NACHKLAUSUR THEORETISCHE MECHANIK Sommersemester ...

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NACHKLAUSUR THEORETISCHE MECHANIK Sommersemester ...

NACHKLAUSUR THEORETISCHE MECHANIKSommersemester 2008, Montag 6. Oktober 2008 von 14 00 bis 17 00 UhrUniversität Potsdam, Prof. A. FeldmeierBitte jede Aufgabe auf ein eigenes BlattBitte Name und Matrikelnummer auf jedes BlattGesamtpunktzahl 115, Schein ab 50Musterlösungen: http://www.astro.physik.uni-potsdam.de/∼afeld/name.pdfAufgabe 1: Fragen zum Stoff 20 Punkte [je 2](1.1) In der Quantenmechanik sucht man die Wellenfunktion ψ(⃗r, t), in der Elektrodynamikdie Felder ⃗ E(⃗r, t), ⃗ B(⃗r, t). Was sucht man in der Mechanik?(1.2) Wie lautet die Eulersche Formel für reine Rotation eines Vektors?(1.3) Wie lautet die Formel für die Coriolisbeschleunigung?(1.4) Wie nennt man in der Mechanik Differentialgleichungen der Form f(¨r, ṙ, r) = 0 oder¨r = g(ṙ, r)?(1.5) Aus welchen Symmetrien folgen Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung?(1.6) Wie lautet die kanonische Transformation mit erzeugender Funktion F (q, Q)?(1.7) Wie lautet das Prinzip der virtuellen Arbeit?(1.8) Was ist ein Tensor?(1.9) Wie lautet der Liouvillesche Satz?(1.10) Was besagt der Noethersche Satz?Aufgabe 2: Hamiltonfunktion8 PunkteFür ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld lautet die LagrangefunktionL(⃗r, ˙⃗r, t) = m 2(˙⃗r) 2− eΦ(⃗r, t) +ec ˙⃗r · ⃗A(⃗r, t).Finden Sie die zugehörige Hamiltonfunktion H(⃗r, ⃗p, t).Achtung: wie immer darf kein ˙⃗r mehr in H stehen.Aufgabe 3: Starrer Körper 27 Punkte [18+9](a) Bestimmen Sie den Trägheitstensor T eines homogenen Quaders mit Kantenlängena, b, c im folgenden kartesischen Koordinatensystem: Der Nullpunkt liegt im Schwerpunkt,die Achsen liegen parallel zu den Kanten. Begründen Sie, dass man den Trägheitstensormit der bekannten Formel für die Hauptträgheitsmomente berechnen kann.(b) Sei nun a = b = c. Was ist das Trägheitsmoment θ = ˆn τ · T · ˆn für Rotation um dieRaumdiagonale des Würfels?bitte wenden!


Aufgabe 4: Eichinvarianz13 PunkteSei f(q, t) eine beliebige differenzierbare Funktion von q und t. Zeigen Sie, dass die LagrangefunktionL ∗ df(q, t)(q, ˙q, t) = L(q, ˙q, t) +dtdieselbe Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt wie L.Tipp: werten Sie die totale Zeitableitung aus. Ein Freiheitsgrad genügt bei der Rechnung.Aufgabe 5: Lagrangegleichungen erster Art20 PunkteZwei gleiche Massen m 1 = m 2 = m bewegen sich reibungsfreiauf zwei konzentrischen Kreisen mit Radienr und R. Die beiden Massen sind durch eine masseloseStange der Länge l verbunden. Es wirkt die Gravitationsbeschleunigung−gŷ.Formulieren Sie die Zwangsbedingungen und stellenSie die Lagrangegleichungen erster Art in den Koordinatenx 1 , x 2 , y 1 , y 2 der beiden Massen auf.Aufgabe 6: Satz von Liouville 27 Punkte [12+5+10]An einer Feder mit Federkonstante k schwingt eine Masse m harmonisch zwischen denRuhelagen x m (bei t = 0) und −x m .(a) Bestimmen Sie (bis auf eine Proportionalitätskonstante) die AufenthaltswahrscheinlichkeitdW der Masse m im kleinen Bereich dx als Funktion der Bahnkoordinate x (lösenSie dazu nach ωt auf).Tipp: dW ∼ dt, wobei dt = Verweilzeit im Intervalldx. Je nach Rechenweg brauchen Sie sin(arccos y) =√1 − y2 oder d(arccos y)/dy = −1/ √ 1 − y 2 .(b) Zeigen Sie, dass in den kanonischen KoordinatenP = p/ √ m (mit p = mẋ) und X = √ k x die Phasenraumtrajektorievon m ein Kreis um den Ursprungmit Radius X m = √ k x m ist.(c) Zeigen Sie, dass man dW ∼ dx/|ẋ| erhält, wenndie Phasenraumdichte konstant ist, m also überall aufdem Phasenraumkreis mit gleicher Wahrscheinlichkeitangetroffen wird, dW ∼ dl (mit Kreisbogenlänge dl).Tipp: projizieren Sie dl auf die X-Achse. Der cosinusder Projektion hängt einfach mit P und X zusammen.Phasenraumdarstellung


