PhD (PDF) - Universität Wien

2.4. DYNAMISCHE BEUGUNGSTHEORIE 23
Zweistrahlnäherung
Die Zweistrahlnäherung der dynamischen Beugungstheorie behandelt den Fall, dass sich lediglich
zwei reziproke Gitterpunkte in unmittelbarer Nähe der Ewaldkugel befinden (vgl. Abb. 2.2)
und somit nur ein transmittierter und ein reflektierter Strahl nichtverschwindende Beiträge
zur Intensität liefern. Im Folgenden soll der symmetrische Laue-Fall der dynamischen Beugung
besprochen werden, bei dem die Netzebenen des Beugungsgitters senkrecht zur Probenoberfläche
orientiert sind. Eine ebene Welle Ψ(r, t) erfülle die Bragg-Bedingung. Absorption der Wellen
im Medium wird vernachlässigt. Gesucht werden Lösungen der entsprechenden Wellengleichung
in einem periodischen Potential, der Schrödingergleichung für Materiewellen
�
− �2
2m ∇2 �
∂ψ(r, t)
+ V (r, t) ψ(r, t) = ı�
∂t
(2.29)
bzw. der aus den Maxwellgleichungen resultierenden Wellengleichung für elektromagnetische
Wellen
∇ 2 ψ(r, t) − 1
c2 ∂2ψ(r, t)
∂t2 = 0. (2.30)
Hier ist c = c0/n = c0/ √ ɛ die Lichtgeschwindigkeit im Medium, n der Brechungsindex und ɛ die
Dielektrizitätskonstante des Mediums.
Mit dem Ansatz ebener Wellen
und den Dispersionsrelationen
bzw.
ψk(r, t) = ake ı(k·r−ωkt) = Ψ(r)e −ıωt
k 2 = 2mE
� 2
für nichtrelativistische Quanten
(2.31)
k 2 = E2
� 2 c 2 für relativistische Quanten (2.32)
erhalten wir für den ortsabhängigen Teil Ψ(r) der Wellenfunktion im Vakuum in beiden Fällen
eine Differentialgleichung vom Typ einer Helmholtzgleichung: