature Berger, A Panoramic View of RiemannianGeometry97


<strong>Sc</strong>hadenversicherungsmathematikNon-life insurance mathematicsModulnummer: 04-10-0200/de (Bausteine: 04-00-0197-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KohlerKonzeption: KohlerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 3 JahreLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische StatistikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- die wichtigsten Problemstellungen und Lösungsansätze in der <strong>Sc</strong>hadenversicherungsmathematik beschreiben,- Verfahren der <strong>Sc</strong>hadenversicherungsmathematik im Hinblick auf den Einsatz in leicht modifizierten Fragenstellungenmodifizieren,- den Einsatz von Verfahren der <strong>Sc</strong>hadenversicherungsmathematik in einfachen Modellen beurteilen.InhaltBestandteile der Prämie, Ausgleich im Kollektiv, Berechnung des <strong>Sc</strong>hwankungszuschlags im kollektiven Modell, <strong>Sc</strong>hätzungdes mittleren <strong>Sc</strong>hadens, <strong>Sc</strong>hadenreservierung bei lang andauernder <strong>Sc</strong>hadenabwicklung, Risikoteilung.ContentsStatistical methods for calculation of the premium of a non-life insurance.LiteraturMack: <strong>Sc</strong>hadenversicherungsmathematik98


Simulation und Optimierung Dynamischer SystemeSimulation and Optimization of Dynamical SystemsModulnummer: 04-10-0072/de (Bausteine: 04-00-0173-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden können für wichtige dynamische Systeme mathematische Modelle in Form von differentialalgebraischenGleichungen aufstellen. Sie können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren fürdifferentialalgebraissche Differentialgleichungen beschreiben, erklären und anwenden.Sie sollen die Verfahren und Prinzien analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltExemplarische Modulierungstechniken wichtiger technischer Anwendungsgebiete, z.B.: Reaktionskinetik, Elektrische<strong>Sc</strong>haltkreise, Mehrkörpersysteme. Simulationstechniken: Steife Differentialgleichungen, Differentialalgebraische Gleichungen,Randwertprobleme, Kollokation, <strong>Sc</strong>hießverfahren, Direkte und indirekte Optimierungverfahren: Parameteridentifikation,Minimierung mit Nebenbedingungen, Sensitivitätsanalyse.ContentsModeling techniques in technical applications: e.g. reaction kinetics, electrical circuits, multi body system dynamics.Simulation techniques: stiff and differential algebraic equations, boundary value problems, collocation, shooting methods.Optimization methods: Parameter identification, constraints, sensitivity analysis.LiteraturStrehmel/Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen,Teubner 1995.Brenan/Campbell/Retzold: Numerical Solution of IVPs in DAEs, Siam 1996.99


SpektraltheorieSpectral TheoryModulnummer: 04-10-0150/de (Bausteine: 04-00-0182-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KümmererKonzeption: Hieber, KümmererBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung sind die Studierenden in der Lage, C*-Algebren zu definieren,kommutative C*-Algebren und ihre Darstellungen zu konstruieren, die Spektraltheorie kommutativer C*-Algebren zuentwickeln und mit ihrer Hilfe kommutative C*-Algebren zu klassifizieren. Sie können den Homomorphiesatz für C*-Algebren erklären und erkennen die Bedeutung positiver Elemente für allgemeine C*-Algebren. <strong>Sc</strong>hließlich sind sie inder Lage, auf die Existenz von ausreichend vielen Zuständen zu schließen und mit ihrer Hilfe den Darstellungssatz vonGelfand, Neumark und Segal zu zeigen.InhaltBanach- und C*-Algebren, Spektraltheorie in Banach- und C*-Algebren, Sätze von Gelfand und Funktionalkalkül, Positivitätin C*-Algebren, approximierende Eins und Quotienten von C*-Algebren, Zustände und Darstellungen von C*-Algebren.ContentsBanach- and C*-Algebras, spectral theory in Banach- and C*-algebras, theorem of Gelfand and functional calculus,positivity in C*-algebras, approximating identity and quotients of C*-algebras, states and representations of C*-algebras.LiteraturD. Werner: Funktionalanalysis,J.B. Conway: A Course in Functional Analysis.100


