Inhalt zur Stochastik - Bkonzepte.de

Inhalt zur StochastikGrundlagen der Stochastik............................................................................................. 1Begriff und Geschichtliches......................................................................................... 1Zufallsexperimente................................................................................................... 1Laplace-Experimente............................................................................................. 1Grundbegriffe................................................................................................... 2Ergebnismenge S.......................................................................................... 2Ereignis (Ergebnis)........................................................................................ 2Beispiel- und Übungsaufgaben............................................................................ 3Von absoluten und relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit.................................4Münzwurfversuch.............................................................................................. 4Durchführung............................................................................................... 4Auswertung.................................................................................................. 4Schlussfolgerungen....................................................................................... 4Begriff „Wahrscheinlichkeit“................................................................................ 5Zusammenfassung für einstufige Laplace-Experimente........................................... 5Beispiel-Aufgaben............................................................................................. 6(Haus)-Aufgaben............................................................................................... 6Mehrstufige Laplace-Zufallsexperimente................................................................... 7Dreifacher Münzwurf.......................................................................................... 7Gummibärchen ziehen....................................................................................... 7Rechenregeln................................................................................................... 9Pfadmultiplikationsregel................................................................................. 9Pfadadditionsregel......................................................................................... 9Urnenmodelle................................................................................................. 10(Haus)-Aufgaben............................................................................................. 11Nicht-Laplace-Experimente................................................................................... 12Reißzweckenwurfversuch.................................................................................. 12Wahrscheinlichkeiten von Nicht-Laplace-Versuchen.......................................... 12Erwartungswert................................................................................................... 13Zufallsvariable.................................................................................................... 13Klassische Wahrscheinlichkeit................................................................................... 13Binomialverteilung............................................................................................... 13Normalverteilung................................................................................................. 13Streuungsmaße...................................................................................................... 13Häufigkeiten........................................................................................................... 13Absolute Häufigkeit.............................................................................................. 13Relative Häufigkeit.............................................................................................. 13

Grundlagen der StochastikBegriff und GeschichtlichesHeute bezeichnet man mit dem modernen Begriff Stochastik- die Statistik, die Datenmaterial mit mathematischen Mitteln auswertet und- die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Prognosen für die Zukunft abgibt.Der Begriff Stochastik stammt aus dem Griechischen und heißt soviel wie "Kunst des Mutmaßens".Von den Ägyptern (ca. 3000v.Cr.), den Griechen und den Römern (550v.Cr.) sind statistischeErhebungen bekannt. Ende des 18 Jh. besaßen alle wichtigen Gemeinwesen statistische Ämter.Die Stochastik gewinnt in der heutigen Zeit immer mehr an Bedeutung.- Physik (Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons)- Wirtschaftswissenschaften (Qualitätssicherung, Käuferinteresse)- Versicherungswesen (Lebenserwartung, Erkrankungsrisiko)- Sicherheitstechnik (Ausfallwahrscheinlichkeit von technischen Systemen)- Umfrageergebnisse (Einschaltquote zur Fernsehsendung, Wahlprognosen)- Wettervorhersagen (Regenwahrscheinlichkeit)- Verkehrsleitsysteme (Wie viele Fahrzeuge passieren in einem Zeitintervall eine Ampel)- ...ZufallsexperimenteZufallsexperimente sind Versuche,- die beliebig oft wiederholbar sind (unter den exakt gleichen Bedingungen),- die mindestens zwei mögliche Ergebnisse haben und- deren Ergebnisse vor der Versuchsdurchführung nicht genau vorhergesagt werdenkönnen.Die bekanntesten und beliebtesten aller bekannten Zufallsexperimente sind- Münzenwurf- Würfelwurf- Lottospielen- RouletteDiese Beispiele (Münzwurf, Würfeln, Lotto, Roulette) sind deshalb die bekanntesten,- weil sie jeder kennt,- weil sie leicht durchzuführen sind,- weil die Chancen, für alle möglichen Ereignisse gleich groß sind einzutreten und- weil sie daher mathematisch leicht zu beschreiben und zu bearbeiten sind sind.Beginnen wir deshalb mit diesen Beispielen:

