Anwendung der Differenzialrechnung in der Ökonomie - Bkonzepte.de

Anwendung der Differenzialrechnungin der ÖkonomieAufgabe zur Wiederholung und Einarbeitung neuen WissensBereits bei der ersten Behandlung von ganzrationalen Funktionen haben wir unsfolgendem Beispiel aus der Landwirtschaft gewidmet.Siehe PDF-Datei „Funktionen 3. Grades in der Ökonomie“.Sehen wir uns das einfache Beispiel aus der Landwirtschaft nochmals an:Auf einem Versuchsgelände der Agrarwirtschaft wird untersucht, welchen Einfluss dieSaatmenge auf den Ernteertrag eines bestimmten Getreides besitzt. Auf 10Versuchsflächen zu je 1 ha werden daher unterschiedliche Mengen Saatgut aufgebracht.Auch einem agrarwissenschaftlichen Laien dürfte klar sein, dass ohne Saat der Ertrag = 0ist, und dass umgekehrt durch eine immer größere Saateinbringung auf die gleicheFläche der Ertrag nicht gleichermaßen ins Unermessliche wächst.Folgende Werte wurden bei dem Versuch gemessen:Ernte-Ertrag pro ha in t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Saatgutkosten pro ha in Euro 0 555 660 11251. Zeichnen Sie ein Koordinatensystem D : 0 x 12; W : 0 y 20000 !2. Tragen Sie die bisher bekannten Messergebnisse ein, wobei x die Variable des Ertrags und yals K(x) der Funktionswert für die Kosten sind.3. Es wird vermutet, dass sich die Kostenfunktion f(x) als Funktionsgleichung 3. Ordnung, also inder Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d darstellen lässt.Ermitteln Sie die Kostenfunktion der variablen KostenK v (x) = ax³ + bx² + cx + d ; x

Anwendung der Differenzialrechnung in der Ökonomie7. Erste neue Aufgabe:Bestimmen Sie den Wendepunkt, bei dem die variablen Kosten vom degressiven Wachstum inein progressives Wachstum umschlagen! Geben Sie den Ernteertrag und die variablen Kostenfür jenen Punkt an!2Lösung: f ''(x)30x140 0 x 43Kv(x)617, 04Bisher haben wir im Beispiel lediglich die variablen Kosten betrachtet, die auf demVersuchsgut entstanden sind. Auf einem Gut entstehen jedoch für die Feldbearbeitungund den dafür notwendigen Maschinenpark zusätzlich Fixkosten von 1000,-- € proHektar.8. Geben Sie die Kostenfunktion aus der Summeder variablen Kosten K v (x) und den FixkostenK f (x) an! Zeichnen Sie die Kostenfunktion in dasvorhandene Koordinatensystem!250022502000Lösung: K(x) = 5x³ - 70x² + 350x + 100017509. Neue Aufgabe:Berechnen Sie den Wendepunkt vomdegressiven zum progressiven Kostenwachstumfür die Gesamtkostenfunktion K(x)!Lösung: x=4,67 K(x) = 161710. Neue Aufgabe:Berechnen Sie den Anstieg der Kosten amWendepunkt!Erklären Sie verbal, was dieser Anstieg imZusammenhang des ökonomischen Problems ausdrückt! Lösung: m f2(4 ) 23, 33'3Würden die Kosten proportional zur Erntemenge steigen, wäre für 1 Tonne eine Kostensteigerung23,33€ zu tragen.Ein Anbieter in freier Konkurrenz kann den Preis seiner Ware nicht selbst festlegen. Ermuss den Preis des Marktes übernehmen. In unserem Beispiel gehen wir davon aus, dassder Markpreis des entsprechenden Getreides bei 250 € pro Tonne liegt.11. Zeichnen Sie die ErtragsfunktionE(x) = 250x ebenfalls in das Koordinatensystem!12. Ermitteln Sie die Gewinnfunktion G(x) !Zeichnen Sie die Gewinnfunktion G(x) !Ermitteln Sie die Gewinnzone!15001250100075050025000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122001000-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-100Lösung: G(x) = E(x) – K(x)= 250x - (5x³ - 70x² + 350x + 1000)= -5x³+70x² - 100x – 1000-200-300-400Die rechnerische Ermittlung der Gewinnschwellenbedeutet auch hier die Bestimmung der Nullstellen.Da es sich bei der Gewinnfunktion G(x) um eineFunktion 3. Grades handelt, ist dieses Problem nichttrivial. Wir begnügen uns bis auf weiterhin mit dergrafischen Lösung des Problems.-500-600-700-80013. Neue Aufgabe:Genau bestimmen lässt sich mit den Mitteln der Differenzialrechnung das Gewinnmaximum.Errechnen Sie es! Lösung: x E =8,55 K(x E ) = 137www.bkonzepte.deBöhm Seite 2 13.10.2004