Spektraltheorie und OperatoralgebrenSpectral Theory and Operator AlgebrasModulnummer: 04-10-0344/de (Bausteine: 04-10-0344-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KümmererKonzeption: KümmererBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung können die Studierenden- verschiedene Zugänge zur Spektraltheorie vergleichen und beurteilen,- Spektraltheorie für Operatoren auf Hilbertäumen in die operatoralgebraische Spektraltheorie integrieren,- die grundlegenden Definitionen und Resultate aus der Theorie der kommutativen und nichtkommutativen Operatoralgebrenwiedergeben und erläutern,- grundlegende Techniken aus der Theorie der Operatoralgebren anwenden,- Darstellungen von Operatoralgebren konstruieren und vergleichen,- topologische und matßtheoretische Vorgehensweisen erkennen, unterscheiden und rechtfertigen,- analytische, algebraische und ordnungstheoretische Argumentationen erkennen, einsetzen und miteinander verbinden.InhaltBanach- und C*-Algebren,stetige Spektraltheorie in C*-Algebren und Gelfandtheorie,Typen von Spektren,maßtheoretische Spektraltheorie und Multiplikatordarstellung für Operatoren auf Hilbertäumen,Positivität, Zustände, GNS-Konstruktion und Darstellungstheorie für Operatoralgebren,Tensorprodukte, kompakte Operatoren,Beispiele für C*-Algebren,Operatortopologien auf B(H), Bikommutantensatz.ContentsBanach- and C*-algebras, continuous spectral theory in C*-Algebras, Theory of Gelfand, types of spectra, measure theoreticalaspects of spectral theory and representation of operators on Hilbert spaces by multiplication operators, positivity,states, GNS-construction and representations of operator algebras, tensor products, compact operators, examples ofC*-algebras, operator topologies on B(H), bicommutant theorem.LiteraturW. Arveson: An Invitation to C*-AlgebrasJ.B. Conway: A Course in Functional AnalysisV. Jones: Von Neumann Algebras. Vorlesungs-Skript, im Internet unter http://math.berkeley.edu/ vfr/math20909.htmlG. Murphy: C*-Algebras and Operator TheoryM. Takesaki: Theory of Operator Algebras 1101


Stochastische Partielle DifferentialgleichungenStochastic partial differential equationsModulnummer: 04-10-0331/de (Bausteine: 04-10-0331-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: SaalKonzeption: SaalBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutsch oder englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Funktionalanalysis, Grundlagen in Halbgruppentheorie und partielle Differentialgleichungen, Grundlagenin WahrscheinlichkeitstheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach der Absolvierung des Moduls kennen Studierende unendlich-dimensionale Wiener-Prozesse und können unendlichdimensionalstochastisch integrieren. Sie können dies anwenden um abstrakte stochastische Evolutionsgleichungen unddamit auch Klassen von stochastischen partiellen Differentialgleichungen zu behandeln.Inhaltunendlich-dimensionale Wiener-Prozesse, stochastische Integration in Hilberträumen, stochastische partielle DifferentialgleichungenContentsinfinite-dimensional Wiener processes, stochastic Integration in Hilbert spaces, stochastic partial differential equationsLiteraturDa Prato, Giuseppe and Zabczyk, Jerzy Stochastic equations in infinite dimensions. Encyclopedia of Mathematics andIts Applications 44. Cambridge. Cambridge University Press, 2008.Prévôt, Claudia; Röckner, Michael, A concise course on stochastic partial differential equations. Lecture Notes in Mathematics1905. Berlin, Springer, 2007.102