Stochastik: ZufallsexperimenteLaplace-ExperimentePierre-Simon (Marquis de) Laplace (*23. März oder 28. März 1749 in Beaumont-en-Auge in derNormandie; † 5. März 1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker und Astronom.Er beschäftigte sich unter anderem mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und Differenzialgleichungen.Laplace-Experimente sind Zufallsversuche, bei denen nur endlich viele Elementarereignisseauftreten und jedes mögliche Elementarereignis die gleiche Chance hat aufzutreten.(Münzwurf, Würfeln, Roulette, Lotto, ...)GrundbegriffeErgebnismenge S Zur mathematischen Beschreibung eines Zufallsversuchs wird die Menge allermöglichen Ergebnisse angegeben, die sog. Ergebnismenge.EreignisBeim Münzwurf ist die Ergebnismenge Zahl oder Wappen → S = {Z; W}Beim Würfelwurf ist die Ergebnismenge → S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}Beim Würfelwurf mit zwei Würfeln ist S → S ={(1,1);(1,2);(1,3);...;(6,5);(6,6)}Beim Lotto 6 aus 49 ist die Ergebnismenge→ S = {x|1 ≤ x ≤ 49 ; x∈N}Beim Roulette ist die Ergebnismenge→ S = {x|0 ≤ x ≤ 36 ; x∈N*}Die Ergebnismenge S ist die Grundgesamtheit aller möglichen Ergebnisse.Führt man ein Zufallsexperiment durch, so tritt ein Ergebnis ein, dass nicht vorherzusagen ist,von dem man aber weiß, dass es ein Element aus der Ergebnismenge sein wird. Ein bestimmter Ausgang von mehreren möglichen Ausgängen eines Zufallsexperimentsheißt Ereignis e.Zur Beschreibung eines Zufallexperiments, muss man angeben, welche Ereignisse manfesthalten will, (welche als Erfolg gewertet werden).Beispiele:[1] Bei einem Würfelspiel mit einem Würfel wünscht sich der Spieler die Augenzahl 6.E = {6}[2] Bei einem Roulettspiel hat ein Spieler auf die kleinsten zwölf Zahlen gesetzt.E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}[3] Ein Spieler wünscht sich bei einem Würfelspiel, mit zwei Würfeln die Augenzahl 6.E = {(1,5); (2,4); (3,3)}[4] Es werden 3 Münzen geworfen. Ein Gewinn liegt vor, wenn drei mal Zahl oben liegt.E = {ZZZ}[5] Es werden 3 Münzen geworfen. Ein Gewinn liegt vor, wenn drei Münzen die gleicheSeite zeigen. E = {(ZZZ);(WWW)} Enthält ein Ereignis nur ein Element, spricht man von Elementarereignis.Elementarereignisse sind die Beispiele [1] und [4].Kein Elementarereignis sind dagegen die Beispiele [2], [3] und [5]. Das Gegenereignis E beschreibt alle jene Elemente aus der Ergebnismenge S, dienicht zum Ereignis gehören.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 2 17.03.2006

Stochastik: ZufallsexperimenteBeispiele:A: kein Schaf ist schwarz A : mindestens ein Schaf istschwarz... Die Summe der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt und der Wahrscheinlichkeit,dass ein Gegenereignis eintritt ist immer 1 = 100%. PEPE=1Beispiel- und Übungsaufgaben1. Geben Sie zu jedem Beispiel ([1] ... [5]), aus dem letzten Abschnitt, die Ergebnismengeund die Gegenereignisse an!2. Es wird bei einem Brettspiel mit einem Würfel gewürfelt. Der Spieler, der an der Reihe istkann das Spiel mit einer 5 oder einer 6 erfolgreich beenden.Geben Sie die Ergebnismenge S und das Ereignis an! Die Ergebnismenge S sind alle möglichen Fälle: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}Zum Ereignis E zählen alle günstigen Fälle: E = {5; 6}3. Beim Roulette rollt die Kugel auf eine Zahl von 0 bis 36.Geben Sie die Ergebnismenge S und die Ereignisse E für folgende Fälle an!a) Die Spiel-Bank streicht alle Einsätze ein, wenn die Kugel auf die Null fällt.b) Ein Spieler hat auf die Zahl 18 gesetzt.c) Ein Spieler hat auf alle geraden Zahlen gesetzt.d) Ein Spieler hat auf das erste Dutzend gesetzt.e) Ein Spieler hat auf die letzten drei Zahlen gesetzt.4. Bei einem Brettspiel, was mit zwei Würfeln gespielt wird, kann der Spieler, der an derReihe ist, einen gegnerischen Stein entfernen, wenn die Augensumme der beiden Würfel4 oder 9 beträgt. Die Ergebnismenge sind alle möglichen Fälle: S = {(1,1); (1,2); (1,3); ...;(5,5); (5,6); (6,6)}Zum Ereignis zählen jene Fälle, bei denen dieAugenzahl 4 oder 9 ist: E = {(1,3); (2,2); (3,6); (4,5)}5. Beim Lotto 6 aus 49 tippt man auf 6 von 49 Zahlen.Bei der Ziehung werden 6 Zahlen gezogen. (Leicht vereinfacht.)Ein Gewinn wird bereits erreicht, wenn drei Zahlen richtig getippt wurden.Geben Sie Beispiele für Ereignisse an, wenn die Zahlen 21; 22; 23; 24; 25; 26 getipptwurden.Wie viele Ereignisse für 3 richtige Zahlen gibt es?www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 3 17.03.2006

