Schwingungen und Wellen

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Schwingungen und Wellen

Übersicht gkg … pharm. Prüf.Einführung1 Allgemeines2 Mechanik3 Wärmelehre4 Elektrizität und Magnetismus5 Optik6 Schwingungen und Wellen7 Atomistische Struktur der Materie(8 Grundlagen der Arzneiformenlehre)


6.1 aus gkg … pharm. Prüf.6 Schwingungen und Wellen6.1 Allgemeines über Schwingungen6.1.1 Darstellung: Darstellung harmonischer Schwingungsvorgänge(quantitativ, s.a. 2.1.4)6.1.2 Schwingungsenergie: Periodischer Wechsel zwischenverschiedenen Energieformen am Beispiel Federpendel undelektrischer Schwingkreis (s.a. 2.3.2 und 4.7.4)6.1.3 Schwingungsfähige Systeme: Eigenfrequenz von elektrischemSchwingkreis (s.a. 4.7.4) und Federpendel (s.a. 2.3.2), Resonanzschwingungsfähiger Systeme6.1.4 Gedämpfte Schwingungen: Schematische Darstellung einfacherEinschwing- und Abklingvorgänge


Nov. 2007 - ExperimenteGeplante Experimente:– Schwingungen- Auslenkung eines Federpendels in Abhängigkeit von der Zeit(Diagramms-Darstellung mit Hilfe des Computers)bei geringer und starker Dämpfung- ungedämpfte Schwingung eines mathematischen Pendels(Ausgleich der Dämpfung durch elektronische Schaltung)- erzwungene Schwingungen- Schwebung mit Luftsäulen- gekoppelte Pendel– Wellen- Wellenmodelle (Transversal- und Longitudinalwellen)- Versuche mit der Wellenwanne- Dopplereffekt von Schallwellen- stehende Seilwellen


Periodische VorgängeNicht-periodische Vorgänge:Einmalig (z.B. Aufprall) oder wiederholt aber unregelmäßig (statistischeVerteilung, z.B. Prasseln von Hagelkörnern, radioaktiver Zerfall)Periodische Vorgängewiederholen sich nach einem Zeitintervall T immer wieder(z.B. Herzschlag, tropfender Wasserhahn)Harmonische Vorgänge:Spezialfall der periodischenVorgänge. Darstellung durchSinus- bzw. Cosinus-Funktion(z.B: Saitenschwingung, Pendel)Federpendel FadenpendelSchwingungen: Periodische Vorgänge in einer Variablen, der ZeitWellen: Ausbreitung von Schwingungsvorgängen im Raum;dabei im Allg. Energietransport, aber kein Materietransport!


Freie Schwingungm2d s2dtImpulsänderung = Reibungskraft + rücktreibende Kraftds+ γdt+2d sm2dtmωs20ds= −γdt=0− ksHomogeneDifferentialgleichungLösungohne Reibung (γ = 0):s(t)=ω2ω =T00=km0k,2π= =ωAsin(ω t + ϕmv02π0)1=2πmkkms(t)0At =−ϕ/ωTCharakterisiert durch: Amplitude,(Kreis-)Frequenz/Periode, (Anfangs)Phaset


Alternative LösungsschreibweisenEs war: s(t)= Asin( ω t + ϕ)anders geschrieben: =oder auch:wobei= AA = AAcoss2ssin+( ω0t + ϕ −π/ 2) = Acos( ω0t + ϕ′)( ω t) + A cos( ω t)A2c00=c⎛ 2π⎞A sin ⎜ t + ϕ ⎟⎝ T ⎠0Zur Bedeutung der Amplitude A:Betrachte Federpendel:Dann ist A die Maximalauslenkung von der „Ruhelage“ des Pendels,d.h. die Position der Umkehrpunkte.Aω 0 die Maximalgeschwindigkeit (bei Nullpunktsdurchgang).Für die jeweils beteiligten Energien gilt: k min Übereinstimmungmit kω 0=m( Aω ) 22A =02 2pot. Energie = kin. EnergieBeachte aber: zu jeweilsunterschiedlichen Zeiten!


