Klausur im WS 2009/2010 Einführung in Operations Research

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Klausur im WS 2009/2010 Einführung in Operations Research

Prof. Dr. W. DomschkeFachgebiet Operations ResearchInstitut für BetriebswirtschaftslehreTechnische Universität DarmstadtKlausur im WS 2009/2010Aufgabe 1: Lineare Optimierung (30 Punkte)a) Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem:Minimiere Fx ( ) = 4x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 10(1)unter den Nebenbedingungenx 1+ 2x 2= 17(2)– 2x1 + 4x 3 ≥ 3(3)x 2+ 7x 3 ≤ 18(4)x 1≥ 0 , x 2≥ 0 , x 3≥ 0(5)a1) Woran ist zu erkennen, dass das Modell (1)-(5) nicht unmittelbar mit dem primalen Simplex-Algorithmusgelöst werden kann, wenn - wie üblich - zu Beginn ausschließlich Schlupfvariablen in die Basisaufgenommen werden? Begründen Sie ausführlich!(1 P.)Einführung in Operations Researcham Freitag, 19. 2. 2010Name:Vorname:13.00-14.30 UhrFachbereich:Studiengang:a2) Stellen Sie für die Modellierung (1)-(5) ein vollständiges Starttableau zur Verwendung des dualen Simplex-Algorithmusauf. Formen Sie dazu die Modellinstanz zunächst geeignet um (nicht dualisieren!).Markieren Sie abschließend das Pivotelement, das in der ersten Iteration des dualen Simplex-Algorithmusgewählt würde. Führen Sie jedoch keine weiteren Rechnungen durch.Hinweis: Es müssen nicht zwingend alle Zeilen des Tableaus verwendet werden.(6 P.)Umformung:Matr.-Nr.:Bachelor/Diplom:• Bitte tragen Sie alle erforderlichen Angaben ein!• Es sind keine Hilfsmittel außer einem nicht programmierbaren Taschenrechner zugelassen!• Ergebnisse ohne ausreichende Begründung werden nicht gewertet!Aufgabe• Für das vollständige, rechtzeitige Ausfüllen des Deckblattes vergeben wir einen Bonuspunkt!Bonuspunkt1 2 3 SummeMaximal 1 30 30 30 91Starttableau:b iErreichtNote:A- 1 -- 2 -


a3) Welches "rechnerische" Verfahren zur Lösung des LPs (1)-(5) haben Sie in der Vorlesung neben demdualen Simplex-Algorithmus noch kennen gelernt?(1 P.)b) Gegeben sei das (primale) LP-Modell A, das in nebenstehenderAbbildung dargestellt ist. Das Modell enthältzwei Strukturvariablen (Koordinatenachsen), zwei Nebenbedingungen(durchgezogene Geraden) und eine zumaximierende Zielfunktion (gestrichelte Gerade). Fürbeide Strukturvariablen sind Nichtnegativitätsbedingungeneinzuhalten.321zweite primaleStrukturvariable123erste primaleStrukturvariablec) Gegeben seien die Nebenbedingungssysteme zweier zueinander dualer Probleme:Primales Problem (P)Duales Problem (PD)x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 4(1) w 1 + 3w 2 ≥ 8(a)3x 1+ x 2+ 2x 3≤ 7(2) 2w 1+ w 2≥ 6w 1 + 2w 2 ≥ 5(b)(c)x 1 , x 2 , x 3 ≥0(3) w 1 , w 2 ≥0(d)Eine optimale Basislösung w* des Problems (PD) laute w∗ = ( w∗ 1 = 2,w∗ 2 = 2). Wie lautet die damitkorrespondierende optimale Basislösung x∗ = ( x∗ 1 , x∗ 2 , x∗ 3 ) des Problems (P)? Geben Sie jeden IhrerGedanken- bzw. Rechenschritte explizit an.(5 P.)Welches der unten dargestellten LP-Modelle (I, II, III oder IV) ist das zu A duale Problem (Hinweis:Es handelt sich um genau eines der Modelle)? Begründen Sie Ihre Wahl, ohne das duale Problem explizitanzugeben, indem Sie für jedes der übrigen drei Modelle beschreiben, warum es nicht das zu Aduale Problem sein kann.(9 P.)zweite dualeStrukturvariablezweite dualeStrukturvariable3Modell I3Modell II22111 2zweite dualeStrukturvariableerste dualeStrukturvariable31 2zweite dualeStrukturvariableerste dualeStrukturvariable3d) Gegeben sei das folgende Simplex-Optimaltableau. Dabei seien x 1 , x 2 und x 3 Strukturvariablen; x 4und seien Schlupfvariablen.3Modell III3Modell IVx 4x 5x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i0 2 0 1 2 1422x 30 -1 1 0 -1 11erste dualeStrukturvariable1 2 3112erste dualeStrukturvariable3x 11 -1 0 0 -1 4F 0 1 0 0 0 14d1) Welcher Sonderfall lässt sich aus dem Tableau erkennen? Begründen Sie Ihre Antwort! (2 P.)- 3 -- 4 -