Stochastik: ZufallsexperimenteVon absoluten und relativen Häufigkeit zur WahrscheinlichkeitZiel der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es, Prognosen aufzustellen, ob ein Ereignis eintrittbzw. die Frage zu beantworten wie groß die Gefahr oder die Chance ist, dass ein Ereigniseintritt.Die Möglichkeit, dass ein Radfahrer auf einem Feldweg beim Zusammenstoß mit einem Porscheverunglückt, ist vermutlich viel geringer, als dass er im November von einem Regentropfengetroffen wird. Die absolute Häufigkeit H ist die Anzahl, wie oft ein bestimmtes Ereignis aufgetretenist. Die relative Häufigkeit h ist der Quotient aus der absoluten Häufigkeit einesEreignisses und der Zahl der Einzelexperimente.Münzwurfversuchh= H absolute Häufigkeit=n VersuchsanzahlDurchführungEs folgt ein kleines Experiment bei dem VORHER zu klären ist, welches Ergebnis man beigenügend Einzelversuchen erwartet wird.→ Zahl und Wappen werden annähernd gleich oft auftreten.→ Zahl und Wappen haben annähernd die gleiche absolute Häufigkeit.→ Die relative Häufigkeit wird für beide Ereignisse etwa 0,5 betragen (h W ≈ h Z ≈ 0,5).Jeder Schüler führt den Münzwurfversuch für sich 20 mal durch und notiert die jeweiligenErgebnisse (auch die Reihenfolge).(Das sind bei 20 Schülern immerhin 400 Einzelversuche.)Auswertung1. Geben Sie die absolute Häufigkeit für Wappen und Zahl Ihrer Versuchsreihe an!2. Berechnen Sie die relative Häufigkeit für beide Ereignismöglichkeiten IhrerVersuchsreihe!3. Ermitteln der absoluten und relativen Häufigkeiten für alle Versuche in der Klasse!Wenn alles klar läuft, sollte die Anfangserwartung für die Gesamtheit alle in der Klassedurchgeführten Versuche erfüllt werden.Bei manchen Schülerreihen sollten dagegen stärkere Abweichungen von der Norm auftreten.Schlussfolgerungen Gesetz der großen Zahlen:Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit einesZufallsergebnisses immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit für diesesErgebnis (Erwartungswert) annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführtwird.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 4 17.03.2006

