บทที่ 6. วัตถุแข็งเกร็ง - ภาควิชาฟิสิกส์ - มหาวิทยาลัยขอนแก่น

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-1เนื้อหา6.1 Introduction6.2 พลังงานจลน์ของการหมุน6.3 ทบทวนพีชคณิตของ Matrix (Optional)6.4 Moment of Inertia6.5 การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง6.6 การหมุนรอบแกนอันเดียว6.7 การหมุนใน 3 มิติ (Optional)6.8 บทสรุป6.9 ปัญหาท้ายบท6 วัตถุแข็งเกร็งSection 6.1 Introductionการศึกษาเรื่อง system of particles ที่ผ่านมาในบทที่ 4 เราได้ทําความรู้จักกับการคํานวณหาแรงลัพธ์,จุดศูนย์กลางมวล, kinetic energy, total linear momentum, และ total angular momentum ของระบบที่ประกอบด้วยหลายอนุภาค ซึ ่งก็ได้นํามาวิเคราะห์การชนกันของอนุภาคภายในระบบ โดยเฉาะอย่างยิ่งในเรื่องของ hard sphere collision และ Rutherford scatteringในบทนี ้ เราจะจํากัดขอบเขตของระบบที่ประกอบด้วยหลายอนุภาคให้อยู ่ในประเภทของ "วัตถุแข็งเกร็ง" หรือ rigid body ซึ ่งจัดเป็นประเภทของวัตถุที่พบเห็นได้จํานวนมากรอบตัวเรา อาทิเช่นชิ้นส่วนเครื่องยนต์ อาคาร หรือ ลูกข่างที่กําลังหมุนเมื่อครั ้งที่นักศึกษาได้เรียนรู้บทวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งเบื ้องต้น ในระดับมัธยมศึกษาหรือ General Physics ในระดับอุดมศึกษา เราได้เคยท่องให้ขึ ้นใจว่า เมื่อวัตถุรูปทรงเรขาคณิตมีการDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-2หมุน พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ ซึ ่งเกี่ยวข้องกับการหมุน สามารถเขียนให้อยู ่ในรูปKrot1 ω22 I ______________________________ (6.1)เมื่อ ω ก็คืออัตราเร็วของการหมุน ซึ ่งในระบบ SI มีหน่วยเป็น rad sec ในขณะที่ค่าคงที่ I ซึ ่งขึ ้นอยู ่กับรูปร่างและมวลของวัตถุ ตลอดจนแกนของการหมุน ซึ ่งมีชื่อเรียกโดยทั่วไปว่า "moment ofinertia"อนุภาคมวล mv วัตถุมวล M1 1 2พลังงานจลน์ 2K m v พลังงานจลน์ Krot I ω22ภาพ (6.1) เปรียบเทียบกับคํานวณพลังงานของการเคลื่อนที่ (พลังงานจลน์) ใน 2 ลักษณะดังแสดงในภาพ (6.1) ในประเด็นที่เกี่ยวข้องกับพลังงานจลน์ของระบบ ถ้าเราจะเปรียบเทียบระหว่างสองกรณีคือa) พลังงานจลน์ของจุดอนุภาคขนาดเล็กที่กําลังเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงด้วยอัตราเร็ว v ซึ ่ง1 v22จะมีพลังงานจลน์ K mb) พลังงานจลน์ของวัตถุที่มีรูปทรงซึ ่งกําลังหมุนรอบตัวเองด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ω ซึ ่งมี2พลังงานจลน์ K Irot1 ω2ทรงกระบอกตันทรงกระบอกกลวงลูกบาศก์ตันa)1IMR22c)IMR2e)1IM62b)1I M 3R12ทรงกระบอกตัน2 2d)2IMR5ทรงกลมตัน2Moment of Inertia IDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-3ภาพ (6.2) แสดง moment of inertia I ของวัตถุรูปทรงแตกต่างกันจะเห็นว่า moment of inertia I ของวัตถุทําหน้าที่คล้ายคลึงกับ มวล m ของอนุภาค และจะต่างกันก็ตรงที่ I ขึ ้นอยู ่กับแกนของการหมุน ยกตัวอย่างดังแสดงในภาพ (6.2) แม้ว่าวัตถุจะมีรูปทรงเช่นเดียวกัน กล่าวคือ เป็นทรงกระบอกตัน แต่หากแกนของการหมุนแตกต่างกัน ดังแสดงในภาพa) และ b) ก็จะมี moment of inertia I แตกต่างกันออกไปเพื่อเป็นการทบทวนให้นักศึกษาคุ้นเคยกับเนื ้อหาของวัตถุแข็งเกร็งที่ผ่านมา และปูพื ้นฐานที่สําคัญในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนมากขึ ้น เรามาศึกษาตัวอย่างของวงล้อที่กลิ้งลงพื ้นเอียงที่มีแรงเสียดทานและหาว่า รูปทรงใดจะสามารถกลิ้งมาถึงพื ้นได้ก่อนกันตัวอย่างโจทย์วัตถุแข็งเกร็งเนื ้อเดียวกันสมํ ่าเสมอ 2 ชิ้น มีรัศมี R มวล M และยาว เท่ากัน แต่ขึ ้นรูปใน 2ลักษณะที่แตกต่างกันคือ a) ทรงกระบอกตัน และ b) ทรงกระบอกกลวง เริ่มจากจุดหยุดนิ่งบนพื ้นเอียงสูง H จากนั ้นกลิ้งบนพื ้นที่มีแรงเสียดทานลงมา วัตถุใดมาถึงยังพื ้นราบก่อน ?วิธีทํา ในขณะที่วัตถุกลิ้งลงมา มีอัตราเร็วอยู ่สองประเภทที่เราต้องพิจารณา a) อัตราเร็วของการหมุนรอบตัวเอง หรือ ω และ b) อัตราเร็วของจุดศูนย์กลางมวล v ซึ ่งอธิบายความเร็วของการเคลื่อนที่ในแนวขนานไปกับพื ้นเอียงสมมุติให้วัตถุทั ้ง 2 กลิ้งแบบไม่มีการไถล เพราะฉะนั ้น ω และ v มีความสัมพันธ์กันดังสมการv ωR ______________________ สมการ (E.1)แนวคิดของโจทย์ข้อนี ้ก็คือ การเปรียบเทียบอัตราเร็ว v ของวัตถุเมื่อมันมาถึงยังพื ้นราบ วัตถุที่มีอัตราเร็วสูงกว่า ก็ย่อมจะมาถึงเส้นชัยได้เร็วกว่านั่นเองDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-4เราสามารถใช้กฎทรงพลังงานในการวิเคราะห์หา v ของวัตถุทั ้ง 2 รูปทรงได้ กล่าวคือเพราะฉะนั ้นEbefore Eafter1 1 1 1 v 2 2 2 2 R2 2 2MgH Mv Iω Mv I Iv2MgH M R22______________________ สมการ (E.2)จะเห็นว่าอัตราเร็ว v ขึ ้นอยู ่กับ moment of inertia I ดังนั ้นวัตถุทั ้ง 2 ชิ้นซึ ่งมีค่า I แตกต่างกันดังแสดงในภาพ (6.2) ก็ย่อมมีอัตราเร็ว ณ ตําแหน่งที่มันกลิ้งมาถึงยังเส้นชัย แตกต่างกัน1222แทน a) ทรงกระบอกตัน I MR และ c) ทรงกระบอกกลวง I MR ในสมการ (E.2)จะได้ว่าava4gH3 และ v c gHเราจึงสามารถสรุปได้ว่า ทรงกระบอกตัน จะกลิ้งมายังพื ้นได้ก่อน ตอบcแม้จะมีประโยชน์ในการวิเคราะห์โจทย์อย่างง่ายอยู ่บ้าง รูปแบบของสมการ (6.1) ที่เราเคยเพียงท่องให้ขึ ้นใจ ยังมีข้อจํากัดในการนํามาใช้งานจริงเชิงวิศวกรรมอยู ่มากทีเดียว อย่างน้อยใน 3 ประเด็นด้วยกัน1) วัตถุไม่จําเป็นต้องมีรูปทรงสมมาตร และการหมุนก็ไม่จําเป็นจะต้องอยู ่ในแนวแกนของวัตถุ ไข่ต้มที่กําลังหมุน หรือ ประแจที่เราใช้ขันน็อต เป็นตัวอย่างที่ดีที่เห็นได้ในชีวิตประจําวัน2) ขณะที่วัตถุกําลังหมุน มันอาจมีการส่ายควง คล้ายกับลูกข่างในช่วงสุดท้ายของการหมุน ที่ส่ายไปมา รอจังหวะที่จะล้มลงกับพื ้น3) ในเมื่อ moment of inertia I มีค่าได้แตกต่างกัน แม้วัตถุชิ้นเดียวกัน เพียงหมุนรอบแกนที่แตกต่างกัน ดังนั ้นการที่จะทํานายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เปิดโอกาสให้มีการหมุนอย่างอิสระ รอบแกนใดก็Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-5ได้ จะหมายความว่าเราจะต้องทราบค่า I ที่เป็นไปได้ทั ้งหมด ซึ ่งมีอยู ่เป็นอนันต์ กระนั ้นหรือและในเชิงฟิสิกส์เอง จําเป็นจะต้องมาทําความรู้จักกับที่มาของ moment of inertia I ให้ละเอียดยิ่งขึ ้นซึ ่งประเด็นทั ้งหลายเหล่านี ้ ล้วนจะเป็นสิ่งที่เราจะได้ขยายความในลําดับต่อไปโดยใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ เรานิยามวัตถุแข็งเกร็ง คือ ระบบประกอบด้วยหลายอนุภาค ที่มีระยะห่างระหว่างกัน คงที่เสมอ______________________________ (6.2)ดังแสดงในภาพ (6.3) สายโซ่ไม่ใช่วัตถุแข็งเกร็ง เพราะระยะทางระหว่างชิ้นส่วนของมัน สามารถเปลี่ยนแปลงได้ ในขณะที่แท่งไม้หน้า 3 ไม่ว่าจะวางนิ่งอยู ่กับพื ้น หรือตวัดฟัดเหวี่ยงในลักษณะใดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนแท่งไม้ ย่อมมีค่าคงที่เสมอ เพราะฉะนั ้น ตามคํานิยามดังสมการ(6.2) เราถือว่ามันเป็นวัตถุแข็งเกร็ง หรือ rigid bodyBNot RigidABABABRigid BodyAระยะทางระหว่างอนุภาค คงที่เสมอภาพ (6.3) แสดงระบบของอนุภาค ที่จัดอยู ่ในประเภท "วัตถุแข็งเกร็ง"ธรรมชาติการเคลื่อนที่ของ rigid boy มีความหลากหลายอยู ่พอสมควร ทั ้งที่ง่ายต่อการวิเคราะห์เช่นก้อนนํ ้าแข็งไถลไปบนพื ้นที่ไม่มีแรงเสียดทาน ซึ ่งเป็นกรณีที่ปราศจากการหมุน หรือกรณีที่มีการหมุนเพียงอย่างเดียวเช่น ใบพัดของพัดลมระบายอากาศบนเพดาน ที่ชิ้นส่วนของมัน ล้วนหมุนรอบจุดหมุน ที่โดนตรึงอยู ่กับที่ ณ แกนกลางของพัดลม หรือแม้กระทั่งกรณีที่ยากต่อการวิเคราะห์ อาทิเช่น การเหวี่ยงประแจขึ ้นไปในอากาศ ซึ ่งทําให้เกิดการหมุนคว้าง ในขณะเดียวกันกับที่จุดศูนย์กลางมวลมีการเคลื่อนที่แบบ projectile ในอากาศใน Chapter 4 Systems of Particles เราเลี่ยงที ่จะกล่าวถึงการหมุนคว้างของประแจ ด้วยการพิจารณาDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-6เฉพาะจุดศูนย์กลางมวลของมัน ว่ามีการเคลื่อนที่เป็นเช่นใด ซึ ่งก็ได้ข้อสรุปว่า เฉพาะแรงภายนอกเท่านั ้น ที่จะมีผลต่อการเคลื่อนที่ของ center of massในบทนี ้ เราจะหันมาให้ความสําคัญกับรูปร่างของวัตถุ ตลอดจนการหมุนของมันขณะกําลังเคลื่อนที่โดยจะวิเคราะห์จากง่ายไปหายาก โดยในเบื ้องต้น เราจะมองถึงภาพรวมและความเชื่อมโยงของเนื ้อหาทั ้งหมดเสียก่อน เริ่มด้วยหัวข้อ 6.2 พลังงานจลน์ของการหมุน ที่เป็นการพิจารณาเฉพาะกรณีที่วัตถุมีการหมุนรอบ "จุดหมุน" หรือ pivot point ซึ ่งโดนตรึงอยู ่กับที่ อาทิเช่น ใบพัดของพัดลมที่หมุนรอบแกนกลาง ซึ ่งติดแน่นอยู ่บนเพดานหัวข้อ 6.3 ทบทวนพีชคณิตของ Matrix (Optional) เป็นการทบทวนเนื ้อหาทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ matrix โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรื่องของสมการที่เรียกว่า eigen equation ซึ ่งเป็นหัวข้อที่นักศึกษาซึ ่งมีความเชี่ยวชาญทางคณิตศาสตร์อยู ่แล้ว สามารถข้ามไปได้หัวข้อ 6.4 Moment of Inertia จะเป็นการกล่าวถึงสมบัติของวัตถุ ที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับธรรมชาติการหมุนของมัน ในการเคลื่อนที่แนวตรง แม้จะออกแรงขนาดเท่ากัน แต่ก็ใช่ว่าวัตถุทุกชิ้น จะมีความเร่งของการเคลื่อนที่ เท่ากันไปเสียหมด เพราะมวลของวัตถุเองก็เป็นปัจจัยสําคัญ อาทิเช่น หากมวลมีค่ามหาศาล แม้จะออกแรงมาก วัตถุก็เคลื่อนที่ด้วยความเร่งเพียงเล็กน้อย ในการเคลื่อนที่แบบหมุนก็เช่นกัน นอกจากจะมี "torque" หรือ "แรงบิด" จากภายนอกเป็นสิ่งกระตุ้นที่พยายามจะทําให้เกิดการหมุนแล้ว วัตถุแต่ละชิ้น จะตอบสนองด้วยการหมุนที่เร็วขึ ้น ได้แตกต่างกัน เราเรียกปัจจัยดังกล่าวนั ้นว่า moment of inertia ซึ ่งเราจะได้กล่าวถึงโดยละเอียดในลําดับต่อไปหัวข้อ 6.5 การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง เมื่อวัตถุที่มีรูปทรงเคลื่อนที่ใน 3 มิติได้อย่างอิสระ อาทิเช่น ลูกข่างที่กําลังหมุนอยู ่บนโต๊ะ ประแจที่โดยคว้างขึ ้นในอากาศ หรือล้อรถที่กําลังหมุนพร้อมกับเคลื่อนที่ไปข้างหน้า ปริมาณทางฟิสิกส์อาทิ total kinetic energy หรือ angular momentum มีความซับซ้อนมากขึ ้นและจําเป็นจะต้องใช้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ matrix และ vector ในการอธิบายปรากฏการณ์เหล่านีหัวข้อ 6.6 การหมุนรอบแกนอันเดียว เมื่อจํากัดอิสระให้มีการหมุนได้เฉพาะรอบแกนเพียงอันเดียวจะทําให้คณิตศาสตร์มีความคล้ายคลึงกับบทเรียนฟิสิกส์เบื ้องต้นในระดับมัธยมศึกษา อีกทั ้งจะเป็นโอกาสให้เราได้ทบทวน ทําความคุ้นเคยกับธรรมชาติการหมุนของวัตถุ ก่อนที่จะเข้าสู ่เนื ้อหาที่ซับซ้อนขึ ้นในหัวข้อถัดไปDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-7หัวข้อ 6.7 การหมุนใน 3 มิติ (Optional) คือการรวบรวมเอาทุกเทคนิควิธีที่ผ่านมา ประยุกต์กับการเคลื่อนที่ของวัตถุใน 3 มิติอย่างอิสระ อาทิเช่นลูกข่างที่กําลังหมุนอยู ่บนโต๊ะ ซึ ่งเปิดโอกาสให้มีการส่ายควง การโยนวัตถุเช่นหนังสือขึ ้นไปบนอากาศด้วยการตวัดมือเล็กน้อย และวิเคราะห์เสถียรภาพของการหมุนรอบแกนใดแกนหนึ ่งของวัตถุในเบื ้องต้นกําหนดให้จุดศูนย์กลางของการหมุน P หรือ Pivot Point หยุดนิ่ง และให้ P เป็นจุดกําเนิด______________________________ (6.3)ระบบที่จุดศูนย์กลางของการหมุน (Pivot Point) อยู่นิ่งxPzPv r xzω Pyya) b) c)ภาพ (6.4) แสดงตัวอย่างของระบบที่มีจุดศูนย์กลางของการหมุน หยุดนิ่ง a) ลูกข่างที่กําลังหมุนเฉพาะกรณีที่ปลายแหลม ปักนิ่งอยู ่กับที่ b) ไม้แขวนเสื ้อห้อยอยู ่ และกําลังแกว่งเนื่องจากแรงลมc) วัตถุหมุนรอบแกนที่แทนด้วย angular velocity ω ดังแสดงในภาพ (6.4) ตัวอย่างของระบบที่จุดศูนย์กลางของการหมุน P หยุดนิ่งอยู ่กับที่ มีให้พบเห็นได้ทั่วไป เพื่อความเข้าใจที่ตรงกัน เราจะกําหนดให้จุด P เป็นจุดกําเนิด และตําแหน่งของอนุภาคหรือชิ้นส่วนที่ประกอบกันขึ ้นเป็นวัตถุทั ้งชิ้น ล้วนอ้างอิงอยู ่กับจุด P ดังกล่าวทั ้งสิ้นแบบฝึ กหัด 6.1 จงอธิบายว่า เหตุใดการกลิ้งของลูกบอลไปบนพื ้น จึงอยู ่นอกเหนือขอบเขตของการวิเคราะห์ในหัวข้อนีภาพ (6.4) c) แสดงวัตถุที่กําลังหมุน โดยมีแกนของการหมุน แทนด้วย angular velocity ω แน่นอนว่าระบบประกอบด้วยหลายอนุภาค หรือชิ้นส่วนหลายชิ้น และสมมุติว่าเราให้สัญลักษณ์ m แทนDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-8มวลของอนุภาคที่ตั ้งอยู ่ ณ ตําแหน่ง r โดยมี subscript เป็นดัชนีกํากับอนุภาคที่กําลังพิจารณาในการสร้างแกน x, y, และ z เพื่อใช้เป็นพิกัดในการอ้างถึง angular velocity ω และตําแหน่ง r ของอนุภาคนั ้น กําหนดให้แกนทั ้งสามฝังอยู ่ในเนื ้อเดียวกันกับวัตถุ นั ้นหมายความว่า เมื่อวัตถุแข็งเกร็งมีการหมุน แกนทั ้งสามย่อมหมุนตามไปด้วย นอกจากนี ้ ด้วยความที่ระบบทั ้งหมดเป็นวัตถุแข็งเกร็ง ตําแหน่ง r ของอนุภาคทั ้งหมด ไม่สามารถเคลื่อนที่เข้าหาหรือออกห่างจากกัน เพราะระยะห่างระหว่างกันและกันไม่สามารถยืดหยุ่นได้ ดังนั ้น vector r (ซึ ่งอ้างอิงอยู ่กับแกนทั ้งสาม ที่ฝังตัวติดอยู ่กับวัตถุ) จะต้องเป็นค่าคงที่ และไม่เปลี่ยนแปลงกับเวลาจากการทบทวนในเรื่องของ central force motion ภายใต้หัวข้อ 5.2 Angular Velocity - ความเร็วเชิงมุม เราบอกได้ว่า ความเร็วของแต่ละอนุภาค สัมพัทธ์กับผู้สังเกตที่หยุดนิ่งภายนอก คือ v ωr___________________________ (6.4)ให้สังเกตว่า แม้เราจะใช้ดัชนี เพื่อแยกแยะทั ้ง ตําแหน่ง r , มวล m , และ ความเร็วของแต่ละอนุภาค เพราะมันอาจมีสมบัติเหล่านี ้เป็นค่าเฉพาะตัวที่แตกต่างกัน แต่ทุกอนุภาคล้วนมีangular velocity ω เท่ากัน ด้วยเหตุที่ทุกอนุภาคเป็นส่วนหนึ ่งของวัตถุแข็งเกร็ง ซึ ่งจะต้องหมุนไปด้วยกัน รอบแกนอันเดียวกัน และด้วยอัตราเร็วเชิงมุมที่เท่ากันv Section 6.2 พลังงานจลน์ของการหมุนพิจารณาวัตถุแข็งเกร็งที่กําลังหมุน ดังแสดงในภาพ (6.4) c) พลังงานจลน์เป็นปริมาณพื ้นฐานที่สามารถใช้เป็นเครื่องมือในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของระบบ ในกรณีพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่กําลังหมุน เราจะมองวัตถุทั ้งชิ้น ให้เสมือนว่าประกอบด้วยอนุภาคขนาดเล็กจํานวนมากเนื่องจากแต่ละอนุภาคมีความเร็ว v ดังแสดงในสมการ (6.4) เมื่อสังเกตจากผู้สังเกตที่หยุดนิ่งภายนอก มันจึงมีพลังงานจลน์1 1 12 2 222 2K mv m v m ωrส่งผลให้ total kinetic energy ของระบบมีค่าเป็นDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-91 ω r(P)2Krot m 2_____________________ (6.5)ในการใช้สัญลักษณ์ที่แสดง total kinetic energy ข้างต้น เราใช้ superscript (P) เพื่อเน้นยํ ้าให้ชัดเจนว่า เป็นการสังเกตโดยใช้ pivot point เป็นจุดกําเนิด ทั ้งนี ้เพื่อป้ องกันการสับสนกับจุดศูนย์กลางมวลของระบบ นอกจากนี ้ subscript (rot) หมายถึงพลังงานจลน์ที่เกี่ยวข้องกับเฉพาะการหมุนของวัตถุทั ้งชิ้น เนื่องจากเรากําหนดให้ จุด pivot point หยุดนิ่งอยู ่กับที่(P)การคํานวณ Krotดังในสมการ (6.5) ขึ ้นอยู ่กับสองปัจจัยก็คือ 1) ความเร็วเชิงมุม ω ของการหมุนและ 2) สมบัติของระบบว่าประกอบด้วยมวล m เท่าใด และตั ้งอยู ่ ณ r ตําแหน่งใดบ้าง ซึ ่งเมื่อประกอบด้วยหลายอนุภาค เราจําเป็นต้องใช้กระบวนการของ summation ดังปรากฏในสมการอย่างไรก็ตาม ทั ้งสองปัจจัยข้างต้น ยังคงพันกัน เหมือนปมเชือกที่มัดแน่น อยู ่ภายในเครื่องหมายsummation และในลําดับต่อไป เราจะได้ใช้เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เพื่อแยก 2 ปัจจัยดังกล่าวออกมาเป็นอิสระได้ชัดเจนมากยิ่งขึ ้นในเบื ้องต้น เราจะเปลี่ยนการใช้สัญลักษณ์ในการอ้างถึงแกน x, y, และ z ในพิกัด Cartesian เพื่อให้เหมาะสมและกระชับกับกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่จะตามมามากขึ ้น กล่าวคือให้เลขดัชนี 1, 2, และ 3 แทนองค์ประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ของ vectorยกตัวอย่างเช่น angular velocity ω ในรูปของ vector ได้ว่าหรือ ตําแหน่ง r ของอนุภาคลําดับที่ สามารถเขียนให้อยู ่ω ω1ω2 ω 3 และr r rr12 3ซึ ่งจากกติกาการใช้สัญลักษณ์ข้างต้น เราสามารถเขียน dot product ให้อยู ่ในรูปของ summationหรืออีกตัวอย่างหนึ ่งω r3ω jrjj1_____________________ (6.6)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-10 ωω 3ωωj jj1_____________________ (6.7)นอกจากนี ้ ในระหว่างที่เรากําลังเล่นเกมส์ การเขียนองค์ประกอบของ vector โดยใช้เลขดัชนี 1, 2,และ 3 อยู ่นี ้ ปรากฏมีฟังก์ชันที่พบบ่อยมากในทางฟิสิกส์ ที่มีคํานิยามดังต่อไปนีij0 