Stochastische ProzesseStochastic processesModulnummer: 04-10-0332/de (Bausteine: 04-10-0332-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: BetzKonzeption: BetzBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie. Grundkenntnisse in Funktionalanalysis sindsehr hilfreich.Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden lernen die wichtigsten Grundlagen über stochastische Prozesse in stetiger Zeit, sowie über stochastischeDifferentialgleichungen. Sie lernen die wichtigsten Beispiele wie Poisson-Prozess und Brown’sche Bewegung im Detailkennen, und erwerben wichtige Techniken wie Martingalargmente, Umgang mit stetigen Stopzeiten und Verbindungen zurFunktionalanaysis. Am Ende des Kurses haben sie eine solide Grundlage für den Einstieg in verschiednen Spezialrichtungenwie stochastische Analysis oder Dynamik wechselwirkender Teilchensysteme.InhaltAllgemeine Theorie der stochastischen Prozesse: Pfadraum, Filtrationen, Übergangskerne, Generatoren und Halbgruppen,Martingale.Sprungprozesse: Erneuerungsprozesse, Poisson-Prozess, Markovketten in stetiger Zeit.Prozesse mit stetigen Pfaden: Brown’sche Bewegung, Pfadeigenschaften der Brown’schen Bewegung, stochastische Integrale,stochastische Differentialgelichungen und Ito-Kalkül, Girsanov-Transformation, Feynman-Kac Formel.ContentsGeneral theory: path space, filtrations, transition kernels, generators and semigroups, martingales.Jump processes: renewal processes, Poisson process, Markov chains in continuous time.Processe with continuous paths: Brownian motion, path proberties of Brownian motion, stochastic integrals, stochasticdifferential equations and Ito calculus, Girsanovs theorem, Feynman-Kac formula.LiteraturKlenke: WahrscheinlichkeitstheorieMörters and Peres: Brownian motionOksendal: stochastic differential euqations103


Stochastische Prozesse IStochastic processes IModulnummer: 04-10-0372/de (Bausteine: 04-10-0372-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: AurzadaKonzeption: AurzadaBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra und Wahrscheinlichkeitstheorie. Grundkenntnisse in Funktionalanalysis sindsehr hilfreich.Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden lernen die wichtigsten Grundlagen über stochastische Prozesse in stetiger Zeit sowie über stochastischeDifferentialgleichungen. Sie lernen die wichtigsten Beispiele wie die Brownsche Bewegung im Detail kennen, danebenwerden verschiedene Klassen von stochastischen Prozessen wie Gaußprozesse genauer untersucht. Danach folgt eineEinführung in die Theorie des Ito-Integrals und in stochastische Differentialgleichungen. Am Ende des Kurses haben sieeine solide Grundlage für den Einstieg in verschiedene Spezialrichtungen wie stochastische Analysis.Inhalt- Definition und Existenz stochastischer Prozesse (insb. Existenzsätze von Kolmogorov) - Brownsche Bewegung (diverseEigenschaften, insb. Stetigkeitssatz von Kolmogrov-Chentsov) - Theorie allgemeiner Gaußprozesse - StochastischeIntegration - stochastische DifferentialgleichungenContents- definition and existence of stochastic processes (in particular, existence theorem of Kolmogorov) - Brownian motion(various properties, in particular continuity theorem of Kolmogrov-Chentsov) - general theory of Gaussian processes - Itointegral - stochastic differential equationsLiteraturKlenke: WahrscheinlichkeitstheorieMörters and Peres: Brownian motionLifshits: Gaussian random functionsKaratsas and Shreve: Brownian motion and stochastic calculus104


Stochastische Prozesse IIStochastic processes IIModulnummer: 04-10-0373/de (Bausteine: 04-10-0373-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: AurzadaKonzeption: AurzadaBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastische Prozesse I Grundkenntnisse inFunktionalanalysis sind sehr hilfreich.Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden lernen Eigenschaften stochastischer Prozesse in stetiger Zeit kennen, sowie Markovketten in diskreterZeit. Sie lernen verschieden Klassen von stochastischen Prozessen wie Levyprozesse im Detail kennen. Danach folgt eineEinführung in die Theorie der Markovketten in diskreter Zeit. Am Ende des Kurses haben sie eine solide Grundlagefür den Einstieg in verschiednen Spezialrichtungen wie stochastische Analysis oder angewandte Spezialisierungen wieWarteschlangentheorie.Inhalt- Levyprozesse: unbegrenzt teilbare Verteilungen, Levy-Khinchine-Darstellung, Poissonsche Zufallsmaße, Levy-Ito Darstellung,stabile Levyprozesse, Subordinatoren - Zufällige Irrfahren: Zusammenhänge zu Levyprozessen, Fluktuationstheorie- Markovketten in diskreter Zeit, sowie elementare Theorie von Markovketten in stetiger Zeit, Erneuerungsprozesse -Anwendungen auf Warteschlangen und RisikotheorieContents- Levy processes: infinitely divisible distributions, Levy-Khinchine representation, Poisson random measures, Levy-Itodecomposition, stable Levy processes, subordinators - random walks: relations to Levy processes, fluctuation theory -Markov chains in discrete time, elementary theory of Markov chains in continuous time, renewal processes - applicationsto queueing theory and risk theoryLiteraturKlenke: WahrscheinlichkeitstheorieSato: Levy processes and infinitely divisible distributionsBertoin: Levy processesProtter: Stochastic integration and differential equations105


