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Modulhandbuch für den Studiengang Master Mathematik

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Advanced Complexity TheoryKomplexitätstheorie 2Modulnummer: 04-10-0221/en (Bausteine: 04-00-0220-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: ZieglerKonzeption: ZieglerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Komplexitätstheorie oder Einführung in die Berechenbarkeitstheorie oder Einführung in die mathematischeLogik und ein Bachelorseminar in LogikLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNachdem Studierende diese Veranstaltung besucht haben, können sie fortgeschrittene Resultate der strukturellen undquantitativen Komplexitätstheorie wiedergeben und bewerten. Sie können ihre Beweise und Metho<strong>den</strong> rekonstruierenund deren Grenzen einschätzen und so die Schwierigkeit offener Fragen bewerten.Inhaltpolynomielle Hierarchie, Platzkomplexitätsklassen wie L und NL; ihre Beziehung zu effizienter Parallelisierbarkeit; Tradeoffszwischen Laufzeit und Speicherplatz; Diagonalisierung und Relativierung; algebraische Modelle, untere und obereSchrankenContentspolynomial hierarchy, space complexity classes like L and NL, related to efficient parallelizability; trade-offs between timeand space; diagonalization and relativization; algebraic models, lower and upper boundsLiteraturChristos Papadimitriou: Computational Complexity5


Algebraic, Topological, and Physical Aspects of ComputingAlgebraische, topologische und physikalische Aspekte des ComputingModulnummer: 04-10-0317/en (Bausteine: 04-10-0317-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: ZieglerKonzeption: ZieglerBemerkungen:Sprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Komplexitätstheorie oder Advanced Complexity TheoryLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können untere Komplexitätsschranken beweisen und Unberechenbarkeitsargumente wiedergeben. Sieerkennen Zusammenhänge zwischen mathematischen Invarianten und der theoretischen Informatik. Sie klassifizierenProbleme der algorithmischen <strong>Mathematik</strong> und der Computerphysik an Hand ihrer un-/Berechenbarkeit und Komplexität.InhaltAlgebraische und analytische Rechenmodelle, Berechenbarkeits-und Komplexitätstheorie, untere Schranken, Unentscheidbarkeitin der Physok, Church-Turing-HypotheseContentsalgebraic and analytic models of computation, computability and complexity theory, lower bounds, uncomputability inphysics, Church-Turing HypothesisLiteraturselected publications6


Algebraische GeometrieAlgebraic geometryModulnummer: 04-10-0222/de (Bausteine: 04-00-0221-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: ScheithauerKonzeption: Scheithauer, BruinierBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: AlgebraLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Stu<strong>den</strong>ten verstehen die Grundbegriffe affiner und projektiver Varietäten und können geometrische Problemstellungenmit <strong>den</strong> vorgestellten Metho<strong>den</strong> untersuchen und lösen.InhaltAffine Varietäten, projektive Varietäten, Morphismen, rationale Abbildungen, glatte und singuläre Punkte, ebene KurvenContentsAffine varieties, projective varieties, morphisms, rational maps, smooth and singular points, plane curvesLiteraturK. Hulek, Elementary algebraic geometry, AMSR. Hartshorne: Algebraic geometry, SpringerI. R. Shafarevich: Basic algebraic geometry 1,27


Algebraische ZahlentheorieAlgebraic Number TheoryModulnummer: 04-10-0149/de (Bausteine: 04-00-0181-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: ScheithauerKonzeption: Scheithauer, BruinierBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: AlgebraLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Stu<strong>den</strong>ten beherrschen die Basistechniken der algebraischen Zahlentheorie für Zahlkörper und für deren lokale Körperund können typische Fragestellungen beantworten.InhaltGanze algebraische Zahlen, Dedekindringe, Ideale, Primidealzerlegung, Idealklassengruppe, Einheitengruppe, Erweiterungenvon Dedekindringen, Verzweigung, p-adische Zahlen, Adele, IdeleContentsAlgebraic integers, Dedekind rings, ideals, prime ideal decomposition, ideal class group, unit group, extensions of Dedekindrings, ramification, p-adic numbers, adeles, idelesLiteraturJ. Neukirch: Algebraic Number Theory, SpringerS. Lang: Algebraic Number Theory, Addison-WesleyJ.S. Milne: Algebraic Number Theory, course notesD. Zagier: Zetafunktionen und Quadratische Zahlkörper, SpringerJ. Cassels, A. Fröhlich: Algebraic Number Theory, Thompson8


Applied Proof TheoryAngewandte BeweistheorieModulnummer: 04-10-0058/en (Bausteine: 04-00-0166-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KohlenbachKonzeption: KohlenbachBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic. Für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen I,IILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>1) Kalküle der intuitionistischen Logik, Arithmetik und Analysis (auch in höheren Typen) angeben und anwen<strong>den</strong>;2) die behandelten Beweisinterpretationen (modifizierte Realisierbarkeit, Funktionalinterpretation und deren monotone Versionen)und deren Theorie und Anwendungen vertieft beherrschen;3) die behandelten logischen Metatheoreme (sowohl für konkrete polnische Räume, wie auch für abstrakte Strukturen) in ihremAnwendungsbereich einordnen und4) diese selbständig (z.B. im Rahmen einer <strong>Master</strong>-Arbeit) auf Probleme in der Analysis (Approximationstheorie, Fixpunkttheorieund Ergo<strong>den</strong>theorie) anwen<strong>den</strong>;InhaltDiese Vorlesung entwickelt die wichtigsten Metho<strong>den</strong> der angewandten Beweistheorie, nämlich sogenannte Beweisinterpretationen,und gibt Anwendungen in unterschiedlichen Gebieten der <strong>Mathematik</strong> wie Approximationstheorie, nichtlineare Analysis,Ergo<strong>den</strong>theorie. Bei diesen Anwendungen geht es um die Extraktion effektiver Schranken und neuer Uniformitätsaussagen ausprima facie ineffektiven Beweisen. Die hauptsächlich behandelten Metho<strong>den</strong> sind: Herbrand-Theorie, Kreisels no-counterexampleInterpretation, modifizierte Realisierbarkeit (Kreisel), Gödels Funktionalinterpretation, Negativübersetzungen (Gödel), Funktionalinterpretationder vollen Analysis (Spector), monotone Interpretationen und ihre Erweitung auf Systeme mit Klassen vonabstrakten (nicht separablen) Strukturen, wie allgemeinen metrischen, hyperbolischen und normierten Räumen.ContentsThis course develops the major techniques of applied proof theory, namely so-called proof interpretations together with applicationsto various areas of mathematics such as approximation theory, nonlinear analysis and ergodic theory. These applications areconcerned with the extraction of effective bounds and new qualitative uniformity results from prima facie ineffective proofs.The main techniques studied are: Herbrand theory, no-counterexample interpretation (Kreisel), modified realizability (Kreisel),Gödel’s functional (‘Dialectica’) interpretation, negative translation (Gödel), functional interpretation of full analysis (Spector),monotone interpretations and their extensions to systems based on classes of abstract (nonseparable) metric, hyperbolic andnormed spacesLiteraturKohlenbach, U.: Applied Proof Theory: Proof Interpretations and Their Use in Mathematics. Springer Monograph in Mathematics,xx+536pp., 20089


Asymptotic linearer EvolutionsgleichungenAsymptotics of linear evolutionary equationsModulnummer: 04-10-0304/de (Bausteine: 04-10-0304-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: SaalKonzeption: SaalBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach der Absolvierung des Moduls können Studierende mit Operatorhalbgruppen umgehen. Sie können abstrakte lineareEvolutionsgleichungen behandeln und Langzeitverhalten von Lösungen untersuchen.InhaltStarkstetige Operatorhalbgruppen, Evolutionsgleichungen, Cauchy-Probleme, Asymptotik und StabilitätContentsStrongly continuous operator semigroups, evolution equations, Cauchy problems, asymptotics and stabilityLiteraturArendt, w., Batty, C.J., Hieber, M., Neubrander, F., Vector-valued Laplace transforms and Cauchy porblems. Birkhäuser,Basel etc., 2001.Davies, E.B., Obe-parameter semigroups. Academic Press London etc., 1980.Engel, K.-J., Nagel, R., One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York etc., 2000.Lunardi, A., Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. Birkhäuser, Basel, 1995.Pazy, A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Springer, New York etc., 1992.Tanabe, H., Equations of evolution. Pitman, London etc., 1979.10


Automorphe FormenAutomorphic FormsModulnummer: 04-10-0224/de (Bausteine: 04-00-0223-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: ScheithauerKonzeption: Scheithauer, BruinierBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Algebra, FunktionentheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Stu<strong>den</strong>ten verstehen fortgeschrittene Techniken der Zahlentheorie wie automorphe Formen und L-Funktionen undkönnen diese anwen<strong>den</strong>.InhaltDirichletsche L-Funktionen, Modulformen, Eisensteinreihen, Thetareihen, Hecke-Operatoren und L-Funktionen, AutomorpheFormen zu GL(1) und GL(2)ContentsDirichlet L-functions, modular forms, Eisenstein series, theta series, Hecke operators and L-functions, automorphic formsfor GL(1) and GL(2).LiteraturD. Bump: Automorphic Forms and Representations, Cambridge University PressA. Knapp: Elliptic Curves, Princeton University PressS. Lang: Algebraic Number Theory, Addison-WesleyD. Bump et.al.: An Introduction to the Langlands Programm, BirkhäuserJ.H. Bruinier, G. van der Geer, G. Harder, D. Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms, Springer11


Banach- und C*-AlgebrenBanach and C*-algebrasModulnummer: 04-10-0280/de (Bausteine: 04-00-0202-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: RochKonzeption: Kümmerer, RochBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen die Studieren<strong>den</strong> die Grundkonzepte der Theorie der Banach- und C*-Algebren und können diese wiedergeben,- können sie die Beweise grundlegender Resultate zur Gelfandtheorie für kommutative Banach- und C*-Algebren und zurDarstellungstheorie erläutern,- können sie die Theorie auf einfache Fragestellungen aus der Operatortheorie anwen<strong>den</strong>.InhaltBanachalgebren, Ideale und Homomorphismen, Spektraltheorie in Banachalgebren, Gelfandtheorie für kommutativeBanach- und C*-Algebren, Positivität, Zustände, Darstellungen, GNS-Konstruktion, irreduzible Darstellungen und reineZustände, nichtkommutative Gelfandtheorien, Algebren von ToeplitzoperatorenContentsBanach algebras, ideals and homomorphisms, spectral theory in Banach algebras, Gelfand theory for commutative Banachand C*-algebras, positivity, states, representations, GNS-construction, irreducible representations and pure states, noncommutativeGelfand theories, algebras of Toeplitz operators.LiteraturArveson: An Invitation to C*-Algebras;Davidson: C*-Algebras by Example;Murphy: C*-Algebras and Operator Theory.12


Banachalgebren und Numerische AnalysisBanach algebras and numerical analysisModulnummer: 04-10-0290/de (Bausteine: 04-00-0285-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: RochKonzeption: RochBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Grundkenntnisse Funktionalanalysis und BanachalgebrenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- haben die Studieren<strong>den</strong> Einblicke in das Wechselspiel zwischen Diskretem und Kontinuierlichem in der NumerischenAnalysis gewonnen und können diese wiedergeben,- können sie spezielle Fragen der Numerischen Analysis in algebraische Probleme übersetzen,- können sie Banach-algebraische Techniken auf die Lösung dieser Probleme anwen<strong>den</strong>,- kennen sie Stabilitätsaussagen für konkrete numerische Verfahren für konkrete Operatoren und können deren Beweiseerläutern.InhaltReduktionsverfahren, Stabilität, Algebren von Näherungsfolgen, lokale Prinzipien, spektrale Approximation, fraktaleAlgebren, kompakte Folgen, die Algebra des Reduktionsverfahrens für spezielle Operatorklassen (Toeplitzoperatoren,band-dominierte Operatoren).ContentsFinite sections method, stability, algebras of approximation sequences, local principles, spectral approximation, fractalalgebras, compact sequences, the algebra of the finite sections method for special classes of operators (Toeplitz operators,band-dominated operators).LiteraturBöttcher/Silbermann: Introduction to large truncated Toeplitz operators,Hagen/R./Silbermann: C*-Algebras and Numerical Analysis.13


Basic Applied Proof TheoryGrundzüge der angewandten BeweistheorieModulnummer: 04-10-0225/en (Bausteine: 04-00-0224-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KohlenbachKonzeption: KohlenbachBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Lehrveranstaltungen des ForschungsgebietesLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic. Für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen der InformatikI,IILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>1) Kalküle der intuitionistischen Logik und Arithmetik (auch in höheren Typen) angeben und anwen<strong>den</strong>;2) die Korrektheits- und Charakterisierungstheoreme der behandelten Beweisinterpretationen (modifizierte Realisierbarkeit,Funktionalinterpretation und deren monotone Versionen) wiedergeben und deren Beweise skizzieren;3) grundlegende Anwendungen der Beweisinterpretationen benennen und skizzieren (z.B. die Elimination des binärenLemmas von König);4) die betrachteten Metho<strong>den</strong> auf einfachere Beweise aus der <strong>Mathematik</strong> anwen<strong>den</strong>.InhaltDiese Vorlesung gibt eine Einführung in einige der zentralen Techniken der angewandten Beweistheorie, nämlich verschie<strong>den</strong>esog. Beweisinterpretationen. Die hauptsächlich behandelten Metho<strong>den</strong> sind: Kreisel’s nocounterexample Interpretation,die modifizierte Realisierbarkeitsinterpretation sowie Gödels Funktionalinterpretation und deren monotoneVarianten.ContentsThis course gives a brief introduction to some of the major techniques of applied proof theory, namely so-called proof interpretations.The main methods studied are: no-counterexample interpretation (Kreisel), modified realizability, functional(‘Dialectica’) interpretation (Gödel) and their monotone variants.LiteraturKohlenbach, Ulrich: ‘Applied Proof Theory: Proof Interpretations and Their Use in Mathematics’. Springer Monographin Mathematics, xx+536pp., 2008, Chapters 1-10.14


Categorical LogicKategorielle LogikModulnummer: 04-10-0193/en (Bausteine: 04-00-0193-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- können Logikkalküle in kategoriellen Modellen interpretieren- können mit von Set verschie<strong>den</strong>en Presheaf Topoi umgehen- entwickeln ein Verständnis für die intuitionistische Logik.Inhaltkartesisch abgeschlossene Kategorien, elementarer Topos, interne Logik, (Prä-)GarbenContentscartesian closed categories, elementary topos, internal logic, (pre)sheavesLiteraturSkript online erhältlich15


