Inaugural-Dissertation - CMM

Übersicht: Wir untersuchen die algebraischen Eigenschaften der Automorphismengruppentopologischer Markovshifts mit abzählbar unendlichemZustandsraum zusammen mit der von diesen Gruppen induziertenDynamik auf dem Shiftraum, den periodischen Punkten, der kanonischensowie der 1-Punkt-Kompaktifizierung und dem kanonischen Rand.Wir geben eine vollständige Antwort auf die Frage nach der Kardinalitätder Automorphismengruppe für lokalkompakte und nicht lokalkompakteMarkovshifts mit abzählbar unendlicher Zustandsmenge, beleuchtendie immense Untergruppenstruktur und beweisen ein Analogon zuRyan’s Theorem über das Zentrum der Automorphismengruppe für dennicht kompakten Fall. Weiterhin geben wir eine Charakterisierung der 1-Punkt-Kompaktifizierungen lokalkompakter Markovshifts, deren Automorphismengruppenabzählbar sind, mit topologisch-dynamischen Begriffenund zeigen die fast-topologische Konjugiertheit dieser Kompaktifizierungenzu synchronisierten Systemen.Anschließend wird der Unterschied zwischen sliding-Block-Automorphismenund Automorphismen, die keine beschränkte Kodierlänge haben, herausgearbeitet.Zu jeder Darstellung eines nicht kompakten Markovshifts definiertman die darstellungsabhängige Untergruppe der Automorphismenmit beschränkter Kodierlänge. Diese bilden eine partiell geordnete Hierarchieinnerhalb der Automorphismengruppe, deren Eigenschaften wir näheruntersuchen (Echtheit einzelner Inklusionen, Kardinalitäten im (nicht) lokalkompaktenSetting). Einzig die Potenzen der Shiftabbildung sind in allen(Graphen-)Darstellungen kodierlängenbeschränkt. Wir geben eine Klasselokalkompakter Markovshifts mit abzählbar unendlicher Zustandsmengean, die überabzählbar viele Automorphismen endlicher Ordnung aufweisen,die in keiner Graphendarstellung beschränkte Kodierlänge haben.Tatsächlich lassen sich zu all diesen Automorphismen spezielle Nicht-Graphendarstellungen angeben, in denen sie zu sliding-Block-Codes werden,da jeder Automorphismus endlicher Ordnung zu einem 1-Block-Codeumcodierbar ist.Wir zeigen, daß die Automorphismengruppen einer speziellen Klasse lokalkompakterMarkovshifts isomorph zur direkten Summe einer zentrumslosenGruppe und der von der Shiftabbildung erzeugten zyklischen Gruppe sind.Wir definieren die kanonische-Rand-Darstellung der Automorphismengruppeund studieren deren Bild. Abschließend weisen wir nach, daß die Pfadstrukturbei ∞ eine neue Konjugationsinvariante für lokalkompakte Markovshiftsliefert und bestimmen deren Einfluß auf das Bild der kanonischen-Rand-Darstellung und die Fortsetzbarkeit von Automorphismen eines Teilsystems(SFT, periodische Punkte) auf das Gesamtsystem.ii