Unvollständigkeit formaler SystemeIncompleteness of Formal SystemsModulnummer: 04-10-0265/de (Bausteine: 04-00-0258-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: Kohlenbach, StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Mathematische LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studierenden- kennen den Unterschied zwischen Gültigkeit und Beweisbarkeit- können den 1. und 2. Gödelschen Unvollständigkeitssatz beweisen- sind mit dem Satz von Löb vertraut- können die Tragweite formaler Systeme und ihre Limitationen beurteilen.InhaltGödelsche Unvollständigkeitssätze, Satz von Löb, BeweisbarkeitslogikContentsGödel’s Incompleteness Theorems, Löb’s Theorem, Provability LogicLiteraturSkript online erhältlich106


VariationsrechnungCalculus of VariationsModulnummer: 04-10-0333/de (Bausteine: 04-10-0333-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: AlberKonzeption: AlberBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Modul Partielle Differentialgleichungen I, oder Modul Funktionalanalysis + Modul Partielle Differentialgleichungen:klassische Methoden.Leistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls-sind die Studierenden mit aktuellen Problemen aus Anwendungsgebieten vertraut, die auf Variationsprobleme führen.-beherrschen sie moderne funktionalanalytische Methoden zum Studium von Variationsproblemen vertraut und könnendiese auf konkrete Probleme anwenden,-kennen Sie wesentliche Eigenschaften von Sobolevräumen und können deren Rolle beim Studium von Variationsproblemenerklären.InhaltHerleitung von Variationsproblemen aus Anwendungsproblemen (zum Beispiel Probleme der Elastizitätstheorie, Hindernisprobleme).Steilkurs über Sobolevräume. Darstellung und Anwendung der direkten Methoden der Variationsrechnungzur Lösung.ContentsDerivation of variational problems from application problems (for example problems of the theory of elasticity, obstacleproblems). Short review of Sobolev spaces. Introduction of the direct methods of the calculus od variations and applicationof these methods for the solution.LiteraturKinderlehrer, Stampacchia: An introduction to variational inequalities and their applicationsDacorogna: Direct methods in the calculus of variationsAlber: Skript Variationsrechnung und Sobolevräume107


Vertex-AlgebrenVertex AlgebrasModulnummer: 04-10-0345/de (Bausteine: 04-10-0345-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: CreutzigKonzeption: CreutzigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Grundkenntnisse in AlgebraLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls sollen die Studenten mit den Grundbegriffen der Theorie der Vertex Algebren vertrautsein, weiter sollten die wichtigsten Beispiele bekannt sein.InhaltDie Vorlesung wird Definition und Strukturtheorie von Vertex Algebren, sowie die Beispiele von freien Fermionen undBosonen, Gitter Vertex Algebren und affinen Vertex Algebren enthalten.ContentsThis lecture contains the structur of vertex algebras, as well as the examples of the free boson and fermion, latticetheories and affine vertex algebras.LiteraturVictor Kac: Vertex Algebras for Beginners, AMS, 1998 Edward Frenkel, David Ben-Zvi: Vertex Algebras and AlgebraicCurves, AMS, 2004108