Category TheoryKategorientheorieModulnummer: 04-10-0194/en (Bausteine: 04-00-0194-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- können zentrale Begriffe aus Algebra und Topologie kategoriell formulieren- können das Yoneda Lemma flexibel verwen<strong>den</strong>- sind mit Limiten und Colimiten vertraut- beherrschen <strong>den</strong> Begriff der Adjunktion in seinen verschie<strong>den</strong>en Formulierungen- können wesentliche mathematische Sachverhalte in Termen von Adjunktionen formulieren.InhaltKategorien, Funktoren, Yoneda Lemma, Limiten und Colimiten, Adjunktionen, Mona<strong>den</strong>Contentscategories, functors, Yoneda lemma, limits and colimits, adjoints monadsLiteraturSkript online erhältlich16


Classical and Non-Classical Model TheoryKlassische und Nicktklassische ModelltheorieModulnummer: 04-10-0311/en (Bausteine: 04-10-0311-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßig (im Wechsel mit anderen Vertiefungsangeboten der AG Logik)Lehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> wer<strong>den</strong> mit <strong>den</strong> Grundbegriffen der Modellteorie vertraut gemacht. Sie erlernen anhand zentraler Sätzeund Beispiele, Beziehungen zwischen Syntax und Semantik zu analysieren, Modelle zu konstruieren und Modelle anhandlogischer Metho<strong>den</strong> zu analysieren, zu klassifizieren und zu vergleichen. Vor dem logischen Hintergrund erlernensie exemplarisch, Techniken aus universeller Algebra, Kombinatorik und diskreter <strong>Mathematik</strong> anzuwen<strong>den</strong>. Währendin der klassischen Analyse die Sonderstellung der Logik erster Stufe im Vordergrund steht, lernen die Studieren<strong>den</strong>in der endlichen und algorithmischen Modelltheorie, ganz unterschiedliche Logiken – auch solche für spezifische Anwendungserfordernisse– kennen und erwerben die Befähigung, deren Ausdrucksstärke anhand modelltheoretischer undalgorithmischer Kriterien zu analysieren und zu bewerten.InhaltVergleich von Logiken: Logik erster Stufe und andere;Kompaktheit, Typen, Saturiertheitseigenschaften;Ehrenfeucht–Fraïssé Spiele und Lindstroemsche Sätze;Erhaltungssätze und Ausdrucksvollständigkeit;algorithnmische Aspekte und Entscheidbarkeit;ausgewählte Themen der algorithmischen und endlichen ModelltheorieContentscomparing logics: first-order and other logics; compactness, types and saturation properties; Ehrenfeucht–Fraïssé gamesand Lindstroem theorems;tractable theories and tractable models;preservation and expressive completeness;algorithmic issues and decidability; themes in finite and algorithmic model theoryLiteraturCori/Lascar: Mathmatical LogicChang/Keisler: Model TheoryHodges: Model TheoryPoizat: A Course in Model TheoryEbbinghaus/Flum: Finite Model TheoryGrädel et al (eds): Finite Model Theory and Its Applications17


Differentialalgebraische Gleichungen und AnwendungenDifferential algebraic Equations and ApplicationsModulnummer: 04-10-0283/de (Bausteine: 04-00-0279-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können für wichtige dynamische Systeme mathematische Modelle in Form von differentialalgebraischenGleichungen aufstellen. Sie können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für differentialalgebraischeDifferentialgleichungen beschreiben, erklären und anwen<strong>den</strong>. Sie sollen die Verfahren und Prinzipienanalysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltExemplarische Modulierungstechniken wichtiger technischer Anwendungsgebiete, z.B.: Reaktionskinetik, ElektrischeSchaltkreise, Mehrkörpersysteme. Simulationstechniken: Differentialalgebraische Gleichungen, Optimierungsmetho<strong>den</strong>:Parameteri<strong>den</strong>tifikation, SensitivitätsanalyseContentsModeling techniques in technical applications: e.g. reaction kinetics, electrical circuits, multi body system dynamics.Simulation techniques: differential albebraic equations. Optimization methods: Parameter i<strong>den</strong>tification, sensitivity analysis.Literatur18


Diskrete OptimierungDiscrete OptimizationModulnummer: 04-10-0073/de (Bausteine: 04-00-0027-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: PfetschKonzeption: Lorenz, PfetschBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel jährlichLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNachdem Studierende das Modul besucht haben, beherrschen Sie die theoretischen Grundlagen der diskreten Optimierung.Die Studieren<strong>den</strong> können zusätzlich Modellierungsprobleme lösen sowie relevante Algorithmen analysieren undanwen<strong>den</strong>.InhaltModellierung: Ganzzahlige Gleichungs- und Ungleichungssysteme; Theorie: Ganzzahlige Programme, Polyedrische Kombinatorik;Metho<strong>den</strong>: Exakte Verfahren, Approximationsalgorithmen, Heuristiken, RelaxierungenContentsModeling: systems of linear equalities and inequalities in integers; theory: integer programs, polyhedral combinatorics;methods: exact algorithms, approximation algorithms, heuristics, relaxationsLiteraturNemhauser, Wolsey: Integer and Combinatorial Optimization,Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming19


Finanzmathematik in stetiger Zeit (Aktien- und Zinsmarktmodelle)Equity and Interest Rate Models im Mathematical FinanceModulnummer: 04-10-0155/de (Bausteine: 04-00-0033-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: StannatKonzeption: StannatBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel jährlich im SSLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, zudem empfohlen: Stochastische AnalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die grundlegen<strong>den</strong> Konzepte der Finanzmathematik beschreiben und anwen<strong>den</strong>,- praxisrelevante Finanzmarktmodelle fuer Aktien- und Zinsprodukte in stetiger Zeit beschreiben und mathematischanalysieren.InhaltStochastische Finanzmarktmodelle in stetiger Zeit; Modellierung von Aktienmärkten; Handelsstrategien und Arbitrage;risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaße; Bewertung und Hedging von Derivaten; Modellierung von Zinsmärkten;Zinsprodukte; Wechsel des Numeraires; ZinstrukturmodelleContentsstochastic models in continuous time of mathematical finance; modelling of stock markets; trading strategies and arbitrage;risk-neutral probability measure; pricing and hedging of derivatives; modelling of fixed-income markets, interestrate products; change of numeraire; term structure modelsLiteraturBingham, Kiesel: Risk-Neutral Valuation;Brigo, Mercurio: Interest Rate Models;Ebenfeld: Grundlagen der Finanzmathematik;Hull: Options, Futures and Other Derivates;Hunt, Kennedy: Financial Derivates in Theory and Practice;Shreve: Stochastic Calculus for Finance II (Continuous Time Models);Wilmott: Paul Wilmott on Quantitative Finance;20


Finite Elemente MethodeFinite Element MethodModulnummer: 04-10-0067/de (Bausteine: 04-00-0072-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik von DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die wesentlichen Konstruktionsprinzipen numerischer Lösungsverfahren für elliptische Differentialgleichungen beherrschen- Vor-und Nachteile, Einsatzbereich, Genauigkeit, Aufwand, etc. angeben- für gegebene Anwendungsaufgaben geeignete Sofware auswählen und adaptieren- Fachartikel der aktuellen Forschung verstehen und diskutierenInhaltWoher kommen partielle Differentialgleichungen? Klassische Lösungen elliptischer Probleme, Elliptische Variationsprobleme,Finite Elemente.ContentsWhere do PDE’s come from? Classical solutions of elliptic problems, variational formulation, finite element methods.LiteraturBraess: Finite Elemente, Springer 2007,Larsson/Thomee: PDE with Numerical Methods, Springer 2003,Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.21


Finite Model TheoryEndliche ModelltheorieModulnummer: 04-10-0231/en (Bausteine: 04-00-0230-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic; für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen der InformatikIILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können wesentliche Unterschiede zwischen klassischer und endlicher Modelltheorie anhand einschlaegigerSätze erklaeren und interpretieren; sie verfügen ueber das methodische Rüstzeug, die Ausdrucksstärke von Logikenüber endlichen Strukturen zu untersuchen und koennen Zusammenhänge zwischen Definierbarkeit und Komplexitätanhand einschlägiger Sätze diskutieren.InhaltUnterschiede zwischen endlicher und klassischer Modelltheorie, wo klassische Techniken und Resultate versagen; modelltheoretischeSpiele und die Ehrenfeucht-Fraisse Methode, Definierbarkeit und Lokalität; 0-1-Gesetze (Satz von Fagin);Deskriptive KomplexitätstheorieContentsfinite versus classical model theory, failure of classical techniques and results; model theoretic games and the Ehrenfeucht-Fraisse method, definability and locality; zero-one laws (Fagin’s Theorem); descriptive complexityLiteraturEbbinghaus, Flum: Finite Model TheoryGrädel et al.: Finite Model Theory and Its ApplicationsLibkin: Elements of Finite Model TheoryLecture Notes (online under www.mathematik.tu-darmstadt.de/˜otto)22


Flächen konstanter mittlerer KrümmungSurfaces of constant mean curvatureModulnummer: 04-10-0214/de (Bausteine: 04-00-0214-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: Große-BrauckmannKonzeption: Große-BrauckmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: DifferentialgeometrieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseAm Beispiel des Inhaltsfunktionals können die Studieren<strong>den</strong> <strong>den</strong> Zusammenhang zwischen dem Minimierungsproblem fürein Integralfunktional und <strong>den</strong> Lösungen seiner Euler-Gleichung beurteilen. Sie wissen um die Schwierigkeit, Lösungeneiner nichtlinearen partiellen Differentialgleichung anzugeben, und verstehen, welche Lösungsansätze es gibt. Sie sindvertraut damit, wie mit Metho<strong>den</strong> der Funktionentheorie und Analysis Eindeutigkeitssätze erzielt wer<strong>den</strong> können. Siekönnen für ein Beispielthema Ergebnisse aktueller Forschung darstellen.InhaltMittlere Krümmung, 1. und 2. Variation des Flächeninhalts, Delaunay-Flächen, Maximumsprinzip, Sätze von Hopf undAlexandrow, Asymptotik eingebetteter En<strong>den</strong>ContentsMean curvature, 1st and 2nd variation of area, Delaunay surfaces, maximum principle, Theorems of Hopf and Alexandrov,asymptotics of embedded endsLiteraturKenmotsu: Surfaces with constant mean curvature, AMS 2003,Oprea: The mathematics of soap films: explorations with maple, AMS 200023


Fluid-Structure InteractionFlüssigkeits-Feststoff WechselwirkungenModulnummer: 04-10-0232/en (Bausteine: 04-00-0231-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: KyedKonzeption: Farwig, Hieber, KyedBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Partielle DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseStudierende können nach dem Besuch dieser Vorlesung Metho<strong>den</strong> der mathematischen Strömungsmechanik im Kontextder Fluid-Struktur-Wechselwirkung neu arrangieren und bisherige Ergebnisse auf Kopplungsprobleme transferieren.InhaltIn this lecture we will focus on solving the systems of partial differential equations describing the interaction of a fluidand a solid. This special type of problem is usually described by two coupled systems, one describing the motion of thefluid and one the motion and, in the case of a deformable body, the deformation of the solid.ContentsIn this lecture we will focus on solving the systems of partial differential equations describing the interaction of a fluidand a solid. This special type of problem is usually described by two coupled systems, one describing the motion of thefluid and one the motion and, in the case of a deformable body, the deformation of the solid.LiteraturSkript der Vorlesung.24


Free boundary problems in fluid dynamicsModulnummer: 04-10-0305/en (Bausteine: 04-10-0305-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: KyedKonzeption: KyedBemerkungen:Sprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Partielle DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong> mathematische Metho<strong>den</strong> zur Lösung von freien Randwertaufgabenin der Strömungsmechanik wiedergeben und erklären. Die Studieren<strong>den</strong> sollen Lösungen von freien Randwertaufgabenin der Strömungsmechanik ermitteln und deren Eigenschaften analysieren können.InhaltContentsA mechanical system where the shape of one or more objects is unknown can be characterized as a free boundaryproblem. In this lecture we study a selected number of free boundary problems occurring in fluid dynamics. We studythese problems from an analytical point of view. We will prove existence theorems for the corresponding mathematicalmodels and establish basic properties of the solutions.LiteraturSkript der Veranstaltung25


Function SpacesFunktionenräumeModulnummer: 04-10-0234/en (Bausteine: 04-00-0233-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: GötzeKonzeption: Farwig, Götze, HieberBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseStudierende beherrschen nach dem Besuch der Veranstaltung die Grundtechniken der Interpolation von Banachräumen.Sie können verschie<strong>den</strong>e Klassen und Skalen von Funktionenräumen benennen und definieren und sie sind in der Lage,Funktionenräume durch ihre Normen zu klassifizieren. Die Studieren<strong>den</strong> erkennen Anwendungen der Interpolationstheoriefür die Analysis partieller Differentialgleichungen, wie Einbettungs- und Spursätze.InhaltLebesgueräume, Sobolevräume und ihre Interpolationsräume, reelle und komplexe Interpolation, AnwendungenContentsLebesgue spaces, Sobolev spaces and their interpolation spaces, real and complex interpolation, applicationsLiteraturSkript zur Vorlesung26


Geometrische DatenverarbeitungGeometric Data ProcessingModulnummer: 04-10-0215/de (Bausteine: 04-00-0215-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: ReifKonzeption: ReifBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Differenzialgeometrie (in der Regel)Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> kennen und verstehen grundlegende mathematische Prinzipien des computergestützten geometrischenModellierens von Kurven und Flächen und vermögen diese hinsichtlich theoretischer und anwendungsorientierter Problemstellungenzu beurteilen. Insbesondere wer<strong>den</strong> die engen Verbindungen zwischen <strong>den</strong> analytischen Eigenschaftender verwendeten Funktionenräume und <strong>den</strong> geometrischen Eigenschaften der damit parametrisierten Mannigfaltigkeitendurchdrungen.InhaltInterpolation und Approximation mit Polynomen, Bernstein-Polynome, Approximationssatz von Weierstraß, Bézierkurven,de Casteljau Algorithmus, rationale Kurven, B-Splines, Splinekurven, de Boor Argorithmus, subdivision, Tensorproduktsplines,Splineflächen beliebiger Topologie.ContentsInterpolation and approximation with polynomials, Bernstein polynomials, Weierstraß approximation theorem, Béziercurves, de Casteljau algorithm, rational curves, B-splines, splin curves, de Boor algorithmus, subdivision, tensor productsplines, spline surfaces of arbitrary topology.LiteraturHoschek und Lasser, Grunglagen der geometrischen Datenverarbertung, TeubnerPrautzsch, Boehm und Paluszny, Bézier and B-Spline Techniques, Springer27