L Ö S U N G E NAufgabe 2: Fragen zum Stoff20 Punkte1. Die Teilchenorte ⃗r n (t)2. ˙⃗r = ⃗ω × ⃗r3. 2⃗ω × ⃗v4. Bewegungsgleichungen5. Zeitinvarianz, Homogenität und Isotropie des Raums6. P = ∂F/∂Q und p = −∂F/∂q. (Volle Punkte auch bei Vorzeichenfehler )7. ∑ i F i ′ δx i = 0, mit Freiheitsgrad i, Zwangskräften F ′ und virtuellen Verrückungen δx.8. Physiker: mehrfach indiziertes Objekt, das sich bezüglich jedes Indizes wie ein Vektortransformiert. Mathematiker: multilineare Abbildung zwischen Vektorräumen bzw. vonVektorräumen auf reelle Zahlen.9. dρ/dt = 0: Phasenraumdichte ist konstant entlang der (System-)Trajektorie.10. Jeder Invarianz der Lagrangefunktion unter einer Transformation (“Symmetrie”) entsprichteine Erhaltungsgröße.Aufgabe 2: HamiltonfunktionVerallgemeinerter Impuls8 Punkte⃗p = ∂L∂ ˙⃗r = m ˙⃗r + e c ⃗ A(⃗r, t).Man kann hier natürlich auch komponentenweise differenzieren. Also HamiltonfunktionH(⃗r, ⃗p, t) = ⃗p · ˙⃗r − L= m 2 ˙⃗r 2 + eΦ(⃗r, t)= 12m(⃗p − e c ⃗ A(⃗r, t)) 2+ eΦ(⃗r, t).Aufgabe 3: Starrer Körper 27 Punkte [18+9](a) Trägheitstensor eines homogenen Körpers der Dichte ρ 0∫T ij = ρ 0 d 3 r ( )r 2 δ ij − r i r j .Statt i, j = 1, 2, 3 benutze = x, y, z. Berechne exemplarisch das Nebendiagonalelement∫a/2T xy = ρ 0−a/2dx∫a/2= −cρ 0∫b/2−b/2dxxdy∫b/2∫c/2−c/2dyydz (0 − xy)= 0,−a/2−b/2


weil die Fläche unter den ungeraden Funktionen verschwindet. Nun exemplarisch dasHauptdiagonalelement∫a/2T xx = ρ 0−a/2∫= 4ρ 0 ab/20∫= 4ρ 0 ab/20∫= 2ρ 0 acdx∫b/2−b/2∫dyb/20dydyc/20dy∫c/2−c/2dz (y 2 + z 2 )[y 2 z + z33= ρ 0abc (b 2 + c 2)12= M (b 2 + c 2) .12] [y 2 + c212dz (x 2 + y 2 + z 2 − x 2 )] c/2z=0Andere Komponenten sind damit klar (Namensvertauschung). Also Trägheitstensor alsMatrix im gewählten System⎛⎞T = M b 2 + c 2 0 0⎝ 0 a 2 + c 2 0 ⎠ .120 0 a 2 + b 2Wusste man die Formel für den Trägheitstensor nicht, musste man erkennen, dass ausSymmetriegründen das Koordinatensystem ein Hauptachsensystem ist, also die Nebendiagonalelementevon T verschwinden. Die Hauptdiagonalelemente sind die aus derExp.physik bekannten TrägheitsmomenteT = ρ 0∫d 3 r r 2 ⊥.Sie berechnen sich genau wie oben.(b) Die Raumdiagonale durch den Würfel ist⎛ ⎞ˆn = √ 1 1⎝1⎠ . 31