1if i if i jj_____________________ (6.8)สัญลักษณ์ข้างต้น มีชื่อเรียกว่า Kronecker delta ซึ ่งมีค่าเป็น 0 หรือ 1 ขึ ้นอยู ่กับเลขดัชนีสองตัวที่ปรากฏอยู ่ด้านล่าง อาทิเช่น 2,2 1 หรือ 2,1 0 เป็นต้น Kronecker delta เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สําคัญอีกอันหนึ ่ง ในการจัดรูปของเทอมทางคณิตศาสตร์ ให้กระชับและเรียบง่ายนักศึกษาควรฝึกใช้มันให้คล่องแคล่วยกตัวอย่างเช่น dot product ดังในสมการ (6.7) สามารถเขียนให้อยู ่ในรูป ωω ωω 3 3 3 ωωj j i j i jj1 i1 j1_____________________ (6.9)จงพิสูจน์สมการ (6.9) ที่ว่า ωω 3 3i1 j1ตัวอย่างโจทย์ ωωij i jวิธีทํา เนื่องจากดัชนี i และ j ที่ปรากฏอยู ่ภายในเครื่องหมาย summation มีค่าเป็นได้แค่เพียง 1, 2,และ 3 เราจึงสามารถแจงแจงเทอมทุกเทอมที่ปรากฏอยู ่ใน summation ออกมาได้ไม่ยากนัก3 3ijωω i j1,1ωω 1 11,2ωω1 2 1,3ωω1 3i1 j1 2,1ωω2 12,2ωω2 2 2,3ωω2 3 3,1ωω3 1 3,2ωω3 23,3ωω3 3ทั ้ง 9 เทอมที่ปรากฏอยู ่ เทอมที่มี i j จะโดนคูณด้วยศูนย์หายไป เนื่องจากคํานิยามของDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-11Kronecker delta ดังสมการ (6.8) คงเหลือเพียง 3 เทอมคือ3 3 3 ωω ωω ωω ωω ωω ωω ωω ωωij i j 1,1 1 1 2,2 2 2 3,3 3 3 1 1 2 2 3 3j ji1 j1 j1ซึ ่งก็มีค่าเท่ากับ ผล dot product ของωω นั่นเอง ตอบวกกลับมาที่การวิเคราะห์พลังงานจลน์ของระบบ จากเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ cross product AB 2 A 2 B 2AB 2ทําให้ซึ ่งเมื่อประยุกต์เอกลักษณ์ดังกล่าว กับสมการ (6.5)ω r ω r2 2 2ω r2 เทอมทั ้งสองที่ปรากฏอยู ่ด้านขวามือของสมการ สามารถจัดให้อยู ่ในรูปของ summation ได้ว่าเพราะฉะนั ้นแล้ว3 32 2 2 2r r ijωωi jri1 j13 3 3 3 2 ωiriωjr jωiriωjrji1 j1 i1 j11) ω ωω2) ω r ω r ω r ωr ω r 3 3 3 32 2 2 22ω r ijωω i jr ωiriωjrji1 j1 i1 j1เราสามารถยุบรวม summation ทั ้งสองให้กลายเป็นอันเดียว ในขณะเดียวกันสลับลําดับของการคูณ2ของตัวแปร ,ω ,ω , r , r , r เพื่อให้ดูเป็นระเบียบยิ่งขึ ้นได้ว่าij i j i j ωr 3 3 3 32 2 2 i jr ωωi jrir jωω i j i jr rirjωωi ji1 j1 i1 j1แทนผลลัพธ์ที่ได้ กลับเข้าไปในสมการของ total kinetic energy ในสมการ (6.5)3 3 3 3(P)1 2 1 2Krot mi jr rir ωω j i jm i jr rirjωωi j2 i1 j1 2 i1 j1Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-12ข้อดีของการใช้เครื่องหมาย summation ก็คือ เราสามารถสลับลําดับ กล่าวคือเมื่อพิจารณาเทอม m 2ijr rirj1 K m r r r3 3(P) 2rot ij i jωωi j2 i1 j13 3 ของมันได้ i1 j1 จะพบว่า แม้วัตถุมีการเคลื่อนที่ในลักษณะใดก็ตามมวล m และพิกัดบอกตําแหน่ง r1, r2,r 3ของแต่ละอนุภาค จะมีค่าคงที่เสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งพิกัด r1, r2,r 3ดังกล่าวนั ้น อ้างอิงอยู ่กับแกน x, y, และ z ที่ฝังตัวยึดติดไปกับวัตถุ ด้วยความที่เป็นวัตถุแข็งเกร็ง จะต้องคงที่ไม่อาจเปลี่ยนแปลงกับเวลาดังนั ้น ถ้าเรานิยามI m r r r2ij ij i j _____________________ (6.10)จากคํานิยามข้างต้น Iijเป็นค่าคงที่เฉพาะตัวของวัตถุแข็งเกร็ง วัตถุรูปร่างลักษณะต่างกัน การกระจายตัวของมวลต่างกัน ก็ย่อมมี Iijที่เป็นสมบัติเฉพาะตัว แตกต่างกันออกไป ดังนั ้นเราสามารถเขียน total kinetic energy ของการหมุนรอบจุด pivot point ได้ว่าK(P)rot3 31 Iijωωi j_____________________ (6.11)2i1 j1จะสังเกตว่า สูตรในการคํานวณ total kinetic energy ในสมการข้างต้น มีความซับซ้อนขึ ้นมาก จาก2ที่เคยเห็นในระดับมัธยมศึกษา K I ที่เป็นเช่นนี ้ก็เพราะ สมการ (6.11) สามารถrot1 ω2ประยุกต์ใช้ได้เสมอ ไม่ว่าแกนของการหมุนจะเป็นเช่นใดใน 3 มิติ ดังแสดงในภาพ (6.5)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-13ลูกชิ้นรูปทรงกระบอกตัน เสียบไม้แล้วหมุนPข้อมูลของวัตถุ2kg cmI 2 I 0 I011 12 13I 0 I 2 I021 22 23I 0 I 0 I131 32 33Pω ω 01ω 22ω 03ω1 0ω ω1 01ω2 0PP ω ω2 1 Krot Iiωωω 1ω 12ij33j i jภาพ (6.5) แสดงตัวอย่างของการคํานวณพลังงานจลน์ของการหมุน ในกรณีที่มี angular velocityω แตกต่างกันออกไปภาพ (6.5) แสดงตัวอย่างของลูกชิ้นรูปทรงกระบอกตัน นําไม้ไผ่เบามาเสียบแล้วหมุน โดยกําหนดให้จุด P เป็นจุดกําเนิดซึ ่งต้องหยุดนิ่งขณะหมุน ดังนั ้นไม้ไผ่จะต้องเสียบผ่านจุด P เสมออย่างไรก็ตาม เราสามารถเสียบไม้ ซึ ่งทําหน้าเป็นแกนของการหมุน ในหลายลักษณะ หลายมุมด้วยกัน จะสังเกตว่า1) moment of inertia ซึ ่งเดิมเป็นตัวเลขเพียง 1 ตัวดังสมการ (6.1) กลับกลายเป็นตัวเลขถึง 9 ตัว ดังนิยามในสมการ (6.10) ซึ ่งในเบื ้องต้น เราจะข้ามรายละเอียดของการคํานวณ Iijเสียก่อน และจะสมมุติให้เราทราบข้อมูลเหล่านี ้เป็นที่เรียบร้อยแล้ว2) อัตราเร็วเชิงมุม ω ซึ ่งเดิมเป็นเพียงตัวเลขเพียง 1 ตัวดังสมการ (6.1) กลับกลายเป็นตัวเลขถึง 3ตัว ซึ ่งหมายถึงองค์ประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ของ angular velocity ω จากข้อสังเกตทั ้ง 2 ประการข้างต้น หากทราบข้อมูล Iijของวัตถุ ไม่ว่ามันจะหมุนโดยมี angularvelocity ω ในลักษณะใด เราก็สามารถคํานวณหา total kinetic energy ของวัตถุแข็งเกร็งได้เสมอตัวเลขทั ้ง 9 ตัวที่ประกอบกันขึ ้นเป็น Iijของวัตถุ มีชื่อเรียกว่า "Inertia Tensor" ซึ ่งใน SectionDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-146.4 จะได้ขยายความถึงการคํานวณปริมาณดังกล่าวว่าขึ ้นอยู ่กับรูปทรงและมวลของวัตถุอย่างไร แต่ในเบื ้องต้นนี ้ เราจะให้ความสําคัญกับการนํามาใช้งานเสียก่อน ดังจะได้แสดงในตัวอย่างโจทย์ต่อไปนีตัวอย่างโจทย์สมมุติให้วัตถุรูปลูกบาศก์ มวล M ความยาวด้านยาว มี inertia tensor ดังแสดงในภาพ สมมุติให้มันกําลังหมุนรอบแกนซึ ่งอยู ่ในแนวทแยงระหว่างมุมยอดพอดี ด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงที่ ω0จงหาพลังงานจลน์ของการหมุนxzPyI 2 1 1 M I M I M3 4 4I 1 2 1 M I M I M4 3 4I 1 1 2 M I M I M4 4 32 2 211 12 132 2 221 22 232 2 231 32 33วิธีทํา ในเบื ้องต้นเรากําหนด angular velocity ω ซึ ่งเป็น vector ที่จะต้องขนานไปกับแกนของการหมุน โจทย์กําหนดให้แกนหมุนอยู ่ในแนวทแยงระหว่างมุมยอดพอดี ดังนั ้นองค์ประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ของ ω จะต้องเท่ากัน ดังแสดงในภาพด้านล่างxzω ω1ω ω12ω y 1ω2 ω3 ω03ω3Pสัมประสิทธิ ์เท่ากับ1ที่คูณอยู ่ก็เพื่อบังคับให้ ขนาดของ vector ซึ ่งในที่นี ้หมายถึง อัตราเร็วเชิงมุม มีค่า3ω ω ω ω ω ω ω ω3 3 32 2 22 2 2 0 0 01 2 3 0ซึ ่งสอดคล้องกับข้อกําหนดของโจทย์พอดี อาศัยสมการ (6.11) เราสามารถคํานวณพลังงานจลน์ได้ว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-153 3(P) 1 1ω0 ω0 ω0 ω0 ω0 ω0Krot Iijωωi j I11 I12 I13 2 i1 j123 3 3 3 3 3ω0 ω0 ω0 ω0 ω0 ω0I21 I22 I23 3 3 3 3 3 3ω ω ω ω ω ω 1I I I M ω3 3 3 3 3 3 12ดังนั ้น0 0 0 0 0 02 231 32 33 01 M ω0122 2พลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกนที่อยู ่ในแนวทแยง ก็คือ ตอบแบบฝึ กหัด 6.2 จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา สมมุติให้แกนของการหมุน ทับกันพอดีกับแกน z จงหาพลังงานจลน์ของการหมุน1 M 3ω02 2เฉลย ตัวอย่างโจทย์จานหมุนเบามากมีรัศมี R มัดด้วยเชือกซึ ่งถ่วงด้วยมวล m ถ้าปล่อยให้มวลดังกล่าวเคลื่อนมาด้านล่าง ก็จะทําให้จานหมุนไปพร้อมกับแท่งเหล็กสี่เหลี่ยม ที่เสียบให้แกนกลางผ่านระหว่างมุมยอดพอดี หากเริ่มจากจุดหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็วของมวล m เมื่อมันเคลื่อนที่ลงมาได้ระยะทาง HDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-16แท่งเหล็กสี่เหลี่ยมMจานหมุน เบามากRmHวิธีทํา เทคนิคคือการใช้กฎทรงพลังงาน กล่าวคือเมื่อเริ่มต้น ทุกอย่างหยุดนิ่ง และระบบมีพลังงานศักย์ของมวล m ณ ความสูง H เมื่อเคลื่อนที่ลงมาจะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ใน 2 ลักษณะด้วยกันคือหรือเขียนในรูปของสมการได้ว่า1 v2 m2a) พลังงานจลน์จากการเคลื่อนที่เชิงเส้นตรงของมวล m ซึ ่งก็คือb) พลังงานจลน์ของการหมุนของแท่งเหล็ก ซึ123 3(P)่งก็คือ Krot Iijωωi ji1 j1Ebefore Eafter1 13 32mgH mv Iijωωi j2 2 i1 j1จากตัวอย่างโจทย์ในข้อที่ผ่านมา เมื่อแท่งเหล็กหมุนโดยมีแกนอยู ่ในแนวทแยง พลังงานจลน์ของ1 1ωω M ω2 123 3การหมุนลดรูปเหลือเพียง Krot Iij i j ดังนั ้น(P) 2 2i1 j1mgH1 12 122 2 2 mv M ω ________________________ (E.1)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-17นอกจากนี ้ ระยะทาง y ที่มวล m เคลื่อนที่ลงมาด้านล่าง สัมพันธ์โดยตรงกับมุม ที่จานหมุนหรืออีกนัยหนึ ่งy() t () t Rซึ ่งเมื่อทําการ differentiate ทั ้งสองข้างของสมการเทียบกับเวลา จะนําไปสู ่v ωR ______________________________ (E.2)แทนωvR ลงในสมการ (E.1) จะได้ว่าซึ ่งเมื่อจัดรูปจะทําให้mgHv 21 2 1 2v mv M 2 12212mgHR6mR M 2 2Rตอบตัวอย่างโจทย์สมมุติให้วัตถุรูปทรงกระบอกตันมวล M รัศมี R และยาว มี inertia tensor ดังแสดงในภาพจงหาว่าความยาว ควรจะเป็นกี่เท่าของรัศมี R จึงจะทําให้ total kinetic energy ของการหมุนรอบแกน z มีค่าเท่ากับ การหมุนรอบแกน y พอดีxPz12 2 yI 11 M 3 R I 12 0 I1301212 2I 21 0 I 22 M 3 R I230121I 31 0 I 32 0I 33MR22วิธีทํา พิจารณาการหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงที่0ω ใน 2 กรณีคือ a) รอบแกน z และ b) รอบแกน y ดังนั ้น angular velocity คือDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-18 0 0 ω 0 0 0 ω aและbω0ω อาศัยสมการ (6.11) เราสามารถคํานวณพลังงานจลน์ในกรณี a) ได้ว่า3 31 1K I ωω I 00 I 00 I0ω(P)rot ij i j 11 12 13 02 i1 j12I 00 I 00 I0ω21 22 23 0 1I ω 0 I ω 0 I ω ω I ω 2231 0 32 0 33 0 0 33 02เมื่อแทน I MR จะทําให้3312142 2พลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกน z คือ MR ω ____________________ (E.1)0และในกรณี b) ซึ ่งω 0 1ω 2ω 0ω 30 พลังงานจลน์คือ3 3(P) 1 1Krot Iijωω i j I11 00 I12 0ω 0I13002 i1 j12I ω 0 I ω ω Iω 021 0 22 0 0 23 0 1I 00 I 0ω I 00 I ω 2231 32 0 33 22 01122 2เมื่อแทน I23M 3R จะได้ว่า124พลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกน y คือ M 3R ω __________ (E.2)2 2 20โจทย์ต้องการให้พลังงานในสมการ (E.1) เท่ากับในสมการ (E.2) ดังนั ้น กําหนดให้Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-19ซึ ่งเมื่อจัดรูปจะทําให้ได้ความสัมพันธ์1 MR ω 1 M 3R ω4 242 2 2 2 20 0 3R _______________________________ (E.3)เพราะฉะนั ้น ทรงกระบอกต้องยาวเป็น 3 1.732 เท่าของรัศมี จึงจะมีพลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกนทั ้งสองเท่ากัน ตอบโดยสรุปแล้ว moment of inertia Iijของวัตถุแข็งเกร็งใน 3 มิติ ประกอบด้วยตัวเลขถึง 9 ตัวด้วยกัน ความซับซ้อนที่เพิ่มขึ ้นมานี ้ มีประโยชน์ทําให้สามารถวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุได้อย่างอิสระมากยิ่งขึ ้น อาทิเช่น เราสามารถคํานวณพลังงานจลน์ของการหมุน ของวัตถุที่มี angularvelocity ω ได้โดยอาศัยสมการ (6.11) โดยมิได้จํากัดว่าแกนของการหมุนจะต้องมีลักษณะเฉพาะแบบใดแบบหนึ ่งเท่านั ้นอย่างไรก็ตาม เพื่อจะเขียน Iijให้กระชับเป็นอันหนึ ่งอันเดียวกันมากขึ ้น แทนที่จะมองว่าเป็นเพียงกลุ่มของตัวเลข 9 ตัวที่จําเป็นในการทํานายสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการหมุน เราจะได้อาศัยกลไกทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า matrix เข้ามาร่วมในการวิเคราะห์ ซึ ่งในเบื ้องต้น เป็นการดีที่เราจะได้ใช้เวลาส่วนหนึ ่ง ในการทบทวนเนื ้อหาในเรื่องของ พีชคณิตของ matrix กันเสียก่อนSection 6.3 ทบทวนพีชคณิตของ Matrix (Optional)เนื ้อหาของ matrix และ vector เป็นส่วนหนึ ่งของวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า linear algebra หรือพีชคณิตเชิงเส้น ในมุมมองของฟิสิกส์ เราได้ยืมกลไกของ matrix และ vector มาใช้ในการอธิบายปริมาณทางฟิสิกส์ในหลายกรณีด้วยกัน ยกตัวอย่างเช่น เราอธิบายแรงลัพธ์หรือความเร็วของวัตถุใน 3 มิติด้วย vector ซึ ่งในหัวข้อดังต่อไปนี ้ จะได้ทบทวนเนื ้อหาที่เกี่ยวข้องกับ matrix และ vectorอาทิ การคูณ matrix และ vector, การหา determinant, eigenvalue, และ eigenvector เป็นต้นDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-20Vectorvector คือ กลุ่มของตัวเลข ที่โดยทั่วไปเขียนให้อยู ่ในรูปของแถวในแนวตั ้ง อาทิเช่น1a 1 6 b 0 9หรือ c1c2c cNเป็น vectorจํานวนของตัวเลขภายใน vector ซึ ่งในกรณีนี ้คือจํานวนของแถว แสดงถึง "มิติ" หรือ "dimension"ของ vector ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างข้างต้น ประกอบด้วย vector ที่มี 2, 3, และ N dimensionตามลําดับจะสังเกตว่าเราใช้สัญลักษณ์ a , b , และ c แทน vector และในการอ้างถึงตัวเลขต่างๆที่เป็นสมาชิกอยู ่ภายใน เราใช้ index หรือ ดัชนีกํากับตําแหน่ง ซึ ่งแสดงถึงลําดับของแถวที่ตัวเลขนั ้นๆปรากฏอยูยกตัวอย่างเช่น a2 6 หรือ b3 9 เป็นต้นMatrixmatrix คือ การจัดกลุ่มของตัวเลขที่มีความซับซ้อนมากขึ ้นจาก vector กล่าวคือ เป็นการเขียนที่มีลักษณะทั ้งแถวควบคู่ไปกับคอลัมน์ ยกตัวอย่างเช่น 1 5A 5 2 , B 1 0 3 0 4 23 2 1 , หรือ c c cc c cC c c c1,1 1,2 1, N2,1 2,2 2, NN,1 N,2 N,Nเป็น matrixเนื่องจาก matrix มีทั ้งแถวและคอลัมน์ เราใช้ตัวเลข 2 ตัวในการบ่งบอกถึง dimension ของมัน ซึ ่งจากตัวอย่างข้างต้น ประกอบด้วย matrix ที่มี 2x2, 3x3, และ NxN dimension ตามลําดับ ในกรณีเช่นนี ้เราใช้คําว่า matrix A มี 2 แถวและมี 2 คอลัมน์ หรือ matrix C มี N แถวและมี N คอลัมน์อย่างไรก็ตาม จํานวนของแถวและจํานวนของคอลัมน์ไม่จําเป็นต้องเท่ากัน แต่ถ้าทั ้งสองมีค่าเท่ากันเราเรียก matrix นั ้นว่า square matrixDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-21โดยทั่วไปเราใช้อักษรใหญ่ Roman และมีเครื่องหมาย tilde กํากับด้านบน เพื่อแสดงถึงความเป็นmatrix ยกตัวอย่างเช่น A , B , และ C และในทํานองเดียวกันกับ dimension ของ matrix ในการอ้างถึงสมาชิกภายใน matrix เราจะใช้ตัวเลข 2 ตัวเพื่อเป็น index หรือ ดัชนีกํากับตําแหน่งที่สมาชิกนั ้นๆปรากฏอยู ่ ยกตัวอย่างเช่นA2,1 5 B3,1 3 และ B1,2 0โดยที่ index ตัวแรกแสดงถึงแถว และ index ตัวที่สองแสดงถึงคอลัมน์การคูณ Matrix และ Vectorจากที่ได้ทบทวนคํานิยามของ vector และ matrix ว่าเป็นกลุ่มของตัวเลขที่จัดวางใน 2 ลักษณะด้วยกันคือ 1) ถ้าเป็นแถวในแนวตั ้ง คล้ายกับปล้องของลําไม้ไผ่ เรียกว่า vector และ 2) มีทั ้งแถวและคอลัมน์ คล้ายกับก้อนอิฐมอญที่ก่อเป็นผนังตึก เรียกว่า matrix เราสามารถนํา matrix และ vectorมาคูณกัน ซึ ่งก็จะมีคํานิยามเฉพาะตัวของมัน แต่เพื่อป้ องกันมิให้เนื ้อหาเต็มไปด้วยคํานิยาม มิรู้จักจบสิ้น เรามาศึกษาตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม ซึ ่งมีแนวความคิดของการคูณกันระหว่าง matrix และvector ซุกซ่อนอยูนักศึกษาเคยเห็นระบบสมการที่มีหลายตัวแปร ที่เรียกว่า system of linear equations อาทิเช่นx x x 41 2 3x x 2x21 2 3x x 4x41 2 3__________________________ (6.12)ซึ ่งวัตถุประสงค์ก็คือการแก้สมการหาผลเฉลย x1, x2,x3ที่ทําให้ทั ้ง 3 สมการข้างต้นเป็นจริงอย่างไรก็ตาม เราอาจจะจัดระบบให้ตัวแปร x1, x2,x3มีลักษณะเป็น vector วางเป็นแถวในแนวตั ้งกล่าวคือ กําหนดให้ x1x x2 x 3 และ4b 2 4จะเห็นว่า นอกจาก x แล้ว เรายังได้รวบรวมเอาค่าคงที่ซึ ่งปรากฏอยู ่ทางขวามือของสมการทั ้ง 3Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-22มารวมกันเป็นลักษณะของ vector แล้วแทนด้วยสัญลักษณ์ b ในคราวนี ้พิจารณาสัมประสิทธิ ์ทั ้ง 9 ตัวที่คูณอยู ่กับ x1, x2,x3ในสมการ (6.12) เราสามารถรวบรวมตัวเลขเหล่านี ้แล้วจัดระบบให้มันอยู ่ในรูปของ matrixA 1 1 11 1 2 1 1 4ด้วยสัมประสิทธิ ์ที่จัดอยู ่ในรูปของ matrix A , ซึ ่งคูณอยู ่กับตัวแปร ที่จัดอยู ่ในรูป vector x , ตลอดจนค่าคงที่ทางขวามือของสมการ ที่อยู ่ในรูปของ vector b เราสามารถเขียนให้มีลักษณะคล้ายคลึงกับสมการ (6.12) ได้ว่า1 1 1x1 41 1 2x2 2 1 1 4 x 3 4หรือ แทนด้วยสัญลักษณ์Ax b ________ (6.13)ความสัมพันธ์ในรูปของ system of linear equations ดังในสมการ (6.12) และที่เขียนในรูปของmatrix - vector ดังสมการ (6.13) ข้างต้น ล้วนมีนัยยะเหมือนกัน