Incompleteness of Formal SystemsUnvollständigkeit formaler SystemeModulnummer: 04-10-0238/en (Bausteine: 04-00-0236-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: Kohlenbach, StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Mathematische LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- kennen <strong>den</strong> Unterschied zwischen Gültigkeit und Beweisbarkeit- können <strong>den</strong> 1. und 2. Gödelschen Unvollständigkeitssatz beweisen- sind mit dem Satz von Löb vertraut- können die Tragweite formaler Systeme und ihre Limitationen beurteilen.InhaltGödelsche Unvollständigkeitssätze, Satz von Löb, BeweisbarkeitslogikContentsGödel’s Incompleteness Theorems, Löb’s Theorem, Provability LogicLiteraturSkript online erhältlich31


Innere-Punkte-Verfahren der konvexen OptimierungInterior Point Methods for Convex OptimizationModulnummer: 04-10-0203/de (Bausteine: 04-00-0200-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen und verstehen sie moderne Innere-Punkte-Verfahren- beherrschen sie die allgemeine Methodik zum Entwurf von Innere-Punkte-Verfahren für konvexe Optimierungsproblemeauf Basis selbstkonkordanter Barrierefunktionen- kennen sie Anwendungsszenarien der allgemeinen TheorieInhaltEinführung: Beispiele, klassisches Barriere-Verfahren, zentraler Pfad, Newton-Verfahren; Innere-Punkte-Verfahren fürlineare Optimierung: primale Pfadverfolgungsmethode, primal-duale Pfadverfolgungsmethode, Konvergenztheorie, Komplexität;Innere-Punkte-Verfahren für allgemeine konvexe Optimierung: Selbstkonkordante Barrierefunktionen, Newton-Verfahren und Selbstkonkordanz, Short-Step Methode, Long-Step-Methode, AnwendungenContentsIntroduction: Examples, classical barrier method, central path, Newton’s method; interior point methods for linearoptimization: primal path following method, primal-dual path following method, convergence theory, complexity; interiorpoint methods for general convex optimization: selfconcordant barrier funtions, selfconcordance and Newton’s method,short step method, long step method, applicationsLiteraturS.J. Wright: Primal-Dual Interior Point Methods;Y. Nesterov, A. Nemirovski: Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming;J. Renegar: A Mathematical View of Interior-Point Methods in Convex Optimization;Y. Ye: Interior Point Algorithms: Theory and Analysis; Wiley-Interscience32


Introduction to Computability TheoryEinführung in die BerechenbarkeitstheorieModulnummer: 04-10-0059/en (Bausteine: 04-00-0167-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KohlenbachKonzeption: KohlenbachBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Mathematische Logik. Für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen derInformatik I.Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>1) die grundlegen<strong>den</strong> Theoreme der klassischen Berechenbarkeitstheorie (Normalformtheoreme, S-m-n Theorem, Rekursionstheoreme)in ihrem Inhalt und ihrer Bedeutung wiederzugeben und in einfacheren Situtationen anzuwen<strong>den</strong>;2) arithmetisch definierte Prädikate ihrer Komplexität nach in der arithmetischen Hierarchie einzuordnen;3) verschie<strong>den</strong>e Reduktionsbegriffe (many-one, truth-table, Turing) in ihrer unterschiedlichen Bedeutung wiedergebenund gegebüberstellen;4) zu einem Grundverständnis der Prioritätsmethode von Friedberg und Muchnik und zur selbstständigen Erarbeitenweiterführender Literatur hierzu.InhaltDiese Vorlesung gibt eine Einführung in die klassische Rekursionstheorie (Berechenbarkeitstheorie) und kulminiert inder Lösung von Posts Problem durch die Prioritätsmethode (Friedberg/Muchnik). Inhaltsverzeichnis: Basis- Maschine,Definition rekursiver Funktionen, Kodes und Indizes, Kleenes Normalform-Theorem, Kleenes Rekursionstheorem, Thesevon Church, relative Rekursion, arithmetische Hierarchie, rekursiv aufzählbare Relationen, Turing-Grade, Lösung desProblems von Post, berechenbare Funktionale.ContentsThis course gives a brief introduction to classical recursion (computability) theory culminating in the solution of Post’sproblem by the priority method (Friedberg/Muchnik). Table of contents: the basic machine, definition of recursivefunctions, codes and indices, Kleene normal form theorem, Kleene recursion theorem, Church’s thesis, relative recursion,arithmetical hierarchy, recursively enumerable relations, Turing degrees, solution of Post’s problem, computablefunctionals.LiteraturShoenfield, Joseph R.: Recursion Theory. ASL and A K Peters, 96pp., 2001.33


Kategorielle LogikCategorical LogicModulnummer: 04-10-0211/de (Bausteine: 04-00-0211-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- können Logikkalküle in kategoriellen Modellen interpretieren- können mit von Set verschie<strong>den</strong>en Presheaf Topoi umgehen- entwickeln ein Verständnis für die intuitionistische Logik.Inhaltkartesisch abgeschlossene Kategorien, elementarer Topos, interne Logik, (Prä-)GarbenContentscartesian closed categories, elementary topos, internal logic, (pre)sheavesLiteraturSkript online erhältlich34


KategorientheorieCategory TheoryModulnummer: 04-10-0210/de (Bausteine: 04-00-0210-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- können zentrale Begriffe aus Algebra und Topologie kategoriell formulieren- können das Yoneda Lemma flexibel verwen<strong>den</strong>- sind mit Limiten und Colimiten vertraut- beherrschen <strong>den</strong> Begriff der Adjunktion in seinen verschie<strong>den</strong>en Formulierungen- können wesentliche mathematische Sachverhalte in Termen von Adjunktionen formulieren.InhaltKategorien, Funktoren, Yoneda Lemma, Limiten und Colimiten, Adjunktionen, Mona<strong>den</strong>Contentscategories, functors, Yoneda lemma, limits and colimits, adjoints monadsLiteraturSkript online erhältlich35


Kurvenschätzungcurve estimationModulnummer: 04-10-0243/de (Bausteine: 04-00-0241-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KohlerKonzeption: KohlerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 3 JahreLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Probability theory, Mathematische StatistikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die wichtigsten Verfahren der Kurvenschätzung (d.h. Dichte- und Regressionsschätzung) beschreiben,- diese mathematisch analysieren und die dabei behandelten Beweismetho<strong>den</strong> auf verwandten Fragenstellungen uebertragen.InhaltDichteschätzung (Bedeutung des L1-Fehlers, universelle Konsistenz des Kerndichteschätzers), Regressionsschätzung beifestem Design (Analyse von nichtparametrischen Kleinste-Quadrate-Schätzern mit Hilfe der Theorie empirischer Prozesse),Regressionsschätzung bei zufälligem Design (lokale Durschschnittsschätzer, universelle Konsistenz und optimaleKonvergenzraten).ContentsDenisity estimation (L1 error, kernel estimate, universal consistency), regression estimation with fixed design (leastsquares estimates, application of empirical process theory), regression estimation with random design (local averaging,universal consistency, optimal rate of convergence)LiteraturDevroye: A Course In Density Estimation,Györfi, Kohler, Krzyzak, Walk: A distribution-free theory of nonparametric regression,van de Geer: Empirical Processes in M-Estimation.36


Lie-AlgebrenLie AlgebrasModulnummer: 04-10-0147/de (Bausteine: 04-00-0022-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KollrossKonzeption: Kollross, ScheithauerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: AlgebraLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreichem Abschluss des Moduls kennen die Studieren<strong>den</strong> die wichtigsten Beispiele von Lie-Algebren und sind mitder grundlegen<strong>den</strong> Strukturtheorie von Lie-Algebren vertraut. Sie kennen außerdem die Grundzüge der Darstellungstheoriehalbeinfacher Liealgebren.InhaltBeispiele von Lie-Algebren, nilpotente, auflösbare und halbeinfache Lie-Algebren, Cartan-Unteralgebren, Darstellungstheorievon sl2(C), Wurzelsysteme, Strukturtheorie halbeinfacher Lie-Algebren, Darstellungstheorie halbeinfacher Lie-AlgebrenContentsExamples of Lie algebras, nilpotent, solvable and semisimple Lie algebras, Cartan subalgebras, representation theory ofsl2(C), root systems, structure theory of semisimple Lie algebras, representation theory of semisimple Lie algebrasLiteraturSerre: Complex semisimple Lie algebras, SpringerHumphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory, SpringerBourbaki: Lie groups and Lie algebras, Springer37


Lineare Algorithmische GeometrieLinear Computational GeometryModulnummer: 04-10-0292/de (Bausteine: 04-00-0287-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: JoswigKonzeption: JoswigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: LA und Ana, Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>o geometrische Probleme algorithmisch lösen,o konvexe Hüllen berechnen,o die geometrischen Grundlagen der linearen Optimierung besser verstehen.InhaltBerechnung konvexer Hüllen, Voronoi-Diagramme, Delone-Triangulierungen, Anwendung: KurvenrekonstruktionContentsconvex hull computation, Voronoi diagrams, Delone triangulations, applications: curve reconstructionLiteraturM. de Berg, M. van Krefeld, M. Overmars and O. Schwarzkopf, Computational geometry, Springer, 2000 (2nd ed.).H. Edelsbrunner, Algorithms in combinatorial geometry, Springer, 1987.M. Joswig and T. Theobald, Algorithmische Geometrie, Vieweg, 2008.38


Markovketten und wechselwirkende stochastische ModelleMarkov chains and interacting stochastic systemsModulnummer: 04-10-0318/de (Bausteine: 04-10-0318/vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: BetzKonzeption: BetzBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis, Lineare Algebra und WahrscheinlichkeitstheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> lernen mit Makovketten die wichtigsten und einfachsten stochastischen Modelle kennen, die überrein unabhängige Zufallsvariable hinausgehen. Sie lernen klassische Ergebnisse, aber auch wichtige neuere Technikenwie stochastische Kopplung und spektrale Metho<strong>den</strong>. Andererseits lernen sie die wichtigsten Modelle der statistischenMechanik kennen, und sehen einfachste Meispiele für Phasenübergänge. Am Ende des Kurses haben sie einen soli<strong>den</strong>Überblick über die wichtigsten Grundlagen des Gebietes.InhaltMarkovketten: stationäre Verteilungen, Rekurrenz und Transienz, Konvergenz zur stationären Verteilung, Variationsdistanz,Mischungszeit, Kopplung; Beidpiele: Irrfahrt auf Z und allgemeinen Gruppen, Geburts- und Todesprozesse,Urnenmodelle, Diaconis’ Spielkarten-Mischen.Teilchensysteme: Ising-Modell, Curie-Weiss-Modell, Thermodynamischer Limes, Phasenübergänge.ContentsMarkov chains stationary distribution, recurrende and transience, convergence to equilibrium, total variation distance,mixing time, coupling. Examples: random walk on Z and general groups, birth- and death chains, urn models, Diaconis’card shuffling.Particle systems: Ising model, Curie-Weiss model, Thermodynamic limit, phase transitions.LiteraturD. A. Levin, Y. Peres, E. L. Wilmer: Markov Chains and Mixing Times; AMS publishing (2009).J. R. Norris: Markov chains; Cambridge University Press, (1998).T. M. Liggett: Interacting Particle Systems, Springer Classics in Mathematics (2005).39


Mathematical Foundations of Functional Programming 1Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 1Modulnummer: 04-10-0247/en (Bausteine: 04-00-0245-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- kennen die grundlegen<strong>den</strong> Techniken der operationalen und <strong>den</strong>otationalen Semantik- sind mit Beweistechniken für rein funktionale Programme vertraut- können logische Relationen verwen<strong>den</strong>, um computational adequacy zu beweisen- können Domain Equations lösen.Inhaltoperationale und <strong>den</strong>otationale Semantics, Domaintheorie, logische Relationen, Logik funktionaler ProgrammeContentsoperational semantics, <strong>den</strong>otational semantics, domain theory, logical relations, logic of functional programsLiteraturT. Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World Scientific (2006)40


Mathematical Foundations of Functional Programming 2Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 2Modulnummer: 04-10-0248/en (Bausteine: 04-00-0246-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 1Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- können rekursive Domain Equations lösen und Eigenschaften darüber beweisen- kennen <strong>den</strong> Begriff der full abstraction und können überprüfen, ob er für ein Modell vorliegt oder nicht- kennen eine Konstruktion des voll abstrakten Modells für PCF mithilfe von Kripke logischen Relationen- sind mit der Erweiterung des Berechenbarkeitsbegriffs auf Domains vertraut.InhaltFull Abstraction, Berechenbarkeit in DomainsContentsfull abstraction, computability in domainsLiteraturT. Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World Scientific (2006)41


Mathematische Grundlagen der funktionalen Programmierung 1Mathematical Foundations of Functional Programming 1Modulnummer: 04-10-0247/de (Bausteine: 04-00-0259-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- kennen die grundlegen<strong>den</strong> Techniken der operationalen und <strong>den</strong>otationalen Semantik- sind mit Beweistechniken für rein funktionale Programme vertraut- können logische Relationen verwen<strong>den</strong>, um computational adequacy zu beweisen- können Domain Equations lösen.Inhaltoperationale und <strong>den</strong>otationale Semantics, Domaintheorie, logische Relationen, Logik funktionaler ProgrammeContentsoperational semantics, <strong>den</strong>otational semantics, domain theory, logical relations, logic of functional programsLiteraturT. Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World Scientific (2006)42


Mathematische Modellierung fluider GrenzflächenMathematical modeling of fluidic interfacesModulnummer: 04-10-0291/de (Bausteine: 04-00-0286-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: BotheKonzeption: BotheBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Analysis, Analysis III oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen sie die an flui<strong>den</strong> Grenzflächen auftreten<strong>den</strong> Phänomene- können sie integrale Bilanzen zweiphasiger Fluidsysteme aufstellen- können sie differentielle Form der Bilanzgleichungen herleiten- können sie Schließungsterme und Transmissionsbedingungen aufstellen- kennen sie numerische Ansätze zur Beschreibung kapillarer GrenzflächenInhaltAnalysis: Grundlagen des Calculus auf Flächen; zweiphasige Transport- Theoreme; Transporttheoreme für bewegte Flächenstücke;einige Grundlagen zur Analysis quasilinearer freier Randwertprobleme. Modellierung: zweiphasige Erhaltungsgleichungenfür Masse, Impuls und Stoffmenge in integraler Form; lokale Formulierung mittels Sprungbedingungenam Interface; Modellierung von Grenzflächenspannung, Stoffübergang sowie Ad- und Desorptionsvorgängen. Numerik:Prinzipielle numerische Zugänge für zweiphasige Strömungen wie Front-Tracking, Level Set, Volume of Fluid (VOF);Diskretisierung von VOF mittels Finite Volumen; Interface Rekonstruktion, Behandlung der Grenzflächenspannung.ContentsBasic calculus on surfaces; two-phase and surface transport theorems; remarks on quasilinear free boundary problems.Derivation of two-phase integral balance equations for mass, momentum and species mass; derivation of local balancesand interfacial jump conditions; modeling of surface tension, mass transfer, ad- and desorption. Principal numericalapproaches like Front Tracking, Level Set or Volume of Fluid method (VOF); Finite Volume discretisation of VOF;interface reconstruction, surface tension treatment.LiteraturR. Aris: Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Dynamics, Dover 1962.J.C. Slattery, L. Sagis, E.-S. Oh: Interfacial Transport Phenomena (2nd ed.), Springer 2006.D.A. Edwards, H. Brenner, D.T. Wasan: Interfacial Transport Processes and Rheology, Butterworth-Heinemann 1991.44