d2) Es soll nun eine zusätzliche Nebenbedingung (Schlupfvariable x 6) berücksichtigt werden. Das untengegebene Tableau ist bereits um die zur Reoptimierung benötigten Einträge erweitert. Bestimmen Sieeine optimale Basislösung durch die Durchführung einer Iteration eines geeigneten Simplex-Verfahrensund geben Sie die optimalen Werte der Strukturvariablen ( x∗ 1 , x∗ 2 , x∗ 3 ) an. (6 P.)x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b ix 4x 30 2 0 1 2 0 140 -1 1 0 -1 0 1Aufgabe 2: TPP / Modellierung (30 Punkte)a1) Gegeben ist ein klassisches TPP mit drei Anbieternund vier Nachfragern. Begründen Sie, wieso dernebenstehende Transportplan des TPPunzulässig ist!1 2 3 4 a i1 342 6 1 73 55b j 5 6 3 2x 11 -1 0 0 -1 0 40 -1 0 0 1 1 -1F 0 1 0 0 0 0 14x 6=x∗ 1x∗ 2==Des Weiteren ergänzen Sie ihn so, dass eine zulässige Basislösung entsteht! Liegt ein Sonderfall derlinearen Optimierung vor und falls ja, welcher?ja nein (3P.)Fx∗ 3a2) Zeichnen Sie den zugehörigen Baum zu der imnebenstehenden Tableau angegebenen Basislösung!Markieren Sie in diesem Baum durch Eintragen von±∆ den Kreis, der in der MODI-Methode zur Aufnahmeder Variable x 33in die Basis geeignet wäre!(3 P.)- 6 -1 2 3 4 a i1 1 342 2 573 3 2 5b j 5 6 3 2A 1B 3B 4B 2A 3A 2B 1- 5 -


a3) Gegeben sind folgende Kostenmatrix sowie Angebots- und Nachfragemengen (letztere sind identischmit denen von a1) und a2)):2 3 6 3C = 4 5 3 7 a = (4, 7, 5) b = (5, 6, 3, 2)3 2 1 2Führen Sie ausgehend von der im folgenden Transporttableau gegebenen Basislösung (identisch mitder Lösung in a2)) eine Iteration der MODI-Methode durch. Die Dualvariablenwerte sind bereits angegeben.Tragen Sie die neue Lösung in das zweite Tableau ein! Geben Sie auch den Zielfunktionswertder Lösung an! (4 P.)1 2 3 4 a i u i1 1 34 02 2 57 23 3 2 5 1b j 5 6 3 2 F=67v j 2 3 6 11 2 3 4 a i1 42 73 5b j 5 6 3 2 F=b) Es soll eine mathematische Formulierung für ein "abgewandeltes" Transportproblem entwickelt werden.In teilweiser Abwandlung zum klassischen TPP, welches Sie in der Vorlesung kennen gelernthaben, sind folgende Aspekte zu berücksichtigen:1. Jeder Nachfrager j = 1,..., n soll genau b j Mengeneinheiten (ME) erhalten.2. Jeder Anbieter i = 1,..., m liefert insgesamt mindestens min i ME.3. Jeder Anbieter i = 1,..., m liefert insgesamt höchstens a i ME.b1) Kreuzen Sie in folgender Notationstabelle für jedes Symbol an, ob es ein Parameter (vorgegebenerWert) oder eine Entscheidungsvariable ist!(1 P.)Symbol Bedeutung Parameter Variableb jmin ia ix ijc ijBedarf von Nachfrager jMindestangebotsmenge von Anbieter iHöchstangebotsmenge von Anbieter iTransportmenge von Anbieter i zu Nachfrager jTransportkosten (pro ME) von Anbieter i zuNachfrager jb2) Erstellen Sie unter Verwendung obiger Notation eine Formulierung des "abgewandelten" TPP alslineares Optimierungsmodell! Geben Sie auch die Definitionsbereiche der Variablen an! (4 P.)Minimiere F( )=unter den Nebenbedingungena4) Im folgenden Tableau ist eine andere Basislösung gegeben. Ist diese Basislösungoptimal? ja neinBegründen Sie Ihre Antwort! Bestimmen Sie hierzu durch Setzen von u 3 = 0 Dualvariablenwerte undreduzierte Kosten für die ermittelte Lösung, und tragen Sie diese in das Tableau ein! (3,5 P.)1 2 3 4 a i u i1 442 5 2 73 1 1 35b j 5 6 3 2v j- 7 -- 8 -