Gedämpfte SchwingungenImmer nochm2d s2dtds 2+ γ + mω0sdt=0Jetzt aber mit Reibung (γ ≠ 0):Lösung im Allg.:−γt2ms( t)= A0 e sin( ωt+ ϕ)= A(t)sin(ωt+ ϕ)Auch die Amplitude ist jetzteine Funktion der ZeitA(t)γ− t2m= A0e = A0ω = k m −γm2 42e−δts(t)Abklingzeit 1/δLogarithmisches Dekrement δTDie Frequenz verschiebt sich:Beachte: Vorgänge dieser Artsind keine harmonischeSchwingungenim engeren Sinne!t=ω202−δ≠ ω0Weitere Stichpunkte: Kriechfall,aperiodischer Grenzfall2 2δ ≥ ω0


2d sm2dtds 2+ γ + mω0sdtReibung2d s ds 2m + γ + mω20s =dt dt2d sm2dtds 2+ γ + mω0s =dtErzwungene Schwingung=0RückstellkraftF(t)F0freie Schwingung,homog. Differentialgleichungsin( ω t)im Allg. inhomog. Dgl. mit(äußerer) KraftEinfachster Fall:periodisch treibende Kraftω i.a. verschieden von ω 0Beispiel:„Spezielle Lösung“der inhomog. Dgl.s( t)= A(ω)sin(ω t −ϕ)


m2d s2dtds 2+ γ + mω0s =dtReibung RückstellkraftF0sin( ω t)periodischtreibende KrafterzwungeneSchwingungResonanzs(t)= A(ω)sin(ω t −ϕ)A(ω)=2 2 2( ω −ω) + ( 2δω) 20F0A(ω)ω 0γ kleinω ist Frequenz der treibendenKraft, daher erzwungeneSchwingung.Resonanz („Mit-Tönen“) heißt,dass bei der Anregung die„Eigenfrequenz“ getroffen wurde.γ großω


Lösung für erzwungene Schwingungs( t)= A(ω)sin(ω t −ϕ)AmplitudeA(ω)=2 2 2( ω −ω) + ( 2δω) 2mit Resonanzfrequenz(d.h. Maximum der Amplitude bei)ωr=0F2 2ω 0− 2δ0Amplitude und Phase2δωPhase ϕ(ω)= arctan2 2ω −ω0


Einschwing- und AbklingvorgängeLösungen der homog. Dgl.sind automatisch auch Lösungenjeder inhomog. Dgl.also auch der speziellenmit harmonischenantreibenden Kräften:2d sm2dt2d sm2dtds 2+ γ + mω0sdt= 02d s ds 2m + γ + mω0s = F(t)2dt dtds 2+ γ + mω0s =dtF0sin( ωt)Die Lösungen der homog. Dgl. klingen allerdings aufgrunddes Dämpfungsterms mit der Zeit ab, während die speziellenLösungen der inhomog. Dgl. eine konstante Amplitude beitragen.Damit „gewinnt“ auf die Dauer die spezielle Lösung.Im Zusammenhang mit dem An- bzw. Ausschalten von treibendenKräften spricht man von „Einschwing- und Abklingvorgängen“.


Schwebung4 T 15 T 2Überlagerungzweier SchwingungenT Ss(t)==s02sOft (vor allem beikleinen Amplituden)gilt das Superpositionsprinzipcos( ω t)+ s0Einfachster Fall:- gleiche Amplitude- verschiedene Frequenzen1ss1( t)=2( t)=0⎛ ω1−ω2cos⎜⎝ 2ss00cos( ω t)cos( ω t)cos( ω t)2⎞ ⎛ ω1+ ω2t ⎟cos⎜t⎠ ⎝ 212„Differenzfrequenz“„Summenfrequenz“⎞⎟⎠