Mathematische Modellierung fluider Grenzflächen IIMathematical modeling of fluidic interfaces IIModulnummer: 04-10-0309/de (Bausteine: 04-10-0309-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: BotheKonzeption: BotheBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen:Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> erlernen Metho<strong>den</strong> der Bilanzierung und Modellierung und können diese auf Transportprozesse inzweiphasigen Fluidsystemen anwen<strong>den</strong>. Sie haben das notwendige mathematische Rüstzeug, um differentielle Bilanzgleichungenaus der integralen Form abzuleiten. Sie kennen die an flui<strong>den</strong> Grenzflächen auftreten<strong>den</strong> Transportprozesse(Stoff- & Wärmeübergang, Phasenübergang sowie Kontaktlinien) und können diese mathematisch modellieren.Inhalt1) Thermodynamisch konsistente Modellierung von 3-Phasen Kontaktlinien: Interface Belegung mit Masse, InterfaceImpulsbilanz, Kontaktlinienmodellierung2) Stoffübergang über deformierbare, in Form und Lage freie fluide Grenzflächen: chemische Potentiale, Sprung- undTransmissionsbedingungen an flui<strong>den</strong> Grenzflächen3) Wärmeübergang mit Phasenwechsel: Stefan-Strom, zwei-phasige Energiebilanz, latente Wärme, VerdampfungContents1) Thermodynamically consistent modeling of three phase contact line: interfacial mass and momentum balance, triplephase contact line2) Mass transfer across fluidic interfaces: chemical potential, interfacial jump conditions3) Heat transfer with phase change: Stefan flow, two-phase energy balance, latent heat, evaporationLiteraturI. Müller: Thermodynamics, Pitman 1985J.C. Slattery, L. Sagis, E.-S. Oh: Interfacial Transport Phenomena (2nd ed.),Springer 2006.D.A. Edwards, H. Brenner, D.T. Wasan: Interfacial Transport Processes and Rheology, Butterworth-Heinemann 1991.45


Mathematische StatistikMathematical StatisticsModulnummer: 04-10-0199/de (Bausteine: 04-00-0073-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KohlerKonzeption: KohlerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 3 JahreLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Probability theoryLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die wichtigsten Problemstellungen und Verfahren der Mathematischen Statistik beschreiben,- Verfahren der Mathematischen Statistik im Hinblick auf <strong>den</strong> Einsatz in verwandten Fragenstellungen modifizieren,- <strong>den</strong> Einsatz von Verfahren der Mathematischen Statistik in Anwendungsbeispielen beurteilen.InhaltSchätzen von Verteilungen, VC Theorie, Dichteschätzung, Punktschätzverfahren, statistische Tests, Konfi<strong>den</strong>zintervalle,nichtparametrische Regression.ContentsEstimation of distributions, VC theory, <strong>den</strong>sity estimation, point estimation, statistical tests, confi<strong>den</strong>ce intervals, nonparametricregression.LiteraturWitting: Mathematische Statistik I46


Maximale RegularitätMaximal RegularityModulnummer: 04-10-0315/de (Bausteine: 04-10-0315-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: SaalKonzeption: SaalBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Lehrveranstaltungen des ForschungsgebietesLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Funktionalanalysis, Grundlagen über Halbgruppentheorie und partielle DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistungen als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungenLernergebnisseNach der Absolvierung des Moduls können die Studieren<strong>den</strong> mit der operatorwertigen Verallgemeinerung des Muliplikatorsatzesvon Mikhlin umgehen. Sie können ihn anwen<strong>den</strong>, um maximale Regularität für quasilineare parabolischepartielle Differentialgleichungen nachzuweisen und um weitere Regularitätseigenschaften von Lösungen zu untersuchen.InhaltUMD-Räume, R-Beschränktheit, operatorwertige Fouriermultiplikatoren, maximale Regularität, quasilineare parabolischeProblemeContentsUDM-spaces, R-boundedness, Operator-valued Fourier multipliers, maximal regularity, quasilinear parabolic problemsLiteraturAmann, H., Linear and Quasilinear Parabolic Problems, vol. I. Monographs in Mathematics, vol. 89, Birkhäuser, Boston,1995.Denk, R., Hieber, H., Prüß, J., R-boundedness, Fourier multipliers and problems of elliptic and parabolic type. Mem.Amer. Math. Soc. 166 (2003), no. 788, pp. viii+114.Kunstmann, P.C., Weis, L., Maximal Lp-regularity for parabolic equations, Fourier multiplier theorems and H1-functionalcalculus. Functional Analytic Methods for Evolution Equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1855, Springer,Berlin, 2004, pp. 65-311.47


Mehrgitter-Metho<strong>den</strong>Multigrid MethodsModulnummer: 04-10-0068/de (Bausteine: 04-00-0035-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik von DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien für Mehrgittermetho<strong>den</strong> beschreiben, erklären undanwen<strong>den</strong>.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltFinite Differenzenverfahren, Finite Volumen Methode, CG-Verfahren, Hierarchische Basen, MehrgitterverfahrenContentsFinite differences, finite volume method, conjugate gradient, hierarchical bases, multigrid methodsLiteraturBraess: Finite Elemente, Springer 2007Großmann/Loos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.48


Minimalflächen IMinimal surfaces IModulnummer: 04-10-0062/de (Bausteine: 04-00-0164-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: Große-BrauckmannKonzeption: Große-BrauckmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis, insbesondere FunktionentheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können die Minimalflächengleichung in verschie<strong>den</strong>en Versionen herleiten. Sie handhaben die variationelleBeschreibung und können das Maximumprinzip in geometrischen Situationen einsetzen. Sie knnen ihre Argumentationauf genügend viele Beispielflächen stützen. Sie sind in der Lage, die Schwierigkeiten zu analysieren, die ein rigoroserExistenzbeweis für das Plateauproblem stellt.InhaltMinimalflächengleichung und Beispiele1. und 2. Variation des InhaltsMaximumprinzipLösung des Plateau-ProblemsContentsminimal surface equation and examples1st and 2nd variation of areamaximum principlesolution of Plateau’s problemLiteraturOsserman: Minimal surfacesDierkes, Grüter, Hildebrandt, Wohlrab: Minimal surfaces INitsche: Minimalflächen49


Minimalflächen IIMinimal surfaces IIModulnummer: 04-10-0064/de (Bausteine: 04-00-0165-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: Große-BrauckmannKonzeption: Große-BrauckmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Minimalflächen ILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können auf dem Plateauproblem basierende Existenzsätze darstellen. Sie lernen einige Ergebnisse derFunktionentheorie kennen, die sie in die Lage versetzen, Minimalflächen zu analysieren und systematisch zu konstruieren;Studierende können damit die Existenz einiger prominente Beispielflächen beweisen.InhaltPeriodische Minimalflächen; Schwarzsches Spiegelungsprinzip; Weierstraß-Darstellung und Beispiele; Konjungierten-KonstruktionContentsperiodic minimal surfaces; Schwarz reflection principle; Weierstrass representation with examples; conjugate surfaceconstructionLiteraturOsserman: Minimal surfaces;Dierkes, Grüter, Hildebrandt, Wohlrab: Minimal surfaces I;Nitsche: Minimalflächen50


Modal LogicsModallogikenModulnummer: 04-10-0061/en (Bausteine: 04-00-0170-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Introduction to Mathematical Logic; für Studierende der Informatik: Formale Grundlagen der InformatikIILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> beherrschen die grundlegen<strong>den</strong> Begriffe und Techniken der Modelltheorie von Modallogiken. Sie könnendie klassischen Sätze und Beweismetho<strong>den</strong> einsetzen, um die Kripkesemantik diverser klassischer Modallogiken und einigerexemplarischer Weiterungen zu analysieren.InhaltKripke Semantik für Modallogiken; Bisimulation: Spiele und Ausdruckstärke; Modallogik als Fragment der Logik ersterStufe; klassische Korrespon<strong>den</strong>ztheorie; Endliche Modelltheorie der Modallogik; relevante Erweiterungen der Modallogik(z.B. temporale Logiken, Programm-Logiken, mu-Kalkül, guarded logics)ContentsKripke semantics for modal logics; bisimulation techniques: games and expressive power; modal logic as a fragment offirst-order logic; classical correspon<strong>den</strong>ce theory; finite model theory of modal logics; relevant extensions of basic modallogic (e.g., temporal logics, program logics, modal mu-calculus, guarded logics)LiteraturBlackburn, de Rijke, Venema: Modal LogicGoranko, Otto: Model Theory of Modal Logics, in: Handbook of Modal Logic, Blackburn, van Benthem, Wolter (eds)51


Model TheoryModelltheorieModulnummer: 04-10-0212/en (Bausteine: 04-00-0212-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: OttoKonzeption: OttoBemerkungen:Sprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Introduction to Mathematical LogicLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> verfügen über ein vertieftes Verständnis für die Zusammenhänge zwischen syntaktischen Formalisierungenund semantischen Phänomenen und gewinnen Einsichten in die Ausdrucksstärke der Logik erster Stufe. Sie sindin der Lage, grundlegende Kenntnisse und Techniken aus universeller Algebra, Mengenlehre und Kombinatorik in derDiskussion von Beweisen und Resultaten der klassischen Modelltheorie zu demonstrieren.InhaltModellkonstruktionen (z.B. Ultraprodukte, Kettenkonstruktionen); klassische Erhaltungssätze (Sätze über Ausdrucksvollständigkeit);modelltheoretische Spiele, back&forth, partielle Isomomorphie; Typen und Saturiertheit; abzählbare Modelleund Kategorizität; Fraïssé Limiten and 0-1-GesetzeContentsmodel constructions (e.g. ultra-products, elementary chains); classical preservation theorems (expressive completenessresults); model theoretic games, back&forth, partial isomomorphy; types and saturation properties; countable modelsand categoricity; Fraïssé limits and 0-1-lawsLiteraturCori/Lascar: Mathematical LogikChang/Keisler: Model TheoryHodges: Model TheoryHodges: A Shorter Model TheoryMarker: Model Theory, an IntroductionRothmaler: ModelltheoriePoizat: A Course in Model Theory52


Navier-Stokes Gleichungen INavier-Stokes Equations IModulnummer: 04-10-0213/de (Bausteine: 04-00-0213-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: GeissertKonzeption: Farwig, Geissert, HieberBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis,oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die (Navier-)Stokes Gleichungen physikalisch interpretieren- die Helmholtz-Projektion definieren und über deren Existenz diskutieren- Existenz- und Eindeutigkeitssätze für starke oder schwache Lösungen der Stokes-Gleichung auflisten und die entsprechen<strong>den</strong>Beweisideen skizzieren- Eigenschaften der Lösung der Stokes-Gleichung beschreibenInhaltMetho<strong>den</strong> zur Behandlung partieller Differentialgleichungen, die zur Lösung von Problemen der Strömungsmechaniknützlich sind. Halbgruppentheorie, Wärmeleitungsgleichung, Divergenzproblem, elliptische Randwertprobleme. WichtigeFunktionenräume der Hydrodynamik. Lösungstheorie der Stokes Gleichungen in L p . Der Stokes-Operator und Resolventenabschätzungen.Schwache Lösungen und das Galerkin-Verfahren.ContentsMethods for the solution of partial differential equations that are useful for the solution of hydrodynamical problems.Semigroup theory, the heat equation, the divergence-problem, elliptic boundary-value problems. Important functionspaces of hydrodynamics. Solvability of the Stokes equations in L p . The Stokes-operator and resolvent estimates. Weaksolutions and the Galerkin method.LiteraturGaldi: An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Springer VerlagSohr: The Navier-Stokes equations. An elementary functional analytic approach. Birkhäuser VerlagTemam: Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North-Holland Publishing Co.53


Navier-Stokes Gleichungen IINavier-Stokes Equations IIModulnummer: 04-10-0254/de (Bausteine: 04-00-0248-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: HeckKonzeption: Farwig, Heck, HieberBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis, Die Navier-Stokes Gleichungen Ioder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- verschie<strong>den</strong>e für die Navier-Stokes Gleichungen relevante Lösungsbegriffe nennen- mehrere Metho<strong>den</strong> zur Lösung der Navier-Stokes Gleichungen beschreiben und insbesondere die Unterschiede der KatoIteration und der Methode der maximalen Regularitaet skizzieren- das Problem der Stabilität stationärer Lösungen erklären und Ergebnisse hierzu wiedergeben- weitere Modelle der Strömungsmechanik auflistenInhaltDie linearen Stokes Gleichungen in Gebieten des n . Fixpunktsätze. Lokale und globale Existenz und Eindeutigkeit starkerLösungen der Navier-Stokes Gleichungen mittels Kato Iteration oder Maximaler Regularität. Asymptotik und Stabilitätstationärer Lösungen. Boundary layers. Strömungen um sich bewegende oder rotierende Objekte. Die Euler Gleichungen.ContentsThe linear Stokes equations in a domain of n . Fixed point theorems. Existence and uniqueness of solutions to theNavier-Stokes equations with help of the Kato iteration technique or maximal regularity. Asymptotics and stability ofstationary solutions. Boundary layers. Fluids in the exterior of moving or rotating obstacles. The Euler equations.LiteraturGaldi: An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Springer VerlagSohr: The Navier-Stokes equations. An elementary functional analytic approach. Birkhäuser VerlagTemam: Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North-Holland Publishing Co.54