Stochastik: Zufallsexperimente Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, beträgt für jedenneuen Wurf ½. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto näher wird der Anteil derWürfe, bei denen Kopf erscheint, beim theoretischen Wert ½ liegen. Trotzdem kann derabsolute Abstand zwischen dem theoretischen und dem tatsächlich beobachtetenErgebnis immer weiter anwachsen. Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet also nicht, dass ein Ereignis, welches bislangnicht so häufig eintrat wie erwartet, seinen "Rückstand" irgendwann ausgleichen undfolglich in Zukunft häufiger eintreten muss. Dies ist ein bei Roulette- und Lottospielernhäufig verbreiteter Irrtum, die "säumige" Zahlenart müsse nun aber aufholen, um wiederder statistischen Normalverteilung zu entsprechen. Statistische Daten werden wertvoller, je mehr Einzelwerte sie enthalten, bzw. sindwertlos, wenn zu wenige Einzelmessungen vorhanden sind.Begriff „Wahrscheinlichkeit“Wir haben das Wort „Wahrscheinlichkeit“ bereits verwendet. Versuchen wir eine Definition:Man bezeichnet mit Wahrscheinlichkeit eine Vorhersage für die zu erwartende relativeHäufigkeit des bestimmten Ereignisses bei einem Häufigkeitsversuch.• Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1 (oder 100%).• Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0.• Alle Wahrscheinlichkeiten von mehr bzw. minder wahrscheinlichen Ereignissen liegendazwischen.• Die Wahrscheinlichkeit wird in der Regel mit dem Buchstaben ‚p’ abgekürztoder als P(E) geschrieben.Zusammenfassung für einstufige Laplace-ExperimenteDie oben genannten Beispiele (Münzwurf, Würfeln, Lotto, Roulette) sind deshalb imMatheunterricht sehr beliebt,- weil sie jeder kennt,- weil sie leicht durchzuführen sind,- weil die Ergebnismenge klar ist,- weil die relative Häufigkeit bekannt ist, mit der ein Ereignis auftreten sollte.→ Die theoretischen Wahrscheinlichkeiten sind bereits vor dem Häufigkeitsversuch auslogischen Annahmen bekannt.Die logischen Annahmen sind:Bei einer idealen Münze muss jede Seite gleichberechtigt sein. → p = 0,5Bei einem idealen (ungezinkten) Würfel ist jede Seite gleichberechtigt. p = 1/6Bei einem Lottospiel und im Roulette sind alle Zahlen „gleichberechtigt“. p=1/49; p=1/37Wenn für alle Ergebnisse eines Zufallexperiments die gleiche Wahrscheinlichkeit angenommenwerden kann (Gleichverteilung), dann heißt dieses Experiment LAPLACE-EXPERIMENT.Für die Wahrscheinlichkeit bei Laplace-Versuchen gilt:PE=p= ∣E∣ Anzahl der für E günstigen Fälle=∣S∣ Anzahl der möglichen Fällewww.bkonzepte.deI. Böhm Seite 5 17.03.2006

Stochastik: ZufallsexperimenteBei Laplace-Experimenten kennt man die Wahrscheinlichkeit bereits vor dem Versuch.Widerspricht die Münzversuchsreihe, oder der Würfel oder das Roulette in der relativenHäufigkeit der Wahrscheinlichkeit, handelt es sich eben nicht um eine ideale Münze, nicht umeinen idealen Würfel, nicht um ein exakt justiertes Roulette.Bei Nicht-Laplace-Experimenten ist man oft auf statistische Daten angewiesen, um von derHäufigkeitsverteilung auf die Wahrscheinlichkeit zu schließen.Beispiel-Aufgaben Entscheiden Sie bei den folgenden Aufgaben, ob es sich um Laplace-Experimente handelt!Lösen Sie nur Aufgaben, bei denen es sich um Laplace-Experimente handelt.6. Bei einem Würfelspiel mit zwei Würfeln hat der jenige gewonnen, der einen Pasch (zweigleiche Zahlen) wirft.a) Geben Sie die Ergebnismenge S und das günstige Ereignis E „Pasch“ an!b) Berechnen Sie die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit mit der ein Paschgeworfen wird! S = {(1,1); (1,2); 1,3); ...; (5,6); (6,6)}, das sind 36 MöglichkeitenE = {(1,1); (2,2); ...;(6,6)}, das sind 6 Möglichkeitenh E = E S = 636 = 1 6 =PE 7. Zu einer Schulklasse gehören 12 weibliche und 18 männliche Schüler. Wie viel männlicheund wie viel weibliche Schüler werden sich an der Raucherinsel einfinden, wenn bekanntist, dass ein Drittel der Klasse Raucher sind?8. In einer Lostrommel liegen 1000 Lose mit den Nummern 1 bis 1000. Jedes Los, dessenNummer mit einer 0 endet, gewinnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit einemeinzigen gezogenen Los zu gewinnen? S = {1; 2; 3; ... 1000}; das sind 1000 MöglichkeitenE = {x|x=10n; n∈N}, das sind 100 Möglichkeitenh E = E S =100 1000 = 1 =P E109. Um einen Teich in dem sich 24 Karpfen befinden, sitzen 6 Angler. Wie viele Karpfen wirdjeder Angler fangen?(Haus)-AufgabenDatei tStochastik.doc (Einstufige Laplace-Zufallsexperimente)www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 6 17.03.2006