3) Das Modell soll nun um die folgende Annahme erweitert werden: Wenn ein Anbieter i einen Nachfragerj beliefert, fallen Fixkosten in Höhe von f ij Geldeinheiten an.Geben Sie an, welche zusätzliche Nebenbedingung hierfür erforderlich ist und wie die Zielfunktionabgeändert werden muss! Verwenden Sie die zusätzliche Notation aus der folgenden Tabelle! FührenSie falls erforderlich weitere Symbole ein und erläutern Sie diese in der Tabelle!(3 P.)Symbolf ijz ijMinimiereBedeutungFixkosten für Transport von Anbieter i zu Nachfrager j= 1, wenn Transport von Anbieter i zu Nachfrager j stattfindet, 0 sonstzusätzliche Nebenbedingung:c) Vervollständigen Sie für das folgende Optimierungsmodell die unten gegebene, noch unvollständigeFormulierung in Xpress-Syntax, indem sie die vorgegebenen Felder ausfüllen!Es handelt sich hierbei um ein kapazitiertesWarehouse-Location-Problem mit potentiellenStandorten i=1,...,m und Kunden j=1,...,n. x ijbezeichnet die Transportmenge von Standort izu Kunde j. y iist 1, falls an Standort i ein Lagereingerichtet wird und sonst 0. Rechts finden Siebereits den Teil des XPress-Modells, der für dasEinlesen der Daten zuständig ist. (5 P.)Minimieremm nF( xy , ) = ∑ c i ⋅y i + d ij ⋅x i=1 ∑i=1∑j=1 ijn∑ x für i = 1,...,mj=1 ij ≤ a i ⋅ y i∑mx i=1 ijx ij ≥ 0y i ∈{ 01 , }= b jfür j = 1,...,nfür i = 1,...,m und j = 1,...,nfür i = 1,...,mmodel wlpuses "mmxprs"parametersdatafile = 'wlp.dat'end-parametersdeclarationsm: integer ! Anzahl der potenziellen Standorten: integer ! Anzahl der Kundenend-declarationsinitializations from datafilem nend-initializationsdeclarationsc: array(1..m) of real! Kosten für Errichtung von Lager ia: array(1..m) of real! maximale Umschlagkapazität von Lager ib: array(1..n) of real ! Bedarf von Kunde jd: array(1..m, 1..n) of real! Transportkosten von Lager i zu Kunde j pro MEend-declarationsinitializations from datafilea b c dend-initializationsb4) Das Modell aus b3) soll nun wie folgt abgewandelt werden: Es soll anstelle der Kosten die längsteTransportdauer t ij von einem Anbieter zu einem Nachfrager minimiert werden.Geben Sie an, welche zusätzliche Nebenbedingung hierfür erforderlich ist und wie die neue Zielfunktionlautet! Formulieren Sie das Modell als ein lineares gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem.Verwenden Sie die Notation aus b1), b3) und der folgenden Tabelle! Führen Sie hierzu eine Hilfsvariableein und erläutern Sie diese in der Tabelle!(3,5 P.)Symbolt ijBedeutungDauer für Transport von Anbieter i zu Nachfrager j (in Zeiteinheiten)declarationsx: array(1..m, 1..n) ofy: array(1..m) ofend-declarationsZielfunktion := sum(i in 1..m) c(i) * y(i) + sum((i in 1..m) sum(j in 1..n) x(i,j)