Nichtglatte OptimierungNonsmooth OptimizationModulnummer: 04-10-0202/de (Bausteine: 04-00-0199-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen sie die analytischen Grundlagen und Verfahren für nichtglatte Optimierungsprobleme- verstehen sie die spezifischen Schwierigkeiten und die resultierenen Konzepte bei nichtglatten Problemen- kennen sie Anwendungsszenarien und können diese lösen- beherrschen sie Verfahren zur Lösung nichtglatter Gleichungen- kennen sie relevanter Anwendungen für nichtglatte Gleichungssysteme und können diese mit <strong>den</strong> erlernten VerfahrenlösenInhaltNichtglatte Optimierung: Beispiele, Subdifferential konvexer Funktionen, Subgradienten-Verfahren, Schnittebenenverfahren,epsilon-Subdifferential, Bundle-Metho<strong>den</strong>, Anwendungen; Nichtglatte Gleichungssysteme: Beispiele, allgemeineNewton-artige Verfahren, verallgemeinerte Differentiale, Semiglattheit, semiglatte Newton-Verfahren, AnwendungenContentsNonsmooth optimization: Examples, subdifferential of convex functions, subgradient method, cutting plane method,epsilon-subdifferential, bundle methods, applications; Nonsmooth equations: Examples, generalized Newton methods,generalized differentials, semismoothness, semismooth Newton methods, applicationsLiteraturC. Geiger, C. Kanzow, Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben;W. Alt: Numerische Verfahren der konvexen, nichtglatten Optimierung55


Nichtlineare OptimierungNonlinear OptimizationModulnummer: 04-10-0074/de (Bausteine: 04-00-0174-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel jährlichLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- können sie praktische Fragestellungen als mathematische Optimierungsprobleme modellieren- beherrschen sie Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsprobleme und kennen deren Konvergenzeigenschaten- kennen sie die Optimalitätstheorie der nichtlinearen Optimierung und können sie anwen<strong>den</strong>- beherrschen sie Verfahren zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme und kennen deren KonvergenzeigenschatenInhaltModellierung praktischer Fragestellungen als Optimierungprobleme; Optimalitätsbedingungen, Dualitätstheorie; Verfahrenfür Probleme ohne Nebenbedingungen: Linesearch-und Trust-Region-Verfahren; Verfahren für Probleme mit Nebenbedingungen:Straf-, Innere-Punkte-, Multiplikator- und SQP-VerfahrenContentsModelling of practical applications as optimization problems; optimality conditions, duality theory; methods for unconstrainedproblems: Linesearch- and Trust-Region-Methods; methods for constrained problems: penalty-, interior-point-,multiplier- and SQP-methodsLiteraturGeiger, Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter OptimierungsaufgabenGeiger, Kanzow: Theorie und Numerik restringierter OptimierungsaufgabenNocedal, Wright: Numerical Optimization56


Nichtparametrische RegressionsschätzungNonparametric regressionModulnummer: 04-10-0256/de (Bausteine: 04-00-0250-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KohlerKonzeption: KohlerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 3 JahreLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Probability theory, Mathematische StatistikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die wichtigsten Verfahren der nichtparametrischen Regressionsschaetzung beschreiben,- diese mathematisch analysieren und die dabei behandelten Beweismetho<strong>den</strong> auf verwandten Fragenstellungen übertragen.InhaltAufgabenstellung, L2-Fehler, Universelle Konsistenz, Minimax-Konvergenzraten, Schätzprinzipien, Untersuchung von LokalenDurschnittsschätzern und Kleinsten-Quadrate-Schätzern auf universelle Konsistenz und Konvergenzgeschwindigkeit,Grundlagen aus der VC Theorie.ContentsNonparametric regression, L2 error, universal consistency, Minimax principle, principle of estimation, universal consistencyand rate of convergence of local averaging estimates and least squares estimates, VC theoryLiteraturGyörfi, Kohler, Krzyzak, Walk: A distribution-free theory of nonparametric regression.57


Numerik Elliptischer DifferentialgleichungenNumerical Analysis of Elliptic EquationsModulnummer: 04-10-0066/de (Bausteine: 04-00-0172-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für elliptische Differentialgleichungenbeschreiben, erklären und anwen<strong>den</strong>.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltWoher kommen partielle Differentialgleichungen? Klassische Lösungen elliptischer Probleme, Finite Differenzenverfahren,Finite Volumen Methode, Elliptische Variationsprobleme, Finite Elemente, CG-Verfahren, Hierarchische Basen, Mehrgitterverfahren.ContentsWhere do PDE’s come from? Classical solutions of elliptic problems, finite differences, finite volume method, variationalformulation, finite element methods, conjugate gradient, hierarchical bases, multigrid methods.LiteraturBraess: Finite Elemente, Springer 2007,Larsson/Thomee: PDE with Numerical Methods, Springer 2003,Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.58


Numerik Großer Steifer DifferentialgleichungssystemeNumerical Analysis of Large Stiff Differential Equation SystemsModulnummer: 04-10-0321/de (Bausteine: 04-10-0321-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für große steife Differentialgleichungssystemebeschreiben, erklären und anwen<strong>den</strong>. Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen undvergleichen können.InhaltLjapunovsche und exponentielle Stabilität, Runge-Kutta-Verfahren (RKV). Rosenbrock-Verfahren, Stabilitätsfunktionen,partitionierte linear implizite RKV, stabilisierte explizite RKV, Krylov-W-Metho<strong>den</strong>, exponentielle W-Metho<strong>den</strong>.ContentsLjapunov and exponential stability, Runge-Kutta methods (RKM), Rosenbrock methods, stability functions, partitionedlinearly implicit RKM, stabilised explicid RKM, Krylos-W-Methods.LiteraturStrehmel/Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Teubner 1995.Hairer/Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Springer 1995.59


Numerik Steifer DifferentialgleichungenNumerical Analysis of Stiff Differential EquationsModulnummer: 04-10-0257/de (Bausteine: 04-00-0251-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für steife Differentialgleichungenbeschreiben, erklären und anwen<strong>den</strong>.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltSteife Differentialgleichungen, Differentialalgebraische Gleichungen, Randwertprobleme, Kollokation, Schießverfahren.ContentsStiff differential equations, differential algebraic equations, boundary value problems, collocation methods, shootingmethods.LiteraturStrehmel/Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Teubner 1995.Brenan/Campbell/Retzold: Numerical Solution of IVPs in DAEs, Siam 1996.60


Numerik von EvolutionsgleichungenNumerical Analysis of Evolution EquationsModulnummer: 04-10-0069/de (Bausteine: 04-00-0154-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für Evolutionsgleichungenbeschreiben, erklären und anwen<strong>den</strong>.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltParabolische Differentialgleichungen: Klassische Lösungen, Maximumprinzip, Finite Differenzen, Finite Elemente, Einschrittverfahren.Hyperbolische Differentialgleichungen: Klassische Lösungen, schwache Lösungen, Konsistenz, CFL-Bedingung, Konvergenz, Finite-Volumen-Verfahren, Verfahren höherer Ordnung, Randbedingungen.ContentsParabolic Equations: Classical solutions, maximum principle, fiinite differences, finite elements, onestep methods. HyperbolicEquations: Classical solutions, weak solution consistence, CFL-condition, convergence, finite volumne, higher ordermethods, boundary conditions.LiteraturLeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press 2003Larsson/Thomee: PDE with Numerical Methods, Springer 2003Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.61


Numerik von Hyperbolischen DifferentialgleichungenNumerical Analysis of Hyperbolic EquationsModulnummer: 04-10-0071/de (Bausteine: 04-00-0156-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für hyperbolische Differentialgleichungenbeschreiben, erklären und anwen<strong>den</strong>.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltHyperbolische Differentialgleichungen: Klassische Lösungen, schwache Lösungen, Konsistenz, CFL-Bedingung, Konvergenz,Finite-Volumen-Verfahren, Verfahren höherer Ordnung, Randbedingungen.ContentsHyperbolic Equations: Classical solutions, weak solution consistence, CFL-condition, convergence, finite volumne, higherorder methods, boundary conditions.LiteraturLeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press 2003;Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.62


Numerik von Parabolischen DifferentialgleichungenNumerical Analysis of Parabolic EquationsModulnummer: 04-10-0070/de (Bausteine: 04-00-0155-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: LangKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für parabolische Differentialgleichungenbeschreiben, erklären und anwen<strong>den</strong>.Sie sollen die Verfahren analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltParabolische Differentialgleichungen: klassische Lösungen, Maximumprinzip, Finite Differenzen, Finite Elemente, Einschrittverfahren.ContentsParabolic Equations: classical solutions, maximum principle, fiinite differences, finite elements, onestep methods.LiteraturLarsson/Thomee: PDE with Numerical Methods, Springer 2003;Großmann/Roos: Numerik Partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005.63


Operator-Halbgruppen in der Numerischen AnalysisOperator Semigroups in Numerical AnalysisModulnummer: 04-10-0239/en (Bausteine: 04-10-0303-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: Haller-DintelmannKonzeption: Haller-DintelmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: Lesekurs mit ÜbungenLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis oder vergleichbare VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>-die wesentlichen analytischen Sätze und numerischen Metho<strong>den</strong> des Kurses wiedergeben und erklären-die Metho<strong>den</strong> auf konkrete partielle Differentialgleichungen anwen<strong>den</strong> und passende Probleme damit lösenDie Studieren<strong>den</strong> sollen-Die Ergebnisse der Veranstaltung in ihrer Bedeutung einschätzen können-Metho<strong>den</strong> entwickeln, sich selbstständig in mathematische Texte einzulesen.InhaltAnfangswertprobleme und Operator-Halbgruppen, gebrochene Potenzen von Operatoren, Interpolationsräume, Trotter-Kato Theoreme, Approximationen mit finiten Elementen und finiten Differenzen, Lax Equivalence Theorem, ChernoffsTheorem, Fehlerabschätzungen, rationale Approximationen, Runge-Kutta-Metho<strong>den</strong>, Operator-splitting, Anwendungenauf verschie<strong>den</strong>e partielle DifferentialgleichungenContentsInitial value problems and operator semigroups, fractional powers, interpolation spaces, Trotter-Kato theorems, finiteelement and finite difference approximations, Lax Equivalence Theorem, Chernoff Theorem, error estimates, rationalapproximations, Runge-Kutta methods, operator splitting, applications to various partial differential equationsLiteraturSkript der Veranstaltung64


Operatoralgebraische WahrscheinlichkeitstheorieQuantum ProbabilityModulnummer: 04-10-0258/de (Bausteine: 04-00-0252-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KümmererKonzeption: KümmererBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis, grundlegende Kenntnisse aus der Spektraltheorie und der Quantenmechanik sindhilfreich.Leistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung sind die Studieren<strong>den</strong> in der Lage, mit Hilfe der Bellschen Ungleichungenklassische Physik von Quantenmechanik zu unterschei<strong>den</strong>, Tensorprodukte zu definieren und zu interpretieren,die wichtigsten Topologien auf von Neumann Algebren zu unterschei<strong>den</strong>, beliebige normale Zustände und zugehörigeDarstellungen zu konstruieren und schließlich die grundlegen<strong>den</strong> Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie (insbes. Zufallsvariable,bedingte Erwartungen, Übergangsoperatoren, Markov-Prozesse) in <strong>den</strong> operatoralgebraischen Kontext zuübertragen und an ausgewählten physikalischen Beispielen zu illustrieren.InhaltBell-Ungleichungen und die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, Tensorprodukte, Spurklasseoperatorenund die Algebra aller beschränkter Operatoren auf Hilberträumen, Operatortopologien, von Neumann Algebren, normaleZustände und Darstellungen, Grundbegriffe der operatoralgebraischen Wahrscheinlichkeitstheorie (Satz von Gleason,Wahrscheinlichkeitsräume, zusammengesetzte Systeme, Zufallsvariable, bedingte Erwartungen, Übergangsoperatoren),stationäre Markov-Prozesse und physikalische Beispiele.ContentsBell inequalities and mathematical foundations of quantum mechanics, tensor products, trace class operators and thealgebra of all bounded operators on a Hillbert space, operator topologies, von Neumann algebras, normal states andrepresentations, basic notions of quantum probability (Gleason’s Theorem, probability spaces, compound systems, randomvariables, conditional expectations, transition operators), stationary Markov processes and examples from physics.LiteraturR. V. Kadison, J.R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I,II.M.Takesaki: Theory of Operator Algebras I.Skripte aus B. Kümmerer, H. Maassen: Probability in Open Quantum Systems, in Vorbereitung.65


OperatoralgebrenOperator AlgebrasModulnummer: 04-10-0151/de (Bausteine: 04-00-0183-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KümmererKonzeption: KümmererBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis, grundlegende Kenntnisse in Spektraltheorie sind hilfreich aber nicht notwendig.Leistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung sind die Studieren<strong>den</strong> in der Lage, das Spektrum beschränkterOperatoren auf einem Hilbertraum zu definieren und zu bestimmen sowie ihre Spektraldarstellung zu berechnen. Siekönnen verschie<strong>den</strong>e lokalkonvexe Topologien auf von Neumann Algebren unterschei<strong>den</strong> und die zentralen Approximationssätze,<strong>den</strong> Bikommutantensatz und <strong>den</strong> Dichtesatz von Kaplansky, erklären. Mit Hilfe des Vergleichstheorems vonvon Neumann können Sie Projektionen in von Neumann Algebren vergleichen und mit ihrer Hilfe von Neumann Algebrennach ihren Typen unterschei<strong>den</strong>.InhaltSpektraltheorie beschränkter Operatoren auf Hilberträumen, Quantenmechanik für <strong>Mathematik</strong>er, Tensorprodukte,Hilbert-Schmidt-, kompakte, und Spurklasseoperatoren, verschie<strong>den</strong>e Operatortopologien, von Neumann Algebren, Bikommutantensatzund Dichtesatz von Kaplansky, normale Zustände auf von Neumann Algebren und GNS-Darstellung,Geometrie von Projektionen, Klassifikation von von Neumann Algebren, Spuren und Dimensionsfunktionen.ContentsSpectral theory for bounded operators on Hilbert spaces, quantum mechanics for mathematicians, tensor products,Hilbert-Schmidt-, compact, and trace class operators, various operator topologies, von Neumann algebras, double commutanttheorem and <strong>den</strong>sity theorem of Kaplansky, normal states on von Neumann algebras and GNS-representation,geometry of projections, classification of von Neumann algebras, traces and dimension functions.LiteraturR. V. Kadison, J.R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I,II.M.Takesaki: Theory of Operator Algebras I.66


Optimierung im FunktionenraumOptimization in function spacesModulnummer: 04-10-0259/de (Bausteine: 04-00-0253-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Nichtlineare Optimierung, FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- kennen sie prototypische Beispiele für unendlichdimensionale Optimierungsprobleme- beherrschen sie die wesentlichen Techniken der konvexen Analysis- kennen sie Techniken zur theoretischen Analyse von Optimierungsproblemen in unendlichdimensionalen Räumen- beherrschen und verstehen sie grundlegende Algorithmen zur Lösung unendlichdimensionaler OptimerungsproblemeInhaltDifferentiation im Banach-Raum: Gâteaux- und Fréchet-Ableitungen; Satz von Hahn-Banach, Trennungssätze; Dualitätstheorie,Minimaxtheorem, Lagrange-Dualität, Fenchel-Dualität; Sätze über Lagrange-Multiplikatoren: Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen, Regularitätbedingungen nach Robinson und Zowe/KurcyuszContentsDifferentiation in Banach spaces: Gâteaux- and Fréchet-derivatives; Hahn- Banach theorem, separation theorems; dualitytheory, minimax theorem, Lagrange duality, Fenchel duality; Lagrange multiplier theorems: Karush-Kuhn- Tuckerconditions, regularity conditions of Robinson and Zowe/KurcyuszLiteraturLuenberger: Optimization by Vector Space Methods;Ekeland, Temam: Convex Analysis and Varational Problems67


