Klausur mit Losung

Lösung:a) direktDa die Rotation der Nullvektor ist, verschwindet auch das Integral.b) mit StokesWie im Seminar. Parametrisiere die drei Randstücken und berechne die entstehenden drei Integrale.Es gab jeweils einen Punkt für die Berechnung der Rotation+direkte Berechnung, die Parametrisierungdes Randes, richtige Anwendung des Stokschen Satzes und die richtige Rechnung.5. Aufgabe (4 Punkte)Sei B = {x ∈ R 3 : x 2 1 + x2 2 + x2 3≤ 1} die dreidimensionale Einheitskugel und∫I = (e x , cos(z), x + y + z)d −→ A,∂Bwobei d −→ A = −→ n dA das vektorielle Oberflächenelement zum äußeren Einheitsnormalenfeld −→ n :R 3 −→ R 3 bezeichnet.Begründen Sie, warum Sie I als Volumenintegral in der Form ∫ Bg(x)dx mit einer geeignetenFunktion g : R 3 −→ R darstellen können und bestimmen Sie g. Es ist nicht verlangt das Integralauszurechnen.Lösung:Der Rand von B ist glatt, das Vektorfeld ist (auf B) stetig und differenzierbar. Also ist der Satzvon Gauß anwendbar, der die Behauptung liefert. Das gesuchte g ist gerade die Divergenz desVektorfeldes, d.h. g = 2.Es gab jeweils einen Punkt auf die Feststellung, dass der Rand von B glatt, dass Vektorfeld stetigund differenzierbar ist (d.h. auf die Voraussetungen des Satzes von Gauß) und auf die Angabe vong (g = div(e x , cos(z), x + y + z) = e x + 1).6. Aufgabe (6 Punkte)Wir definierenA := { M ⊆ R : M oder M C ist abzählbar } ,{0, falls M abzählbar ist,µ(M) :=1, falls M C abzählbar ist.Dabei bezeichne M C := R\M das Komplement von M. Eine Menge heißt Menge abzählbar, wennsie gleichmächtig zu N oder endlich ist und überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist.Beweise, dass A eine σ-Algebra und µ ein Maß auf A ist.Lösung:Zu zeigen ist:1. R ∈ A,2. A ∈ A ⇒ A C ∈ A,3. A i ∈ A ⇒ ∪ ∞ i=1 A i ∈ A,sowiea) µ ist positiv,b) µ(∅) = 0,c) A i ∈ A disjunkt ⇒ µ(∪ ∞ i=1 A i) = ∑ ∞i=1 µ(A i).1., 2. a) und b) folgen sogleich aus der Definition von A und µ und der Tatsache, dass die leereMenge abzählber ist.Falls bei 3. alle A 1 abzählbar sind, so ist auch die abzählbare Vereinigung der A i wieder abzählbar(vgl. den Beweis für die Abzählbarkeit von Q) und somit ist für diesen Fall die Behauptung erfüllt.