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Das Euler-VerfahrenEin Verfahren zur numerischenLösung von DifferentialgleichungenLeonard Euler 1707-1783Bernd Hitzmann


Gegeben:dy(t)DGL : = y′( t)= fdtAnfangsbed ingung : y(a)( t,y(t))= αGesucht: Die unbekannte Funktion y( t)= .....Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, inder eine Funktion und ihre Ableitung(en) vorkommen.Viele Prozesse in der Natur werden durchDifferentialgleichungen (DGLs) beschreiben!Die zeitliche (und auch örtliche) Änderungeines Prozesses hängt meist von den aktuellenProzessgrößen selber ab!Bernd Hitzmann


Gegeben:dy(t)DGL : = y′( t)= fdtAnfangsbed ingung : y(a)( t,y(t))= αGesucht: Die unbekannte Funktion y( t)= .....Taylor: y t)≈ y(t ) + y′( t )( t − )t 0(0 0t0Entwicklungspunkty( t)≈ y(a)+ y′( a)(t − a)t 0 =ay‘(a)=f(a,y(a))Bernd Hitzmann( a,y(a))(t − )y( t)≈ y(a)+ fa


Gegeben:dy(t)DGL : = y′( t)= fdtAnfangsbed ingung : y(a)( t,y(t))= αGesucht: Die unbekannte Funktion y( t)= .....( a,y(a))(t − )y( t)≈ y(a)+ faGilt nur, wenn (t-a) klein ist!∆ t = ( t − a)⇔ t = a + ∆ty(a( a,y(a ) ∆t+ ∆t)≈ y(a)+ f )y(aBernd Hitzmann( a + ∆t,y(a + ∆t) ∆t+ 2∆t)≈ y(a + ∆t)+ f)


Gegeben:dy(t)DGL : = y′( t)= fdtAnfangsbed ingung : y(a)( t,y(t))= αGesucht: Die unbekannte Funktion y( t)= .....y(a( a,y(a ) ∆t+ ∆t)≈ y(a)+ f )y(a( a + ∆t,y(a + ∆t) ∆t+ 2∆t)≈ y(a + ∆t)+ f)y(aBernd Hitzmann( a + 2∆t,y(a + 2∆t) ∆t+ 3∆t)≈ y(a + 2∆t)+ f)…………………………( a + i∆t,y(a + i∆t) ∆ty(a + [ i + 1] ∆t)≈ y(a + i∆t)+ f)


Gegeben:dy(t)DGL : = y′( t)= fdtAnfangsbed ingung : y(a)( t,y(t))= αGesucht: Die unbekannte Funktion y( t)= .....Bernd Hitzmann( a + i∆t,y(a + i∆t) ∆ty(a + [ i + 1] ∆t)≈ y(a + i∆t)+ f)Leonard EulerDas Euler-Verfahrenzur numerischen Lösungvon Differentialgleichungeny0yi= αAnfangsbedingung+ 1= yi+ f ( ti, yi) ∆tti+1=ti+∆t


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy(t) istunbekannt!y(a) = α = y 0ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = bBernd Hitzmanny(t + ∆t)yi= y(t)+ f ( t,y(t))∆t+ 1= yi+ f ( ti, yi) ∆t∆t = t − ti+1i


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy(a) = α = y 0ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = bBernd Hitzmanny(t + ∆t)y1== y(t)y0+ f+ f ( t,y(t))∆t( t0,y0) ∆t∆t = t − ti+1i


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy(a) = α = y 0Bernd Hitzmanny(tGerade mit der Steigungy’(a) = f(a,y(a)) = f(t 0 ,y 0 )durch den Punkt(a,y(a))=(t 0 ,y 0 )a = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y1==y0y(t)++f( t0f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t0t∆t = t − ti+1i


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αGerade mit der Steigungy ’(a) = f(a,y(a)) = f(t 0 ,y 0 )durch den Punkty 1(a,y(a))=(t 0 ,y 0 )y(a) = α = y ∆y0∆tta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b∆t = t − tBernd Hitzmanny(t+ ∆t)y1==y0y(t)++f( t0f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t0t1= t 0i+1+ ∆ti


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αBernd Hitzmanny 1y(a) = α = y 0y(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y2==yy(t)+1+f( t1f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t1t∆t = t − ti+1i


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αGerade mit der Steigungy ’(t 1 ) = f(t 1 ,y 1 )durch den Punkt(t 1 ,y 1 )Bernd Hitzmanny 1y(a) = α = y 0y(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y2==yy(t)+1+f( t1f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t1t∆t = t − tt2= t 1i+1+ ∆ti


