Dynamik ultrakalter Neutronen im Gravitationsfeld der Erde

2.3 Der Quantum Bouncing Ball 24ϕ I (z,t) =|φ I (z)| 2 := |ϕ I (z,t)| 2 =N∑d n · P n (l 1 ,x 1 ,v x ) · ψn(z) I · e −iEn/(t−t 0)n=1N∑d 2 n · P n (l 1 ,x 1 ,v x ) 2 · |ψn(z)| I 2 . (2.47)n=1• Im letzten Schritt wurde die inkohärente Summe der ψ I n(z) gebildet, da über allemöglichen Anfangsphasen t 0 summiert wird. Die Interferenzterme mitteln sichdabei heraus.• Es wird angenommen, dass die Besetzungswahrscheinlichkeiten d n zu Beginn gleichverteiltsind. Somit ist d n = 1/ √ N die Besetzungswahrscheinlichkeit im n-ten Eigenzustand.• Außerhalb des Präparationsschlitzes ist aufgrund der Randbedingungen ψ I n(z) Null.• P n (l 1 ,x 1 ,v x ) 2 beschreibt den Streuer und ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustandden Präparationsbereich passieren wird. In Abschnitt 3.3 auf Seite 34 ist dasStreuermodell näher beschreiben.Bereich II Die Eigenzustände ψm II entsprechen hier den freien Zuständen aus Gleichung(2.43). Ein weiterer Neutronenspiegel, der um 30µm gegenüber dem ersten Spiegel nachunten versetzt ist, liefert die Randbedingung.Aufwand benötigt die Berechnung der Besetzungswahrscheinlichkeiten f m der Zuständeunmittelbar nach der Stufe. Das Wellenpaket erfährt eine plötzliche Änderung derRandbedingungen. Die Zeitkonstante der Änderung ist dabei wesentlich kürzer als diecharakteristische Zeitkonstante des freien Falls τ Fall = √ 2R/g ≈ 1.1ms. Damit könnendie Übergangsmatrixelemente mithilfe der Sudden Approximation numerisch berechnetwerden. Man erhältf m =N∑n=1d n · P n (l 1 ,x 1 ,v x ) · 〈ψ IIm |ψI n 〉 · e−iEn/(t 1−t 0 )mit t 1 = x 1v x. (2.48)Das Matrixelement 〈ψm II|ψIn 〉 kann als Wahrscheinlichkeit dafür gedeutet werden, dass ψI nin den Zustand ψm II übergeht.Das Wellenpaket im Bereich II ist unter Einbeziehung der Zeitentwicklung∫|φ II (z,t)| 2 :=ϕ II (z,t) =|ϕ II (z,t)| 2 dt 0 =M∑m=1M∑m=1+ ∑·f m · ψ IIm (z) · e −iEm/(t−t 1)|ψ IIm (z)| 2 ·〈ψm II |ψ IIm≠m ′N∑n=1N∑n=1d 2 n · P n (l 1 ,x 1 ,v x ) 2 · 〈ψ IIm |ψ I n〉 2( )1m ′〉 · cos (E m − E m ′)(t − t 1 )d 2 n · P n (l 1 ,x 1 ,v x ) 2 · 〈ψ IIm |ψ I n〉〈ψ IIm ′|ψI n〉 . (2.49)