Optimierung in dynamischer UmgebungOptimization in dynamic environmentsModulnummer: 04-10-0201/de (Bausteine: 04-00-0198-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: LorenzKonzeption: LorenzBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 2 Jahre im SSLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNachdem Studierende das Modul besucht haben, können sie mindestensa) die Komplexität verschie<strong>den</strong>er Optimierungsprobleme bei Anwesenheit von Unsicherheiten analysieren und bewertenb) Optimierungsalgorithmen bei Anwesenheit von Gegenspielern anwen<strong>den</strong> und beurteilenc) Verbindungen zwischen linearer Optimierung, ganzzahliger linearer Optimierung, quantifizieten Programmen undSpielen erkennen und selber herstellenInhaltmathematische Modellbildung, Einführung in die Theorie von 2-Personen-Spielen, Einführung und Komplexitätsbetrachtungenzu Quantifizierten Linearen Programmen, Stochastischen Linearen Programmen und Spielen wie Schach, Pokeroder Sokoban. Dementsprechende Einordnung von klassischen Optimierungsproblemen (z.B. Kürzeste-Wege-Suche) beiHinzunahme von zufallsgetriebenen oder bösartigen Gegenspielern, die nach bestimmten Regeln die Umgebung in derdie Optimierung statt fin<strong>den</strong> soll (z.B. <strong>den</strong> Graphen) verändern dürfen.ContentsMathematical models, Introduction to theory of two-person-games, Introduction to the complexity of Quantified LinearPrograms, Stochastic Linear Programs and games like Chess, Poker or Sokoban.LiteraturBirge and Louveaux (book): Introduction to Stochastic ProgrammingPapadimitriou (paper 1984): Games against NatureSubramani (paper 2003): An analysis of Quantified Linear Programs and other68


Optimierung mit partiellen DifferenzialgleichungenOptimization with partial differential equationsModulnummer: 04-10-0279/de (Bausteine: 04-00-0276-vu)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: UlbrichKonzeption: UlbrichBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Nichtlineare Optimierung, ein Modul zu partiellen Differentialgleichungen (z.B. Partielle Differentialgleichungen:Klassische Metho<strong>den</strong>, Partielle Differentialgleichungen: Funktionalanalytische Metho<strong>den</strong>, Numerikelliptischer Differentialgleichungen)Leistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- können sie Optimierungsprobleme mit partiellen Differentialgleichungen sachgerecht als Optimalsteuerungsproblememodellieren- beherrschen sie Techniken zur theoretischen Analyse von Optimalsteuerungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen(Existenz von Lösungen, Optimalitätsbedingungen) und können diese anwen<strong>den</strong>- kennen sie grundlegende Algorithmen zur Loesung von Optimalsteuerungsproblemen mit partiellen DifferentialgleichungenInhaltGrundlagen der schwachen Theorie partieller Differentialgleichungen; Linearquadratische Probleme mit Steuerungsbeschränkungen:Existenz und Eindeutigkeit, notwendige Bedingungen, adjungierte Gleichung; Semilineare Probleme mitSteuerbeschränkungen: Existenz, Nemyzkii-Operatoren, notwendige und hinreichende Bedingungen; Algorithmik: FiniteElemente für Optimalsteuerungsaufgaben, Semiglatte Newton-Verfahren, SQP-VerfahrenContentsWeak solutions of partial differential equations; Linear-quadratic problems with control constraints: existence and uniqueness,first-order necessary conditions, adjoint equations; semilinear problems with control constraints: existence,Nemyzkii operators, first-order necessary and second-order sufficient conditions; algorithms: finite elements in optimalcontrol, semismooth Newton methods, SQP methodsLiteraturTröltzsch: Optimale Steuerung partieller DifferentialgleichungenHinze, Pinnau, M. Ulbrich, S. Ulbrich: Optimization with PDE Constraints69


Modulnummer: 04-10-0037 (Bausteine: 04-00-0184-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: FarwigKonzeption: FarwigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel jährlich im SSPartielle Differentialgleichungen IPartial Differential Equations ILehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Analysis und Lineare Algebra, Grundkenntnisse der FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- elliptische Randwertprobleme mit verschie<strong>den</strong>en Metho<strong>den</strong> der Funktionalanalysis untersuchen und verschie<strong>den</strong>e Loesungsbegriffei<strong>den</strong>tifizieren- Differentialoperatoren in Sobolevraeumen anwen<strong>den</strong>InhaltKlassische Behandlung des Laplace-Operators. Formulierung elliptischer Randwertaufgaben als Minimierungs- bzw. Variationsproblem.Theorie der Sobolevräume, Einbettungssätze und Kompaktheit. Theorie elliptischer Randwertprobleme2. Ordnung im Hilbertraum. Regularitätstheorie, Eigenwerte elliptischer OperatorenContentsClassical treatment of the Laplacian. Formulation of elliptic boundary value problems as a minimization or variationalproblem. Theory of Sobolev spaces, embedding theorems and compactness. Theory of elliptic boundary value problemsof 2nd order in Hilbert spaces, regularity theory, eigenvalues of elliptic operatorsLiteraturH.W. Alt: Funktionalanalysis (Springer)L.C. Evans: Partial Differential Equations (AMS)D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order (Springer)M. Renardy, R.C. Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations (Springer)70


Partielle Differentialgleichungen IIPartial Differential Equations IIModulnummer: 04-10-0038/de (Bausteine: 04-00-0065-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: AlberKonzeption: Alber, Farwig, Hieber, RochBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen:Leistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisse-sind die Studieren<strong>den</strong> mit aktuellen Problemen für partielle Differentialgleichungen aus verschie<strong>den</strong>en Anwendungsgebieten(z.B. Strömungsmechanik, Materialwissenschaften) vertraut und können diese erläutern,-beherrschen sie moderne funktionalanalytische Metho<strong>den</strong> zum Studium von partiellen Differentialgleichungen und könnendiese auf einfache konkrete Probleme anwen<strong>den</strong>,-kennen Sie wesentliche Eigenschaften von Sobolevräumen und können deren Rolle in der Lösungstheorie partiellerDifferentialgleichungen erklären.InhaltUntersuchung von Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen linearer und nichtlinearer partieller Differentialgleichungenmit funktionalanalytischen Metho<strong>den</strong>; je nach Dozent erfolgt eine Ausprägung in Richtung elliptischer,parabolischer oder hyperbolischer Gleichungen mit Anwendungen z.B. in der Strömungsmechanik oder <strong>den</strong> Materialwissenschaften.ContentsLiteraturGilbarg, Trudinger: Elliti Partial Differential Equations of Second OrderAmann: Linear and Quasilinear Parabolic ProblemsDafermos: Hyperbolic Conservation Laws in Continuum PhysicsGaldi: An Introduction to Mathematical Theory of the Navier-Strokes Equations71


Partielle Differentialgleichungen II.1Partial Differential Equations II.1Modulnummer: 04-10-0306/de (Bausteine: 04-10-0306-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: FarwigKonzeption: Alber, Farwig, Hieber, RochBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßig im WSLehrformen: 2V + 2ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodul Partielle Differentialgleichungen ILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können Studierende- parabolische Anfangsrandwertprobleme mit mehreren Techniken untersuchen und verschie<strong>den</strong>e Lösungsbegriffe gegeneinanderabgrenzen,- Metho<strong>den</strong> der Funktionalanalysis auf parabolische Anfangsrandwertprobleme anwen<strong>den</strong>InhaltKlassische Behandlung der Wärmeleitungsgleichung in speziellen Gebieten. Funktionalanalytische Begriffsbildungen fürinstationäre Differentialgleichungen. Lösung parabolischer Randwertprobleme mit dem Galerkin-Verfahren, Regularität.Halbgruppenmetho<strong>den</strong>.ContentsClassical treatment of the heat equation. Functional analytic prerequisites for nonstationary partial differential equations.Solution of initial boundary value problems by Galerkin’s method, regularity. Semigroup approach.LiteraturL.C. Evans: Partial Differential Equations (AMS)M. Renardy, R.C. Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations (Springer)72


Partielle Differentialgleichungen II.2Partial Differential Equations II.2Modulnummer: 04-10-0307/de (Bausteine: 04-10-0307-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: FarwigKonzeption: FarwigBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßig im SSLehrformen: 2V + 2ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodul Partielle Differentialgleichungen ILeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können Studierende- die Grundgleichungen der Strömungsmechanik herleiten- mit funktionalanalytischen Metho<strong>den</strong> analysieren- verschie<strong>den</strong>e Lösungsbegriffe gegeneinander abgrenzen- offene Probleme selbständig im mathematischen und physikalischen Kontext diskutierenInhaltHerleitung der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen. Lösung der Navier- Stokes-Gleichungen mit dem Galerkin-Verfahren, Eindeutigkeits- und Regularitätsprobleme. Der Leraysche Struktursatz schwacher LösungenContentsDerivation of Euler and Navier-Stokes equations. Solution of the Navier- Stokes system by Galerkin’s method, questionsof uniqueness and regularity, Leray’s structure theoremLiteraturH. Sohr, The Navier-Stokes Equations: An Elementary Functional Analytic Approach, Birkhäuser BaselVorlesungsmanuskript73


PDEs on Nonsmooth DomainsModulnummer: 04-10-0303/en (Bausteine: 04-10-0308-vu)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: MonniauxKonzeption: MonniauxBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Funktionalanalysis oder vergleichbara VorkenntnisseLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>-die wesentlichen Sätze und Metho<strong>den</strong> des Kurses wiedergeben und erklären-die Metho<strong>den</strong> auf elliptische und parabolische partielle Differentialgleichungen anwen<strong>den</strong> und passende Probleme damitlösenDie Studieren<strong>den</strong> sollen-Die Ergebnisse der Veranstaltung in ihrer Bedeutung einschätzen können-Metho<strong>den</strong> entwickeln aktuelle mathematische Ergebnisse einzuordnen.InhaltContentsLipschitz domains, Dirichlet and Neumann Problem on Lipschitz domains, reularity, weak and strong solutions, parabolicequations on Lipschitz domains, differential forms, divergence equation, Stokes equation operatior on Lipschitz domains,applications to various partial differential equationsLiteraturwird in der Vorlesung bekannt gegeben74


RealizabilityRealizabilityModulnummer: 04-10-0261/de (Bausteine: 04-00-0255-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- sind mit Kleene’s number realizability vertraut und können realizer aus formalen Beweisen extrahieren- kennen <strong>den</strong> Begriff einer partial combinatory algebra und seine wichtigsten Instanzen- können realizability Modelle für diverse Typtheorien konstruieren.InhaltRealizability, Modified Realizability, Assemblies, Tripos, effektiver ToposContentsrealizability, modified Realizability, assemblies, tripos, effective toposLiteraturSkript online erhältlich75


Realizability (englisch)RealizabilityModulnummer: 04-10-0261/en (Bausteine: 04-00-0263-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: englischDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einf. in die LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- sind mit Kleene’s number realizability vertraut und können realizer aus formalen Beweisen extrahieren- kennen <strong>den</strong> Begriff einer partial combinatory algebra und seine wichtigsten Instanzen- können realizability Modelle für diverse Typtheorien konstruieren.InhaltRealizability, Modified Realizability, Assemblies, Tripos, effektiver ToposContentsrealizability, modified Realizability, assemblies, tripos, effective toposLiteraturSkript online erhältlich76


Riemannsche FlächenRiemann SurfacesModulnummer: 04-00-0314/de (Bausteine: 04-00-0314-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg), Geometrie und Approximation (geo)Administration: BruinierKonzeption: BruinierBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Algebra, FunktionentheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> verstehen <strong>den</strong> Begriff der Riemannschen Fläche. Sie beherrschen grundlegende Techniken zum Studiumder Geometrie von Riemannschen Flächen wie etwa Überlagerungen, Differentialformen und KohomologietheorieInhaltRiemannsche Flächen, holomorphe Abbildungen, die Fundamentalgruppe, Überlagerungen, die universelle Überlagerung,algebraische Funktionen, Differentialformen, Kohomologie-Gruppen, der Satz von Riemann-RochContentsRiemann Surfaces, holomorphic maps, fundamental group, coverings, the universal covering, algebraic functions, differentialforms, cohomology groups, the Riemann-Roch TheoremLiteraturO.Forster: Riemannsche Flächen (Riemann Surfaces)E.Freitag: Funktionentheorie IIK.Lamotke: Riemannsche FlächenH.M.Farkas and I.Kra: Riemann surfaces77


Riemannsche GeometrieRiemannian GeometryModulnummer: 04-10-0288/de (Bausteine: 04-00-0283-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: Große-BrauckmannKonzeption: Große-BrauckmannBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: DifferentialgeometrieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> kennen <strong>den</strong> Abstraktionsprozess von Untermannigfaltigkeiten zu Mannigfaltigkeiten. Sie verstehen diezentrale Rolle des Parallelitätsbegriffs für einen invarianten Ableitungsbegriff. Sie haben ein anschauliches Verständnisdes Krümmungsbegriffs und können ihn technisch handhaben. Sie können verschie<strong>den</strong>e Aussagen angeben, in <strong>den</strong>en dieKrümmung eine wesentliche Voraussetzung spielt, und erkennen auf welche Weise sie eingeht.InhaltMannigfaltigkeiten, VektorfelderRiemannsche Metriken, Parallelität auf UntermannigfaltigkeitenZusammenhänge, Geodätische, Exponentialabbildung, Satz von Hopf-Rinow, Hyperbolischer RaumKrümmungstensor, Satz von Myers, Jacobifelder, Satz von HadamardContentsManifolds, vector fields Riemannian metrics, parallel transport on submanifoldsConnections, geodesics, exponential map, Hopf-Rinow theorem, hyperbolic spaceCurvature tensor, Myers theorem, Jacobi fields, Hadamard theoremLiteraturDoCarmo: Riemannian GeometryGallot, Hulin, Lafontaine: Riemannian Geometry78