Stochastik: ZufallsexperimenteMehrstufige Laplace-Zufallsexperimente Wird ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander ausgeführt, so liegt einmehrstufiges Zufallsexperiment vor.Beginnen wir bei der Erklärung wieder mit dem Beispiel eines einfachen Münzwurfs:Dreifacher MünzwurfMan wirf eine Münze dreimal hintereinander unduntersucht welche Ergebnismenge auftritt und wiegroß die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei allen dreiWürfen, die gleiche Münzseite oben liegt.Dieses kleine Problem kann man mit einemErgebinisbaum untersuchen.Mittels Ereignisbaum lässt sich nun schnellangeben,welche und wie viele Elemente zur Ergebnismengegehören,welche und wie viele Elemente zu den Ereignissengehören unddie Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der einEreignis auftritt.S={www; wwz; wzw; wzz; zww; zwz; zzw; zzz}E = {www; zzz}P(E) = 2/8 = ¼ = 0,25 = 25% Aus Sicht der Wahrscheinlichkeitsrechnungunterscheidet sich dieser dreistufige Versuch nicht von einem einstufigen Versuch, bei demgleichzeitig drei Münzen geworfen werden.Auch ist es bei 6 aus 49 für die Wahrscheinlichkeitsrechnung egal, ob man, der Spannungwegen, die Kugeln nacheinander zieht oder ob man die 6 Kugeln auf einmal aus demZiehungsgerät purzeln lässt. Für die Untersuchung von Zufallsexperimenten ist es manchmal hilfreich, so zu denkenals handelt es sich bei einstufigen Zufallsexperimenten mit mehreren Elementen ummehrstufige Zufallsversuche.Sehen wir uns einfach ein Beispiel an:Gummibärchen ziehen10. Eine Tüte mit 7 Gummibärchen enthält zwei rote Bärchen. Meine Tochter darf der Tüte„blind“ 3 Gummibärchen entnehmen.Hat sie dabei beide roten Bärchen gezogen, darf sie alle Gummibärchen behalten.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Tüte behalten darf?a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit!b) Erstellen Sie ein Baumdiagramm!c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit!www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 7 17.03.2006

Stochastik: Zufallsexperimente a) Es liegt die Vermutung nahe, dass die Chance wesentlich kleiner als 50% ist.b) Es ist egal, ob drei Bärchen auf einmal oder die drei Bärchen nacheinandergezogen werden.Wir setzen r für Rot und n für nicht rot:Es gibt 7 Kombinationen, davon sind 3 günstige Ereignisse.Betrachtet man das Baumdiagramm unkritisch haben wir 7Möglichkeiten, von denen 3 günstige Ereignisse sind.Demnach hätten wir eine Wahrscheinlichkeit von 3/7, dass dieTochter die Gummibärchen behalten darf.Es lohnt, ein klein wenig länger nachzudenken.Das Baumdiagramm sähe genau so aus, wenn sich zwei roteGummibärchen unter 100 Gummibärchen verstecken würden.Es ist aber sehr nahe liegend, dass dann die Chancen der Tochter wesentlich geringer sind, dieGummibärchentüte zu gewinnen.Für ein gutes Baumdiagramm müssen wir alsoetwas länger zeichnen:Wie man sieht, werden Baumdiagramme schnell groß.Hier gelingt es bei der dritten Gummibärchenentnahme nichtmehr die Verzweigungen vollständig darzustellen.Es wurde daher jede Verzweigungsmöglichkeit nur einmalgezeichnet und anschließend die Anzahl dieser Möglichkeitenerrechnet.Wir erhalten wieder sieben unterschiedliche Zugmöglichkeitenvon denen drei günstige Ereignisse sind.Doch jetzt kennen wir auch die Häufigkeit, mit der dieeinzelnen Kombinationen auftreten.Lösung c)Insgesamt gibt es 210 Möglichkeiten drei Gummibärchen auseiner Tüte mit 7 Gummibärchen zu ziehen.Davon sind lediglich 30 günstig.P(E) = 30 / 210 = 1 / 7 =14,29%Diese Ergebnis kommt der Anfangsvermutung wesentlichnäher.Es gibt eine Möglichkeit Baumdiagramme sozu vereinfachen, dass sie sich nicht so weitblähen.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 8 17.03.2006