Modulnummer: 04-13-0003/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: AG-Sprecher algKonzeption: Bruinier, Kümmerer, <strong>Sc</strong>heithauerBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: mindestens alle zwei JahreVertiefungsmodul AlgebraAdvanced Course in AlgebraLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: je nach <strong>Sc</strong>hwerpunktsetzung: Topologie, Algebra,FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls verstehen die Studenten die Grundkonzepte der jeweiligen Vertiefung und können dieseauf typische Fragestellungen anwenden.InhaltJe nach Veranstalter werden folgende Themenbereiche behandelt: Algebraische Zahlentheorie, Algebraische Geometrie,Automorphe Formen, Spektraltheorie, Operatoralgebren, Unendlich-dimensionale Lie-Algebren, Vertex-AlgebrenContentsAlgebraic Number Theory, Algebraic Geometry, Automorphic Forms, Spectral Theory, Operator Algebras, InfinitedimensionalLie Algebras, Vertex AlgebrasLiteraturBruinier et al.: The 1-2-3 of Modular Forms,Miyake: Modular Forms,Hartshorne: Algebraic Geometry,Neukirch: Algebraic Number Theory,Kac: Infinite Dimensional Lie Algebras,Frenkel, Ben-Zvi: Vertex Algebras and Algebraic Curves,Bratelli, Robinson: Operator Algebras and Statistical Machanics I, II,Takesaki: Theory of Operator Algebras109


Modulnummer: 04-13-0011/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: AG-Sprecher anaKonzeption: Alber, Farwig, Hieber, RochBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: mindestens alle zwei JahreLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: je nach <strong>Sc</strong>hwerpunktsetzungLeistungsnachweise: mündliche PrüfungVertiefungsmodul AnalysisAdvanced Course in AnalysisLernergebnisseNach Besuch der Veranstaltung- sind die Studierenden mit aktuellen Problemen für partielle Differentialgleichungen aus verschiedenen Anwendungsgebieten(z.B. Strömungsmechanik, Materialwissenschaften) vertraut und können diese erläutern,- beherrschen sie moderne funktionalanalytische Methoden zum Studium von partiellen Differentialgleichungen undkönnen diese auf einfache konkrete Probleme anwenden,- kennen sie wesentliche Eigenschaften von Sobolevräumen und können deren Rolle in der Lösungstheorie partiellerDifferentialgleichungen erklären.InhaltUntersuchung von Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen linearer und nichtlinearer partieller Differentialgleichungenmit funktionalanalytischen Methoden; je nach Dozent erfolgt eine Ausprägung in Richtung elliptischer,parabolischer und hyperbolischer Gleichungen mit Anwendungen z.B. in der Strömungsmechanik oder den MaterialwissenschaftenContentsLiteraturGilbarg, Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order;Amann: Linear and Quasilinear Parabolic Problems;Dafermos: Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics;Galdi: An Introduction to the Theory of the Navier-Stokes Equations;110


Vertiefungsmodul Geometrie und ApproximationAdvanced Course in Geometry and ApproximationModulnummer: 04-13-0005/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: AG-Sprecher geoKonzeption: Grosse-Brauckmann, ReifBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: mindestens alle zwei JahreLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: DifferentialgeometrieLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseDie Studierenden sind in der Lage, geometrische Probleme zu analysieren und zu modellieren. Abhängig von der speziellenVeranstaltung kommen hierzu die Fähigkeiten zu axiomatisieren und zu abstrahieren, Methoden der Analysis auf geometrischeProbleme anzuwenden, oder konkrete Geometrien unter Verwendung algorithmischer Prinzipien zu konstruktierenund approximieren.InhaltEs soll ein vertieftes Studium eines Gebiets der Differentialgeometrie oder der Geometrischen Datenverarbeitung stattfinden,z.B.: Riemannsche Geometrie (Mannigfaltigkeiten; Metriken Zusammenhänge, Geodätische, Krümmung; Sätzevon Hopf-Rinow, Synge, Myers, Klingenberg) Variationsprinzipien und Geometrie (Minimalflächen und Flächen konstantermittlerer Krümmung, Weierstrass-Darstellung, Plateau-Problem, Satz von Bernstein, Stabilität, konjugierte Flächenetc.) Geometrische Datenverarbeitung (Bezierkurven und -flächen, Splinekurven und -flächen, B-Splines, Konvertierungsmethoden,Abstandsformeln, Flächen beliebiger Topologie, Subdivision) Splineapproximation (Satz von Weierstrass,Interpolation, Quasi-Interpolation, Approximation, Stabilität der B-Splines, Jacksonsätze, Bernsteinsätze Orthogonalitätsrelationen,B-Splines als Finite Elemente)ContentsLiteraturbeispielhaft seien genannt:Do Carmo: Riemannian GeometryGallot, Hulin, Lafontaine: Riemannian GeometryDierkes, Hildebrandt, Küster, Wohlrab: Minimal SurfacesHoschek-Lasser: Grundlagen der Geometrischen Datenverarbeitungde Boor: A Practical Guide to SplinesHoellig: Finite Element Methods with B-Splines111