เพียงแต่ลักษณะเปลือกนอกที่แตกต่างกันดังแสดงในสมการ (6.13) เรานํา matrix A มาวางไว้ข้าง vector x เพื่อเป็นการสื่อสารในเชิงสัญลักษณ์ให้เข้าใจว่า เรากําลัง "คูณ" matrix และ vector ทั ้งสองเข้าด้วยกัน ดังแสดงในภาพ (6.6)การคูณระหว่าง Matrix และ Vector 1 1 1 x1 1 1 2 x 2 1 1 4 x3(1) x 1 ( 1) x 2 (1)x3ภาพ (6.6) แสดงตัวอย่างการคูณระหว่าง matrix และ vectorหมายถึงหมายถึงหมายถึงx 1 x 2 x3x 1 x 2 2x3x 1 x 2 4x3ภาพ (6.6) แสดงตัวอย่างการคูณระหว่าง matrix ขนาด 3x3 และ vector ที่มี 3 แถว ผลลัพธ์ที่เกิดขึ ้นก็จะมีอยู ่ 3 แถวเช่นเดียวกัน กล่าวคือDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-23ผลลัพธ์แถว 1 เกิดจากการนํา x1, x2,x3มาคูณกับสมาชิกแถว 1 ของ matrix A ผลลัพธ์แถว 2 เกิดจากการนํา x1, x2,x3มาคูณกับสมาชิกแถว 2 ของ matrix A ผลลัพธ์แถว 3 เกิดจากการนํา x1, x2,x3มาคูณกับสมาชิกแถว 3 ของ matrix A หรือ เขียนในรูปทั่วไปได้ว่าผลลัพธ์แถว i เกิดจากการนํา x1 x2 x มาคูณกับสมาชิกแถว i ของ matrix A , , ,Nจากคํานิยามของการคูณดังกล่าว มีผลให้สมการที่เขียนโดยใช้สัญลักษณ์ของ matrix และ vector ดังสมการ (6.13) มีสภาพเหมือนกันกับ system of linear equations ดังในสมการ (6.12) โดยปริยายอย่างไรก็ตาม การคูณระหว่าง matrix และ vector ไม่จําเป็นจะต้องอ้างอิงอยู ่กับ system of linearequations เสมอไป ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถฝึกเชาว์ปัญญาโดยการจินตนาการ matrix B เข้ามาคูณกับ vector b โดยใช้คํานิยามของการคูณ ดังในตัวอย่างของภาพ (6.6) แล้วคอยดูว่าจะมีผลลัพธ์เช่นใดเกิดขึ ้นสมมุติให้แล้ว1 1 11 1 2 1 1 4B และ1 1 11 101 1 20 19 1 1 4 9 37หรือ1b 0 9 Bb a เมื่อ10a 19 37สมมุติให้aBb จะได้ว่าa B b B b B b1 1,1 1 1,2 2 1,3 31 1 1 1(1) 1 ( 1) 0 (1) 91 1 2 0 1 1 4 9Nหรือเขียนในรูปทั่วไป ,a B bi i j jj1คือคือคือ101937a1 a2a3Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-26หรือเขียนให้อยู ่ในรูปทั่วไปได้ว่าสมมุติให้AB C แล้วสมาชิกของ matrix C ที่ได้คือ C A B, , ,N ik i j jkj1______________________ (6.15)แบบฝึ กหัด 6.4 กําหนดให้ matrixและ BA เฉลย0 2 03 6 6 3 8 6และ1 1 24 2 115 1 131 1 11 1 2 1 1 4A และ0 1 01 1 2 1 2 2 B จงคํานวณ ABmatrix ที่มีความสําคัญ และนํามาใช้อยู ่บ่อยครั ้งในการพิสูจน์ทฤษฏีบททางคณิตศาสตร์ ก็คือ identitymatrix หรือเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ I โดยที่ matrix ดังกล่าวมีสมาชิกอยู ่ในรูปของidentity matrix1 0 00 1 0I 0 0 0 1มีสมาชิกในแถว i และคอลัมน์ j คือ ij____ (6.16)กล่าวคือ เฉพาะสมาชิกที่อยู ่ในแนวทแยงเท่านั ้น ที่จะมีค่าเท่ากับ 1 นอกนั ้นจะมีค่าเท่ากับศูนย์ด้วยเหตุนี ้เอง สมาชิกของ identity matrix จึงสามารถแทนด้วย Kronecker delta ซึ ่งมีคํานิยามดังในสมการ (6.8)identity matrix มีเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับการคูณของ matrix และ vector ก็คือ matrix หรือ vectorใดที่เข้ามาคูณกับ I จะได้ผลลัพธ์เป็นตัวมันเองเสมอ หรืออีกนัยหนึ ่งIA A และ Ia a เมื่อ I คือ identity matrix ______________ (6.17)ตัวอย่างโจทย์จงแสดงให้เห็นว่า Ia a เมื่อ I คือ identity matrixDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-27วิธีทํา อาศัยสูตรของการคูณระหว่าง matrix และ vector ในสมการ (6.14) เราเริ่มด้วยการเขียนIb aซึ ่งขั ้นตอนต่อไปก็คือการพิสูจน์ให้เห็นว่า baโดยสามารถทําได้ด้วยการพิจารณาสมาชิกของvector a ,aN bi i j jj1จากสมการ (6.16) เราแทนสมาชิกของ identity matrix ด้วย Kronecker delta i,jดังนั ้นNa b b b bi i, j j i1 1 i2 2iN Nj1จากสมการข้างต้น เมื่อกระจาย summation ออกมาให้ชัดเจน เพื่อความสะดวกในการสังเกต จะเห็นว่า เทอมจํานวนมากที่บวกกันอยู ่นั ้น ล้วนเป็นศูนย์เกือบทั ้งหมด เพราะ i, j 0 เมื่อ ijดังนั ้นจึงเหลืออยู ่เพียงเทอมเดียวคือN หรืออีกนัยหนึ ่ง aia b b bi i, j j i,i i ij1 biนั่นหมายความว่า สมาชิกทุกตัวของ vector a ย่อมเท่ากับสมาชิกทุกตัวของ vector b ดังนั ้นเรา สรุปได้ว่า ba เพราะฉะนั ้นแล้ว Ia a ตอบDeterminant ของ Matrixdeterminant เป็นตัวเลขหนึ ่งตัว ซึ ่งเป็นสมบัติเฉพาะตัวของ square matrix หรือ matrix ที่มีจํานวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน อาทิ 2x2 หรือ 3x3 ยกตัวอย่างเช่นสมมุติให้Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-29การหา Determinant ด้วยวิธีของ Sarrusacลากเส้นในแนวทแยงcbbdadคูณตัวเลขที่เส้นตัดผ่านa b cd e fg h igechfaabdeghaeibfgidbcdhdet( A ) ad cbdet( A ) aei bfg cdh gec hfa idbนําผลลัพธ์มารวมกันภาพ (6.9) แสดงขั ้นตอนการหา determinant ด้วยวิธีการ "คูณไขว้" หรือที่เรียกว่า "Rule of Sarrus"จากภาพ (6.9) ในกรณีของ matrix ขนาด 2x2 เราลากเส้นทแยง 2 เส้น หนึ ่งเส้นขึ ้นและหนึ ่งเส้นลง จากนั ้นคูณตัวเลขที่แต่ละเส้นตัดผ่านเข้าด้วยกัน นําผลลัพธ์ทั ้ง 2 มารวมกัน โดยมีหลักการว่าเทอมที่มาจากเส้นขึ ้นให้ติดลบ และที่มาจากเส้นลงให้เป็นบวกในกรณีของ matrix ขนาด 3x3 ก็คล้ายคลึงกัน นําคอลัมน์ที่ 1 และ 2 มาเขียนซํ ้าด้านขวามือของmatrix เดิม จากนั ้นลากเส้นทแยง 6 เส้น สามเส้นขึ ้นและสามเส้นลง เมื่อคูณตัวเลขที่แต่ละเส้นพาดผ่านเข้าด้วยกัน ทําให้ได้ 6 เทอม สุดท้ายนําผลลัพธ์ทั ้ง 6 มารวมกัน โดยมีหลักการว่า เทอมที่มาจากเส้นขึ ้นให้ติดลบ และที่มาจากเส้นลงให้เป็นบวกยกตัวอย่างเช่น ในกรณีของA 1 1 11 1 2 1 1 4เราสามารถสร้างแผนภาพของการคูณไขว้ในทํานองเดียวกันกับภาพ (6.9) ได้ว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-3012 41 1 11 1 21 1 41 11 11 14 21ให้สังเกตว่า เทอมในแนวทแยงขึ ้นด้านบน ผลคูณจะมีค่าติดลบ และเมื่อนําเทอมทั ้ง 6 มารวมกันA ซึ ่งก็ตรงกันกับที่ได้เกริ่นไว้ในสมการ (6.18)จะทําให้ det( ) 4 2 112 4 6แบบฝึ กหัด 6.5 กําหนดให้ matrixเฉลย det( A ) 10 1 21 1 1 1 2 2A จงคํานวณ det( )A Eigenvector และ Eigenvalue ของ Matrixในเนื ้อหาของการคูณระหว่าง matrix และ vector เราได้เห็นว่า เมื่อ vector เข้ามาคูณกับ matrix จะทําให้เกิดเป็น vector อันใหม่ขึ ้นมา ยกตัวอย่างเช่น เมื่อกําหนดให้matrixA 6 2 2 9 แล้วนํา vector 1 เข้ามาคูณจะส่งผลให้ เกิดเป็น vector 4 1 7 หรือในรูปของสมการ 6 21 4 2 91 7 อย่างไรก็ตาม ปรากฏว่ามี vector ที่มีคุณสมบัติพิเศษอยู ่จํานวนหนึ ่ง ที่แม้ว่าเข้ามาคูณกับ matrix A ผลลัพธ์ที่ได้กลับยังคงเป็น vector ตัวเดิม คูณอยู ่กับค่าคงที่ เพื่อให้เห็นตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมมากขึ ้น พิจารณา vector 2 อันด้วยกัน2 1 a 1และ21a 2 Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-31จะสังเกตว่า เมื่อนํา vector ทั ้งสองมาคูณกับ matrix A จะสามารถเขียนผลลัพธ์ให้อยู ่ในรูปของ 6 22 9 21 10255 1 และ 6 22 9 11012 10 20 2 ______________________ (6.21)หรือแทนด้วยสัญลักษณ์Aa1 5aและ 1Aa 10a2 2เราเรียก vector ที่มีสมบัติพิเศษเช่นนี ้ว่า eigenvector ของ matrix A และเรียกค่าคงที่ ซึ ่งปรากฏอยู ่ด้านขวามือของสมการกว่า eigenvalue จากตัวอย่างข้างต้น a 1เป็น eigenvector ของ matrix A และมี eigenvalue เท่ากับ 5 ในขณะเดียวกัน a 2ก็เป็น eigenvector ของ matrix A แต่มีeigenvalue เท่ากับ 10 เช่นนี ้เป็นต้นซึ ่งเราสามารถเขียนให้อยู ่ในรูปทั่วไปได้ว่าเมื่อ matrix A และ vector a มีความสัมพันธ์กันดังสมการAa aเราเรียก a ว่าเป็น eigenvector ของ matrix A ซึ ่งมี eigenvalue เท่ากับ และสมการข้างต้น มีชื่อเรียกโดยทั่วไปว่า "eigen equation"______________________ (6.22)แบบฝึ กหัด 6.6 จงแสดงให้เห็นว่า vectoreigenvector ของ matrix2a 11 , b 3 1 2 1 1 11 1 2 1 1 4, และA พร้อมทั ้งหา eigenvalue0c 1 1ล้วนเป็นเฉลย อาศัยการคูณในทํานองเดียวกันกับตัวอย่างดังสมการ (6.21) eigenvalue คือ 1 , 2 , และ 3Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-32เมื่อพิจารณา square matrix A เราสามารถคํานวณหา eigenvector ตลอดจน eigenvalue ของมันได้โดยเริ่มจากคํานิยามในสมการ (6.22)Aa a Ia ในสมการข้างต้น เราแทน vector a ด้วย Ia เพราะ identity matrix I เมื่อคูณกับ vector ใด ก็ย่อมได้ vector เดียวกันกลับคืนมา และเมื่อจัดรูปของสมการข้างต้น จะได้ว่าAa Ia 0 AIaเพื่อที่จะคํานวณ eigenvalue เราจําเป็นจะต้องอ้างถึงทฤษฏีบททางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับวิชาlinear algebra ซึ ่งในที่นี ้จะนํามาใช้โดยไม่มีการพิสูจน์ กล่าวคือ สมการข้างต้นจะเป็นจริงได้ ก็A I จะต้องมีค่าเป็นศูนย์ หรือเขียนในรูปของสมการได้ว่าต่อเมื่อ determinant ของ matrix det AI 0 ถ้า คือ eigenvalue ของ matrix A ____________ (6.23)เราสามารถใช้เงื่อนไขของสมการ (6.23) ข้างต้น ในการคํานวณ eigenvalue ของ matrix ดังจะได้แสดงในตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดต่อไปนี ้กําหนดให้ matrix 6 2 2 9 ตัวอย่างโจทย์A จงคํานวณ eigenvalue ของมันวิธีทํา จากสมการ (6.23) เราเริ่มด้วยการสร้าง matrix A Iเพราะฉะนั ซึ ่งก็คือ 6 2 1 0 62A I 2 9 0 1 2 9 62det 6 9 4 50 152 9้น AI สมการ (6.23) ทําให้เราสร้างสมการ 2 และจากDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-33250 15 0ซึ ่งมีลักษณะเป็น quadratic equation หรือพหุนามกําลังสอง ที่เราสามารถแก้หาผลเฉลยของ ได้ว่าeigenvalue 5 และ 10 และสอดคล้องกับตัวอย่างที่ได้แสดงในสมการ (6.21) ตอบแบบฝึ กหัด 6.7 จงหา eigenvalue ของ matrixเฉลย อาศัยสมการ (6.23) เพื่อสร้างสมการ3 2 1, 2, 31 1 1A 1 1 2 1 1 4 6 116 0 ซึ่งจะนําไปสู ่ผลเฉลยก่อนที่จะกล่าวถึงขั ้นตอนในการวิเคราะห์หา eigenvector เราจะมาศึกษาสมบัติสําคัญของมันที่มักทําให้นักศึกษามีความสับสนอยู ่ไม่น้อย กล่าวคือ เมื่อเรานํา eigenvector มาคูณด้วยค่าคงที่ผลลัพธ์ที่ได้จะยังคงเป็น eigenvector อยู ่เช่นเดิม ซึ ่งจะได้ขยายความดังต่อไปนีพิจารณา matrix A ดังตัวอย่างที่ปรากฏในสมการ (6.21) เมื่อ eigenvalue มีค่าเท่ากับ 5 จะมีeigenvector คือ1a 2 1 4 2 ในคราวนี ้พิจารณาอีก 2 vector ด้วยกันคือ a 1, และ1เมื่อทดลองคูณ vector ทั ้ง 3 กล่าวคือ a 1, a 1,a เข้ากับ matrix A จะพบว่า123a 13 6 22 9 21 102 55 1 6 22 9 42 204 510 2 6 22 9 2310 32313 5 53 13 นั่นหมายถึง a 1, a 1,a ล้วนเป็น eigenvector ของ matrix A ทั1้งสิ้น และมี eigenvalue เท่ากันคือDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-34 5 ถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่า a 1, a 1,a มีความสัมพันธ์กันอยู1่ กล่าวคือ a 2a1 11 3และ a 1 a1นี ้เองคือสมบัติประการหนึ ่งของ eigenvector ที่เมื่อเรานํามาคูณด้วยค่าคงที่ ผลลัพธ์ที่ได้จะยังคงเป็น eigenvector อยู ่เช่นเดิมแบบฝึ กหัด 6.8 จงอาศัยคํานิยามในสมการ (6.22) เพื่อพิสูจน์ให้เห็นว่า ถ้า a เป็น eigenvectorของ matrix A แล้ว b a ก็เป็น eigenvector เช่นเดียวกัน เมื่อ คือค่าคงที่ใดๆวกกลับมาที่กระบวนการในการวิเคราะห์หา eigenvector ภายหลังจากที่เราได้ทราบวิธีการคํานวณeigenvalue เรียบร้อยแล้ว อาศัยตัวอย่างของ matrix A ในสมการ (6.21) สมมุติให้เราทราบแล้วว่าหนึ ่งใน eigenvalue ก็คือ 5กําหนดให้ eigenvector ที่สอดคล้องกับ eigenvalue ดังกล่าว เขียนอยู ่ในรูปa 1x y เมื่อ x,y เป็นสมาชิกของ eigenvector ที่เราต้องการคํานวณ เพื่อจะแก้สมการหา x,y เราแทน a 1กลับเข้าไปในสมการ (6.22) โดยกําหนดให้ 5 ซึ ่งจะได้ 6 2x x 52 9y y หรือเขียนให้อยู ่ในลักษณะของ system of equations ได้ว่า6x 2y 5x2x 9y 5yและเมื่อจัดรูป จะนําไปสู ่ความสัมพันธ์Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-35x 2yข้างต้นนี ้เอง เป็นสมการที่สามารถใช้ในการวิเคราะห์หา eigenvector ในกรณีที่ eigenvalue 5จะเห็นว่า เรามีสิทธิ ์ที่จะเลือกกําหนดค่าของ y ให้เป็นเท่าใดก็ได้ และสมการข้างต้น จะเป็นตัวตัดสินค่าของ x ที่จะตามมา อาทิเช่น ลองพิจารณาค่าของ y ใน 3 ตัวอย่างด้วยกัน1) กําหนดให้ y 1 ได้ x 2 ดังนั ้น12) กําหนดให้ y 2 ได้ x 4 ดังนั3) กําหนดให้ y 13 ได้ x 23 ดังนัa ้น1a ้น1a 2 1 4 2 23 13 จะเห็นว่า ทั ้ง 3 ตัวอย่างข้างต้น ล้วนเป็น eigenvector ที่มี eigenvalue 5 ทั ้งสิ้น ซึ ่งสาเหตุที่มีeigenvector อยู ่จํานวนนับไม่ถ้วน ก็เพราะสมบัติพิเศษของ eigenvector ที่ได้กล่าวไว้แล้วในแบบฝึ กหัด 6.8 นั่นเองกําหนดให้ matrix 6 2 2 9 ตัวอย่างโจทย์A จงคํานวณ eigenvalue และ eigenvector ของมันวิธีทํา จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เราได้ใช้สมการ AI ในการคํานวณ eigenvaluedet 0และพบว่ามีค่าเท่ากับ 5 และ 10 และในกรณี 5 เราก็ได้กล่าวถึงขั ้นตอนการคํานวณ2 1 eigenvector ซึ ่งก็คือ a 1คงเหลือเพียงกรณี 10 ที่จะต้องแสดงวิธีทําเริ่มด้วยการสมมุติให้ eigenvector อยู ่ในรูปของa 2x y แทน a 2ลงในสมการ (6.22) โดยกําหนดให้ 10 จะได้Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-36 6 2x x 102 9y y หรือเขียนให้อยู ่ในลักษณะของ system of equations ได้ว่า6x 2y 10x2x 9y 10yและเมื่อจัดรูปจะนําไปสู ่ความสัมพันธ์yx 2เมื่อลองสมมุติให้ y 2 สมการข้างต้นก็จะบังคับให้ x 1 เพราะฉะนั ้น eigenvector ในกรณีนี ้ ก็คือ2a 1 2 ทําให้เราสรุปผลลัพธ์ทั ้งหมดได้ว่าmatrix 6 2 2 9 A eigenvector คือ1a eigenvector คือ2a 2 1 1 2 ซึ ่งมี eigenvalue 5ซึ ่งมี eigenvalue 10 ตอบแบบฝึ กหัด 6.9 กําหนดให้ matrix 3 1 1 3 เฉลย eigenvalue 2 มี eigenvector1A จงคํานวณ eigenvalue และ eigenvector ของมันeigenvalue 4 มี eigenvector2a a 1 1 1 1 และสมบัติทางคณิตศาสตร์ของ Eigenvector และ Eigenvalueก่อนที่จะวกกลับไปยังเนื ้อหาของวิชาฟิสิกส์ที่ว่าด้วยวัตถุแข็งเกร็ง ซึ ่งจะต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับeigenvector พอสมควร เราจําเป็นจะต้องเข้าใจสมบัติของ eigenvector และ eigenvalue และเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เหล่านี ้จะเป็นเครื่องมือสําคัญในการทําความเข้าใจในธรรมชาติการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-37ด้วยข้อจํากัดของเวลา เราจะเรียนรู้ทฤษฏีบทที่เป็นเอกลักษณ์ของ eigenvector เหล่านี ้ โดยปราศจากการพิสูจน์ ทั ้งนี ้ นักศึกษาสามารถศึกษาเพิ่มเติมในเนื ้อหาที่เกี่ยวข้องกับ linear algebraจากหนังสือที่เป็นสากลในวิชาฟิสิกส์และวิศวกรรม อาทิเช่น Kreyszig, "Advanced EngineeringMathematics"ทฤษฏีบท 1) matrix ขนาด NxN จะมี eigenvalue ได้อย่างมากที่สุด N ค่าที่แตกต่างกัน_____________________ (6.24)ในตัวอย่างที่ผ่านมา เราได้เห็นการคํานวณ eigenvalue ของ square matrix ขนาด 2x2 และ 3x3 จะพบว่ามีจํานวน eigenvalue อยู ่ 2 และ 3 ตัว ตามลําดับ อาทิเช่นmatrix ขนาด 2x2matrix ขนาด 3x3matrix ขนาด 4x4 6 2 2 9 1 1 11 1 2 1 1 414 8 0 68 12 4 0 0 4 6 2 6 0 2 8A มี 2 eigenvalue คือ 5,10A มี 3 eigenvalue คือ 1, 2, 3A มี 4 eigenvalue คือ 0,10,15 65แม้ว่าโดยส่วนใหญ่แล้ว จํานวน eigenvalue จะเท่ากับ dimension ของ matrix ที่เรากําลังพิจารณากล่าวคือ matrix ขนาด 3x3 จะมี 3 eigenvalue แต่ในบางครั ้ง eigenvalue มีค่าซํ ้ากัน ดังจะได้เห็นในตัวอย่างต่อไปนีพิจารณา matrix2 2 32 1 61 2 0 A เมื่ออาศัยสมการ AI จะนําไปสูdet 03 2 21 45 0เพื่อแก้สมการหาค่าของ เราทําการแยกตัวประกอบ 3 2 21 45 0 5 3 3Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-38นั่นหมายความว่า matrix A ขนาด 3x3 ที่เรากําลังพิจารณา มี eigenvalue คือ 5, 3, 3เนื่องจากมีการซํ ้ากันของ eigenvalue จึงมีค่าที่แตกต่างกันอยู ่เพียง 2 ค่าเท่านั ้น ด้วยเหตุนี ้เองทฤษฏีบทดังสมการ (6.24) จึงเขียนโดยใช้วลีที่ว่า "อย่างมากที่สุด N ค่าที่แตกต่างกัน" เพราะจํานวนeigenvalue ที่แตกต่างกัน อาจมีค่าน้อยกว่า dimension ของ matrix ก็เป็นได้แบบฝึ กหัด 6.10 กําหนดให้ matrix2 2 32 1 61 2 0 1a 2 1 21 0 เฉลย eigenvalue 5 มี eigenvector1A จงคํานวณ eigenvalue และ eigenvectoreigenvalue 3 มี eigenvector a 2และ3a 30 1ทฤษฏีบท 2) eigenvalue ของ symmetric matrix เป็นจํานวนจริงเสมอ_____________________ (6.25)symmetric matrix หรือ matrix สมมาตร มีลักษณะพิเศษที่พบบ่อยมากในเนื ้อหาวิชาฟิสิกส์กล่าวคือ สมาชิกในซีกบนขวาจะต้องเหมือนกันกับที่อยู ่ในซีกล่างซ้าย ยกตัวอย่างเช่น1 55 2 หรือ2 2 32 1 93 9 0หรือ14 8 0 68 12 4 00 4 6 26 0 2 8 ต่างก็เป็น symmetric matrix2 2 32 1 9 หรือ 5 9 0 หรือ1 25 214 2 0 68 12 4 10 4 6 26 0 2 8ล้วนไม่เป็น symmetric matrixนอกจากเราจะตรวจสอบว่า matrix ใดเป็น symmetric โดยอาศัยการสังเกตด้วยตา ในทางDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-39คณิตศาสตร์ จะพบว่าในกรณีของ matrix ขนาด NxN นั ้น สมาชิกที่อยู ่ฝั่งตรงกันข้าม จะมีเลขดัชนีของแถวและคอลัมน์สลับกัน ดังแสดงในภาพข้างล่าง. . . . .. . . .aij. . . . .. aji. . .. . . . .