Stochastik: Zufallsexperimente Bei einem vereinfachten Baumdiagramm betrachtet man, wie zu Anfang nur dieBärchenfarben. An die Pfade werden aber auch noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeitengeschrieben. Im Pfad werden dann die jeweiligenWahrscheinlichkeiten multipliziert, um dieWahrscheinlichkeit für ein Ergebnis zu erhalten.Pr r n= 2 7 ⋅1 6 ⋅1= 121Pr n r = 2 7 ⋅5 6 ⋅1 5 = 121Pn r r = 5 7 ⋅2 6 ⋅1 5 = 121Die drei Einzelwahrscheinlichkeiten der günstigenEreignisse ergeben zusammen eineWahrscheinlichkeit P(E) = 3/21 = 1/7 = 14,29%.RechenregelnFassen wir die Erkenntnisse zu allgemein gültigen Rechenregeln zusammen.Pfadmultiplikationsregel Im Baumdiagramm ist ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produktder Wahrscheinlichkeit auf den Teilstrecken des Pfades.Pfadadditionsregel In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich derSumme der Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse.Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten mit den Rechenegeln im Beispiel11. Wahrscheinlichkeit für Münzwurfversuch:a) Beide Würfe zeigen Wappenb) Beide Würfe zeigen die gleiche SeiteVerknüpfungWahrscheinlichkeitPfadmultiplikationsregel Pww=Pw∧w P(w) · P(w)undmultiplizierenPfadadditionsregel Pww∨zz P(w)·P(w)+P(s)·P(s)oderaddierenwww.bkonzepte.deI. Böhm Seite 9 17.03.2006

Stochastik: ZufallsexperimenteUrnenmodelle Man bezeichnet Zufallsexperimente, die sich mit dem Ziehen von Kugeln aus einer Urnemodellieren lassen als Urnenmodelle.Mathematiker verwenden naturgemäß keine Gummibärchen für ihre Gedankenfindungsondern eben Kugeln, die aus einem Gefäß gezogen werden.12. Auf einem Volksfest wird Lotto gespielt, mit den ganzen Zahlen von 1 bis 7. Jeder Spielertippt auf seinem Tippschein 3 Zahlen. Die Gewinne werden in drei Gewinnklassenvergeben:1. Klasse: alle drei Zahlen richtig.2. Klasse: zwei der drei Zahlen sind richtig.3. Klasse: eine Zahl wurde richtig getippt.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jede Gewinnklasse? Wahrscheinlichkeit ist günstige Ereignisse durchEreignismenge ( P(E) = E / S )Wir bilden das Modell um: In der Lostrommelbefinden sich (nachdem wir getippt haben), 3gute (G) und 4 schlechte (S) Kugeln.Die Chance, dass im ersten Zug G gezogen wirdist 3/7. Dann ist die Chance, im zweiten Zugebenfalls G zu ziehen 2/6 und im dritten Zug 1/5.37 · 26 = 1 5 = 6 ≈0,0286 für Gewinnklasse 1.210Bei Gewinnklasse 2 gibt es drei unterschiedlicheStellen, an denen eine schlechte neben zweiguten Kugeln steht. Die Pfadmultiplikation ergibtfür alle drei Möglichkeiten24210 = 3 7 ⋅2 6 ⋅4 5 = 3 7 ⋅4 6 ⋅2 5 = 4 7 ⋅3 6 ⋅2 5Die Chance auf Gewinnklasse 2 liegt also bei 3⋅ 24210 = 72210 ≈0,343Für Gewinnklasse 3 gibt es drei unterschiedliche Stellen, an denen eine gute Kugelneben zwei schlechten Kugeln gezogen wird. Die Pfadmultiplikation ergibt für alledrei Stellen:36210 = 3 7 ⋅4 6 ⋅3 36=..... 3⋅5 210 =108 210 ≈0,514Beachte auch die Lösung mit kombinatorischen Mitteln auf der nächsten Seite:www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 10 17.03.2006

Stochastik: ZufallsexperimenteEs gibt insgesamt 7 · 6 · 5 = 210 Möglichkeiten, 3 aus 7 Kugelnauf unterschiedliche Weise anzuordnen.Es gibt 6 Möglichkeiten drei Kugeln auf unterschiedliche Weiseanzuordnen.Von 210 Ergebnissen gibt es also 6 Ereignisse fürGewinnklasse 1: PE1= 6210 ≈0,0286Es gibt 6 Möglichkeiten zwei Kugeln A und B an drei Stellenanzuordnen: (ABx; BAx;AxB; BxA; xAB; xBA) .6 Solche Anordnungen finden wir aber auch mit A,C und B,C.Weiterhin können an der Fehlstelle x 4 unterschiedliche Kugelnstehen.Es gibt also von 210 möglichen Ergebnissen 6·3·4=72 Ereignissefür Gewinnklasse 2: PE= 72210 ≈0,343www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 11 17.03.2006