Aufgabe 3: Kombinatorische Optimierung (30 Punkte)3.1: Traveling Salesman ProblemBetrachten Sie das Traveling Salesman - Problem (TSP)im nebenstehenden Graphen. An den Pfeilen sind jeweilsdie Kosten c ij für die Benutzung einer Strecke angegeben.a) Es gibt unterschiedliche Typen von TSP. Welcher Typwird hier betrachtet?(1 P.)b) Geben Sie eine mathematische Formulierung einessolchen Problems (vollständiges TSP) in allgemeiner Form an! Verzichten Sie dabei auf die Bedingungenzur Vermeidung von Kurzzyklen. Fügen Sie den Nebenbedingungen jeweils eine kurze verbaleBeschreibung ihrer Funktion bei!(3 P.)1267534244323941353Aufgabe 3.2: Branch&Bound und Tabu SearchEinem Unternehmer liegen fünf unterschiedliche Aufträge vor. Aufgrund beschränkter Kapazitäten kanner nicht alle erfüllen. Jeder Auftrag (j = 1,...,5) besitzt einen gegebenen Kapazitätsbedarf k j sowie einenerwarteten Deckungsbeitrag db j. Er überlegt, welche Aufträge angenommen werden sollen und welche erablehnen muss, so dass sein Gesamtdeckungsbeitrag maximiert wird, aber die verfügbare Kapazität(K =15) nicht überschritten wird.j 1 2 3 4 5db j5 9 3 4 9k j4 7 9 3 4a) Modellieren Sie die Aufgabe als mathematisches Optimierungsproblem. Wie bezeichnet man die Problemstellung?(2,5 P.)Name des Problems:b) Auf welche geschickte Weise lässt sich eine obere Schranke für den zu maximierenden Gesamtdeckungsbeitragbestimmen? Was wird dabei relaxiert? Wie lautet die optimale Lösung dieser Relaxationund welchen Wert besitzt die Schranke für die gegebenen Daten (Rechenweg!)? (2,5 P.)c) Welchem anderen bekannten Modell entspricht Ihre Formulierung (ohne Kurzzyklenvermeidung) ausAufgabenteil b)? Welches Lösungsverfahren (ausser Branch&Bound) ist geeignet, um dieses Modelloptimal zu lösen?(2 P.)d) Geben Sie eine Nebenbedingung zur Verhinderung des Kurzzyklus 2–4–5–3–2 an, die Bestandteileiner möglichen Formulierung des obigen TSP als Optimierungsproblem sein könnte. Benutzen Sie diein Aufgabenteil b) definierten Entscheidungsvariablen.(2 P.)e) Bestimmen Sie eine zulässige Rundreise mit dem Verfahren des besten Nachfolgers. Starten Sie inKnoten 3. Besitzen zwei Pfeile zu Nachfolgern eines betrachteten Knotens die gleichen Kosten, sowählen Sie denjenigen, der zu dem Knoten mit dem kleineren Index führt.(2 P.)c) Wenden Sie Branch&Bound mit der LIFO-Regel (reine Tiefensuche) zur Lösung der Aufgabe an.Wählen Sie zum Verzweigen stets die Variable mit nicht-ganzzahligem Wert in der Lösung derRelaxation. Verbieten (!!!) Sie diesen Auftrag zur Erzeugung des zuerst erzeugten (linken) Teilproblems.Starten Sie mit einer unteren Schranke F = 0 und verzichten Sie auf eine heuristische Ermittlungbesserer Schranken. Zeichnen Sie den Baum, und beschreiben Sie Ihren Rechenweg aussagekräftig!Nummerieren Sie die Knoten in der Bearbeitungsreihenfolge.(7 P.)- 11 -- 12 -


Verzweigungsbaum:f) Wenden Sie nun auch das Tabu Search Verfahren auf das obige Problem an! Eine Startlösung ist Ihnenbereits vorgegeben. In jeder der 4 auszuführenden Iterationen von Tabu Search soll, anhand der BestfitStrategie, ein Auftrag hinzugefügt oder einer entfernt werden. Jeder umgeplante Auftrag darf inden nächsten 2 Iterationen nicht erneut geändert werden. Wofür wird diese Regelung gebraucht?(Erläuterung!) Geben Sie in jeder Iteration die aktuelle Lösung, ihren Deckungsbeitrag und die Tabulistean. Geben Sie ebenfalls das ermittelte Endergebnis der "Optimierung" explizit an! (6 P.)P 0- 14 -x 1 x 2 x 3 x 4 x 5db j 5 9 3 4 9 Deckungsbeitragk j 4 7 9 3 4KapazitätsbedarfTabulisteStart 1 0 0 1 1 18 11 -Iter. 1Iter. 2Iter. 3Iter. 4Endergebnis: x =Begründung:Optimale Lösung: x = ( , , , , ) Optimaler Zielfunktionswert:d) Wie verändert sich der Lösungsgang von c), wenn Sie die Maximum Upper Bound (MUB)-Regel verwenden?Ändert sich die Anzahl der betrachteten Knoten, wenn ja wo und warum?(2 P.)- 13 -

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