แถว i คอลัมน์ jแถว j คอลัมน์ iเพราะฉะนั ้น เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้กระชับรัดกุมได้ว่าsymmetric matrix A มีสมาชิก aij a _________________ (6.26)jiทฤษฏีบทที่ 2 ดังสมการ (6.25) บอกให้เราทราบว่า เมื่อใดก็ตามที่ทําการคํานวณหา eigenvalue ของsymmetric matrix จะได้คําตอบเป็นจํานวนจริงเสมอ การที่ eigenvalue เป็นจํานวนจริง มีความสําคัญมากในวิชาฟิสิกส์ก็เพราะว่า เมื่อเราต้องการแทนปริมาณทางฟิสิกส์ด้วยตัวเลข อาทิเช่นมวล พลังงาน ระยะทาง หรือ ความเร็ว ปริมาณเหล่านี ้จะเป็นจํานวนจินตภาพหรือจํานวนเชิงซ้อนไม่ได้ คงจะผิดธรรมชาติเป็นอย่างมาก ถ้าเราไปตลาดแล้วบอกแม่ค้าว่า "เอามะม่วง 1 2i กิโลกรัมเมื่อ 1i "และเพื่อเป็นการเปรียบเทียบ เราจะได้ยกตัวอย่าง symmetric matrix และ non-symmetric matrixและแสดง eigenvalue ของ matrix เหล่านี ้symmetric matrixsymmetric matrix1 1 1 1 0 1 01 0 1 0 1 0A มี eigenvalue คือ 0, 2 (จํานวนจริงล้วน)A มี eigenvalue คือ 0, 2 (จํานวนจริงล้วน)matrixmatrix2 1 1 2 2 2 12 1 2 1 0 0 A มี eigenvalue คือ 2 i (จํานวนเชิงซ้อน)A มี eigenvalue คือ 1, 1 2i (จํานวนเชิงซ้อน)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-40จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นได้ชัดเจนว่า symmetric matrix จะมี eigenvalue เป็นจํานวนจริงทั ้งหมดซึ ่งแตกต่างจากในกรณีของ non-symmetric matrix ซึ ่ง eigenvalue มีลักษณะเป็นจํานวนเชิงซ้อนทฤษฏีบท 3) symmetric matrix ขนาด NxN มีอยู ่ N eigenvector ที่ล้วนตั ้งฉากซึ ่งกันและกัน_____________________ (6.27)พิจารณา eigenvector ของ symmetric matrix ดังต่อไปนี ้symmetric matrixsymmetric matrix 6 2 2 9 1 1 1 1 2 1 1 1 A มี eigenvector a 1และ2B มี eignevector b 1และ2a b 1 2 1 1 _____________________ (6.28)ถ้าเราทําการวาด eigenvector ทั ้งสอง ลงบนพิกัด Cartesianจะพบว่า eigenvector ของ symmetric matrix A และ B มีคุณสมบัติพิเศษคือ มันตั ้งฉากกัน หรืออีกนัยหนึ ่งa a1 2และ b1 b2นอกจากอาศัยการวาดภาพ ในทางคณิตศาสตร์ การจะตรวจสอบว่า vector มีทิศทางตั ้งฉากกันสามารถทําได้โดยอาศัย dot product กล่าวคือ ถ้า uv 0แล้ว uv_____________________ (6.29)และเมื่อเรานํา a1,a2product จะพบว่า ซึหรือ b1,b2่งล้วนเป็น eigenvector ของ symmetric matrix มาคํานวณ dotDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-41 2 1a1a2 2201 2 1 1 11011 และ b1 b2ซึ ่งก็สอดคล้องกับทฤษฏีบทที่ 3 ในสมการ (6.27) ที่กล่าวว่า eigenvector ของ symmetric matrixจะต้องตั ้งฉากกัน เพื่อให้เห็นตัวอย่างในกรณีของ symmetric matrix ขนาด 3x3 พิจารณาeigenvector ของsymmetric matrix 5 2 6 2 9 2 6 2 25C มี eigenvector1 4 c 11 ,25 11 c , และ3c 2 1 7 _____________________ (6.30)และเมื่อเราทําการคํานวณ dot product จะพบว่าc1c2 0c1c3 0และ c2c3 0ซึ ่งหมายถึง eigenvector ทั ้ง 3 ของ symmetric matrix ล้วนตั ้งฉากซึ ่งกันและกัน นั่นเองประโยชน์ที่สําคัญของทฤษฏีบทที่ 3 เมื่อนํามาประยุกต์ในวิชาฟิสิกส์ ก็คือการสร้างกรอบอ้างอิงในพิกัด Cartesian กล่าวคือ แม้ว่าโดยทั่วไปเราจะทําการวาดแกน x, y, (หรือ z) ในพิกัด Cartesianในลักษณะเป็นเส้นนอนในแนวราบ และเส้นตั ้งตรงในแนวดิ่ง แต่ก็ไม่มีความจําเป็นเสมอไป เราอาจเลือกที่จะวาดแกน x, y, และ z ให้อยู ่ในแนวเอียง ก็มิได้ผิดกติกาแต่อย่างใด ขอเพียงแกนทั ้ง 3ล้วนตั ้งฉากซึ ่งกันและกัน ก็เพียงพอแล้วDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-42การใช้ eigenvector ของ symmetric matrix วาดแกนของพิกัด Cartesiana 2yc 32ya 1xc 1xyb 21b xภาพ (6.10) แสดงการใช้ eigenvector ของ symmetric matrix A , B , และ C ในการวาดแกนทั ้ง3 ของพิกัด Cartesianzc ดังแสดงในภาพ (6.10) เงื่อนไขที่ว่า ขอเพียงแกนทั ้ง 3 ล้วนตั ้งฉากซึ ่งกันและกัน สอดคล้องกันพอดีกับทฤษฏีบทที่ 3 ในสมการ (6.27) ทําให้เราสามารถนํา eigenvector ของ symmetric matrixมาใช้ในการวาดแกน x, y, และ z ในพิกัด Cartesian ได้เนื ้อหาที่เกี่ยวข้องกับ matrix และ vector ในวิชา linear algebra โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับการหา eigenvector จะมีบทบาทสําคัญในการกําหนดกรอบอ้างอิงที่เหมาะสม หากพิจารณาวัตถุแข็งเกร็งชิ้นหนึ ่ง ทั ้งที่มีรูปร่างในเชิงเรขาคณิตอย่างง่าย อาทิเช่น ทรงกลม ลูกบาศก์ และ ปิรามิด หรือรูปร่างซับซ้อนเช่นเก้าอี ้ หรือไวโอลิน ก็ตาม ปัญหาที่เราต้องวิเคราะห์ก็คือ จะใช้กรอบอ้างอิงใด ในการอธิบายชิ้นส่วนต่างๆที่ประกอบกันขึ ้นเป็นวัตถุชิ้นนี ้ หรืออีกนัยหนึ ่ง เราจะลากแกน x, y, z ในพิกัด Cartesian อย่างไร จึงจะทําให้กระบวนการทางคณิตศาสตร์ ที่จะตามมาในภายหลัง เมื่อเราต้องวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของมัน ง่ายที่สุด เท่าที่จะเป็นได้ ซึ ่งจะได้ขยายความในลําดับต่อไปSection 6.4 Moment of Inertiaภายหลังจากที่ได้ทบทวน รื ้อฟื ้นความเข้าใจเกี่ยวกับ matrix และ vector มาพอสมควร เราก็มีความพร้อมที่จะนําเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เหล่านี ้มาประยุกต์ใช้กับวัตถุแข็งเกร็งได้คล่องแคล่วยิ่งขึ ้นเมื่อพิจารณาพลังงานจลน์ของการหมุนรอบจุด pivot point ของวัตถุแข็งเกร็ง เราทราบแล้วว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-43K(P)rot123 3 i1 j1Iωωij i jเมื่อ I 2ij m ijr rirj คือ moment of inertia หรือ บางครั ้งเรียกว่า inertia tensor เป็นสมบัติเฉพาะตัวของวัตถุแข็งเกร็ง ซึ ่งขึ ้นอยู ่กับลักษณะการกระจายตัวของอนุภาค หรือ เนื ้อสารที่ประกอบกันขึ ้นเป็นวัตถุ ว่าประกอบด้วยมวล m มากน้อยเท่าใด และตั ้งอยู ่ ณ ตําแหน่ง r ใดเดิมเรามอง moment of inertia Iijเป็นเพียงตัวเลข 9 ตัวที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติการหมุนของวัตถุอย่างไรก็ตาม เราสามารถมอง Iijเป็นสมาชิกของ matrix ขนาด 3x3 และเมื่อผนวกกับคํานิยามของมันในสมการ (6.10) สามารถเขียนให้อยู ่ในรูปของmoment of inertiaI 2 2m r r m r r m r r mr r m r r mr r 2 3 1 2 1 3 (P) 2 2 1 2 1 3 2 3 mr r mr r m r r2 2 1 3 2 3 1 2 _____________________ (6.31)อีกเช่นเคย เราใช้ superscript (P) ก็เพื่อกํากับให้ชัดเจนว่า pivot point เป็นจุดกําเนิดในการอ้างถึงพิกัดของอนุภาคที่ประกอบกันขึ ้นเป็นวัตถุแข็งเกร็งแบบฝึ กหัด 6.11 จงพิสูจน์ว่าเทอมในแนวทแยงของ matrix ในสมการ (6.31) สอดคล้องกับสมการ(6.10)(P)และเมื่อมอง moment of inertia I ให้อยู ่ในรูปของ symmetric matrix ผนวกกับ angular velocityω ก็อยู ่ในรูปของ vector เพราะฉะนั ้น เราสามารถที่จะเขียนพลังงานจลน์ของการหมุนดังสมการ(6.11) เสียใหม่ ให้มีรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่กระชับรัดกุม โดยใช้รูปแบบสัญลักษณ์ของการคูณmatrix-vector และ dot product ได้ว่า(P) 1 Krot 2(P)ω I ω _____________________ (6.32)แบบฝึ กหัด 6.12 จงแสดงให้เห็นว่า เมื่อกระจายการคูณ matrix-vector และ dot product ของเทอมDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-44ในสมการ (6.32) ออกมาโดยตรง จะให้ผลลัพธ์เท่ากับพลังงานจลน์ในสมการ (6.11) โดยปริยายแบบฝึ กหัด 6.13 จงแสดงให้เห็นว่า เมื่อวัตถุมวล m กําลังเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง ซึ ่งมีความเร็วแทนด้วย vector v เราสามารถเขียนพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ดังกล่าว ให้อยู ่ในรูปK 12 vmv2บอกใบ้: เริ่มจากสูตรพลังงานจลน์1 2 mv ที่เราคุ้นเคย จากนั ้นเปลี่ยนให้อยู ่ในรูปของ vector(P)ให้สังเกตว่า inertia tensor I อยู ่ในรูปของ matrix ขนาด 3x3 ซึ ่งมีสมาชิกถึง 9 ตัว และมีความซับซ้อนอยู ่พอสมควร ดังนั ้นการจะคํานวณปริมาณเหล่านี ้ให้ถูกต้อง ต้องใช้ความละเอียดและ(P)อดทน อย่างไรก็ตาม จากคํานิยามในสมการ (6.31) moment of inertia I มีลักษณะเป็นsymmetric matrix เพราะฉะนั ้น เราจําเป็นจะต้องคํานวณสมาชิกเพียง 6 ตัวด้วยกัน คือ I11, I22,I33และ I12, I13,I23ส่วนในกรณีของ I21, I31,I32สามารถใช้ความสมมาตรของ symmetric matrixที่ว่า Iij Ijiมาใช้ให้เป็นประโยชน์Moment of Inertia ของระบบอนุภาค(P)เพื่อเป็นตัวอย่างในการคํานวณ inertia tensor I ดังสมการ (6.31) พิจารณาวัตถุแข็งเกร็งที่ประกอบด้วย 3 อนุภาคดังแสดงในภาพ (6.11)ลูกเหล็กฝังแน่นอยู่ในแผ่นพลาสติกเบามาก และจุดหมุนอยู่ ณ มุมล่างซ้ายym 3m2พลาสติกเบามากm 1r 01 0xr2 0r 3 0 0Moment of InertiaI ?Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-45ภาพ (6.11) ตัวอย่างแสดงขั ้นตอนในการคํานวณ moment of inertia ของวัตถุแข็งเกร็ง ที่ประกอบด้วยหลายอนุภาคภาพ (6.11) แสดงวัตถุแข็งเกร็งที่ประกอบด้วยแผ่นพลาสติกเบามาก และฝังลูกเหล็ก 3 ลูกยึดแน่นกับแผ่นพลาสติก โดยเราจะมองว่าระบบดังกล่าวประกอบด้วย 3 อนุภาค m1, m2,m3ตั ้งอยู ่ ณตําแหน่งดังแสดงในภาพเมื่อกําหนดให้จุดหมุน หรือ pivot point เป็นจุดกําเนิด เราทําการลากแกน x, y, และ z ในพิกัดCartesian ลงบนวัตถุ และตําแหน่งของอนุภาคทั ้ง 3 ก็คือr1 0 0, r2 00 0 , และ r 3 _____________________ (6.33)และเพื่อความสะดวก กําหนดให้m1 m2 m3 m _____________________ (6.34)ในลําดับต่อไป เราจะได้ฝึกใช้ข้อมูลในสมการ (6.33) และ (6.34) เพื่อคํานวณ moment of inertia(P)I ดังนิยามในสมการ (6.31) เนื่องจากรายละเอียดของการคํานวณมีมาก เราทําการสร้างตารางจํานวน 2 ตารางด้วยกัน เพื่อความเป็นระเบียบและป้ องกันความผิดพลาด m r 1 r 2 r 3mr 1 r 2 mr 1 r 3 mr 2 r31 m 1 0 00 0 022 m 0m0 023 m 0 00 0 0รวม3m20 0 mr r mr r mr r 1 2 1 3 2 3 ในการสร้างตารางแรก ประกอบด้วย 3 ขั ้นตอนคือ1) เราเริ่มด้วยการกรอกข้อมูลดิบ ของมวล m และตําแหน่ง r 1, r2,r 3ของแต่ละอนุภาคDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-462) นําข้อมูลดิบ มาทําการคํานวณ mr 1r2, mr 1r3,mr 2r3(P)3) รวมข้อมูลของทุกอนุภาค ในแถวสุดท้าย ซึ ่งจะนําไปสู ่สมาชิก I12, I13,I23ของ I และเพื่อที่จะคํานวณสมาชิกอีก 3 ตัวคือ I11, I22,I33นําข้อมูลในตารางแรก มาสร้างเป็นตารางที่สองดังต่อไปนี ้2 2 2 m r 1 r 2 r31 m 120 02 2 m 2203 m 30 20รวม2mr mr mr2 2 2 1 2 3mm2 220 0m00 m02 2 m22 m0 mr mr mr2 2 2 1 2 3 การสร้างตารางที่สอง ประกอบด้วย 3 ขั ้นตอนด้วยกันคือ2 2 21) นําข้อมูลดิบมาทําการคํานวณ r 1, r2,r322 2 22) นํา r ในข้อ (1) มาหาคูณด้วยมวล mr 1, mr 2,mr 3(P)3) รวมข้อมูลของทุกอนุภาค ในแถวสุดท้าย ทําให้เราทราบสมาชิก I11, I22,I33ของ I (P)และเมื่อรวบรวมผลลัพธ์จากทั ้งสองตารางเข้าด้วยกัน ทําให้เราทราบ moment of inertia I ของวัตถุแข็งเกร็งดังในภาพ (6.11) ซึ ่งก็คือกรณีของภาพ (6.11)2 22mm0 (P) 2 2 I m 2m0 20 0 4m _____________________ (6.35)นี ้เองคือขั ้นตอนโดยสังเขปในการคํานวณ moment of inertia ซึ ่งจะเป็นจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง ว่ามันตวัดฟัดเหวี่ยงหมุนคว้างอยู ่ในลักษณะใด และถือได้ว่าเป็นบทวิเคราะห์ที่ยากที่สุดอันหนึ ่ง ของวิชาฟิสิกส์ในระดับอุดมศึกษาเลยทีเดียว โดยที่เราจะได้ฝึกให้ชํานาญโดยอาศัยตัวอย่างโจทย์ และ แบบฝึกหัดดังต่อไปนี ้Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-47แบบฝึ กหัด 6.14 ลูกเหล็กฝังแน่นในแผ่นพลาสติกเบาคล้ายคลึงกับ หากแต่กําหนดให้อยู ่ในแนวเฉียงดังแสดงในภาพ จงแสดงว่า moment of inertia ในพิกัดดังกล่าว มีค่าเท่ากับym 3m2xm 1I2m0 0 0 3m0 20 0 4m (P) 2________________ (6.36)ตัวอย่างโจทย์พิจารณาวัตถุแข็งเกร็งดังในภาพ (6.11) เพียงแต่แทนที่จะมีรู ณ มุมล่างซ้ายทําหน้าที่เป็นจุดหมุน(P)เราเจาะรูป ณ กึ ่งกลางของแผ่นพลาสติก และกําหนดให้เป็น pivot point แทน จงคํานวณ I ym 3m2xm 1วิธีทํา จากข้อกําหนดที่ว่า เราจะต้องกําหนดให้จุดหมุน หรือ pivot point เป็นจุดกําเนิด เมื่อpivot point มาอยู ่ ณ กึ ่งกลางของของแผ่นพลาสติก เราจําเป็นต้องเลื่อนแกน x, y, และ z มาอยู ่ ณตําแหน่งดังแสดงในภาพแม้ตําแหน่งของลูกเหล็กยังเหมือนเดิมกับในภาพ (6.11) แต่เมื่อจุดกําเนิดเปลี่ยนไป ส่งผลให้ตัวเลขบอกพิกัดของ vector r 1, r 2,r เปลี่ยนไปด้วยเช่นกัน กล่าวคือ3 2 2r1 2 , r22 0 0 , และ3 2r 2 0 ในขณะที่ขนาดของมวล ยังคงเดิม กล่าวคือDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-48m1 m2 m3 mและเมื่อนําข้อมูลดิบข้างต้น มาสร้างเป็นตาราง เพื่ออํานวยความสะดวก ในการหา moment ofinertia จะได้ว่า m r 1 r 2 r 3mr 1 r 2 mr 1 r 3 mr 2 r31 m 12 2 0 m2 4 0 02 m 2 2 2 0 m2 4 0 03 m 3 2 2 0 m2 4 0 0รวมm2 4 0 0และ2 2 2 m r 1 r 2 r31 2 m 14 24 02 2 m 24 24 03 m 2 34 24 0รวม mr r mr r mr r 1 2 1 3 2 3 mr mr mr2 2 2 1 2 3mmm4 m4 02 24 m4 02 24 m4 02 22 23 m4 3 m4 0 mr mr mr2 2 2 1 2 3 (P)ซึ ่งเมื่อรวบรวมผลลัพธ์ภายในเครื่องหมาย summation เข้าด้วยกัน ก็จะได้ moment of inertia I ในกรณีที่จุดหมุน เลื่อนมาอยู ่ ณ กึ ่งกลางของจัตุรัสพอดีภาพ (6.11) โดยจุดหมุนอยู ่ ณ กึ ่งกลางพอดี(P) 2I m 423m4 02 23m4 m4 020 0 3m 2ตอบ_____________________ (6.37)Moment of Inertia ของวัตถุที่มีรูปทรงจากแบบฝึกหัดและตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เราได้ทําความเข้าใจกับการคํานวณ moment of inertia(P)I เฉพาะในกรณีที่ระบบประกอบด้วยอนุภาคที่นับได้ แต่ในบางครั ้งวัตถุที่กําลังพิจารณา มีลักษณะเป็นเนื ้อเดียวกันโดยตลอด ซึ ่งเราจําเป็นต้องใช้กระบวนการทาง calculus เข้ามาช่วยในการDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-49(P)คํานวณ inertia tensor I Inertia Tensor ของวัตถุเนื้อเดียวกันIm r r12 1 2dV()r x ydm()r dVr ภาพ (6.12) แสดงการแปลงวิธีการคํานวณ inertia tensor ในกรณีของระบบหลายอนุภาค ที่ใช้เครื่องหมาย summation มาเป็นกรณีของวัตถุที่มีเนื ้อสารกระจายตัวอย่างต่อเนื่อง ที่ใช้กระบวนการintegration แทนดังแสดงใน ภาพ (6.12) สมมุติวัตถุมีเนื ้อสารกระจายตัวอย่างต่อเนื่อง โดยกําหนดให้ความหนาแน่นณ ตําแหน่งต่างๆภายในวัตถุแทนด้วยฟังก์ชัน ()r ในกรณีของวัตถุเนื ้อเดียวสมํ ่าเสมออาทิเช่นก้อนนํ ้าแข็งรูปสี่เหลี่ยมหรือลูกสนุกเกอร์ จะมีความหนาแน่นเป็นค่าคงที่เดียวตลอดทั ้งวัตถุ หรืออีกนัยหนึ ่ง ()r 0แต่ในกรณีของวัตถุที่ซับซ้อนขึ ้น อาทิเช่น ลูกทุเรียน ก็จะมีฟังก์ชันความหนาแน่นแตกต่างออกไปขึ ้นอยู ่กับตําแหน่งภายในวัตถุ ส่วนของเม็ดมีความหนาแน่นสูง ถัดออกมาเป็นเนื ้อทุเรียนสีเหลืองเหนียวนุ่มน่ารับประทาน และชั ้นนอกสุดเป็นเปลือกที่แหลมคม ซึ ่งเป็นส่วนที่มีความหนาแน่นสูงที่สุดของวัตถุพิจารณาชิ้นส่วนของวัตถุดังกล่าว ณ ตําแหน่ง r ซึ ่งมีความหนาแน่นแทนด้วยฟังก์ชัน () และปริมาตรขนาดเล็ก dV เพราะฉะนั ้นมวลของชิ้นส่วนดังกล่าวมีค่าเท่ากับ dm ()r dV เราสามารถมองว่าชิ้นส่วนขนาดเล็กดังกล่าว ก็คืออนุภาคที่มีมวล m ดังนั ้นจึงสามารถปรับประยุกต์สูตรในการคํานวณ inertia tensor ที่ปรากฏในสมการ (6.31) มาใช้ได้ ดังจะยกตัวอย่างของ I12แสดงใน ภาพ (6.12) ซึ ่งมีขั ้นตอนดังต่อไปนี1) เปลี่ยนจากเครื่องหมาย summation ให้กลายเป็น integration2) เปลี่ยนจาก m ให้กลายเป็น ()dVr 3) เปลี่ยนจาก r 1r 2ให้อยู ่ในรูปของชื่อตัวแปรพิกัด x yทําให้ในท้ายที่สุดแล้ว เราสามารถเขียนวิธีการคํานวณหา inertia tensor ของวัตถุได้ว่า r Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-50I12 dV()r x y และเมื่อใช้กระบวนการดังกล่าวกับสมาชิกทั ้งหมด 9 ตัวของ inertia tensorจะทําให้2 2 dV() y z dV() x y dV()x z r r r dV () x y dV () x z dV () y z dV() r x z dV() r y z dV()r x y(P) 2 2I r r r2 2_____________________ (6.38)แบบฝึ กหัด 6.15 