Anwendung der Differenzialrechnung in der ÖkonomieAnalyse von KostenfunktionenAn dem Beispiel aus der eben betrachteten KostenfunktionK v (x) = 5x³ - 70x² + 350xK(x) = 5x³ - 70x² + 350x +1000sollen weitere Analysen gezeigt werden.GrenzkostenfunktionDie Grenzkostenfunktion gibt in derPraxis den Kostenzuwachs bei einerErhöhung der Ausbringungsmenge umeine Einheit an.Mit ihr wird also beschrieben, welchenAnstieg die Kostenfunktion an einerbestimmten Ausbringungsmenge hat.Mathematisch betrachtet ist dieGrenzkostenfunktion die 1. Ableitung derKostenfunktion.K’(x) = 15x² - 140x + 350DurchschnittskostenDie Durchschnittskostenfunktionk(x), auch Stückkostenfunktiongenannt, gibt an, wie viel jede einzelneMengeneinheit des Produkts bei einerbestimmten Produktionsmenge kostet.Die Funktion k v (x), ermittelt dievariablen Durchschnittskosten, also dievariablen Stückkosten proMengeneinheit.K(x)KV( x)k(x)kV( x)xxInterpretationenGrenzkostenfunktionZuerst verlaufen die Kostenfunktionen K(x) und K v (x) degressiv.In diesem Bereich fällt die entsprechende Grenzkostenfunktion K’(x).Am Wendepunkt der Kostenfunktionen hat die Grenzkostenfunktion ein Minimum.Danach ist der Verlauf der Kostenfunktionen progressiv und die Grenzkostenfunktionsteigt.Durchschnittskosten14. Versuchen Sie, bevor sie die weiter lesen, die Frage zu beantworten, an welchen Stellen dieDurchschnittskostenfunktion und die Funktion der variablen Durchschnittskosten ihr Minimumwww.bkonzepte.deBöhm Seite 3 13.10.2004

Anwendung der Differenzialrechnung in der Ökonomiebesitzen!Anders gefragt: Weshalb sind die Durchschnittskosten nicht bereits am Wendepunkt derKostenfunktion minimal?Die Grenzkosten steigen nach ihremMinimum (nach Wendepunkt derKostenfunktion) wieder an.Sie bleiben jedoch noch für eine gewisseProduktionsmenge unter den variablenStückkosten.Noch mal:Grenzkosten := Kosten für die zudiesem (betrachteten) Momentproduzierten Mengeneinheit.Variable Stückkosten(variable Durchschnittskosten) :=durchschnittliche Kosten für alleProdukte, die bis zu dem betrachtetenMoment produziert wurden.Solang die Grenzkosten unter den variablen Durchschnittskosten bleiben, fallen die variablenDurchschnittskosten.ebenso gilt:Solang die Grenzkosten unter den Durchschnittskosten bleiben, fallen die Durchschnittskosten.Neue BegriffeDie Ausbringungsmenge, bei der die minimalen variablen Durchschnittskosten entstehen,bezeichnet man als Betriebsminimum.Es stellt die Ausbringungsmenge mit den geringsten variablen Stückkosten dar.Die dabei entstehenden Kosten sind die kurzfristige Preisuntergrenze (KPU).Die Ausbringungsmenge, bei der die minimalen Durchschnittskosten entstehen, bezeichnetman als Betriebsoptimum.Es stellt die Ausbringungsmenge mit den geringsten Stückkosten dar.Die dabei entstehenden Kosten sind die langfristige Preisuntergrenze (LPU).Ermittlung der ökonomischen Grundwerte15. Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = 5x³ - 70x² + 350x +1000.a) Geben Sie die Funktion der variablen Durchschnittskosten und die Funktion derDurchschnittskosten an!b) Berechnen Sie das Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze!c) Berechnen Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze!d) Weisen Sie die Existenz aller errechneten Minima nach!www.bkonzepte.deBöhm Seite 4 13.10.2004

Anwendung der Differenzialrechnung in der ÖkonomieLösung:5x³70x²350xk V( x)5x²70x350x5x³70x²350x10001000k(x)5x²70x350xxkVk'V5x³( x)( x)10xNachweis : D''KPU : DV70x²350xx70 0 xv(7) 105Emin5x²70x350( x)10 0 Minimum75x³70x²350x10001000k(x)5x²70x350xx1000k'( x)10x70 0 10x³70x²1000x²liefert keine geschlossene Lösung.Die Berechnung des Schnittpunktes zwischen derDurchschnittskostenfunktion und der Grenzkostenfunktion bringt das gleiche Problem:k(x)K'(x)100010005x²70x350 15x²140x350 0 10x²70x10x³70x²1000xxMan kommt hier ohne eine nummerische Lösung nicht aus.In Ihrem Lehrbuch ist ein Näherungsverfahren, das NEWTONSCHE NÄHERUNGSVERFAHREN, AB S. 280BESCHRIEBEN.Auch im Internet werden Sie sicher fündig werden.Das Programm „MatheProgrammGraf“ auf diesen Seiten liefert: P Min [ 8,41 | 233,85 ].www.bkonzepte.deBöhm Seite 5 13.10.2004

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