Stochastik: Zufallsexperimente13. Im Achtelfinale eines Fußballpokals befinden sich noch sechzehn Mannschaften, darunterFC Kicker und Soccer 05. Es werden acht Paarungen von je zwei Mannschaften ausgelost.Der Verlierer des, so durch Zufall ausgelosten Spiels, wird ausscheiden.Der Ziehungsvorgang läuft so ab: Für jede Mannschaft wird eine Kugel in einen Lostopf(Urne) gegeben, dann wird die erste Mannschaft (Heimmannschaft) herausgezogen unddann der Gegner zugelost, dann wird eine Kugel für die nächste Heimmannschaftherausgezogen und deren Gegner zugelost usw.a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass so ausgelost wird, dass FC Kicker undSoccer 05 gegeneinander spielen?b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Mannschaften gegeneinander spielenund der FC Kicker zu Hause? Wir können davon ausgehen, dass die Kugel für den FC Kicker irgendwann aus derUrne genommen wird → 100% Wahrscheinlichkeit.Dass die Kugel für den FC Soccer im richtigen Moment hinzugezogen wird, ist 1/15= 6,67%(Ebenso kann man natürlich davon ausgehen, dass Soccer 05 mit Sicherheitgezogen wird und der FC Kicker im richtigen Moment gezogen werden muss.)Dass der FC Kicker zu Hause spielt, hat eine Wahrscheinlichkeit von 50% = ½ .Damit die Paarung FC Kicker - Soccer 05 (6,67% Wahrscheinlichkeit) beimFC Kicker stattfindet hat eine Wahrscheinlichkeit von 3,33%.14. Eine Urne enthält eine schwarze und eine weiße Kugel. Es wir aus der Urne eine Kugel„blind“ entnommen und danach zurückgelegt. Dieser Vorgang wird dreimal wiederholt.a) Zeichnen Sie den Ergebnisbaum!b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal nacheinander Weiß gezogen wurde?c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal nacheinander Schwarz gezogenwurde?d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal nacheinander die gleiche Farbegezogen wurde?e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht dreimal nacheinander die gleiche Farbegezogen wurde?15. Beim Lotto 6 aus 49 tippt man auf 6 von 49 Zahlen.Bei der Ziehung werden 6 Zahlen gezogen.(Leicht vereinfacht.)Ein Gewinn wird bereits erreicht, wenn drei Zahlen richtig getippt wurden.a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf einen „Sechser“?b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf einen „Dreier“?c) Lösen Sie die Aufgaben a) und b) durch ein Urnenmodell mit weißen und schwarzenKugeln!(Haus)-AufgabenDatei tStochastik.doc (Mehrstufige Laplace-Zufallsexperimente)www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 12 17.03.2006

Stochastik: ZufallsexperimenteNicht-Laplace-ExperimenteReißzweckenwurfversuchWiederholt man den Münzversuch mit einer Reißzwecke kann man vor der Versuchsreihe kaumAngaben machen, auf welcher Seite die Reißzwecke bevorzugt zum liegen kommt.Die relative Häufigkeit und somit die Wahrscheinlichkeit kann nun entweder durch sehrkomplizierte physikalische Berechnungen ermittelt werden oder man bestimmt durch langeVersuchsreihen die relative Häufigkeit.Möglicherweise fragen sich einige, wer sich für die Seite interessiert, auf welcher eineReiszwecke zum liegen kommt. Nun, möglicherweise derjenige, der sich auf den Stuhl setzt,auf dem sie landete!Die Reißzwecke symbolisiert aber nur eine Reihe von interessanteren Fragen:Beispiele für Nicht-Laplace-Versuche:• Wie viel Fahrzeuge passieren eine Ampel in einem bestimmten Zeitintervall?• Wie steigt die Krebsanfälligkeit durch Rauchen?• Welches Reiseland bevorzugen die Urlauber nächstes Jahr? Wann ist der Urlaub?Wie gelangen die Urlauber dorthin?• Wie groß ist das Risiko in ein Flugzeug zu steigen?• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich auf der Disco einen Lebenspartner finde?Wo ist die Wahrscheinlichkeit am größten?• ...Wahrscheinlichkeiten von Nicht-Laplace-Versuchen Bei Nicht-Laplace-Versuchen versucht man die theoretische Wahrscheinlichkeit durchBeobachtung und statistische Verfahren zu ermitteln. Man schließt also von statistischenWerten (vergangene Häufigkeiten) auf zukünftige Häufigkeiten → Wahrscheinlichkeiten.16. Bei einer Verkehrszählung wurde festgestellt, dass 20% der vorbeifahrenden FahrzeugeLkw waren, 59% Pkw, 11% Mopeds, und 10% sonstige Fahrzeuge.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter drei Fahrzeugena) drei Lkw,b) drei Pkw oder drei Mopeds,c) der erste ein Lkw und die beiden folgenden ein Pkwd) zwei Pkw und ein Lkw sind?e) Welcher Unterschied besteht zwischen Teilaufgabe c) und d) ? a) 0,2·0,2·0,2 = 0,2³ = 0,008 = 0,8%b) 0,59³ + 0,11³ = 0,2 = 20%c) 0,2·0,59·0,59 = 0,0696 = 7%d) 0,59²·0,2·3 = 0,209 = 21%e) Reihenfolge spielt bei c) eine Rolle bei d) nicht.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 13 17.03.2006