Fourier-TheoremFouriersches Theorem:Jede beliebige periodischeFunktion s(t) läßt sich in eineSummevon Sinus- und Cosinus-Funktionenzerlegen:s(t)=∑ ∞n=0ancos( nωt)+bnsin( nωt)1768-1830


Fourier-Zerlegung EKGFouriersches Theorem:Jede beliebige periodischeFunktion s(t) läßt sich in eineSummevon Sinus- und Cosinus-Funktionenzerlegen:s(t)=∑ ∞n=0ancos( nωt)+bnsin( nωt)1768-1830


Ton, Klang, Geräusch, KnallTon:harmonische SchwingungLinienspektrumKlang:anharmonische SchwingungGrundton+HarmonischeLinienspektrumGeräusch:Überlagerung von vielenWellen aus großem Frequenzbereichkontinuierliches SpektrumKnall:zeitlich gedämpftes Geräuschkontinuierliches SpektrumSignal in Zeitdomäne(Amplitudenfunktion)Signal in Frequenzdomäne(Spektrum)


SchallwahrnehmungGeigegespielterGrundtonObertöneMetall. Flöte


Kurzer Ausflug in die MusikFrequenzverhältnis von Oktave(reine) Quinteff1212= =2,000000f2 / f1= 3/ 2 = 1,500000(reine) Quartef2 / f1= 4 / 3 = 1,333333Die Oktave besteht ausaus 5 Ganz- und 2 Halbtonschritten, also aus 12 HalbtonschrittenBei Gleichbehandlung („temperierter Stimmung“) ergibt sich fürjeden Halbtonschritt ein Intervall von12 1/12f2 / f1= 2 = 2 ≈1,059463also für dieOktave(reine) Quinte(reine) Quarte12/12 1f2/ f1= 2 = 2 = 2,0000007 /12f2 / f1= 2 ≈1,4983075/12f2 / f1= 2 ≈ 1,334840


WellentypenPeriodendauerTransversalwelleLongitudinalwelleWellenlänge


Doppler-Effekt: Bewegte Quelle bzw. EmpfängerBewegter EmpfängerBewegte Quelle≈ ν0⎞⎜⎛ v1 − ⎟⎝ c ⎠Näherungen≈ν 0⎜⎛ 1 +⎝vc⎟⎠⎞


HörwahrnehmungHörschwelleSchallintensitätL / dBAudiogrammWeber-Fechnersches Gesetz:Die Empfindungsstärke ist proportional demLogarithmus der ReizstärkeDer Schallpegel L steigt logarithmisch mit derSchallintensität I (bzw. dem Schalldruck p)I pL = 10 lg = 20 lg Einheit dB (Dezibel)I0p0I 0 = 10 -12 W/m 2pMusikbereich0 = 20 μPaSprachbereichf / kHzLautstärkepegel L N sist gleich Schallpegeleines 1-kHz-Tones,der als ebenso lautempfunden wird.Einheit: phon oder dB(A)Hörbereich: 16 Hz – 20.000 Hz


Weber-FechnerWeber-Fechnersches Gesetz:Die Empfindungsstärke ist proportional demLogarithmus der ReizstärkeSchallintensität (Anzahl von Taschenuhren)IL = 10 lg =IIntensitätIIII00II0II0020 lg2I ∝ p= 10 → ΔLpp0= 102 20= = → ΔL1 10II≈ 34 40= =1 10→ ΔL≈ 65 50= =1 10→ ΔL≈ 70Amplitude100= → ΔL=120


Ultraschall-AnwendungFolgende Welleneigenschaften werden ausgenutzt:• stoffspezifisches AbsorptionsvermögenIntensitätsänderung• stoffspezifische Ausbreitungsgeschwindigkeitstoffspezifische Laufzeit der Impulse• Änderung des Wellenwiderstandsf=20 kHz – 1 GHzReflexionLaufzeit des reflektierten Signals entspricht der Tiefe derGrenzschicht• DopplereffektBestimmung von Strömungsgeschwindigkeiten


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