Das Trägheitsmoment um diese Achse istT diag = ˆn τ · T · ˆn3∑= n i n j T iji,j=1= M · 2a23 · 12= 2Ma236= Ma26 ,3∑i,j=1was man natürlich auch mit Matrizenmultiplikation rechnen kann.· 3δ ijAufgabe 4: EichinvarianzWir müssen zeigen(0 =! ∂∂q − d )∂ df(q, t)dt ∂ ˙q dt( ∂=∂q − d ) ( )∂ ∂f ∂f ˙q +dt ∂ ˙q ∂q ∂t(∗)= ∂2 f∂q ˙q + ∂ ∂f2 ∂q ∂t − d ∂fdt ∂q= ∂2 f∂q ˙q + ∂ ∂f2 ∂q ∂t − ∂ ∂f∂q ∂t − ∂2 f∂q 2= 0.˙q13 PunkteIn (∗) wurde die Produktregel benutzt, sowie dass f(q, t) nicht von ˙q abhängt.Aufgabe 5: Lagrangegleichungen erster Art(a) Die Zwangsbedingungen sind20 Punkteg 1 = x 2 1 + y 2 1 − r 2 = 0,g 2 = x 2 2 + y 2 2 − R 2 = 0,g 3 = (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 − l 2 = 0.Lagrangefunktion (mit q 1 = x 1 , q 2 = y 1 , q 3 = x 2 , q 4 = y 2 )L = m 24∑˙q i 2 − mg(q 2 + q 4 ).i=1Lagrangegleichungen erster Art, für i = 1, 2, 3, 4d ∂L− ∂L =dt ∂q˙i ∂q i3∑j=1λ j∂g j∂q i.


Einsetzen, und wieder x, y statt qmẍ 1 = 2λ 1 x 1 + 2λ 3 (x 1 − x 2 ),mÿ 1 = 2λ 1 y 1 + 2λ 3 (y 1 − y 2 ) − mg,mẍ 2 = 2λ 2 x 2 − 2λ 3 (x 1 − x 2 ),mÿ 2 = 2λ 2 y 2 − 2λ 3 (y 1 − y 2 ) − mg.Aufgabe 6: Satz von Liouville 27 Punkte [12+5+10](a) Wahrscheinlichkeit dW ∼ dt = dx|v| = dx|ẋ| .Harmonische Schwingung mit x(0) = x m ist x = x m cos ωt, also ẋ = −x m ω sin ωt. Einsetzen(b) Kreis? BetrachtedxdW ∼x m ω| sin ωt|dx=x m ω| sin arccos(x/x m )|dx=x m ω √ 1 − (x/x m ) .2P 2 + X 2 = mẋ 2 + kx 2= mω 2 x 2 m sin 2 ωt + kx 2 m cos 2 ωt= m k m x2 m sin 2 ωt + kx 2 m cos 2 ωt= kx 2 m= const.Also tatsächlich Kreis mit Radius √ kx m .(c) Ist konstante Phasenraumdichte (Liouville!) korrekte Annahme? Nach Zeichnung aufKlausurblatt istdx = dl cos α|P |= dl √X2 + P√ 2m |ẋ|= dl √kxm∼ dW |ẋ|,wobei in der letzten Zeile dW ∼ dl benutzt und alle Konstanten in “∼” absorbiert wurden.Also ist wie in (a) dW ∼ dx/|ẋ|. Damit ist ein weiterer Nachweis des Satzes von Liouvillegelungen.

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