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αBernd Hitzmanny 2y 1y(a) = α = y 0y(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y2=∆t=yy(t)+1+∆yf( tGerade mit der Steigungy ’(t 1 ) = f(t 1 ,y 1 )durch den Punkt(t 1 ,y 1 )1f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t1t∆t = t − tt2= t 1i+1+ ∆ti


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy 2y 1y(a) = α = y 0Bernd Hitzmanny(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y3==y2y(t)++f( t2f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t2t∆t = t − ti+1i


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy 2y 1y(a) = α = y 0Bernd Hitzmanny(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y3==y2y(t)++f( tGerade mit der Steigungy ’(t 2 ) = f(t 2 ,y 2 )durch den Punkt(t 2 ,y 2 )2f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t2t∆t = t − ti+1i


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αBernd Hitzmanny 3y 2y 1y(a) = α = y 0y(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y3==y2y(t)++∆tfGerade mit der Steigungy ’(t 2 ) = f(t 2 ,y 2 )durch den Punkt∆y (t 2 ,y 2 )( t2f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t2t∆t = ti+1− tt 3= t 2+ ∆ti


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy 3y 2y 1y(a) = α = y 0Bernd Hitzmanny(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y4==y3y(t)++f( t3f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t3t∆t = t − ti+1i


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αBernd Hitzmanny 3y 2y 1y(a) = α = y 0y(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y4==y3y(t)++f( t3Gerade mit der Steigungy ’(t 3 ) = f(t 3 ,y 3 )durch den Punkt(t 3 ,y 3 )f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t3t4= t 3t∆t = t − ti+1+ ∆ti


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αBernd Hitzmanny 4y 3y 2y 1y(a) = α = y 0y(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y4==y3y(t)++f( t3Gerade mit der Steigungy ’(t 3 ) = f(t 3 ,y 3 )durch den Punkt(t 3 ,y 3 )f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t3t4= t 3t∆t = t − ti+1+ ∆ti


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy 4y 3y 2y 1y(a) = α = y 0Bernd Hitzmanny(ta = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = b+ ∆t)y5==y4y(t)++f( t4f ( t,y(t))∆t, y ) ∆t4t∆t = ti+1− tt 5= t 4+ ∆ti


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy 4y 3y 2y 1y(a) = α = y 0a = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = btBernd Hitzmanny(t+ ∆t)yi=y(t)+( t,+ 1= yi+ f ( ti, yi) ∆tfy(t))∆tti+1=ti+∆t


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy 4y 3y 2y 1y(a) = α = y 0a = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = btBernd Hitzmanny(t+ ∆t)yi=y(t)+( t,+ 1= yi+ f ( ti, yi) ∆tfy(t))∆tti+1=ti+∆t


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLydy()tdt= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy 4y 3y 2y 1y(a) = α = y 0a = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = btBernd Hitzmanny(t+ ∆t)yi=y(t)+( t,+ 1= yi+ f ( ti, yi) ∆tfy(t))∆tti+1=ti+∆t


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLNun kann ich y mir dy()tvorstellen, wie die dtReaktion abläuft!!!!= y′ = f (, t y())tya ( ) = αy 4y 3y 2y 1y(a) = α = y 0a = t 0t 1 t 2 t 3 t . .4 t n = btBernd Hitzmanny(t+ ∆t)yi=y(t)+( t,+ 1= yi+ f ( ti, yi) ∆tfy(t))∆tti+1=ti+∆t


Das Euler-Verfahren zur Integration von DGLEuler:y i+1 =y i +f(t i ,y i )∆tBei Anwendung des Verfahrens mussman sich ein ∆t wählen!Achtung: Da sich dieses Verfahren ausder Taylor-Reihenentwicklung1. Ordnung (lineare Näherung)ableitet muss ∆t klein sein!Grobe Richtlinie: ∆t so wählen, dassgilt: f(t i ,y i )∆t


Anwendungsbeispiel:dc( t)c0 − c(t)=dt τAnfangsbedingung: c(t=0)=0Analytische Lösung:idealer Rührkesselc( t)= c0(1 −et−τ)Numerische Lösung:ci+1= ci+ fi,− cτ( )0 it c ∆t= c + ∆tii⎛⎜⎝cti+1=⎞⎟⎠ti+∆tBernd Hitzmann


Anwendungsbeispiel:Für Konzentration von B gilt:dcB( t)−k1t= cAk1e− k2cB( t)c A , k 1 und k 2 sinddtKonstantendc(t)= f ( t,c(t))dtti+1= ti+ ∆tc=cBernd HitzmannA B Dirreversible Reaktionen 1. Ordnung+f( ) (−ktt c t c c k e k c )1 i, ∆ = + − ∆ti+ 1 i i ii A 12i

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