Modulnummer: 04-13-0007/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: AG-Sprecher logKonzeption: Kohlenbach, Otto, Streicher, ZieglerBemerkungen:Sprache: englischDauer: 2 SemesterTurnus: mindestens alle zwei JahreVertiefungsmodul LogikAdvanced Course in Mathematical LogicLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: Einführung in die mathematische LogikLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseDie Studierenden erwerben vertiefende Kenntnisse in aktuellen Forschungsrichtungen der angewandten Logik. Sie sollendabei ein inhaltliches und methodisches Verständnis erreichen, das sie im Prinzip befähigt, Problemstellungen deraktuellen Forschung zu interpretieren und erworbenes Wissen im Kontext einzusetzen.InhaltEinführung in die höhere mathematische Logik mit ausgewählten Kapiteln zu Modelltheorie, Beweistheorie, Rekursionstheorie,Berechenbarkeit/Komplexität, etc. Je nach Dozent und Ausprägung der Vertiefungsrichtung umfasst dasModul typischerweise spezialisierte Einführungen in zwei <strong>Sc</strong>hwerpunktgebiete aus den Bereichen Beweistheorie, TypenundKategorientheorie, Berechenbarkeitstheorie, Komplezitätsheorie, Modelltheorie, mit dem jeweiligen Anwendungswendungsbezugin der betreffenden Forschungsrichtung, wie z.B.-Beweisinterpretationen, proof mining-Semantik funktionaler Programmierung; kategorielle Semantik konstruktiver Logikkalkuele-endliche/algorithmische Modelltheorie und die Modelltheorie spezieller Logiken-reelle Berechenbarkeits- und KomplexitätstheorieContentsLiteraturexemplarisch, neben Standardwerken:Kohlenbach: Applied Proof Theory: Proof Interpretations and their Use in Mathematics, Springer, 2008Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World <strong>Sc</strong>ientific, 2006Goranko, Otto: Model Theory of Modal Logics, in: Handbook of Modal Logic, Elsevier, 2007112


Vertiefungsmodul NumerikAdvanced Course in Numerical AnalysisModulnummer: 04-13-0009/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: AG-Sprecher numKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: mindestens alle zwei JahreLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: Modul Numerik von DifferentailgleichungenLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseKenntnis der wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für Differentialgleichungen, Kenntnisvon Vor- und Nachteilen, Einsatzbereichen, Genauigkeit, Aufwand etc. Fähigkeit, für gegebene Anwendungsaufgaben,geeignete Software auswählen und adaptieren sowie Fachartikel der aktuellen Forschung verstehen und diskutieren zukönnen.InhaltAuswahl aus den Themengebieten: steife Differentialgleichungen, Mehrpunkt-Randwertprobleme, differential- agebraischeGleichungen, Sensitivitätsanalyse, Parameteroptimierung, Optimlasteuerungsprobleme, Differenzenverfahren, FiniteElemente, Finite Volumen, elliptische, parabolische und hyperbolische Probleme.ContentsLiteraturStrehmel, Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen,Grossmann, Roos: Numerik partieller Differentialgleichungen,Brenan, Campbell, Retzold: Numerical Solution of IVPs in DAEs,LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems,Larsson, Thomee: PDE with Numerical Methods,Quarteroni, Valli: Numerical Approximation of PDE113