Scha<strong>den</strong>versicherungsmathematikNon-life insurance mathematicsModulnummer: 04-10-0200/de (Bausteine: 04-00-0197-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KohlerKonzeption: KohlerBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: in der Regel alle 3 JahreLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Probability theory, Mathematische StatistikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die wichtigsten Problemstellungen und Lösungsansätze in der Scha<strong>den</strong>versicherungsmathematik beschreiben,- Verfahren der Scha<strong>den</strong>versicherungsmathematik im Hinblick auf <strong>den</strong> Einsatz in leicht modifizierten Fragenstellungenmodifizieren,- <strong>den</strong> Einsatz von Verfahren der Scha<strong>den</strong>versicherungsmathematik in einfachen Modellen beurteilen.InhaltBestandteile der Prämie, Ausgleich im Kollektiv, Berechnung des Schwankungszuschlags im kollektiven Modell, Schätzungdes mittleren Scha<strong>den</strong>s, Scha<strong>den</strong>reservierung bei lang andauernder Scha<strong>den</strong>abwicklung, Risikoteilung.ContentsStatistical methods for calculation of the premium of a non-life insurance.LiteraturMack: Scha<strong>den</strong>versicherungsmathematik79


Simulation und Optimierung Dynamischer SystemeSimulation and Optimization of Dynamical SystemsModulnummer: 04-10-0072/de (Bausteine: 04-00-0173-vu)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Numerik gewöhnlicher DifferentialgleichungenLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können für wichtige dynamische Systeme mathematische Modelle in Form von differentialalgebraischenGleichungen aufstellen. Sie können die wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren fürdifferentialalgebraissche Differentialgleichungen beschreiben, erklären und anwen<strong>den</strong>.Sie sollen die Verfahren und Prinzien analysieren, beurteilen und vergleichen können.InhaltExemplarische Modulierungstechniken wichtiger technischer Anwendungsgebiete, z.B.: Reaktionskinetik, ElektrischeSchaltkreise, Mehrkörpersysteme. Simulationstechniken: Steife Differentialgleichungen, Differentialalgebraische Gleichungen,Randwertprobleme, Kollokation, Schießverfahren, Direkte und indirekte Optimierungverfahren: Parameteri<strong>den</strong>tifikation,Minimierung mit Nebenbedingungen, Sensitivitätsanalyse.ContentsModeling techniques in technical applications: e.g. reaction kinetics, electrical circuits, multi body system dynamics.Simulation techniques: stiff and differential algebraic equations, boundary value problems, collocation, shooting methods.Optimization methods: Parameter i<strong>den</strong>tification, constraints, sensitivity analysis.LiteraturStrehmel/Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen,Teubner 1995.Brenan/Campbell/Retzold: Numerical Solution of IVPs in DAEs, Siam 1996.80


SpektraltheorieSpectral TheoryModulnummer: 04-10-0150/de (Bausteine: 04-00-0182-vu)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KümmererKonzeption: Hieber, KümmererBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach erfolgreicher Teilnahme an dieser Veranstaltung sind die Studieren<strong>den</strong> in der Lage, C*-Algebren zu definieren,kommutative C*-Algebren und ihre Darstellungen zu konstruieren, die Spektraltheorie kommutativer C*-Algebren zuentwickeln und mit ihrer Hilfe kommutative C*-Algebren zu klassifizieren. Sie können <strong>den</strong> Homomorphiesatz für C*-Algebren erklären und erkennen die Bedeutung positiver Elemente für allgemeine C*-Algebren. Schließlich sind sie inder Lage, auf die Existenz von ausreichend vielen Zustän<strong>den</strong> zu schließen und mit ihrer Hilfe <strong>den</strong> Darstellungssatz vonGelfand, Neumark und Segal zu zeigen.InhaltBanach- und C*-Algebren, Spektraltheorie in Banach- und C*-Algebren, Sätze von Gelfand und Funktionalkalkül, Positivitätin C*-Algebren, approximierende Eins und Quotienten von C*-Algebren, Zustände und Darstellungen von C*-Algebren.ContentsBanach- and C*-Algebras, spectral theory in Banach- and C*-algebras, theorem of Gelfand and functional calculus,positivity in C*-algebras, approximating i<strong>den</strong>tity and quotients of C*-algebras, states and representations of C*-algebras.LiteraturD. Werner: Funktionalanalysis,J.B. Conway: A Course in Functional Analysis.81


SplineapproximationSpline approximationModulnummer: 04-10-0264/de (Bausteine: 04-00-0257-vu)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: ReifKonzeption: ReifBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Geometrische DatenverarbeitungLeistungsnachweise: mündlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> kennen und verstehen vertiefe zentrale Aspekte der linearen uni- und multivariaten Approximation mitSplines. Insbesondere erfassen sie die zentrale Rolle dualer Funktionale für Stabilitäts- und Approximationseigenschaften.Durch die Kenntnis wichtiger Eigenschaften verschie<strong>den</strong>er Approximationsmetho<strong>den</strong> können geeigneter Verfahren beikonkreten Anwendungen ausgewählt, bewertet und modifiziert wer<strong>den</strong>.InhaltMars<strong>den</strong>-I<strong>den</strong>tität, B-Splines und Algorithmen, Abstand Spline-Kontrollpolygon, Satz von Schoenberg-Whitney, natürlicherund kanonischer Splineinterpolant, Quasiinterpolation, Bramble-Hilbert Lemma, gleichmäßige Stabilität, diskreteund kontinuierliche Approximation, Orthogonalitätsrelationen, Smoothing-Splines, geometrische Approximation, multivariateApproximation, Splines über Triangulierungen, Stabilisierung von TPB-Splines durch Erweiterung.ContentsMars<strong>den</strong> i<strong>den</strong>tity, B-Splines and algorithms, distance spline-control polygon, Schoenberg-Whitney theorem, natural andcanonical spline interpolant, quasiinterpolation, Bramble-Hilbert lemma, uniform stability,discrete and continuous approximatiom,orthogonality relations, smoothing-splines, geometric approximation, multivariate approximation, splines ontriangulations, stabilization of TPB-splines by extension.Literaturde Boor, A Practical Guide to Splines, SpringerSchumaker, Spline functions basic theory, Cambridge University Press82


Stochastische AnalysisStochastic AnalysisModulnummer: 04-10-0076/de (Bausteine: 04-00-0019-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: StannatKonzeption: StannatBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V+2Ü oder PLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: WahrscheinlichkeitstheorieLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die grundlegen<strong>den</strong> Konzepte der Stochastischen Analysis beschreiben und auf stochastische Prozesse in stetiger Zeitanwen<strong>den</strong>,- die Brownsche Bewegung als das zentrale Beispiel eines stochastischen Prozesses in stetiger Zeit beschreiben undanalysieren,- <strong>den</strong> Ito-Kalkuel anwen<strong>den</strong>,- die stochastische Integrationstheorie erklären und anwen<strong>den</strong>,- die Verbindungen zwischen stochastischen Prozessen und gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen erklärenund in einfachen Modellen anwen<strong>den</strong>,- Anwendungen in der Finanzmathematik beschreiben.InhaltMartingaltheorie in stetiger Zeit, Brownsche Bewegung, Ito - Kalkül, Stochastische Darstellungen elliptischer und parabolischerRandwertprobleme,Stochastische Integrationstheorie,Stochastische Differentialgleichungen, Anwendungen in der FinanzmathematikContentsmartingale theory in continuous time, Brownian motion, Ito-calculus, stochastic representation of elliptic and parabolicboundary value problems, stochastic integration, stochastic differential equations, applications to mathematical financeLiteraturKlenke, A.: WahrscheinlichkeitstheorieKaratzas,Shreve: Brownian Motion and Stochastic CalculusOksendal, B.: Stochastic differential equations: an introduction with applications83


Stochastische DifferentialgleichungenStochastic Differential EquationsModulnummer: 04-10-0181/de (Bausteine: 04-00-0068-vu)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: StannatKonzeption: Hieber, StannatBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 4V + 2ÜLeistungspunkte: 9Voraussetzungen: Stochastische AnalysisLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- die grundlegen<strong>den</strong> Konzepte und Techniken zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen beschreiben und anwen<strong>den</strong>,- die Bedeutung der Koeffizienten einer stochastischen Differentialgleichung erklären,- zeitstetige stochastische Prozesse durch stochastische Differentialgleichungen modellieren und auf einfache Beispieleaus der Finanzmathematik und der stochastischen Filtertheorie anwen<strong>den</strong>,- die grundlegen<strong>den</strong> Techniken zur Kalibrierung stochastischer Differentialgleichungen beschreiben und anwen<strong>den</strong>.InhaltGirsanov Transformation, Zeittransformation, Wienerscher Darstellungssatz, Langzeitverhalten, Statistische Inferenz vonDiffusionsprozessen, finanzmathematische Anwendungen, stochastische FiltertheorieContentsGirsanov transform, time change, martingale representation theorem, long-time behaviour, statistical inference of diffusionprocesses, applications to mathematical finance, stochastic filtering theoryLiteraturOksendal, B.: Stochastic Differential Equations - An Introduction with Applications;Rao, P.: Statistical Inference for Diffusion Type Processes84


Unvollständigkeit formaler SystemeIncompleteness of Formal SystemsModulnummer: 04-10-0265/de (Bausteine: 04-00-0258-vu)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: StreicherKonzeption: Kohlenbach, StreicherBemerkungen: VertiefungsniveauSprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: im Wechsel mit anderen Vertiefungsvorlesungen des ForschungsgebietsLehrformen: 2V + 1ÜLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Einführung in die Mathematische LogikLeistungsnachweise: mündlich oder schriftlich, Studienleistung als Zulassungsvoraussetzung zur ModulprüfungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong>- kennen <strong>den</strong> Unterschied zwischen Gültigkeit und Beweisbarkeit- können <strong>den</strong> 1. und 2. Gödelschen Unvollständigkeitssatz beweisen- sind mit dem Satz von Löb vertraut- können die Tragweite formaler Systeme und ihre Limitationen beurteilen.InhaltGödelsche Unvollständigkeitssätze, Satz von Löb, BeweisbarkeitslogikContentsGödel’s Incompleteness Theorems, Löb’s Theorem, Provability LogicLiteraturSkript online erhältlich85


Modulnummer: 04-13-0003/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: AG-Sprecher algKonzeption: Bruinier, Kümmerer, ScheithauerBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: unregelmäßigVertiefungsmodul AlgebraAdvanced Course in AlgebraLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: je nach Schwerpunktsetzung: Topologie, Algebra,FunktionalanalysisLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls verstehen die Stu<strong>den</strong>ten die Grundkonzepte der jeweiligen Vertiefung und können dieseauf typische Fragestellungen anwen<strong>den</strong>.InhaltJe nach Veranstalter wer<strong>den</strong> folgende Themenbereiche behandelt: Algebraische Zahlentheorie, Algebraische Geometrie,Automorphe Formen, Spektraltheorie, Operatoralgebren, Unendlich-dimensionale Lie-Algebren, Vertex-AlgebrenContentsAlgebraic Number Theory, Algebraic Geometry, Automorphic Forms, Spectral Theory, Operator Algebras, InfinitedimensionalLie Algebras, Vertex AlgebrasLiteraturBruinier et al.: The 1-2-3 of Modular Forms,Miyake: Modular Forms,Hartshorne: Algebraic Geometry,Neukirch: Algebraic Number Theory,Kac: Infinite Dimensional Lie Algebras,Frenkel, Ben-Zvi: Vertex Algebras and Algebraic Curves,Bratelli, Robinson: Operator Algebras and Statistical Machanics I, II,Takesaki: Theory of Operator Algebras86


Modulnummer: 04-13-0011/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: AG-Sprecher anaKonzeption: Alber, Farwig, Hieber, RochBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: je nach SchwerpunktsetzungLeistungsnachweise: mündliche PrüfungVertiefungsmodul AnalysisAdvanced Course in AnalysisLernergebnisseNach Besuch der Veranstaltung- sind die Studieren<strong>den</strong> mit aktuellen Problemen für partielle Differentialgleichungen aus verschie<strong>den</strong>en Anwendungsgebieten(z.B. Strömungsmechanik, Materialwissenschaften) vertraut und können diese erläutern,- beherrschen sie moderne funktionalanalytische Metho<strong>den</strong> zum Studium von partiellen Differentialgleichungen undkönnen diese auf einfache konkrete Probleme anwen<strong>den</strong>,- kennen sie wesentliche Eigenschaften von Sobolevräumen und können deren Rolle in der Lösungstheorie partiellerDifferentialgleichungen erklären.InhaltUntersuchung von Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen linearer und nichtlinearer partieller Differentialgleichungenmit funktionalanalytischen Metho<strong>den</strong>; je nach Dozent erfolgt eine Ausprägung in Richtung elliptischer,parabolischer und hyperbolischer Gleichungen mit Anwendungen z.B. in der Strömungsmechanik oder <strong>den</strong> MaterialwissenschaftenContentsLiteraturGilbarg, Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order;Amann: Linear and Quasilinear Parabolic Problems;Dafermos: Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics;Galdi: An Introduction to the Theory of the Navier-Stokes Equations;87


Vertiefungsmodul Geometrie und ApproximationAdvanced Course in Geometry and ApproximationModulnummer: 04-13-0005/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: AG-Sprecher geoKonzeption: Grosse-Brauckmann, ReifBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: DifferentialgeometrieLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> sind in der Lage, geometrische Probleme zu analysieren und zu modellieren. Abhängig von der speziellenVeranstaltung kommen hierzu die Fähigkeiten zu axiomatisieren und zu abstrahieren, Metho<strong>den</strong> der Analysis auf geometrischeProbleme anzuwen<strong>den</strong>, oder konkrete Geometrien unter Verwendung algorithmischer Prinzipien zu konstruktierenund approximieren.InhaltEs soll ein vertieftes Studium eines Gebiets der Differentialgeometrie oder der Geometrischen Datenverarbeitung stattfin<strong>den</strong>,z.B.: Riemannsche Geometrie (Mannigfaltigkeiten; Metriken Zusammenhänge, Geodätische, Krümmung; Sätzevon Hopf-Rinow, Synge, Myers, Klingenberg) Variationsprinzipien und Geometrie (Minimalflächen und Flächen konstantermittlerer Krümmung, Weierstrass-Darstellung, Plateau-Problem, Satz von Bernstein, Stabilität, konjugierte Flächenetc.) Geometrische Datenverarbeitung (Bezierkurven und -flächen, Splinekurven und -flächen, B-Splines, Konvertierungsmetho<strong>den</strong>,Abstandsformeln, Flächen beliebiger Topologie, Subdivision) Splineapproximation (Satz von Weierstrass,Interpolation, Quasi-Interpolation, Approximation, Stabilität der B-Splines, Jacksonsätze, Bernsteinsätze Orthogonalitätsrelationen,B-Splines als Finite Elemente)ContentsLiteraturbeispielhaft seien genannt:Do Carmo: Riemannian GeometryGallot, Hulin, Lafontaine: Riemannian GeometryDierkes, Hildebrandt, Küster, Wohlrab: Minimal SurfacesHoschek-Lasser: Grundlagen der Geometrischen Datenverarbeitungde Boor: A Practical Guide to SplinesHoellig: Finite Element Methods with B-Splines88