จงอาศัยสมการ (6.31) เพื่อพิสูจน์รูปแบบทางคณิตศาสตร์ของ inertia tensor ในแนวทแยง I I I ดังปรากฏในสมการ (6.38)11, 22,33และในลําดับต่อไปเราจะได้อาศัยตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดที่หลากหลาย เพื่อทําความคุ้นเคยกับการคํานวณ inertia tensor ของวัตถุเนื ้อเดียวสมํ ่าเสมอ ที่มีรูปร่างแตกต่างกันออกไปตัวอย่างโจทย์วัตถุเนื ้อเดียวสมํ ่าเสมอรูปสี่เหลี่ยม มีขนาดความ กว้าง ยาว สูง เป็น a, b, และ c ตามลําดับ(P)กําหนดให้ จุดกําเนิดอยู ่ที่ขอบด้านหนึ ่งของกล่องดังแสดงในภาพ จงหา inertia tensor I zcxPbayวิธีทํา หากสังเกตจากสมการ (6.38) จะพบว่าสมาชิกที่อยู ่ซีกบนและซีกล่างของแนวทแยง นั ้น(P)เหมือนกัน เนื่องจาก inertia tensor I มีลักษณะเป็น symmetric matrix ดังนั ้นเราเริ่มด้วยการคํานวณ I12, I13,I23เสียก่อนเนื่องจากเป็นกล่องเนื ้อเดียว แสดงว่ามีความหนาแน่นคงที่Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-510MVMabc _____________________________ (E.1)เพราะฉะนั ้นdV ()r x y dxdydz x y dx xdy ydz c b a a b c2 2abc0 0 040 0 0 0 0 0 ในการคํานวณข้างต้น เนื่องจาก 0เป็นค่าคงที่ จึงสามารถแยกออกมาภายนอก ส่วนที่เหลืออยูภายใน เป็นเพียงผลคูณของตัวแปรที่เราทําการ integrate จึงสามารถแยกออกมา integrate ทีละส่วนแล้วค่อยคูณกันเข้าไปภายหลัง ในทํานองเดียวกันc b a a b c abcdV()r x z dxdydz 0 x z 0 dx x dy dz z 040 0 0 0 0 0 2 2c b a a b c ab cdV()r y z dxdydz 0 y z 0 dx dy y dz z 040 0 0 0 0 0 2 2และเมื่อแทน 0จากสมการ (E.1) ผนวกกับเครื่องหมายลบดังสมการ (6.38) ส่งผลให้ I12, I13,I231 1 14 4 4มีค่าเท่ากับ Mab, Mac, Mbc ตามลําดับส่วนในกรณีของสมาชิกในแนวทแยง I11, I22,I33เราจะต้องเริ่มด้วยการคํานวณ 2 2 2dV() r x , dV() r y , dV()r z ดังต่อไปนี dV()r x dxdydz x dx x dydz Ma c b a a b c32 2 2 abc 1 200 03 30 0 0 0 0 0 dV()r y dxdydz ydx dy y dz Mb c b a a b c32 2 2 ab c 1 200 03 30 0 0 0 0 0 c b aa b c3 2 2abc 1dV()r z dxdydz 0 z 0dxdy dz z 0 Mc3 30 0 0 0 0 0 2 2และเมื่อนําผลลัพธ์ทั ้ง 3 กรณีมาบวกกัน ตามสมการ (6.38) ส่งผลให้ I11, I22,I33มีค่าเท่ากับ1 1 1M b c M a c M a b3 3 3 2 2 , 2 2 , 2 2 ตามลําดับ ทําให้โดยสรุปแล้ว inertia tensorของกล่องดังกล่าว มีค่าเท่ากับDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-521 2 2 1 1M b c Mab Mac3 4 41 1 1 4 3 41 1 1 Mac Mbc M a b4 4 3(P) 2 2I Mab M a c Mbc ตอบ _______ (6.39)2 2แบบฝึ กหัด 6.16 จงอาศัยสมการ (6.39) เพื่อแสดงให้เห็นว่า กล่องตันรูปสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ ซึ ่งมีความยาวด้านเท่ากับ a และมีจุดศูนย์กลางของการหมุน (pivot point) อยู ่ที่มุมยอด จะมี inertiatensor เท่ากับ112 8 3 33 3 8 (P) 2I Ma 3 8 3_____________________ (6.40)แบบฝึ กหัด 6.17 อาศัยการ integrate โดยตรงดังสมการ (6.38) เพื่อแสดงให้เห็นว่า กล่องตันรูปสี่เหลี่ยมลูกบาศก์ ซึ ่งมีความยาวด้านเท่ากับ a และมีจุดศูนย์กลางของการหมุน (pivot point) อยู ่ที่ใจกลางของกล่องพอดี หรืออีกนัยหนึ ่ง กําหนดให้จุดกําเนิดอยู ่ ณ center of mass ของมัน จะมีinertia tensor เท่ากับ161 0 0 0 0 1(CM) 2I Ma 0 1 0 _____________________ (6.41)บอกใบ้: กําหนดให้ limit ของการ integrate อยู ่ในช่วง ตัวอย่างโจทย์a2, a 2วัตถุเนื ้อเดียวสมํ ่าเสมอรูปทรงกระบอกตัน มีขนาดรัศมี R และสูง กําหนดให้ จุดกําเนิดอยู ่ที่ฐาน(P)ดังแสดงในภาพ จงหา inertia tensor I Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-53zxPRyวิธีทํา เนื่องจากเป็นกล่องเนื ้อเดียว แสดงว่ามีความหนาแน่นคงที่M VM R 0 2_____________________________ (E.1)นอกจากนี ้ วัตถุมีรูปร่างทรงกระบอก จึงเป็นสะดวกที่จะใช้พิกัดทรงกระบอก ซึ ่งแทนด้วยตัวแปรr, , zในการคํานวณ ซึ ่งในกรณีนี ้ ปริมาตรขนาดเล็ก dV มีค่าเท่ากับเพระฉะนั ้นdV 2R0 0 0 rdrddz_____________________________ (E.2)dV() r x y drddz r r cosrsindV() r x y 00dV x y23R 0 dr r dcossindz 0 0 04R 40ในการคํานวณข้างต้น เราเปลี่ยนตัวแปร x และ y ซึ ่งเป็นพิกัด Cartesian ให้อยู ่ในรูปของr cos และ r sin ซึ ่งเป็นพิกัดทรงกระบอก อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก 2 cossin 0 จึง0มีผลให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ และในทํานองเดียวกันd dV() r x z drddz r r cos z dr r dcos dz z 0 2RR220 00 0 0 dV0 0 0x3 02R 3 2 dV y z drddz r r z dr r d dz z 0 2RR22() r 0sin 0sin 0 0 0 dV 0 0 0y 32R 30 2 Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-54ส่งผลให้สมาชิกของ inertia tensor I12, I13,I23มีค่าเท่ากับ 0, 0, 0 ตามลําดับส่วนในกรณีของสมาชิกในแนวทแยง I11, I22,I33เราจะต้องเริ่มด้วยการคํานวณ 2 2 2dV() r x , dV() r y , dV()r z ดังต่อไปนี dV x drd dz r r dr r d dz MR 4 2RR22 2 2 3 2 1 2 () r 0cos0 cos0 0 0 dV0 0 02x4R 4 2RR2 2 2 2 32 1 2 dV y drddz r r dr r d sin dz MR 4 () r 0sin 0 0 0 0 dV00 02y4R 4 2RR 2 2 2 2 1 200 30 0 0 dV 0 0 0 2 23R 2 3dV()r z drddz r z dr r ddz z M และเมื่อนําผลลัพธ์ทั ้ง 3 กรณีมาบวกกัน ตามสมการ (6.38) ส่งผลให้ I11, I22,I33มีค่าเท่ากับ1 1 1M 3a 4 b , M 3a 4 b , M6a12 12 12 ตามลําดับ ทําให้โดยสรุปแล้ว inertia tensor2 2 2 2 2ของทรงกระบอกตันดังกล่าว มีค่าเท่ากับ2 23 4 0 0(P) 1 2 2 I M 0 3R4 0 ตอบ _______ (6.42)12R20 0 6Rแบบฝึ กหัด 6.18 จงแสดงให้เห็นว่า ถ้าเราจํากัดการเคลื่อนที่ของวัตถุรูปทรงกระบอกตัน ดังตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เฉพาะแต่การหมุนรอบแกน z ด้วยอัตราเร็งเชิงมุม ω แล้วพลังงานจลน์22ของการหมุนลดรูปเหลือเพียง K I เมื่อ I MR พร้อมเปรียบเทียบผลลัพธ์กับ ภาพrot1 ω2(6.2) aบอกใบ้: กําหนดให้ angular velocity ω ชี ้เฉพาะในแนวแกน z แล้วลดรูปสมการ (6.32)แบบฝึ กหัด 6.19 อาศัยการ integrate โดยตรงดังสมการ (6.38) เพื่อแสดงให้เห็นว่า ทรงกระบอก12Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-55ตัน ซึ ่งมีรัศมี R สูง และมีจุดศูนย์กลางของการหมุน (pivot point) อยู ่ที่ใจกลางของทรงกระบอกพอดี หรืออีกนัยหนึ ่ง กําหนดให้จุดกําเนิดอยู ่ ณ center of mass ของมัน จะมี inertia tensor เท่ากับ2 23 0 0(CM) 1 2 2 I M 0 3R 0 _____________________ (6.43)12R20 0 6Rบอกใบ้: กําหนดให้ limit ของการ integrate ของแกน z อยู ่ในช่วง Principal Axis of Inertia 2, 2(P)จากประสบการณ์ในการคํานวณ inertia tensor I ทั ้งในตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดที่ผ่านมาเราจะพบว่ามีอยู ่หลายกรณีด้วยกันที่ matrix ขนาด 3x3 ดังกล่าวมีลักษณะพิเศษ กล่าวคือเฉพาะสมาชิกในแนวทแยงเท่านั ้น ที่มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ หรืออีกนัยหนึ ่ง มีลักษณะที่เรียกว่าdiagonal inertia tensorI0 01(P)I 0 I20_____________________ (6.44) 0 0I3ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างของสมการ (6.36), สมการ (6.41), หรือ สมการ (6.42) เป็นต้น ในเมื่อมีสมาชิกในแนวทแยงเพียง 3 ตัวเท่านั ้นที่มีค่าไม่เป็นศูนย์ เพื่อความกระชับ เรานิยมเขียนสมาชิกทั ้ง 3โดยใช้ดัชนีเพียงตัวเดียว ให้อยู ่ในรูป I1, I2,I3โดยละไว้ในถานที่เข้าใจว่า หมายถึงสมาชิกI I I ของ matrix ขนาด 3x3 ที่ประกอบกันขึ ้นเป็น inertia tensor นั่นเอง11, 22,33การที่ inertia tensor มีลักษณะพิเศษที่เรียกว่า เป็น diagonal เช่นนี ้ ส่งผลดีอย่างยิ่งในการคํานวณทางฟิสิกส์ที่จะตามมา อาทิเช่น การคํานวณพลังงานจลน์ของการหมุน ซึ ่งเดิมประกอบด้วยหลายเทอมดังในสมการ (6.11) จะลดรูปลงเหลือเพียง1 1K I I I I3(P) 2 2 2 2rot 1ω1 2ω2 3ω3iωi2 2 i1 เมื่อI0 01(P)I 0 I20__________ (6.45) 0 0I3อีกทั ้งการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง จะลดความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ลงไป และในลําดับต่อไปนี ้ เราจะได้ค้นหาเงื่อนไขสําคัญ ที่สามารถทําให้ inertia tensor อยู ่ในลักษณะของDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-56diagonal matrixซึ ่งจะนําไปสู ่ข้อสรุปที่ Leonhard Euler ได้ค้นพบเมื่อปี ค.ศ. 1750พิจารณา inertia tensor ของระบบที่ประกอบด้วยลูกเหล็ก 3 อันวางบนแผ่นพลาสติกเบา ดังที่ได้เคยวิเคราะห์มาแล้วในตัวอย่างและแบบฝึกหัด ซึ ่งมีผลลัพธ์ปรากฏในสมการ (6.35) และ (6.36)ymmพลาสติกเบามากmx2 22mm0 (P) 2 2 I m 2m0 20 0 4m mmy 2xmIm0 0 0 3m0 20 0 4m (P) 2สังเกตว่าทั ้งสองกรณี ล้วนเป็นวัตถุรูปร่างเดียวกัน มีจุดหมุนตําแหน่งเดียวกัน จะต่างกันก็แต่เพียง(P)การวางแกนที่เฉียงไปจากเดิม ด้วยข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวนี ้ ทําให้ inertia tensor I เปลี่ยนมาอยู ่ในรูปของ diagonal matrix ดังที่เราต้องการ นี ้เองบอกใบ้ให้ทราบว่า เมื่อกําหนดจุดกําเนิดในการอ้างอิงถึงตําแหน่งของชิ้นภายในวัตถุ จะต้องลากแกน x, y, z ให้ "เหมาะสม" ซึ ่งเราจําเป็นต้องค้นหาเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ ที่ชัดเจนของคําว่า "เหมาะสม" ในลําดับต่อไปDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-57a) กรณีธรรมดาทั่วไป b) ถ้าใช้ eigenvectors e ˆ 1 , eˆ 2 ,eˆ3เป็ นแกน x, y, zˆk eˆ 3ê 2จะส่งผลให้ĵîê 1I 11I12 I13I10 0(P)I I21 I22 I(P)I 23 0 I20I 31I32 I 0 0 I33 3 ภาพ (6.13) แสดงสมมุติฐานในการกําหนดแกน x, y, z ที่เหมาะสม ว่าถ้าลากแกนทั ้ง 3 ในทิศทางเดียวกับ eigenvectors จะส่งผลให้ค่า inertia tensor อยู ่ในลักษณะ diagonal matrix หรือไม่?ดังแสดงใน ภาพ (6.13) a เมื่อกําหนดรูปร่างของวัตถุ ในกรณีธรรมดาทั่วไป เราสร้างแกน x, y, z(P)ที่สะดวกขึ ้นมาชุดหนึ ่ง จากนั ้นทําการ integrate เพื่อคํานวณ inertia tensor ซึ ่งก็จะได้ I ที่มีสมาชิกทั ้ง 9 ตัว และมิได้มีลักษณะพิเศษที่เรียกว่า diagonal matrix แต่อย่างใดใน Section 6.3 ทบทวนพีชคณิตของ Matrix (Optional) เราได้ศึกษาสมบัติที่เกี่ยวข้องกับ(P)eigenvector และ eigenvalue ของ matrix อยู ่พอสมควร ทําให้เข้าใจว่า เนื่องจาก inertia tensor I จัดอยู ่ในประเภท symmetric matrix ขนาด 3x3 ดังนั ้นจะต้องมี eigenvector ทั ้งสิ้น 3 อันที่ล้วนตั ้งฉากซึ ่งกันและกัน และสามารถนํามาใช้ประโยชน์ในการวาดแกน x, y, z ดังได้อธิบายใน ภาพ(6.10)นี ้เองเป็นที่มาของสมมุติฐานของกฎเกณฑ์ในการกําหนดแกน x, y, z ที่เหมาะสม เพื่อศึกษาผลที่จะตามมาของสมมุติฐานข้อนีกําหนดให้ eˆ1, eˆ ˆ2,e3เป็น eigenvector ขนาด 1 หน่วย และ(P) เป็น eigenvalue ของ I I I I ________ (6.46)I , I , I1 2 3I I II I I11 12 1321 22 2331 32 33สมมุติให้วัตถุกําลังหมุนด้วย angular velocity ω เราจะพิจารณาการคํานวณพลังงานจลน์ของDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-58ระบบ ในระบบพิกัด 2 แบบด้วยกัน คือ 1) พิกัดปรกติดังแสดงใน ภาพ (6.13) a และ 2) พิกัดซึ ่งลากแกนทั ้ง 3 โดยอาศัย eigenvectors eˆ1, eˆ ˆ2,e3ดังแสดงใน ภาพ (6.13) bจากสมการ (6.32) เราบอกได้ว่าพลังงานจลน์คือ(P) 1 Krot 2(P)ω I ω ________________________ (6.47)ซึ ่ง angular velocity ω เป็นปริมาณ vector ซึ ่งสามารถเขียนโดยอ้างอิงอยู ่กับแกน ˆˆ i,,j k ˆ ได้ว่าω ωˆi ω ˆj ωkˆ1 2 3________________________ (6.48)เมื่อ ω1,ω 2,ω 3ก็คือองค์ประกอบในแนวแกน x, y, z ในระบบพิกัดปรกติ นอกจากอ้างอิงอยู ่กับแกน ˆˆ i,,j k ˆ เรายังสามารถเขียน angular velocity ω ให้อ้างอิงอยู ่กับแกน eˆ1, eˆ ˆ2,e3นั่นคือω ωeˆ ωeˆ ωeˆ1 1 2 2 3 3______________________ (6.49)เมื่อ ω 1,ω 2,ω3ก็คือองค์ประกอบในแนวแกน x, y, z ในระบบพิกัดพิเศษซึ ่งใช้ eˆ1, eˆ ˆ2,e3เป็นแกนทั ้ง 3 สังเกตการใช้เครื่องหมาย prime (ขีดด้านบนขวา) กํากับแต่ละสมาชิกของ ω เพื่อยํ ้าให้เห็นข้อแตกต่างระหว่าง ω 1,ω 2,ω3ในสมการ (6.49) และ ω1,ω 2,ω 3ในสมการ (6.48)ในคราวนี ้ ทดลองแทน ω ดังสมการ (6.49) เข้าไปในสมการ (6.47) จะได้ว่าKK(P)rot1 (P) ω Iω21 21 2(P)ωeˆ ωeˆ ωeˆ Iωeˆ ωeˆ ωeˆ1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3ωeˆ ωeˆ ωeˆ ωI eˆ ωI eˆ ωIeˆ(P) (P) (P) (P)rot 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3(P)ให้สังเกตเทอม I e ที่ปรากฏภายในวงเล็บ เนื่องจาก ˆ1(P)ê เป็น eigenvector ของ I 1(P)เพราะฉะนั ้นมันมีความสัมพันธ์ที่เรียกว่า eigen equation I eˆˆ1 I1e1และตรรกะในทํานอง(P)เดียวกันนี ้ ยังประยุกต์ใช้ได้กับเทอม I e และ I (P) e ทําให้สมการข้างต้น ลดรูปเหลือเพียงˆ2ˆ3Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-59K 1 I I I 1 I I I2 2ωeˆ ωeˆ ωeˆ ω eˆ ω eˆ ω eˆ ω ω ω(P) 2 2 2rot 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 1 2 3 1 3 1 1 2 2 3 3_____________________ (6.50)หรือเขียนให้กระชับขึ ้นได้ว่าK13(P) 2rotI iωi2 i1 ____________________________ (6.51)แบบฝึ กหัด 6.20 จงพิสูจน์ผลลัพธ์ทางขวามือของสมการ (6.50)บอกใบ้: อาศัยสมบัติของ eigenvector ดังสมการ (6.27)เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ข้างต้นในสมการ (6.51) กับสมการ (6.45) อย่างถ่องแท้ จะทําให้เราเข้าใจวิธีการเลือกแกน x, y, z ที่เหมาะสม กล่าวคือสมการ (6.45) เป็นพลังงานจลน์ของวัตถุ ในกรณีที่ inertia tensor บังเอิญ อยู ่ในรูปของ diagonalmatrix ทําให้ปรากฏเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เรียบง่าย อยู ่ในรูปสมการ (6.51) เป็นพลังงานจลน์ของวัตถุ ในกรณีที่เราบังคับให้ แกน x, y, z ของพิกัด Cartesianอยู ่ในทิศทางของ eigenvector eˆ1, eˆ ˆ2,e3ปรากฏเป็นรูปแบบของ12123i1Iiω2i32 I iωiที่เรียบง่ายi1(P)เช่นเดียวกัน นั่นหมายความว่า inertia tensor I จะต้องอยู ่ในรูปของ diagonal matrixสมาชิกในแนวทแยงเท่ากับ I 1, I 2,I 3นั่นเองโดยมีนี ้เองคือข้อสรุปที่ Leonhard Euler ได้ค้นพบเมื่อปี ค.