Modulnummer: 04-13-0013/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: AG-Sprecher optKonzeption: Joswig, Ulbrich, PfetschBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: mindestens alle zwei JahreLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlichVertiefungsmodul OptimierungAdvanced Course in OptimizationLernergebnisseNachdem Studierende das Modul besucht haben, beherrschen sie die theoretischen Grundlagen der diskreten und dernichtlinearen Optimierung. Die Studierenden koennen zusätzlich Modellierungsprobleme lösen sowie relevente Algorithmenanalysieren und anwenden.InhaltModellierung praktischer Fragestellungen als Optimierungsprobleme. Theorie Optimalitätsbedingungen und DualitätstheorieGanzzahliger Programme, polyedrische Kombinatorik. Methoden: Exakte Verfahren für ganzzahlige nichtlineareProgramme, Verfahren für nichtlineare Probleme mit und ohne Nebenbedingungen; Approximationsalgorithmen, Heuristiken,RelaxierungenContentsModelling relevant topics as problems in optimization; Theory: conditions for optimality, polyhedral combinatorics.Methods: exact algorithms for integer linear programs; methods for non-linear problems with and without boundaryconditions; approximation algorithms, heuristics, relaxationsLiteraturGeiger, Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter OptimierungsaufgabenNemhauser, Wolsey: Integer and Combinatorial OptimizationNocedial, Wright: Numerical Optimization<strong>Sc</strong>hrijver: Theory of Linear and Integer Programming114


Modulnummer: 04-13-0015/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: AG-Sprecher stoKonzeption: Kohler, BetzBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: mindestens alle zwei JahreVertiefungsmodul StochastikAdvanced Course in StochasticsLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: Module Wahrscheinlichkeitstheorie und ggf. Einführung in die FinanzmathematikLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studierenden- komplexe zufällige Phänomene modellieren und analysieren,- zentrale Resultate aus einer aktuellen Forschungsrichtung der Stochastik und ihre Konsquenzen beschreiben, anwenden,auf verwandte Problemstellungen übertragen und deren Anwendung in der Praxis beurteilen.Inhalteine Auswahl aus folgenden Themengebieten: Mathematische Statistik, statistische Entscheidungstheorie, stochastischeAnalysis, Analyse und Modellierung stochastischer (partieller) Differentlialgleichungen, Finanzmathematik in stetiger ZeitContentsLiteraturBeispielhaft seien genannt:Pestmann: Mathematical StatisticsKaratzas, Shreve: Brownian Motion and Stochastic CalculusElliott, Kopp: Mathematics of Financial MarketsBain, Crisone: Fondamentals of Stochastic FilteringDa Brato, Zabczyk: Stochastic Equation in finite Arguments115


Einführung in das wissenschaftliche ArbeitenResearch Project PreparationModulnummer: 04-10-0229/de (Bausteine: 04-00-0228-vu)Forschungsgebiet:Administration: UlbrichKonzeption: Kümmerer, UlbrichBemerkungen:Sprache: deutschDauer: ca. 150 StundenTurnus: nach BedarfLehrformen: Selbststudium unter AnleitungLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Der Betreuer kann das erfolgreiche Absolvieren eines thematisch passenden Vertiefungszykluseseinschließlich Seminar verlangen.Leistungsnachweise: Kurze mündliche oder schriftliche Präsentation des Themas der Master-Arbeit und seiner fachlichenEinordnung (unbenotet). Der Leistungsnachweis wird durch die Anmeldung der Masterarbeit zertifiziert.LernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- wissen Studierende, welche Anforderungen an eine wissenschaftliche Arbeit gestellt werden- können sie sich zu einer begrenzten Aufgabenstellung einen Überblick über die vorhandene Literatur verschaffen- können sie die Bearbeitung eines eigenen Beitrags vorplanenInhaltEinführung in ein wissenschaftliches Thema (Masterarbeit). Literatursuche, Zielsetzung, Planung des Vorgehens. Standder Technik.ContentsIntroduction to scientific research (master thesis). Literature recherche, state of science, concretisation of the title,planning the project.Literaturthemenabhängige Forschungsliteratur116


Modulnummer: 04-10-5000/de (Bausteine: )Forschungsgebiet:Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, Kohlenbach, Kümmerer, FarkasBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 6 MonateTurnus: nach BedarfMaster-ArbeitMaster ThesisLehrformen: Selbststudium unter AnleitungLeistungspunkte: 30Voraussetzungen: Einführung ins wissenschaftliche ArbeitenLeistungsnachweise: schriftliche Arbeit, in der Regel VortragLernergebnisseDie Studierenden können selbständig ein Problem aus der <strong>Mathematik</strong> oder ihren Anwendungen innerhalb einer gegebenenFrist durchdringen. Sie können größere Themen systematisch darstellen und mathematische Methoden auf eine spezifischeFragestellung anwenden.Sie sollen selbständig Vorkenntnisse aus anderen Modulen transferieren anwenden, und die Ergebnisse in die aktuelleForschung einordnen und bewerten.Inhaltje nach ThemaContentsdepending on topicLiteraturthemenabhängige Forschungsliteratur117