Modulnummer: 04-13-0007 (Bausteine: )Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: AG-Sprecher logKonzeption: Kohlenbach, Otto, Streicher, ZieglerBemerkungen:Sprache: englischDauer: 2 SemesterTurnus: unregelmäßigVertiefungsmodul LogikAdvanced Course in Mathematical LogicLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: Einführung in die mathematische LogikLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> erwerben vertiefende Kenntnisse in aktuellen Forschungsrichtungen der angewandten Logik. Sie sollendabei ein inhaltliches und methodisches Verständnis erreichen, das sie im Prinzip befähigt, Problemstellungen deraktuellen Forschung zu interpretieren und erworbenes Wissen im Kontext einzusetzen.InhaltEinführung in die höhere mathematische Logik mit ausgewählten Kapiteln zu Modelltheorie, Beweistheorie, Rekursionstheorie,Berechenbarkeit/Komplexität, etc. Je nach Dozent und Ausprägung der Vertiefungsrichtung umfasst dasModul typischerweise spezialisierte Einführungen in zwei Schwerpunktgebiete aus <strong>den</strong> Bereichen Beweistheorie, TypenundKategorientheorie, Berechenbarkeitstheorie, Komplezitätsheorie, Modelltheorie, mit dem jeweiligen Anwendungswendungsbezugin der betreffen<strong>den</strong> Forschungsrichtung, wie z.B.-Beweisinterpretationen, proof mining-Semantik funktionaler Programmierung; kategorielle Semantik konstruktiver Logikkalkuele-endliche/algorithmische Modelltheorie und die Modelltheorie spezieller Logiken-reelle Berechenbarkeits- und KomplexitätstheorieContentsLiteraturexemplarisch, neben Standardwerken:Kohlenbach: Applied Proof Theory: Proof Interpretations and their Use in Mathematics, Springer, 2008Streicher: Domain-Theoretic Foundations of Functional Programming, World Scientific, 2006Goranko, Otto: Model Theory of Modal Logics, in: Handbook of Modal Logic, Elsevier, 200789


Vertiefungsmodul NumerikAdvanced Course in Numerical AnalysisModulnummer: 04-13-0009/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: AG-Sprecher numKonzeption: Kiehl, LangBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: Modul Numerik von DifferentailgleichungenLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseKenntnis der wesentlichen Konstruktionsprinzipien numerischer Lösungsverfahren für Differentialgleichungen, Kenntnisvon Vor- und Nachteilen, Einsatzbereichen, Genauigkeit, Aufwand etc. Fähigkeit, für gegebene Anwendungsaufgaben,geeignete Software auswählen und adaptieren sowie Fachartikel der aktuellen Forschung verstehen und diskutieren zukönnen.InhaltAuswahl aus <strong>den</strong> Themengebieten: steife Differentialgleichungen, Mehrpunkt-Randwertprobleme, differential- agebraischeGleichungen, Sensitivitätsanalyse, Parameteroptimierung, Optimlasteuerungsprobleme, Differenzenverfahren, FiniteElemente, Finite Volumen, elliptische, parabolische und hyperbolische Probleme.ContentsLiteraturStrehmel, Weiner: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen,Grossmann, Roos: Numerik partieller Differentialgleichungen,Brenan, Campbell, Retzold: Numerical Solution of IVPs in DAEs,LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems,Larsson, Thomee: PDE with Numerical Methods,Quarteroni, Valli: Numerical Approximation of PDE90


Modulnummer: 04-13-0013/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: AG-Sprecher optKonzeption: Joswig, Ulbrich, PfetschBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: unregelmäßigLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: Einführung in die OptimierungLeistungsnachweise: mündlichVertiefungsmodul OptimierungAdvanced Course in OptimizationLernergebnisseNachdem Studierende das Modul besucht haben, beherrschen sie die theoretischen Grundlagen der diskreten und dernichtlinearen Optimierung. Die Studieren<strong>den</strong> koennen zusätzlich Modellierungsprobleme lösen sowie relevente Algorithmenanalysieren und anwen<strong>den</strong>.InhaltModellierung praktischer Fragestellungen als Optimierungsprobleme. Theorie Optimalitätsbedingungen und DualitätstheorieGanzzahliger Programme, polyedrische Kombinatorik. Metho<strong>den</strong>: Exakte Verfahren für ganzzahlige nichtlineareProgramme, Verfahren für nichtlineare Probleme mit und ohne Nebenbedingungen; Approximationsalgorithmen, Heuristiken,RelaxierungenContentsModelling relevant topics as problems in optimization; Theory: conditions for optimality, polyhedral combinatorics.Methods: exact algorithms for integer linear programs; methods for non-linear problems with and without boundaryconditions; approximation algorithms, heuristics, relaxationsLiteraturGeiger, Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter OptimierungsaufgabenNemhauser, Wolsey: Integer and Combinatorial OptimizationNocedial, Wright: Numerical OptimizationSchrijver: Theory of Linear and Integer Programming91


Modulnummer: 04-13-0015/de (Bausteine: )Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: AG-Sprecher stoKonzeption: Kohler, BetzBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 2 SemesterTurnus: unregelmäßigVertiefungsmodul StochastikAdvanced Course in StochasticsLehrformen: Vorlesungen (8) und Übungen (4)Leistungspunkte: 18Voraussetzungen: Module Wahrscheinlichkeitstheorie und ggf. Einführung in die FinanzmathematikLeistungsnachweise: mündlichLernergebnisseNach dem Besuch des Moduls können die Studieren<strong>den</strong>- komplexe zufällige Phänomene modellieren und analysieren,- zentrale Resultate aus einer aktuellen Forschungsrichtung der Stochastik und ihre Konsquenzen beschreiben, anwen<strong>den</strong>,auf verwandte Problemstellungen übertragen und deren Anwendung in der Praxis beurteilen.Inhalteine Auswahl aus folgen<strong>den</strong> Themengebieten: Mathematische Statistik, statistische Entscheidungstheorie, stochastischeAnalysis, Analyse und Modellierung stochastischer (partieller) Differentlialgleichungen, Finanzmathematik in stetiger ZeitContentsLiteraturBeispielhaft seien genannt:Pestmann: Mathematical StatisticsKaratzas, Shreve: Brownian Motion and Stochastic CalculusElliott, Kopp: Mathematics of Financial MarketsBain, Crisone: Fondamentals of Stochastic FilteringDa Brato, Zabczyk: Stochastic Equation in finite Arguments92


Einführung in das wissenschaftliche ArbeitenResearch Project PreparationModulnummer: 04-10-0229/de (Bausteine: 04-00-0228-vu)Forschungsgebiet:Administration: UlbrichKonzeption: Kümmerer, UlbrichBemerkungen:Sprache: deutschDauer: ca. 150 Stun<strong>den</strong>Turnus: nach BedarfLehrformen: Selbststudium unter AnleitungLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Der Betreuer kann das erfolgreiche Absolvieren eines thematisch passen<strong>den</strong> Vertiefungszykluseseinschließlich Seminar verlangen.Leistungsnachweise: Kurze mündliche oder schriftliche Präsentation des Themas der <strong>Master</strong>-Arbeit und seiner fachlichenEinordnung (unbenotet). Der Leistungsnachweis wird durch die Anmeldung der <strong>Master</strong>arbeit zertifiziert.LernergebnisseNach dem Besuch des Moduls- wissen Studierende, welche Anforderungen an eine wissenschaftliche Arbeit gestellt wer<strong>den</strong>- können sie sich zu einer begrenzten Aufgabenstellung einen Überblick über die vorhan<strong>den</strong>e Literatur verschaffen- können sie die Bearbeitung eines eigenen Beitrags vorplanenInhaltEinführung in ein wissenschaftliches Thema (<strong>Master</strong>arbeit). Literatursuche, Zielsetzung, Planung des Vorgehens. Standder Technik.ContentsIntroduction to scientific research (master thesis). Literature recherche, state of science, concretisation of the title,planning the project.Literaturthemenabhängige Forschungsliteratur93


Modulnummer: 04-10-5000/de (Bausteine: )Forschungsgebiet:Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, Kohlenbach, Kümmerer, FarkasBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 6 MonateTurnus: nach Bedarf<strong>Master</strong>-Arbeit<strong>Master</strong> ThesisLehrformen: Selbststudium unter AnleitungLeistungspunkte: 30Voraussetzungen: Einführung ins wissenschaftliche ArbeitenLeistungsnachweise: schriftliche Arbeit, in der Regel VortragLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können selbständig ein Problem aus der <strong>Mathematik</strong> oder ihren Anwendungen innerhalb einer gegebenenFrist durchdringen. Sie können größere Themen systematisch darstellen und mathematische Metho<strong>den</strong> auf eine spezifischeFragestellung anwen<strong>den</strong>.Sie sollen selbständig Vorkenntnisse aus anderen Modulen transferieren anwen<strong>den</strong>, und die Ergebnisse in die aktuelleForschung einordnen und bewerten.Inhaltje nach ThemaContentsdepending on topicLiteraturthemenabhängige Forschungsliteratur94


Mathematisches Seminar (alg), <strong>Master</strong>Seminar in Mathematics (alg), <strong>Master</strong>Modulnummer: 04-13-0139/de (Bausteine: 04-00-0352-se)Forschungsgebiet: Algebra (alg)Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, Scheithauer, Bruinier, KümmererBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechen<strong>den</strong>Fachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich Algebra, Geometrie, FunktionalanalysisContentsspecial topics of Algebra, Geometry, Functional AnalysisLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag95


Mathematisches Seminar (ana), <strong>Master</strong>Seminar in Mathematics (ana), <strong>Master</strong>Modulnummer: 04-13-0140/de (Bausteine: 04-00-0204-se)Forschungsgebiet: Analysis (ana)Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, Haller-DintelmannBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechen<strong>den</strong>Fachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich AnalysisContentsspecial topics of analysisLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag96


Mathematisches Seminar (geo), <strong>Master</strong>Seminar in Mathematics (geo), <strong>Master</strong>Modulnummer: 04-13-0141/de (Bausteine: 04-00-0205-se)Forschungsgebiet: Geometrie und Approximation (geo)Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, ReifBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechen<strong>den</strong>Fachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich Geometrie und ApproximationContentsspecial topics of geometry and approximationLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag97


Mathematisches Seminar (log), <strong>Master</strong>Seminar in Mathematics (log), <strong>Master</strong>Modulnummer: 04-13-0142/de (Bausteine: 04-00-0206-se)Forschungsgebiet: Logik (log)Administration: KiehlKonzeption: Kiehl, Kohlenbach, OttoBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechen<strong>den</strong>Fachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich LogikContentsspecial topics of logicLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag98


Mathematisches Seminar (num), <strong>Master</strong>Seminar in Mathematics (num), <strong>Master</strong>Modulnummer: 04-13-0143/de (Bausteine: 04-00-0207-se)Forschungsgebiet: Numerik und Wissenschaftliches Rechnen (num)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechen<strong>den</strong>Fachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich Numerik und wissenschaftliches RechnenContentsspecial topics of numerical analysis and scientific computingLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag99


Mathematisches Seminar (opt), <strong>Master</strong>Seminar in Mathematics (opt), <strong>Master</strong>Modulnummer: 04-13-0144/de (Bausteine: 04-00-0208-se)Forschungsgebiet: Optimierung (opt)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechen<strong>den</strong>Fachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führenInhaltSpezielle Themen aus dem Bereich OptimierungContentsspecial topics of optimizationLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag100


Mathematisches Seminar (sto), <strong>Master</strong>Seminar in Mathematics (sto), <strong>Master</strong>Modulnummer: 04-13-0145/de (Bausteine: 04-00-0209-se)Forschungsgebiet: Stochastik (sto)Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen:Sprache: deutsch, englische Vorträge möglichDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: in der Regel jedes SemesterLehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: Vertiefungsmodule nach AngabeLeistungsnachweise: Vortrag, Beteiligung an der Diskussion, evtl. schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können sich eigenständig anspruchsvolle mathematische Sachverhalte aneignen und in einem ansprechen<strong>den</strong>Fachvortrag erläutern und präsentieren, sowie gegebenfalls schriftlich dokumentieren. Sie können eine faireDiskussion über Inhalte und Darstellung des Vortrages, führen.InhaltSpezielle Themen aus dem Bereich StochastikContentsspecial topics of stochasticsLiteraturWird je nach Thema angegeben.Zusätzlich: Manfred Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag101


Modulnummer: 04-10-0080/de (Bausteine: )Forschungsgebiet:Administration: KiehlKonzeption: KiehlBemerkungen:Sprache: deutschDauer: 1 Semester oder BlockveranstaltungTurnus: auf NachfrageProjekt in <strong>Mathematik</strong> (<strong>Master</strong>)Project in Mathematics (<strong>Master</strong>)Lehrformen: 2SLeistungspunkte: 5Voraussetzungen: nach AngabeLeistungsnachweise: Präsentation der Projektergebnisse in einem Vortrag, schriftliche AusarbeitungLernergebnisseDie Studieren<strong>den</strong> können für eine konkrete Problemstellung Lösungsstrategien entwickeln und umsetzen. Sie könneneine umfangreiche Aufgabe in Teilschritte gliedern, Zwischenzielen formulieren, sinnvolle Teilaufgaben definieren, undgeeignet präsentieren. Je nach Thema können sie auch experimentell arbeiten und Software anwen<strong>den</strong>.InhaltEine komplexe Problemstellung wird durch kleine Gruppen bearbeitet. Das Thema darf offen formuliert sein und erst währendder Bearbeitung präzisiert oder fokussiert wer<strong>den</strong>. Die fachlichen Inhalte sind themenabhängig. Über <strong>den</strong> Fortgangder Projektbearbeitung wird regelmäßig berichtet. Den Abschluss bildet eine Projektpräsentation, in der die Ergebnissevorgestellt und diskutiert wer<strong>den</strong>. Gegebenenfalls wer<strong>den</strong> die Ergebnisse schriftlich ausgearbeitet; dabei soll einwissenschaftliches Schreibsystem wie LaTeX angewendet wer<strong>den</strong>.ContentsA small group works on a complex problem. The formulation of the problem may be open ended; a final precise andfocussed fomulation may be a part of the project. The concrete subject matter content will depend on the problem.Regular reports describe the work in progress. In conclusion, there will be a presentation in which the results are describedand discussed. A report in writing, preferably in LATEX, will record and document the results of the project.Literaturje nach Thema102

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