ศ. 1750 ซึ ่งนับเป็นกระบวนการเริ่มต้นของการวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง นั่นก็คือกําหนดแกน x, y, z ที่เหมาะสม ซึ ่งมักเรียกโดยทั่วไปว่าPrincipal Axes of Inertia คือ แกนทั ้ง 3 ของระบบพิกัด Cartesian ที่ทําให้ inertia tensor อยู ่ในรูปของ diagonal matrix โดยสมาชิกทั ้งสาม I1, I2,I3มีชื่อเรียกว่า Principal Moments of Inertia_____________________ (6.52)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-60วิธีการสร้างแกนอ้างอิงที่ "เหมาะสม" สําหรับวัตถุeˆ 3(P)I I I I I II I Iê 211 12 1321 22 2331 32 33กําหนดแกน x, y, z ในเบื้องต้นเพื่อคํานวณ inertia tensorหา eigenvector e ˆ 1 , eˆ 2 ,eˆ3เพื่อสร้างprincipal axes ที่เหมาะสมI 1ê 1I (P)I0 0 0 I200 0I3โดยมี eigenvalueI 1 , I2 ,I3เป็ นprincipal moments of inertia(P)ภาพ (6.14) บันได 3 ขั ้นในการสร้างแกนอ้างอิงที่เหมาะสม อันส่งผลให้ inertia tensor I อยู ่ในรูปของ diagonal matrixภาพ (6.14) แสดงกระบวนการหา principal axes of inertia ซึ ่งประกอบด้วย 3 ขั ้นตอนด้วยกันคือ(P)1) กําหนดแกน x, y, z ในเบื ้องต้นเพื่อคํานวณสมาชิกทั ้ง 9 ของ inertia tensor I ซึ ่งโดยทั่วไปจะปรากฏเป็น symmetric matrix ขนาด 3x32) นํา symmetric matrix ดังกล่าวมาคํานวณ eigenvector eˆ1, eˆ ˆ2,e3และ eigenvalueI , I , I โดย eigenvector นี ้เองก็คือ principal axes ที่เหมาะสม1 2 33) หมายความว่าเมื่ออยู ่ภายในระบบพิกัด Cartesian ที่ใช้ eˆ1, eˆ ˆ2,e3แทนแกนทั ้ง 3 จะทํา(P)ให้ inertia tensor I อยู ่ในรูป diagonal matrix ซึ ่งมี eigenvalue I1, I2,I3เป็น principalmoments of inertia นั่นเองตัวอย่างโจทย์วัตถุที่ประกอบด้วยลูกเหล็ก 3 อันมวล m ฝังอยู ่ที่มุมของพลาสติกเบา หากวางแกน x, y, z ดังภาพ(P)จะปรากฏว่า inertia tensor I ดังสมการ (E.1) จงเลือกวางแกน x, y, z เสียใหม่ให้สอดคล้องกับprincipal axes ตลอดจนหา principal moments of inertia ของระบบDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-61ymmพลาสติกเบามากmx2 22 mm0(P) 2 2 I m 2 m020 0 4m________________ (E.1)วิธีทํา จาก ภาพ (6.14) เราได้ผ่านขั ้นตอนที่ 1) มาเป็นที่เรียบร้อย คงเหลือเฉพาะขั ้นตอนที่ 2) และ(P)3) โดยเราจะเริ่มด้วยการหาค่า eigenvalue ของ matrix I ให้ คือ eigenvalue ดังนั ้น2 22mm02 2mm2 0 00 0 4m2 _____________ (E.2)ด้านซ้ายมือของสมการ (E.2) คือ determinant ของ matrix ที่เราสามารถหาได้จากเทคนิคการคูณไขว้ดังแสดงใน ภาพ (6.9) ซึ ่งจะได้ว่า2 2 2 2 2 2 m m m m m m2 2 m 2 m 2 m2 2 2 2 2 2 m m m m m2 2 4 4 02 4 02 2 4 0ในข้างต้น เรายังคงด้านขวามือให้เป็นศูนย์ดังสมการ (E.2) ซึ ่งมีผลเฉลยเป็น eigenvalue ทั ้ง 3 ก็2 2 2คือ m ,3 m ,4m โดยที่เราจะนําไปเป็นจุดเริ่มต้นในการคํานวณ eigenvector ในลําดับต่อไปนี21) กรณี eigenvalue m : เริ่มด้วยการกําหนดให้ eigenvector อยู ่ในรูปของeˆ1 โดยที่เราจะต้องแก้สมการเพื่อหาค่าของตัวแปร , , เมื่อแทน ê1เข้าไปใน eigen equationDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-62(P)I e1 e12 22mm0 2 2 2 ˆ ˆm 2m 0 m2 0 0 4m หรือเขียนให้อยู ่ในลักษณะของ system of equations ได้ว่า2 2 22m m m2 2 2m 2m m2 24m mสมการในบรรทัดที่ 3 จะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ 0 ส่วนในบรรทัดที่ 1 และ 2 ลดรูปเหลือเพียง นอกจากนี ้ เนื่องจากเรากําหนดให้ eigenvector ê1มีขนาดหนึ ่งหน่วย หรืออีกนัยหนึ ่ง2 2 2 1 เพราะฉะนั ้นแล้ว1 2 2eigenvector e ˆ11 2เมื่อ eigenvalue คือ m0_____________ (E.3)22) กรณี eigenvalue 3m : ทั ้งนี ้เมื่อสร้าง eigen equation ในทํานองเดียวกันกรณี 1) จะทําให้ได้ system of equations ดังนี2 2 22m m 3m2 2 2m 2m 3m2 24m 3mสมการในบรรทัดที่ 3 จะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ 0 ส่วนในบรรทัดที่ 1 และ 2 ลดรูปเหลือเพียง และอีกเช่นเคย เนื่องจากเรากําหนดให้ eigenvector ê2มีขนาดหนึ ่งหน่วย หรืออีกนัย2 2 2หนึ ่ง 1 เพราะฉะนั ้นแล้วDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-631 2 2eigenvector e ˆ21 2เมื่อ eigenvalue คือ 3m _____________ (E.4)023) กรณี eigenvalue 4m : ทั ้งนี ้เมื่อสร้าง eigen equation ในทํานองเดียวกันกรณี 1) จะทําให้ได้ system of equations ดังนี2 2 22m m 4m2 2 2m 2m 4m2 24m 4mสมการในบรรทัดที่ 1 และ 2 ลดรูปเหลือ 2 และ 2ซึ ่งขัดแย้งกันเอง เว้นแต่กําหนดให้ 0 และ 0 ส่วนในบรรทัดที่ 3 จะมีค่าเป็นเท่าใดก็ได้ ล้วนทําให้สมการเป็น2 2 2จริง แต่เรากําหนดให้ 1 เพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไข 1 ดังนั ้น0 12eigenvector e ˆ30 เมื่อ eigenvalue คือ 4m _____________ (E.5)ในท้ายที่สุดทําการวาด eigenvector eˆ1, eˆ ˆ2,e3ก็จะได้ principal axes ดังแสดงในภาพ ซึ ่งการสร้าง(P)แกน x, y, z ในลักษณะนี ้ มีผลทําให้ inertia tensor I มี principal moments of inertia เท่ากับ2 2 2m ,3 m ,4m นั่นเองyê 23mmxê 1mê พุ่งออกจากหน้ากระดาษI2m0 0 0 3 m020 0 4m(P) 2ตอบแบบฝึ กหัด 6.21 จงอาศัย inertia tensor ของระบบดังแสดงในสมการ (6.37) เพื่อหา principalaxes และวาดภาพแสดง eigenvector ว่าสัมพันธ์อยู ่กับรูปทรงของวัตถุอย่างไร ตลอดจนคํานวณDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-64principal moments of inertiaเฉลย:ymmê 2ê 1mIx(P) 2ê พุ่งออกจากหน้ากระดาษ32m0 0 0 m2 0m20 0 3 2แม้วัตถุโดยทั่วไปเช่นก้อนหินที่พบบนชายหาด จะมีรูปทรงที่บิดเบี ้ยว ทําให้การวิเคราะห์หาprincipal axes เป็นไปด้วยความยากลําบาก วัตถุที่เกี่ยวข้องกับการออกแบบทางวิศวกรรมหรือในทางฟิสิกส์มักจะมีรูปทรงที่สมมาตร ทําให้เราเดา principal axes ได้โดยไม่ยากนัก วัตถุที่มีความสมมาตรรอบแกนของมัน อาทิเช่น ทรงกระบอก ทรงกรวย หรือแจกัน ดังแสดงในภาพ (6.15) a และb จะมี principal axis อันหนึ ่งขนานไปกับแกนของวัตถุ ส่วนอีก 2 แกนที่เหลือจะอยู ่บนระนาบที่ตั ้งฉากกันดังแสดงในภาพPrincipal Axes จะสอดคล้องกับแกนสมมาตรของวัตถุê 3ê 1ê2แกนสมมาตรตั้งฉาก(a) (b) (c)ภาพ (6.15) Principal Axes มักจะสอดคล้องกับความสมมาตรของวัตถุวัตถุรูปลูกบาศก์ตันดังแสดงในภาพ (6.15) c แม้ปราศจากสมบัติความสมมาตรรอบแกนของมันดังเช่นทรงกระบอกหรือทรงกรวย แต่ก็มีลักษณะของ principal axes ในทํานองเดียวกันกล่าวคือมี principal axis อันหนึ ่งอยู ่ในแนวทแยงระหว่างมุมยอดของมัน ในขณะที่อีก 2 แกนที่เหลือ ก็อยู ่ในระนาบที่ตั ้งฉากกัน ดังจะได้เห็นโดยละเอียดในตัวอย่างโจทย์ต่อไปนีตัวอย่างโจทย์Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-65วัตถุเนื ้อเดียวสมํ ่าเสมอรูปลูกบาศก์ ความยาวด้านเท่ากับ a หากวางแกน x, y, z ดังภาพจะปรากฏว่า(P)inertia tensor I ดังสมการ (E.1) จงแสดงให้เห็นว่า principal axis อันหนึ ่งของมันอยู ่ในแนวทแยงระหว่างมุมยอด พร้อมทั ้งหา principal moment of inertia ของแกนดังกล่าวaxzPaa2 2 22 3 4 4(P) 2 2 2I yMa Ma Ma Ma 4 2 Ma 3 Ma42 2 2Ma 4 Ma 4 2Ma3(P)วิธีทํา เริ่มด้วยการคํานวณ eigenvalue ของ inertia tensor I ในสมการ (E.1)__________________ (E.1)ให้ คือ eigenvalue ดังนั ้น2 2 22Ma 3Ma 4 Ma42 2 2Ma Ma Ma4 2 3 4 02 2 2Ma 4 Ma 4 2Ma3________ (E.2)2แทน 2Ma3 และ Ma 2 4 ทําให้เขียนสมการ (E.2) ให้กระชับขึ ้นได้ว่าหรือ 3 3 3 2 2 2 0 3 2 3 3 2 0ซึ ่งทางซ้ายมือสามารถแยกตัวประกอบ ออกมาได้ว่า 2 2เพราะฉะนั ้น 2 0่ สมการข้างต้นมีคําตอบอยู 3 ค่าด้วยกัน คือ 2 0 และซํ ้ากัน 1 คู่คือ 0แทนคํานิยามของ และ จะนําไปสู ่คําตอบของสมการดังต่อไปนี2 2คําตอบที่ 1 และ 2 Ma Ma2 2คําตอบที่ 3 Ma Ma ซึ่งเมื่อ11 22 3 4 0 12 Ma1 22 3 2 4 0 6 MaDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-6622ดังนั ้น เราสรุปว่า principal moments of inertia คือ I I Ma และ I Ma ตอบ1 2เนื่องจาก I3มีค่าแตกต่างจากของแกนทั ้งสองที่เหลือ เราตั ้งสมมุติฐานว่ามันสอดคล้องกับแกนหลักของลูกบาศก์ซึ ่งลากในแนวทแยงระหว่างมุมยอด เพื่อทดสอบสมมุติฐานข้อนี ้ เราทดลอง16 Ma2คํานวณหา eigenvector ในกรณีที่ eigenvalue เริ่มด้วยการกําหนดให้ eigenvector อยูในรูปของ1112eˆ3 โดยที่เราจะต้องแก้สมการเพื่อหาค่าของตัวแปร , , เมื่อแทน ê3เข้าไปใน eigen equation316ˆˆ(P)I e3 e32 2 22Ma 3 Ma 4 Ma4 2 2 2 1 2Ma 4 2Ma 3 Ma 4Ma 2 2 26 Ma 4 Ma 4 2Ma3 12ทําการคูณ2Maทั ้งสองข้างแล้วเขียนให้อยู ่ในลักษณะของ system of equations ได้ว่า8 3 3 23 8 3 23 3 8 2เมื่อลบสมการในบรรทัดที่ 1 ด้วยบรรทัดที่ 2 จะได้ความสัมพันธ์ ในทํานองเดียวกันถ้าลบสมการในบรรทัดที่ 2 ด้วยบรรทัดที่ 3 ทําให้ทราบว่า ทั ้งสอง นําไปสู ่ข้อสรุปที่ว่า และเมื่อกําหนดให้ ê3เป็น vector หนึ ่งหน่วย เราสรุปว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-671 3 2eigenvector e ˆ3 1 3เมื่อ eigenvalue คือ _____________ (E.3) 1 316 Maนี ้เองคือ vector ที่ชี ้ในแนวทแยงของลูกบาศก์ ซึ ่งมีลักษณะดังภาพaxzPaay16ê 23I3MaPrincipal AxesตอบSteiner's Parallel Axis Theorem(P)ที่ผ่านมาในการคํานวณ inertia tensor I เรากําหนดให้จุด pivot point หรือจุดหมุน P เป็นจุดกําเนิด ซึ ่งจุดดังกล่าวตามคํานิยามในสมการ (6.3) จําเป็นจะต้องหยุดนิ่ง เมื่อมองจากผู้สังเกตภายนอก สิ่งที่เรายังไม่เคยกล่าวถึงคือ การใช้จุดศูนย์กลางมวล หรือ center of mass เป็นจุดกําเนิดCenter of MassI I Im 11 12 13 r(P)I I21 I22 I23a Pr I 31 I 32 I33I (CM) ภาพ (6.16) เปรียบเทียบการคํานวณ inertia tensor ซึ ่งอ้างอิงอยู ่กับ 2 จุดคือ a) P ของวัตถุ และ b)center of mass ของมัน(CM)ดังแสดงในภาพ (6.16) หากใช้จุดศูนย์กลางมวลเป็นจุดอ้างอิง inertia tensor I ก็ย่อมมีค่า(CM) (P)แตกต่างกันออกไป หรืออีกนัยหนึ ่ง โดยทั่วไปแล้ว I I จากตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดที่ผ่านมา เราทราบดีว่า ในการคํานวณสมาชิกทั ้ง 9 ของ inertia tensor แต่ละครั ้ง จะต้องใช้(P)ความละเอียดรอบคอบอย่างมาก หากเราคํานวณ I ด้วยความลําบากในตอนแรก แล้วจะต้อง(CM)คํานวณ I เสียใหม่อีกครั ้ง คงจะเป็นวิธีการที่ไม่ชาญฉลาดนักDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-68(P)อย่างไรก็ตามหากเราทราบความสัมพันธ์ระหว่าง inertia tensor ทั ้งสอง เมื่อทราบ I ตั ้งแต่แรก(CM)เราสามารถให้ความสัมพันธ์ดังกล่าว โยงไปถึง I โดยอัตโนมัติ โดยไม่จําเป็นต้องคํานวณ(CM)สมาชิกทั ้ง 9 ตัวของ I แต่อย่างใด(P)เพื่อวิเคราะห์ถึงความสัมพันธ์ดังกล่าว เราเริ่มด้วยการพิจารณาการคํานวณหา I ดังแสดงในสมการ (6.10)I m r r r2i,j i j i j _____________________ (6.53)จากภาพ (6.16) เมื่อมองจากจุดศูนย์กลางมวลเป็นจุดกําเนิด ตําแหน่งของมวล m แทนด้วย vectorดังนั ้น ในทํานองเดียงกันกับสมการ (6.10) อีกเช่นกัน จะได้ว่าr I m rrr(cm) 2i,j i j i j _____________________ (6.54)อย่างไรก็ตาม r และ r มีความสัมพันธ์กันอยู ่ ดังแสดงในภาพ (6.16)r r a หรือ และ 2 2 2 2 2r r1r2 r3 rkak_________ (6.55)r r a j j j3k 1เมื่อแทนสมการ (6.55) ในสมการ (6.53) จะได้ว่า I m r a r a r a 32 i,j i j k k i i j jk 1 m r r a a r r r a r a aa 32 2 2 ij k k k k i j i j j i i jk 13 3 2 2 Ii,jm i jrkr ir jmi jakaa i jm k1 k1 32r a ra ra ij k k i j j ik 1ในสมการข้างต้นแบ่งออกเป็น 3 เทอม ใน 2 เทอมแรกจะพบว่าเมื่อผนวกกับสมการ (6.54) จะลดรูปเหลือเป็น32 2 rk rและk 132 2 ak a ซึk 1่งDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-693 2 _______ (6.56)(CM) 2Ii, j Ii,jmi ja aa i j mi jrkakr iajr jai k 12ในเทอมที่สองของสมการข้างต้น จะพบว่า ija aai jมิได้ขึ ้นอยู ่กับ ดังนั ้นสามารถแยกออกมาภายนอก summation m 2 2 2i ja aa i j mi ja aa i jM i ja aai jในขณะที่ summation ในเทอมสุดท้ายเราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีค่าเป็นศูนย์ ทําให้I I M a aa(CM) 2i, j i,j i j i j(CM)นี ้เองคือความสัมพันธ์ระหว่าง I (P)และ I ที่ Jacob Steiner (1796-1863) ได้ค้นพบ ดังนั ้นเราสรุปได้ว่าSteiner's Parallel-Axis Theorem:ถ้า a คือ vector ที่โยงจากจุด P มายังจุด center of mass ของวัตถุมวล Mแล้ว2 2y z x y x z(CM) (P) 2 2IM aa x yax az aay z2 2aa x zaa y zax ayI a a a a a a_______________________________ (6.57)(CM)ทฤษฏีแกนขนานของ Steiner นั ้นมีประโยชน์อย่างสูงในการคํานวณหา inertia tensor I รอบจุด(P)ศูนย์กลางมวล อาทิเช่น เราอาจจะเริ่มด้วยการคํานวณหา inertia tensor I รอบจุดกําเนิดอันใด(CM)อันหนึ ่ง ที่มีความสะดวกในทางคณิตศาสตร์ที่สุด จากนั ้นใช้สมการ (6.57) เพื่อโยงมาถึง I ในที่สุด ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดต่อไปนีตัวอย่างโจทย์วัตถุเนื ้อเดียวสมํ ่าเสมอรูปลูกบาศก์ ความยาวด้านเท่ากับ หากวางจุดกําเนิดดังภาพจะปรากฏว่า(P)inertia tensor I (CM)ดังสมการ (E.1) จงคํานวณหา inertia tensor I รอบจุดศูนย์กลางมวลโดยใช้Steiner's Parallel Axis Theorem และเปรียบเทียบผลลัพธ์จากการ integrate โดยตรงจากแบบฝึกหัดในสมการ (6.41)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-70xzP2 2 22 M 3 M 4 M4(P) 2 2 2 I M 4 2M 3 M4y2 2 2M 4 M 4 2M3 __________________ (E.1)วิธีทํา จุดศูนย์กลางมวลของลูกบาศก์ย่อมอยู ่ที่ใจกลางของกล่องพอดี ดังนั ้น vector ที่ลากจากจุดP มายัง center of mass ก็คือax 2a a y2 a z 2จาก Steiner's Parallel Axis Theorem ในสมการ (6.57) เราเริ่มด้วยการคํานวณเพราะฉะนั ้นแล้วI2 2 2 2 2ay az axay axa zM 2 M 4 M4 2 2 2 2 2 M axay ax az ayaz M 4 M 2 M42 2 2 2 2aa x zaa y zax a yM 4 M 4 M 2 2 2y z x y x z(CM) (P) 2 2 I M axay ax az ayaz2 2aa x zaa y zax ay2 2 2 2 2 22M 3 M 4 M 4 M 2 M 4 M4 2 2 2 2 2 2 M 4 2M 3 M 4M 4 M 2 M42 2 2 2 2 2M 4 M 4 2M 3 M 4 M 4 M 2 2M 6 0 0 0 0 M 6 (CM)I 0 M 2 6 02a a aa aaซึ ่งให้ผลลัพธ์เดียวกันกับแบบฝึกหัดในสมการ (6.41) ซึ ่งเป็นการ integrate ออกมาโดยตรงตอบแบบฝึ กหัด 6.22 วัตถุเนื ้อเดียวสมํ ่าเสมอรูปทรงกระบอกตัน มีขนาดรัศมี R และสูง กําหนดให้(P)จุดกําเนิดอยู ่ที่ฐาน ปรากฏว่า inertia tensor I (CM)ดังแสดงในภาพ จงคํานวณ I โดยใช้ Steiner'sParallel Axis Theorem พร้อมเปรียบเทียบผลลัพธ์กับแบบฝึกหัดในสมการ (6.43)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-71xzPRIyR1M122 23 4 0 00 3 R4 0(P) 2 20 0 6R2อย่างไรก็ตาม การนํา Steiner's Parallel Axis Theorem มาประยุกต์ใช้ จําเป็นต้องมีความระมัดระวังกล่าวคือ แม้จะเลื่อนตําแหน่งของจุดกําเนิด จากเดิมจุด P มาอยู ่ที่จุด center of mass เราจําเป็นต้องลากแกน x, y, z ในทั ้ง 2 กรณีให้ขนานกัน ดังแสดงในภาพ (6.17)Steiner's Parallel Axis Theorem ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ แกนทั้ง ้ง 2 ชุด ขนานกันขนานกันa Pa PCenter of Massภาพ (6.17) เงื่อนไขของ Steiner's Parallel Axis Theorem ที่แกน x, y, z ทั ้ง 2 ชุดจะต้องขนานกันภาพ (6.17) แสดงแกน x, y, z ทั ้ง 2 ชุดคือ a) รอบจุด P และ b) รอบจุด center of mass เราจะประยุกต์ Steiner's Parallel Axis Theorem ได้ก็ต่อเมื่อแกนทั ้ง 2 ชุดขนานกัน เงื่อนไขข้อนี ้เป็นผลของสมการ (6.55) ที่ว่ากําหนดให้ r jr ja กล่าวคือระบบพิกัด jr1, r2,r 3ต่างจากระบบพิกัด r1, r 2,r 3ด้วยการเลื่อนแกนในแนวขนาน เป็นระยะทาง a1, a2,a3จึงเป็นการเหมาะสม ที่ทฤษฏีบทดังกล่าว จะมีคําว่า Parallel Axis กํากับอยูประโยชน์ที่สําคัญอันหนึ ่งของ Steiner's Parallel Axis Theorem คือการคํานวณหา inertia tensor ของวัตถุที่มีรูปร่างซับซ้อน ที่ประกอบกันขึ ้นจากชิ้นส่วนรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่าย ในกรณีเช่นนี ้ เรา(CM)เริ่มด้วยการคํานวณ inertia tensor I รอบจุดศูนย์กลางมวลของส่วนประกอบแต่ละชิ้น จากนั ้นเลื่อนจุดกําเนิดออกไปยังตําแหน่งที่ชิ้นส่วนนั ้นตั ้งอยู ่ภายในระบบ และในท้ายที่สุด รวม inertiatensor ของทุกชิ้นส่วนเข้าด้วยกัน ดังจะได้แสดงรายละเอียดในตัวอย่างโจทย์ต่อไปนี ้Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-72ตัวอย่างโจทย์ชิ้นส่วนเครื่องยนต์ทําจากโลหะความหนาแน่นสมํ ่าเสมอ 0กลึงขึ ้นรูปในลักษณะดังภาพ จง(P)คํานวณ inertia tensor I รอบจุดศูนย์กลางของวัตถุพอดีxb P zRy 2RbRวิธีทํา วัตถุประกอบด้วยชิ้นส่วน 3 ชิ้น ซึ ่งเราจะคํานวณ inertia tensor รอบจุด P ของแต่ละชิ้น(P) (P) (P)แทนด้วย I , I , I จากนั ้นรวมกันเข้าทั ้งระบบ1 2 32 __________________________ (E.1)I I I I(P) (P) (P) (P)1 2 3ในเบื ้องต้นเราจากแบบฝึกหัดในสมการ (6.43) ว่าทรงกระบอกตันรัศมี R ย่อมมี inertia tensorรอบจุดศูนย์กลางมวล ดังสมการ (E.2)zCMxRyI1M122 23 R0 00 3 R0(CM) 2 20 0 6R2__________ (E.2)(P)inertia tensor I 1ของส่วนประกอบชิ้นที่ 1: ดังแสดงในภาพ ชิ้นแรกอยู ่ด้านซ้ายมือ จากSteiner's Parallel Axis Theorem จุด center of mass ของมันอยู ่ห่างออกมาจากจุด P แทนด้วย vectora (CM)ชิ้นส่วนนี ้มีรัศมี R และยาว b ทําให้จากสมการ (E.2) เราทราบ I จากสมการ (6.57)bCMa Pxyz10 a 0b 2 2Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-732 2ay az axay axaz(P) (CM) 2 2 I1 I1M1aa x yax az aay z 2 2aax zaay zax a y22 23R b 0 0 b4 0 01 2 2 2 M1 0 3R b 0 M10 b4 012 20 0 6R 0 0 02 2 23R 4b 36b0 0 (P) 12 2 2I 1 M10 3R 4b 3 6 b 012 2 0 0 6R 2เมื่อแทน 2R และ b R 2 ผนวกกับ M Volume = Rbจะได้ว่า1 0 01 R12(P) 51 011 0 00 11 0 0 0 3I ______________________ (E.3)(P)inertia tensor I 2ของส่วนประกอบชิ้นที่ 2: ดังแสดงในภาพ ชิ้นที่สองอยู ่กลาง เนื่องจากในกรณีนี ้ center of mass อยู ่ตําแหน่งเดียวกันกับจุด P ที่เราต้องการพอดี จึงไม่มีความจําเป็นต้องอาศัยSteiner's Parallel Axis Theorem ทําการเลื่อนแกนแต่อย่างใดbPCMทรงกระบอกอันนี ้ มีความยาว และรัศมี b ดังนั ้นอาศัยสมการ (E.2)เราบอกได้ทันทีว่า2 23b 0 0 (P) 1 2 2 I 2 M20 3b012 20 0 6b2เมื่อแทน 2R และ b R 2 ผนวกกับ M Volume = b จะทําให้2 0 0Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-741 R12(P) 52 019 8 0 0 0 19 8 00 0 6 8I ______________________ (E.4)(P)inertia tensor I 3ของส่วนประกอบชิ้นที่ 3: ดังแสดงในภาพ ชิ้นสุดท้ายอยู ่ด้านขวามือ จากSteiner's Parallel Axis Theorem จุด center of mass ของมันอยู ่ห่างออกมาจากจุด P แทนด้วย vectora bPxya CM0 a 0b 2 2ในทํานองเดียวกันกับชิ้นแรก2 2ay az aa x yaax z(P) (CM) 2 2 I3 I3M 3aa x yax az aay z 2 2aax zaay zax a y22 23R b 0 0 b4 0 01 2 2 2 M3 0 3R b 0 M30 b4 012 20 0 6R 0 0 02 2 23R 4b 36b0 0 (P) 12 2 2I 3 M30 3R 4b 3 6 b 012 2 0 0 6R 2เมื่อแทน 2R