Stochastik: ZufallsexperimenteHaus-AufgabenAufgabensammlung erweitern.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 14 17.03.2006

SteuungsmaßeSicherung statistischer DatenStatistische Daten sind oft Daten, die durch Zufallsversuche gewonnen wurden.Wenn die Quote der Fernsehzuschauer bekannt gegeben wird, so weiß keiner, wer wirklichFernsehen sah und erst recht nicht, wer welche Sendung gesehen hat.Die Deutschen werden repräsentiert durch 6000 Haushalte, in denen jederProgrammwechsel und jeder Zuschauer erfasst wird. (Auf freiwilliger, einverständlicherBasis.)Es stellt sich nun die Frage: Wie genau bilden die Mitglieder von 6000 Haushalten dieProgrammwahl von 80 Mio. Deutschen ab?Zumindest theoretisch wäre es möglich, dass gerade die 6000 ausgewählten Haushalte dasFußballnationalspiel Deutschland – Frankreich sehen, während der gesamte Rest derfernsehenden Nation einen populärwissenschaftlichen Beitrag überWahrscheinlichkeitsrechnung vorzieht.Wie genau sind die Prognosen über Fernsehquoten, Wahlausgänge, Maschinenausfälle, usw.?Zu Beginn haben wir aber wieder einige Begriffe zu klären:ZufallsvariableEin Automat produziert Schrauben. Es werden zwei Stück aus der Produktion zufälligentnommen und geprüft, ob sie schadhaft (s) oder einwandfrei (g) sind.Es ist nun möglich, dass beide Stifte schadhaft sind oder nur einer oder keiner. Unter der Zufallsvariablen X eines Zufallsexperiments versteht man eine Funktion, diedem Ergebnis e i eine Zahl zuordnet. Schreibweise: X(ss) = 2X(gs) = X(sg) = 1X(gg) = 0bedeutet 2 schadhafte Stifte,bedeutet 1 schadhafter Stift,bedeutet kein schadhafter Stift.

Stochastik: SteuungsmaßeErwartungswertBinomialverteilungNormalverteilungKlassische WahrscheinlichkeitRelative Häufigkeit1. Hans behauptet, dass bei einem klassischen Münzwurfexperiment es äußerst seltenvorkommt, dass 4 mal nacheinander die gleiche Münzseite oben liegt. Johanna behauptet,dass dies bei 100 aufeinander folgenden Würfen mindestens einmal passieren wird.Wer hat bessere Aussichten eine entsprechende Wette zu gewinnen, wenn Hanns gegenJohannas Behauptung hält und eine Testreihe die Wettentscheidung bringen soll?Begründung!Lösung:S = {(0,0,0,0); (0,0,0,1); ...;(1,1,1,1)} , das sind 16 MöglichkeitenE = {(0,0,0,0); (1,1,1,1)}, dies sind 2 Möglichkeitenh E = E S = 216 = 1 8 =PEInsgesamt gibt es aber bei 100 Münzwürfen 97 derartige Versuche.www.bkonzepte.deI. Böhm Seite 16 17.03.2006