Mathematisches Seminar (alg), MasterSeminar in Mathematics (alg), MasterModulnummer: 04-13-0139/de (Bausteine: 04-00-0203-se)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, <strong>Sc</strong>heithauer, Bruinier, KümmererBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studierenden können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechendenFachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich Algebra, Geometrie, FunktionalanalysisContentsspecial topics of Algebra, Geometry, Functional AnalysisLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag118


Mathematisches Seminar (ana), MasterSeminar in Mathematics (ana), MasterModulnummer: 04-13-0140/de (Bausteine: 04-00-0204-se)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, Haller-DintelmannBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studierenden können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechendenFachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich AnalysisContentsspecial topics of analysisLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag119


Mathematisches Seminar (geo), MasterSeminar in Mathematics (geo), MasterModulnummer: 04-13-0141/de (Bausteine: 04-00-0205-se)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, ReifBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studierenden können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechendenFachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich Geometrie und ApproximationContentsspecial topics of geometry and approximationLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag120


Mathematisches Seminar (log), MasterSeminar in Mathematics (log), MasterModulnummer: 04-13-0142/de (Bausteine: 04-00-0206-se)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, Kohlenbach, OttoBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studierenden können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechendenFachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich LogikContentsspecial topics of logicLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag121


Mathematisches Seminar (num), MasterSeminar in Mathematics (num), MasterModulnummer: 04-13-0143/de (Bausteine: 04-00-0207-se)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studierenden können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechendenFachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich Numerik und wissenschaftliches RechnenContentsspecial topics of numerical analysis and scientific computingLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag122


Mathematisches Seminar (opt), MasterSeminar in Mathematics (opt), MasterModulnummer: 04-13-0144/de (Bausteine: 04-00-0208-se)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studierenden können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechendenFachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führenInhaltSpezielle Themen aus dem Bereich OptimierungContentsspecial topics of optimizationLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag123


Mathematisches Seminar (sto), MasterSeminar in Mathematics (sto), MasterModulnummer: 04-13-0145/de (Bausteine: 04-00-0209-se)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studierenden können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechendenFachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich StochastikContentsspecial topics of stochasticsLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag124


Modulnummer: 04-10-0080/de (Bausteine: )Forschungsgebiet:Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: auf NachfrageProjekt in <strong>Mathematik</strong> (Master)Project in Mathematics (Master)Lehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: nach AngabeLeistungsnachweise: Präsentation der Projektergebnisse in einem Vortrag, schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studierenden können für eine konkrete Problemstellung Lösungsstrategien entwickeln und umsetzen. Sie könneneine umfangreiche Aufgabe in Teilschritte gliedern, Zwischenzielen formulieren, sinnvolle Teilaufgaben definieren, undgeeignet präsentieren. Je nach Thema können sie auch experimentell arbeiten und Software anwenden.InhaltEine komplexe Problemstellung wird durch kleine Gruppen bearbeitet. Das Thema darf offen formuliert sein und erst währendder Bearbeitung präzisiert oder fokussiert werden. Die fachlichen Inhalte sind themenabhängig. Über den Fortgangder Projektbearbeitung wird regelmäßig berichtet. Den Abschluss bildet eine Projektpräsentation, in der die Ergebnissevorgestellt und diskutiert werden. Gegebenenfalls werden die Ergebnisse schriftlich ausgearbeitet; dabei soll einwissenschaftliches <strong>Sc</strong>hreibsystem wie LaTeX angewendet werden.ContentsA small group works on a complex problem. The formulation of the problem may be open ended; a final precise andfocussed fomulation may be a part of the project. The concrete subject matter content will depend on the problem.Regular reports describe the work in progress. In conclusion, there will be a presentation in which the results are describedand discussed. A report in writing, preferably in LATEX, will record and document the results of the project.Literaturje nach Thema125

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