¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Methoden der Chemie II ...

PD Dr. S. GrebenschikovR. MaurerSoSe 2013Blatt Nr. 1126.06.2013Übungen zur VorlesungMathematische Methoden der Chemie IITeilnehmer, die die Gruppe 03 besuchen (Tutor Herr Poplata, Raum CH 53106) werden gebeten, sicham Freitag den 28.06.2013 auf andere Gruppen zu verteilen.PräsenzübungenAufgabe 1(a) Zeigen Sie, dass für beliebige skalare Funktionen f, g : R 3 → R gilt:grad(f · g) = f · grad(g) + g · grad(f).(b) Zeigen Sie, dass für jeden konstanten Vektor a gilt:grad(a · r) = a, mit r = (x, y, z) T .(c) Berechnen Sie grad(r n ) für r = √ x 2 + y 2 + z 2 .Aufgabe 2Das elektrostatische Potential Φ eines Punktdipols im Ursprung ist am Ort r = (x, y, z) gegebendurch Φ(r) = d · r/r 3 , wobei d das Dipolmoment ist und r = √ x 2 + y 2 + z 2 .(a) Berechnen Sie das elektrische Feld ε = −grad(Φ).Im folgenden sei d := (15, 10, 20) T .(b) Berechnen Sie das elektrische Feld ε im Punkt r = (3, 0, 4) T .(c) Allgemein erhält man bei einer Verschiebung ∆r = ∆un mit |n| = 1 für die Änderung ∆Φ desPotentials in linearer Näherung ∆Φ = (∇Φ)·∆un. dΦ/dn := (∇Φ)·n ist die Richtungsableitungvon Φ in Richtung n (Skript S. 252). In welcher Richtung n von r = (3, 0, 4) T aus nimmt Φ amstärksten zu?(d) Betrachten Sie nun eine Darstellung in Kugelkoordinatenx = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.Zeigen Sie, dass ∂x/∂r = x/r ist (analog für y und z), und bestimmen Sie die partielle Ableitung∂Φ/∂r nach dem Abstand r mit Hilfe der Kettenregel. Interpretieren Sie ∂Φ/∂r alsRichtungsableitung.Aufgabe 3Gegeben ist die reelle Funktionf(x, y) = x 5 + y 5 − 5xy.(a) Wie lautet das totale Differential von f?(b) Bestimmen Sie Lage und Art der stationären Punkte von f.

HausaufgabenAufgabe 1(a) Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung der reellen Funktion h(x, y) = ln(xy).(b) Berechnen Sie sämtliche partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der reellen Funktions(x, y) := e xy .Aufgabe 2Gegeben sei die Funktion f(x, y) = (2x − 3y)sin(3x − 2y).(a) Bestimmen Sie den Gradienten von f.(b) Schreiben Sie mit Hilfe des Gradienten das totale Differential von f als df = ∂f ∂f∂x ·dx +∂y ·dy.(c) Entwickeln Sie f in eine Taylorreihe um den Punkt (x 0 , y 0 ) = (0, 0). Geben Sie alle Glieder biszur zweiten Ordnung an.Aufgabe 3Die Zustandsgleichung für ein ideales Gas ist gegeben durch PV = NRT, wobei R eine Konstantebezeichnet.(a) Geben Sie die folgenden drei Funktionen an:P(N, V, T), T(N, P, V ), V (N, P, T)(b) Berechnen Sie für die Funktion P(N, V, T) das totale Differential dP.(c) Berechnen Sie die zweiten partiellen Ableitungen P V,T und P T,V bei festgehaltener Molzahl Nund vergleichen Sie die Ergebnisse.(d) Berechnen Sie die drei partiellen Ableitungen ∂P∂T , ∂T∂V , ∂V∂P .(e) Gilt ∂P ∂T ∂V∂T ∂V ∂P = 1?Aufgabe 4Gegeben sei die Funktion f(x, y) = e −(x2 +y 2) · (x − y).(a) Ermitteln Sie die stationären Punkte von f.Wenn Sie dabei die beiden partiellen Ableitungen von f Null setzen, erhalten Sie ein quadratischesGleichungssystem, das Sie durch Subtraktion der Gleichungen auflösen können. AchtenSie darauf, alle Lösungen zu finden!(b) Ermitteln Sie die Art der in H.4.a bestimmten stationären Punkte.(c) Ermitteln Sie alle Nullstellen von f und fertigen Sie anhand der in den Teilaufgaben ermitteltenInformationen eine Skizze von f an.Abgabe: Mittwoch, 03.07.2013, 12 Uhr, nach der Vorlesung