และ b R 2 ผนวกกับ M30 Volume = 0เพียง1 R12(P) 53 0 Rb ทั11 0 00 11 0 0 0 3้งหมดลดรูปเหลือI ______________________ (E.5)(P) (P) (P)จาก I1 , I2 , I3 ที่คํานวณได้ในสมการ (E.3) (E.4) และ (E.5) ทําให้เราได้ inertia tensor รวมของระบบDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-75(P) (P) (P) (P)I I 1 I 2I311 0 0 19 8 0 0 11 0 01 5 1 5 1 5 0R0 11 00R0 19 8 00R0 11 012 12 12 0 0 3 0 0 6 8 0 0 3195 0 0 5(P) 1 RI 00 195 012 8 0 0 54ซึ ่งสามารถเขียนให้อยู ่ในรูปแบบมาตรฐานได้ เมื่อ______________________ (E.6)M M M M 2 M 1 2 30 2 2 2 3V1V2 V3 R bb R b 3 Rทําให้สมการ (E.6) อยู ่ในรูปของ1144195 0 0 0 0 54(P) 2I MR 0 195 0 ตอบแบบฝึ กหัด 6.23 นักศึกษาเข้าฝึกงานในบริษัทรถยนต์ Toyota ของญี่ปุ ่น ได้รับมอบหมายให้(P)คํานวณ inertia tensor I รอบจุด P ของเพลาข้อเหวี่ยงประกอบกันขึ ้นจากโลหะเนื ้อสมํ ่าเสมอรูปทรงกระบอกตัน 3 ชิ้น ซึ ่งหนาเท่ากันแต่รัศมีต่างกัน ทั ้ง 3 ชิ้นประกบกันที่ขอบด้านซ้าย โดยมีแกน(P)z แทงทะลุแกนกลางของทรงกระบอกอันเล็ก จงหา I ให้เสร็จก่อนเลิกงานเวลาเที่ยงคืนz2RbRPb R2b295 0 0 295 0 0 1 10 167 0 0 167 032 144 0 0 392 0 0 392(P) 5 2เฉลย: I R0 MRDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-76Section 6.5 การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งที่ผ่านมาเราได้กําหนดให้จุด pivot point หรือจุดหมุนของวัตถุ ซึ ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ P จะต้องหยุดนิ่งเมื่อมองจากผู้สังเกตภายนอก อาทิเช่นแกนกลางของพัดลมบนเพดาน หรือ ใจกลางของวงล้อชิงช้าสวรรค์ในงานสวนสนุก ข้อกําหนดอันนี ้ ออกจะทําให้ขอบเขตในการประยุกต์ใช้กับระบบทางวิศวกรรมอยู ่ในวงที่จํากัด เพราะโดยทั่วไปแล้วจุดหมุนย่อมมีการเคลื่อนที่ไปพร้อมกับวัตถุยกตัวอย่างเช่นล้อรถที่กําลังเคลื่อนที่ แม้ยางทั ้งเส้นจะกําลังหมุนรอบเพลา แต่ตัวเพลาเอง รวมไปถึงวงล้อทั ้งหมด ก็กําลังเคลื่อนที่ไปตามท้องถนน เพราะฉะนั ้นก่อนที่เราจะเข้าสู ่ประเด็นการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง มีความจําเป็นที่จะต้องทําให้ข้อจํากัดอันนี ้หมดไปเสียก่อนr zω V Oxภาพ (6.18) แสดงวัตถุแข็งเกร็งที่กําลังเคลื่อนที่ เมื่อใช้จุด O เป็นจุดกําเนิดภายในวัตถุyความเร็วของมวล m v ω r Vภาพ (6.18) แสดงวัตถุแข็งเกร็งที่กําลังเคลื่อนที่ เมื่อเลือกให้ O เป็นจุดกําเนิด และชิ้นส่วนของวัตถุล้วนหมุนรอบจุดดังกล่าวด้วย angular velocity ω นอกจากนี ้จุด O ยังสามารถเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับผู้สังเกตภายนอกวัตถุ โดยมีความเร็วแทนด้วย V ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.4) ความเร็วของแต่ละชิ้นส่วนของวัตถุทั ้งชิ้น ก็คือv ω r V ___________________________ (6.58)ด้วยเหตุนี ้ มันมีพลังงานจลน์เท่ากับ1 2 1 122K m v m m ωr V ωr V ωr 2ωrVV2 2 2 ส่งผลให้ total kinetic energy ของระบบมีค่าเป็นDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-771 1K m ωr m ωr V m 2 V2 2 2_______ (6.59)จะเห็นว่าพลังงานจลน์ของระบบ แบ่งออกเป็น 3 เทอมด้วยกัน1) เทอม12 m ωr2เราได้พิสูจน์ใน Section 6.2 พลังงานจลน์ของระบบ แล้วว่าเป็นพลังงานจลน์เฉพาะที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง ซึ ่งจากสมการ (6.5) และ (6.11) ทําให้ลดรูปได้ว่า1 2 1mωr 2 2 i1 j13 3Iωωij i j_______________ (6.60) m ω r V 2) เทอม ในกรณีทั่วไปที่จุดกําเนิด O เป็นตําแหน่งใดก็ได้ เทอมดังกล่าวนี ้ก็จะมีค่าแตกต่างกันออกไป ขึ ้นอยู ่กับการกระจายตัวของมวล m , angular velocity ω , ตลอดจนความเร็ว V ที่จุดกําเนิดเอง ก็กําลังเคลื่อนที่ ดังนั ้นในกรณีทั่วไป เราไม่สามารถละเลยที่จะนําเทอมนี ้เข้ามาร่วมพิจารณา ในการคํานวณหาพลังงานจลน์รวมของวัตถุแข็งเกร็งแต่ในกรณีพิเศษ กล่าวคือเลือกให้จุดกําเนิดดังกล่าว มาอยู ่ ณ จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุพอดี เราสามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่า เทอมที่สองนี ้ มีค่าเท่ากับศูนย์ หรืออีกนัยหนึ ่ง m ω r V 0เมื่อ a) จุดกําเนิด O หยุดนิ่ง หรือ b) จุดกําเนิด O ก็คือจุดศูนย์กลางมวล____________________ (6.61)12 m V 23) เทอม เนื่องจาก V 2 มิได้เกี่ยวข้องกับดัชนี ที่ใช้กํากับส่วนประกอบแต่ละชิ้นของวัตถุ ดังนั ้นจึงสามารถแยกออกมานอกเครื่องหมาย summation ส่งผลให้1 12 2 mV MV____________________ (6.62) 2 2และจากการวิเคราะห์เทอมทั ้ง 3 ในสมการ (6.60) - (6.62) ซึ ่งเป็นส่วนประกอบของพลังงานจลน์ของDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-78วัตถุแข็งเกร็งในสมการ (6.59)กล่าวคือทําให้ทราบกฎเกณฑ์ในการเลือกจุดกําเนิดภายในวัตถุแข็งเกร็งในการเลือก O เป็นจุดกําเนิดที่ใช้อ้างอิงภายในวัตถุแข็งเกร็ง1) มันจะต้องหยุดนิ่งเมื่อมองจากผู้สังเกตภายนอก ดังนิยามในสมการ (6.3)1K K I3 3(P)rot 2 i1 j1ωω(P)ij i j2) หรือหากกําลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว มันจะต้องเป็นจุดศูนย์กลางมวล1 1K K K I ωω Mv3 3 (CM) (CM) (CM) 2rot tran ij i jcm2 i1 j12___________________________ (6.63)ข้างต้นเป็นทางเลือกเพียง 2 สายในการกําหนดจุดกําเนิดภายในวัตถุ โดยเฉพาะในกรณีที่วัตถุที่กําลังกลิ้ง ซึ ่งมีทั ้งการเลื่อนในแนวเส้นตรงไปพร้อมกับการหมุน อาทิเช่นล้อรถยนต์หรือลูกสนุกเกอร์ เราจําเป็นต้องใช้จุดศูนย์กลางมวลเป็นจุดกําเนิดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ มิเช่นนั ้นเทอมที่ 2 ในสมการ(6.59) จะมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ส่งผลให้การคํานวณพลังงานจลน์และการวิเคราะห์อื่นที่ตามมาผิดพลาดทั ้งหมดตามสมการ (6.63) การเลือกจุดกําเนิดจะส่งผลต่อ inertia tensor ของวัตถุแข็งเกร็ง อาทิเช่น หากเลือกให้ center of mass เป็นจุดกําเนิด เราจะต้องคํานวณ moment of inertia รอบจุดศูนย์กลางมวล หรือที่(CM)แทนด้วยสัญลักษณ์ I แต่หากมีจุดใดจุดหนึ ่งที่หยุดนิ่งเมื่อเทียบกับผู้สังเกตภายนอก อาทิเช่นบานพับประตู แกนของพัดลมติดเพดาน หรือที่เรียกว่าจุดหมุน P และเราเลือกที่จะใช้ตําแหน่งดังกล่าวเป็นจุดกําเนิด ตามสมการ (6.63) ก็สามารถกระทําได้ เพียงแต่ inertia tensor ที่ใช้ในการ(P)วิเคราะห์ระบบ ก็จะต้องเป็น moment of inertia รอบจุด P หรือที่แทนด้วยสัญลักษณ์ I กลิ้งไปตามพื้นt=1 t=2 t=31) หมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลK(CM)rot122) จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่3 3i1 j1ω v (CM) 1 2cm KtranMv2ภาพ (6.19) เราสามารถแยกการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งออกเป็น 2 ส่วนcmIωω(CM)ij i jDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-79เมื่อวัตถุแข็งเกร็งมีการเคลื่อนที่ พลังงานจลน์ของมันแบ่งออกเป็น 2 ส่วนที่ค่อนข้างเป็นอิสระจากกัน(CM)คือ 1) การหมุน (rotation) รอบจุดศูนย์กลางมวล Krotและ 2) การเคลื่อนที่ในเชิงเส้น (translation)(CM)ของจุดศูนย์กลางมวล Ktransดังตัวอย่างที่ชัดเจนมากอันหนึ ่งก็คือวงล้อที่กลิ้งไปกับพื ้นดังแสดงในภาพ (6.19) หากต้องการทํานายการกลิ้งของมันด้วยกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เราสามารถแยกวิเคราะห์ทีละส่วน คือในส่วนของการหมุนและส่วนของการเคลื่อนที่เชิงเส้น คําว่า "การเคลื่อนที่เชิงเส้น" หรือ translation ในที่นี ้หมายถึงจุดศูนย์กลางมวลมีการเลื่อนตําแหน่งเมื่อเวลาผ่านไป ในทํานองเดียวกันกับ ภาพ (6.19) ที่จุดศูนย์กลางมวลของวงล้อมีการเลื่อนมาทางขวามือในขณะที่มันกําลังกลิ้งในส่วนของการเคลื่อนที่เชิงเส้น เราได้ศึกษามาพอสมควรใน Chapter 4 System of Particles ซึ ่งมีข้อสรุปก็คือกรณีของระบบหลายอนุภาคF(ext)netd M dt22rcm________________ (6.64)เนื่องจากวัตถุแข็งเกร็งจัดอยู ่ในประเภทของระบบหลายอนุภาค สมการข้างต้นจึงสามารถนํามาประยุกต์ใช้ได้ กล่าวคือ จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ภายใต้แรงลัพธ์จากภายนอกเท่านั ้น โดยมิได้เกี่ยวข้องโดยตรงกับการหมุนของมัน ตัวอย่างที่เห็นชัดเจนก็คือ การเหวี่ยงประแจขึ ้นไปในอากาศเหวี่ยงประแจขึ้นในอากาศ1) หมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลเหวี่ยงประแจขึ้นในอากาศ2) CM เคลื่อนที่เป็ น parabolaภาพ (6.20) ไม่ว่าเหวี่ยงประแจหรือขว้างก้อนหิน จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่เป็น parabolaถึงแม้ในภาพรวมทั ้งหมด ประแจจะตวัดลอยขึ ้นไปอย่างไร ในส่วนของการเคลื่อนที่เชิงเส้นนั ้น มันยังคงเป็นรูป parabola อยู ่เช่นเดิม ไม่ต่างจากที่เราโยนก้อนหินธรรมดา เนื่องจากการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล ถูกกําหนดด้วยแรงลัพธ์จากภายนอก ซึ ่งในกรณีนี ้ก็คือแรงโน้มถ่วงแต่เพียงเท่านั ้นและมิได้เกี่ยวข้องโดยตรงกับส่วนของการหมุนของวัตถุDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-80ในการศึกษาวิชากลศาสตร์มาตั ้งแต่บทแรก Chapter 1 กลศาสตร์ Newton มาจนถึง Chapter 5Rotating Coordinate เรายังไม่เคยให้ความสําคัญของกับรูปร่างของวัตถุและการหมุนของมันอย่างจริงจัง หากนักศึกษาได้มีโอกาสทบทวน Chapter 4 System of Particles จะพบว่ามีการเลี่ยงที่จะวิเคราะห์การหมุนคว้างของประแจ โดยพุ่งความสนใจไปที่จุดศูนย์กลางมวลแทนและในลําดับต่อไป เราจะได้เริ่มให้ความสําคัญกับประเด็นที่ได้มีการผัดวันประกันพรุ่งมาโดยตลอดดังแสดงในส่วนที่ 1) ของภาพ (6.20) นั่นคือประเด็นของการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลตัวอย่างโจทย์จงแสดงให้เห็นว่าเทอมที่ 2 ในสมการ (6.59) มีค่าเท่ากับศูนย์เมื่อให้จุดกําเนิดอยู ่ ณ center of mass m ω r V วิธีทํา พิจารณาเทอม และทดลองกระจาย summation ออกมาให้ชัดเจน mω r V m1ω r1 V m2ω r2 V m3ω r3V จะเห็นว่าสามารถแยกความเร็ว V ออกมานอก summation ได้ เพราะฉะนั ้น mωrV m1 ωr1 m2ω r2 m3ω r3V ω m1r1 m2r2m3r3V m ωrV ωmrV ____________________________ (E.1)ในกระบวนการข้างต้น เราทําการแยก angular velocity ω ออกมาเช่นเดียวกัน ทําให้เทอมที่อยูภายใน summation มีเพียง m r ซึ ่งในขั ้นต่อไป จะได้ทําการพิสูจน์ว่ามันมีค่าเท่ากับศูนย์ หากกําหนดให้จุดกําเนิดตั ้งอยู ่ ณ center of massพิจารณา m r เมื่อมวล M ทั้งหมดของระบบ มาคูณเข้าและหารออก จะได้ว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-81mr Mโดยนิยามแล้ว mr M ก็คือตําแหน่งของ center of mass นั่นเอง กล่าวคือmM mr Mrcmr ดังนั ้น หากเราเลือกให้จุดกําเนิด ซึ ่งมีพิกัด 0,0,0 ตั ้งอยู ่ ณ center of mass พอดี ก็เท่ากับเรากําหนดให้ r cmมีพิกัดเป็น 0,0,0 ด้วยเช่นกัน เพราะฉะนั ้นสรุปได้ว่า m r 0 เมื่อ จุดกําเนิดตั้งอยู ่ ณ center of mass __________ (E.2)ผลจากข้อสรุปในสมการ (E.2) ผนวกกับสมการ (E.1) ทําให้ m ω r V 0เมื่อ จุดกําเนิดตั ้งอยู ่ ณ center of mass ตอบAngular Momentumปริมาณทางฟิสิกส์ที่จะเป็นสะพานเชื่อมไปยังธรรมชาติการหมุนของวัตถุก็คือ angular momentumในการเคลื่อนที่เชิงเส้น เมื่อวัตถุกําลังเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง มันจะมี total linear momentum p totและจะยังคงรักษาสภาพการเลื่อนเคลื่อนไปข้างหน้าตราบใดยังปราศจากแรงลัพธ์จากภายนอก การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งก็เช่นเดียวกันพิจารณาชิ้นส่วนของวัตถุแข็งเกร็งมีมวล m ณ ตําแหน่ง r ดังแสดงในภาพ (6.18) ในกรณีนี ้เราอนุญาตให้จุดกําเนิด O มีการเคลื่อนที่ ดังนั ้นความเร็วที่วัดโดยผู้สังเกตภายนอกก็คือv ω r V ส่งผลให้ linear momentum ของชิ้นส่วนดังกล่าวอยู ่ในรูปp m v m ω r mV เนื่องจาก angular momentum ของอนุภาคมีคํานิยามว่า L r pดังนั ้น total angularDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-82momentum ของวัตถุทั ้งชิ้นมีค่าเท่ากับ L r ptottot r m ωr mV L r ωr r Vm m ________________ (6.65)rแบบฝึ กหัด 6.24 จงแสดงให้เห็นว่า m 0V ถ้าจุดกําเนิดตั ้งอยู ่ ณ center of massจากสมการข้างต้น total angular momentum ประกอบด้วย 2 เทอมด้วยกัน ซึ ่งต่างก็จะลดรูปลงให้ง่ายขึ ้น ในสถานการณ์พิเศษบางประการr ω r1) เทอม m เมื่อลดรูปโดยอาศัยเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของ cross product จะ สามารถเขียนให้อยู ่ในรูปการคูณระหว่าง matrix และ vector ได้ว่า mได้แสดงรายละเอียดในลําดับต่อไปr2) เทอม m0V r ωrI ω ดังจะใน 2 สถานการณ์คือ 1) ในกรณีที่จุดกําเนิดหยุดนิ่ง หรืออีกนัยหนึ ่งV 0 หรือ 2) กรณีที่จุดกําเนิดตั ้งอยู ่ ณ center of mass ซึ ่งเงื่อนไขทั ้งสองข้อนี ้ สอดคล้องอย่างลงตัวกับเงื่อนไขของการเลือกจุดกําเนิดภายในวัตถุแข็งเกร็งดังสมการ (6.63) ดังนั ้นเราสรุปได้ว่า(CM) (CM)Total Angular Momentum ของวัตถุแข็งเกร็ง Ltot I (P) (P)ω หรือ Ltot Iωเมื่อจุดหมุน P จะต้องหยุดนิ่ง ในขณะที่ center of mass สามารถมีอิสระในการเคลื่อนที่_________________________ (6.66)หากจะใช้สมบัติทางคณิตศาสตร์ในการคํานวณ total angular momentum ดังแสดงในสมการข้างต้นเรามีทางเลือกในการกําหนดจุดกําเนิดภายในวัตถุแข็งเกร็งอยู ่เพียง 2 สาย คือ 1) จุดหมุนซึ ่งต้องหยุด(CM)นิ่งหรือ 2) จุดศูนย์กลางมวล โดยทั ้งสองกรณี angular momentum L totเป็นปริมาณที่ขึ ้นอยู ่กับinertia tensor และ angular velocity ของระบบr ω rเพื่อพิสูจน์เอกลักษณ์ข้อนี ้ พิจารณาเทอม m ในสมการ (6.65) อาศัยเอกลักษณ์ Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-83 A B C A C B A B Cของ cross product ที่ว่า เราสามารถเขียนเพราะฉะนั ้น 2 r m ωr m r ωr m rω r ωr 2 r m ωr m rω r ωr เมื่อเทอมที่ 2 ในสมการ (6.65) มีค่าเป็นศูนย์ จะทําให้2 Ltot m rω r ωr2สังเกตว่า เทอม r และ r ω ในสมการข้างต้น มีสถานะภาพเป็นตัวเลขหนึ ่งตัว ซึ ่งกําลังคูณอยู ่กับ vector ω และ vector r ตามลําดับ อย่างไรก็ตาม เราสามารถเขียนสมการข้างต้น ในรูปขององค์ประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ในพิกัด CartesianL1 ω1r1 2totL 2m rω L 2r ωr2L 3ω 3r 3_________________ (6.67)เมื่อพิจารณาเฉพาะองค์ประกอบตามแนวแกน x ของ total angular momentum จะพบว่าให้สังเกต dot product rr ω ω 1 1 2 23 3r ω r ω r ω r ω jj1(6.8) เรายังสามารถเขียน L m r r2 ω r ω1 1 1ที่ปรากฏข้างต้น ซึ ่งสามารถเขียนให้อยู ่ในรูปของ summation3jω ω ω ω ω1 1,1 1 1,2 2 1,3 3 1 jj1และด้วยเอกลักษณ์ของ Kronecker delta ดังสมการ เพราะฉะนั ้นแล้ว3j3 3 32 2L1 m r1jωj r jωjr1m 1jr r1rjωj j1 j1 j1Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-84และในท้ายที่สุดทําการสลับลําดับของ summation3 ทําให้j1L m r r r2หากสังเกตให้ดี เทอม m 1jr r jr1321 1j 1 j ωjj1 ที่ซ่อนอยู ่ภายใน ก็คือส่วนหนึ ่งของ inertia tensorซึ ่งนิยามในสมการ (6.10) ดังนั ้นองค์ประกอบตามแนวแกน x ของ total angular momentum คือL3 I1 1jj1ωjและในทํานองเดียวกัน กรณีแกน y และ แกน zL3 I2 2 jj1ωjL3 I3 3 jj1ωjซึ ่งเราสามารถเขียน L1, L2,L3ให้อยู ่ในรูปที่กระชับมากขึ ้นได้ว่า3L I ω _________________________ (6.68)i i j jj1ข้างต้นคือสมการในการคํานวณ total angular momentum ของวัตถุแข็งเกร็ง ซึ ่งสมการ (6.68) จะต่างจากสมการ (6.67) ก็แต่เพียงในประเด็นที่ว่า summation ทั ้งหลายถูกยุบรวม ซ่อนเก็บไว้ใน inertiatensor Iijหากนักศึกษาทบทวนกระบวนการคูณกันระหว่าง matrix และ vector ดังในสมการ (6.14) จะพบว่าสมการ (6.68) สามารถเขียนให้อยู ่ในรูปLtotIωนั่นหมายถึง ในการคํานวณ total angular momentum ของวัตถุ เราจําเป็นต้องทราบข้อมูล 2 ชิ้นด้วยกัน 1) คือสภาพการหมุนในขณะนั ้นของวัตถุ ซึ ่งแทนด้วย angular velocity ω และ 2) รูปร่างDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-85และสภาพการกระจายตัวของชิ้นส่วนที่ประกอบกันขึ ้นเป็นวัตถุ ซึ ่งแทนด้วย inertia tensor I อย่างไรก็ตาม มีความจําเป็นต้องเน้นยํ ้าถึงข้อแตกต่างระหว่างสมการข้างต้น กับการคํานวณ angularmomentum ที่นักศึกษาได้พบในวิชาฟิสิกส์เบื ้องต้น หรือ General Physics กล่าวคือ I ω มิใช่เป็นการคูณกันของเลขสองตัว หากแต่เป็นการคูณกันระหว่าง matrix และ vector ที่จําเป็นต้องใช้ vectorω เพราะเราเปิดโอกาสให้แกนของการหมุนมีการส่ายควงหรือชี ้ไปในทิศใดก็ได้ใน 3 มิติ ที่จําเป็นต้องใช้ matrix I ก็เพราะเราเปิดโอกาสให้วัตถุมีความซับซ้อนและหมุนรอบแกนใดก็ได้อย่างอิสระสาเหตุที่จําเป็นต้องทราบ total angular momentum L totของวัตถุแข็งเกร็ง ก็เพราะมันมีส่วนสําคัญต่อการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุ ใน Section 4.5 Angular Momentum of the System เราได้พิสูจน์ว่า ระบบหลายอนุภาค ซึ ่งจะแข็งเกร็งหรืออ่อนนุ่มก็ตามddtL tot(ext)net(ext)เมื่อ netr(ext)total external torque ที่กระทํากับระบบ _________________________ (6.69)F อาทิเช่น หากปราศจาก total external torque หรือ แรงบิดจากภายนอก จะทําให้ L totมีค่าคงที่ ไม่(ext)เปลี่ยนแปลงกับเวลา แต่หากมีแรงบิด netจากภายนอกเข้ามามีอิทธิพล สมการ (6.69) ก็จะเป็นเครื่องมือสําคัญ ที่เราสามารถใช้ทํานายการเคลื่อนที่ของวัตถุ ดังจะได้แสดงตัวอย่างในลําดับต่อไปนีSection 6.6 การหมุนรอบแกนอันเดียวเพื่อแสดงตัวอย่างการนําเอาปริมาณทางฟิสิกส์ อาทิ inertia tensor, พลังงานจลน์ของระบบ, และ totalangular momentum ตลอดจนสมการที่เกี่ยวข้องกับ rigid body มาประยุกต์ใช้ทํานายการเคลื่อนที่ของวัตถุ เราเริ่มด้วยระบบที่ง่ายที่สุดเสียก่อน นั่นคือจํากัดให้มีการหมุนรอบแกนเพียงอันเดียว ดังตัวอย่างในภาพ (6.21)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-86การหมุนรอบแกนเพียงอันเดียวพัดลมติดเพดานล้อรถไฟCraneภาพ (6.21) ในขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ มันมีการหมุนรอบแกนเพียงอันเดียวใบพัดที่กําลังหมุน รอบแกนของพัดลมติดเพดาน รถไฟที่วิ่งไปตามราง โดยอาศัยวงล้อเหล็กที่หมุนอยู ่รอบเพลา หรือแม้กระทั่งทรงกระบอกที่กําลังกลิ้งลงพื ้นเอียง ล้วนเป็นตัวอย่างของการหมุนรอบแกนเพียงอันเดียว ไม่ว่าแกนดังกล่าวจะหยุดนิ่งอยู ่กับที่ ในกรณีของพัดลมติดเพดาน หรือจะเลื่อนเคลื่อนไปในแนวเส้นตรง ในกรณีเพลาของล้อรถไฟเมื่อจํากัดอิสระในการเคลื่อนที่ ให้มีการหมุนได้เฉพาะรอบแกนเพียงอันเดียว จะทําให้คณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์มีความเรียบง่ายขึ ้นมาก และมีความคล้ายคลึงกับบทเรียนฟิสิกส์เบื ้องต้นที่นักศึกษาได้เคยพบมาในระดับมัธยมศึกษา อีกทั ้งจะเป็นโอกาสให้เราได้ทบทวน ทําความคุ้นเคยกับธรรมชาติการหมุนของวัตถุ ก่อนที่จะเข้าสู ่เนื ้อหาที่ซับซ้อนขึ ้นในหัวข้อถัดไปดังแสดงในภาพ (6.21) เพื่อความสะดวก กําหนดให้แกนของการหมุนก็คือแกน z ดังนั ้นเราบังคับให้angular velocity ω ชี ้เฉพาะในแนวแกนดังกล่าวเท่านั ้น หรืออีกนัยหนึ ่งกําหนดให้00 ωω _________________________ (6.70)เมื่อตัวเลข ω แสดงถึงอัตราเร็วเชิงมุมของการหมุน และอาจจะมีค่าได้ทั ้งบวกและลบ ส่งผลให้Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-87ทิศทางของการหมุนมีลักษณะตามเข็มหรือทวนเข็ม แล้วแต่การกําหนดแกนอ้างอิงในขณะนั ้นเมื่อ angular velocity ω มีลักษณะดังสมการ (6.70) จะส่งผลต่อการคํานวณพลังงานจลน์ของวัตถุดังสมการ (6.63) ให้มีความเรียบง่ายมากขึ ้น กล่าวคือ1 1K K I I3 3(P) (P) (P) 2rot ijωωi j 3,3ω2 i1 j12 _________________________ (6.71)โดยที่ P คือจุดหมุน จะเห็นว่า summation ที่ประกอบด้วยหลายเทอม ล้วนมีค่าเป็นศูนย์เกือบ(P)ทั ้งหมด คงเหลืออยู ่เพียงเทอมเดียว ที่คูณอยู ่กับ I ซึ ่งเป็น moment of inertia ของการหมุนรอบ2 2แกน z และจากสมการ (6.31) มันมีค่าเท่ากับ m x y3,3ในการหมุนรอบแกนเพียงอันเดียว เนื่องจากพลังงานจลน์ดังสมการ (6.71) ประกอบด้วย 1 เทอมเพียงเท่านั ้น เมื่อกล่าวถึง moment of inertia จึงไม่มีความจําเป็นจะต้องใช้ matrix ขนาด 3x3 ซึ ่งมีสมาชิกถึง 9 ตัว เหมือนดังกรณีทั่วไปที่ผ่านมา ดังนั ้นเราจะไม่เขียนสัญลักษณ์ subscript 3,3 กํากับอีกต่อไป โดยละไว้ในฐานที่เข้าใจว่า มันคือ I (P) 2 23,3 m x yนั่นเองเพราะฉะนั ้น สมการ (6.71) สามารถเขียนเสียใหม่ได้ว่า2กรณีการหมุนรอบแกนอันเดียว พลังงานจลน์ของการหมุน K I2 2เมื่อ I m x yrot1 ω2 คือ moment of inertia หรือ โมเมนต์ความเฉื่อย_________________________ (6.72)เมื่อผ่านขั ้นตอนการพิสูจน์มาโดยลําดับ ข้อสรุปในสมการ (6.72) ก็คือการวกกลับไปยังตอนต้นของบทนี ้ในสมการ (6.1) เริ่มตั ้งแต่การพิจารณาความเร็วของส่วนประกอบแต่ละชิ้น รวมเข้าด้วยกันเพื่อหาพลังงานจลน์ทั ้งหมด จัดรูปทางคณิตศาสตร์โดยอาศัยเอกลักษณ์ของ cross product และลดรูป1 2ให้ง่ายขึ ้นเมื่อกําหนดให้การหมุนจํากัดอยู ่เพียงแกนอันเดียว K I ω มิใช่เป็นเพียงสิ่งที่เราท่องอาขยาน หรือยึดถือเป็นความจริงเพียงเพราะคุณครูสั่งอีกต่อไปrot2Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-88z-axisy=0sy=-sตัวอย่างโจทย์ทรงกระบอกมีเชือกพันโดยรอบ เริ่มจากจุดนิ่งเคลื่อนที่ลงมาด้านล่างในขณะที่เชือกคลายออก ดังแสดงในภาพ หาก moment of inertia รอบ122แกนหมุนคือ I MR a) จงหาความเร่งที่จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนลงมาด้านล่างในแนวดิ่ง คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ g b) จงหาแรงตึงเชือกวิธีทํา เราจะใช้กฎทรงพลังงานโดยเปรียบเทียบพลังงานรวมเมื่อจุดเริ่มต้น และพลังงานรวมในขณะที่เคลื่อนที่ลงมาได้ระยะทาง sขณะเริ่มต้น พลังงานรวมมาจากเฉพาะส่วนของพลังงานศักย์ เพราะทรงกระบอกหยุดนิ่ง ถ้ากําหนดให้จุดดังกล่าว มีความสูงเท่ากับ y 0 ดังนั ้นพลังงานรวมเท่ากับEbefore K U 0Mg0 0 _________________________ (E.1)เมื่อจุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนลงมาได้ระยะทาง s มันมีพิกัด y s ดังนั ้นพลังงานศักย์U mgs ในการคํานวณพลังงานจลน์เราจะต้องย้อนกลับไปดูสมการ (6.63) ในกรณีนี ้วัตถุทั ้งชิ้นมีการเคลื่อนที่ โดยจุดหมุนมิได้หยุดนิ่ง ดังนั ้นเราต้องเลือกให้จุด center of mass เป็นจุดกําเนิดในการ(CM) 1 2คํานวณ moment of inertia และจากโจทย์ I MR ดังนั ้น21 1 2 2 (CM) 2 2EafterK U I ω Ms Mgs _________________________ (E.2)เมื่อdss dt คืออัตราเร็วที่จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ลงมา และ ω คืออัตราเร็วเชิงมุมของการหมุนซึ ่งอันที่จริง ω และ s มีความสัมพันธ์กันอยูss Rความยาวเชือกในส่วนที่คลายตัวออก ย่อมขึ ้นอยู ่กับมุม ที่ทรงกระบอกหมุนรอบแกนกลาง ดังนั ้นs R และเมื่อ differentiate ทั ้งสองข้างเทียบกับเวลา จะได้ว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-89ds d R Rd dt dt dtซึ ่งการเปลี่ยนแปลงมุมเทียบกับเวลา d ก็คืออัตราเร็วเชิงมุม ω นั่นเอง เพราะฉะนั ้นdts Rω หรือ ω sR_________________________ (E.3)และเมื่อแทน (E.3) เข้าในสมการ (E.2) จะได้ว่า22 s2 211 1 3Eafter MR Ms Mgs Ms Mgs22 R 2 4 _________ (E.4)หลักการอนุรักษ์พลังงานก็คือ Ebefore Eafterดังนั ้นจากสมการ (E.1) และ (E.4) จะได้หรือสามารถจัดให้อยู ่ในรูปของ30 42 42Ms Mgss _______________________________ (E.5) gs3เพื่อคํานวณหาอัตราเร่งที่จุดศูนย์กลางมวลจะเคลื่อนลงมาในแนวดิ่ง เพียงแต่ differentiate สมการข้างต้นเทียบกับเวลา จะได้ว่าds gsdt dt 342 ss gs32 d 4และเมื่อทําการหักล้าง s ออกจากทั ้งสองข้างของสมการ ทําให้ในท้ายที่สุดa) อัตราเร่ง2s g3 คิดเป็น 66.7% ของค่า g ตอบb) ในการคํานวณหาแรงตึงเชือก เราพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนที่เชิงเส้นของวัตถุ ดังสมการ (6.64)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-90จากตอน a) เราทราบแล้วว่า ความเร่งของ center of massภายนอกดังนั ้น(ext)F net2d 22 xcm gเป็นผลมาจาก 2 ส่วนด้วยกันคือ นํ ้าหนักและแรงตึงเชือก หรือทําให้เราทราบว่า แรงตึงเชือกก็คือdt2MgT M g3 นอกจากนี ้แรงลัพธ์จาก3(ext)FnetMgTb) แรงตึงเชือกT1Mg3 ตอบTension ตัวอย่างโจทย์ข้างต้นแสดงให้เห็นว่า เราสามารถแยกวิเคราะห์การเคลื่อนที่เชิงเส้นและการหมุนออกเป็นคนละส่วนกัน ในส่วน b) ที่คํานวณหาแรงตึงเชือกเราวิเคราะห์ในแง่ของการเคลื่อนที่เชิงเส้น ซึ ่งมีสมการอยู ่ในรูปของz-axis(ext) WeightFnet Macmแม้แรงทั ้งหลายจะกระทําต่อวัตถุ ณ ตําแหน่งที่แตกต่างกันอาทิแรงตึงเชือกจะออกแรงกับทรงกระบอก ณ ขอบด้านซ้าย ในขณะที่แรงจากนํ ้าหนักจะคล้ายกับว่ารวมอยู ่ตรงกลางของวัตถุ สิ่งที่น่าทึ ่งก็คือเราสามารถรวมแรงทั ้งหมดนี ้เข้าด้วยกัน เกิดเป็น ราวกับว่าทุกแรงล้วนกําลังกระทํา ณ จุด จุดเดียวกัน(ext)F netแบบฝึ กหัด 6.25 จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น สมมุติให้โมเมนต์ความเฉื่อย รอบจุดศูนย์กลางมวล (และ(CM) 2แกนของการหมุน) คือ I MR จงหาอัตราเร่งที่จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ลงมา ในขณะที่เชือกคลายตัวออก พร้อมทั ้งหาแรงตึงเชือกเฉลย: ความเร่งคือ g 1 และแรงตึงเชือกเท่ากับ g 1 ทฤษฎีแกนขนานเมื่อมีการหมุนรอบแกนเพียงอันเดียว Steiner's Parallel-Axis Theorem จะลดรูปให้ง่ายขึ ้น ทั ้งนี(P)เพราะในกรณีนี ้เราสนใจเฉพาะ I ซึ ่งจากสมการ (6.57) จะได้ว่าและเมื่อสังเกตภาพ (6.16) จะพบว่า x y3,3I I M a a(CM) (P) 2 23,3 3,3 x ya a d2 2 2 เมื่อ d คือระยะห่างระหว่างแกนหมุนทั ้งสองDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-91เพราะฉะนั ้นหากละที่จะเขียน subscript 3,3 กํากับ ก็จะได้ทฤษฎีบทที่เราคุ้นเคยเมื่อครั ้งศึกษาหัวข้อวัตถุแข็งเกร็งในวิชาฟิสิกส์เบื ้องต้นParallel Axis Theorem หรือ ทฤษฎีแกนขนาน เมื่อเลื่อนแกนของการหมุน จากเส้นที่ตัดผ่าน(P) (CM) 2center of mass มาเป็นระยะทาง d โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนอันใหม่ I I Md_________________________ (6.73)โดยที่แกนทั ้งสองจะต้องขนานกัน ดังอธิบายในภาพ (6.17) สิ่งนักศึกษาจะต้องระมัดระวังเมื่อนําParallel Axis Theorem มาประยุกต์ใช้ก็คือ แกนทั ้งสองมิใช่ว่าจะเป็นแกนใดก็ได้ เพราะตามสมการ(6.73) แกนใดแกนหนึ ่งจะต้องตัดผ่านจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ ดังจะได้แสดงในตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดต่อไปนีตัวอย่างโจทย์(CM) 2ท่อตันสมํ ่าเสมอความยาว มี moment of inertia รอบจุด center of mass I M ดังแสดงในภาพ จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของการหมุนรอบแกน P และ แกน Q112I1M12(CM) 2Q3Pวิธีทํา ในกรณีของ moment of inertia รอบจุด P จะเห็นว่าระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวล มายังแกนดังกล่าวคือd 2ดังนั ้นจากสมการ (6.73)เพราะฉะนั ้น2(P) (CM) 1 2 1 2I I M M M212 4I1M3 ตอบ ________________________ (6.74)(P) 2ในส่วนของโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุด Q ระยะทางจาก center of mass มายังจุด Q ก็คือ d 2 3 6ดังนั ้นจากสมการ (6.73)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-92มีผลให้2(Q) (CM) 1 2 1 2I I M M M612 36I1M9 ตอบ _______________________ (6.75)(Q) 2จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น ระยะห่างระหว่างจุด P และ Q มีค่าเป็น d 3 แต่ว่าความสัมพันธ์(P) (Q)ระหว่าง I และ I มิได้เป็นดังสมการ (6.73) กล่าวคือ2(P) (Q)I I M 3ทั ้งนี ้ก็เพราะ ทั ้งจุด P และ Q ต่างก็มิใช่จุดศูนย์กลางมวลนั่นเองแบบฝึ กหัด 6.26 ทรงกลมตันเมื่อแกนของการหมุนผ่านใจกลาง มีค่า25(CM) 2moment of inertia I MR จงคํานวณหาโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อแกนการหมุนผ่านจุด P75(P) 2เฉลย: I MRPพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งเมื่อวัตถุแข็งเกร็งมีการเคลื่อนที่ อาทิล้อเหล็กกลิ้งไปบนพื ้น ป้ ายโฆษณาบนท้องถนนปัดแกว่งตามลมพายุ หรือบานประตูปิดลงอย่างแผ่วเบา วัตถุมิได้มีพลังงานจลน์ของการหมุนในสมการ (6.72) แต่เพียงเท่านั ้น หากแต่จุดศูนย์กลางมวลยังมีการเคลื่อนที่ อาทิเช่นล้อที่กลิ้งไปตามพื ้น มันจึงมี1 2พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่เชิงเส้น M v แต่การคํานวณ total kinetic energy ของวัตถุมิได้2cmรวบรัดง่ายดายเพียงแค่การรวมเทอมทั ้งสองเข้าด้วยกัน เพราะการกําหนดให้จุดใดเป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน มีผลต่อความถูกต้องในการคํานวณ ดังจะได้เห็นในกรณีศึกษาต่อไปนีDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-93CMQP3พิจารณาแท่งไม้สมํ ่าเสมอยาว อยู ่บนพื ้นขรุขระ เริ่มต้นวางนิ่งและเอียงเป็นมุม 0จากนั ้นล้มลงมาโดยที่ปลายด้านขวาปักอยู ่กับที่ ในขณะที่มันทํามุมกับพื ้น total kinetic energy มีค่าเป็นเท่าใด ?เพื่อตอบคําถามข้อนี ้ เราต้องย้อนกลับไปที่สมการ (6.63) ซึ ่งเปิดให้เลือกอยู ่ 2 ทางด้วยกัน ในกรณีแรก กําหนดให้ P เป็นจุดกําเนิด เพราะจากโจทย์มันหยุดนิ่ง จากสมการ (6.63) พลังงานจลน์ของ1 (P) 2dวัตถุ K K I ω จากภาพ คือมุมที่วัตถุหมุนไปได้รอบจุด P และ ωrotเพราะฉะนั ้นแล้ว2(P) 2total kinetic energy K K I _________________________ (6.76)rotให้สังเกตพลังงานจลน์ในสมการข้างต้น ว่าประกอบด้วยการหมุนรอบจุด P แต่เพียงเท่านั ้น มิได้รวมเอาการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลเข้าไปด้วย ที่เป็นเช่นนี ้ก็เพราะจุด P หยุดนิ่ง และการเคลื่อนที่(P)ของส่วนประกอบทุกชิ้นได้ถูกรวมเข้าไปเป็นส่วนหนึ ่งของ I เป็นที่เรียบร้อยในกรณีที่ 2 จากสมการ (6.63) เมื่อกําหนดให้ CM เป็นจุดกําเนิด พลังงานจลน์มีค่าเท่ากับ1 1K K K I ω Mv2 2(CM) 2 2rot tran cm12 และเพื่อที่จะทําความเข้าใจลักษณะการหมุนรอบจุด CMเราต้องพิจารณาลักษณะเชิงเรขาคณิตของแท่งไม้อีกครั ้งdtCMPการหมุนรอบจุด CM(CM) 12IM12d ωdtDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-94ด้วยเอกลักษณ์ทางเรขาคณิต มุม ที่แท่งไม้เอียงกับพื ้น มีค่าเท่ากับมุมที่มันหมุนรอบจุด center ofmass ทําให้ในกรณีนี ้dωdtของแท่งไม้พอดี หรืออีกนัยหนึ ่ง นอกจากนี ้ เนื่องจากตําแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล อยู ่กึ ่งกลางxcm cosและ ycm sin22เมื่อพิกัดทั ้งสองของ center of mass วัดโดยผู้สังเกตจากภายนอก ซึ ่งยึดเอาปลายทางขวามือเป็นจุดกําเนิด เพื่อหาความเร็วของจุดดังกล่าว ทําการ differentiate เทียบกับเวลาดังนั ้นd dxcm sin sin d dและ ycm cos cosdt 2 dt 2dt 2 dt 22 22 2 2 1 2 2cm xcm ycm v sin cos 2 2 4และจากสมการ (6.63)1 1 12 2 4(CM) 2 2 2total kinetic energy K K K I M ____________ (6.77)rottran 2สังเกตพลังงานจลน์ในสมการข้างต้น ว่าประกอบด้วยเทอม v1cm2 M ทัหมุน เราพิจารณาการหมุนรอบจุด CM และจุดดังกล่าวเองก็กําลังเคลื่อนที่้งนี ้เพราะในส่วนของการพลังงานจลน์ในสมการ (6.76) และสมการ (6.77) แม้ผิวเผินจะมีรูปแบบภายนอกแตกต่างกัน แท้จริงแล้วมีค่าเท่ากัน ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา ในสมการ (6.74) ซึI1 M12(CM) 2และ เพราะฉะนั ้นแล้ว1 (P) 2 1 2 2I M 2 613(P) 2่ง I M และDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-951 (CM) 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2I M M M M 2 2 4 24 8 6จากกรณีศึกษาอันนี ้ทําให้ทราบว่า การที่เราจะเลือกพิจาณาให้จุดใดเป็นจุดหมุนเพื่อคํานวณพลังงานจลน์นั ้น มีทางเลือกอยู ่เพียง 2 กรณี คือจุดดังกล่าวนั ้นหยุดนิ่งดังเช่นจุด P หรือเป็นจุดศูนย์กลางมวลแบบฝึ กหัด 6.27 จงแสดงให้เห็นว่า หากเลือกพิจารณาการหมุนรอบจุด Q1 I ω 1 Mv 1 M 2 2 6(Q) 2 2 2 2Qเมื่อ vQคืออัตราเร็วของจุด Q ในขณะที่ไม้กําลังล้มลงตัวอย่างโจทย์แท่งไม้สมํ ่าเสมอยาว ล้มลงจากจุดหยุดนิ่งซึ ่งเอียงทํามุม 0กับแนวราบ โดยปลายด้านขวาปักอยูกับที่ตลอดการเคลื่อนที่ แท่งไม้จะฟาดพื ้นด้วยอัตราเร็วเชิงมุมเท่าใด ?มวล Mวิธีทํา เราสามารถใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานในการตอบโจทย์ โดยที่พลังงานเริ่มต้นมาจากเฉพาะพลังงานศักย์Ebefore Mg sin02 0P__________________________ (E.1)ในขณะที่มันฟาดพื ้น พลังงานศักย์เท่ากับศูนย์ทําให้พลังงานรวมทั ้งหมดถ่ายเทมาอยู ่ในรูปของพลังงานจลน์ ซึ ่งจากสมการ (6.76)1 (P) 2 1 2 2Eafter I ω M 2 6 __________________________ (E.2)สุดท้ายกําหนดให้สมการ (E.1) เท่ากับ (E.2)Ebefore Eafter 1 2 2Mg sin0 M 2 6Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-96เพราะฉะนั ้นแล้วมันฟาดพื ้นด้วยอัตราเร็วเชิงมุม 3gsin0ตอบแบบฝึ กหัด 6.28 จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา ในขณะที่แท่งไม้ยังไม่ฟาดกระทบพื ้น แต่ทํามุม กับแนวราบ จงคํานวณอัตราเร็วเชิงมุม ω และอัตราเร่งเชิงมุม ของมัน3 g0d dtเฉลย: ω sin sinและ3g cos 2ในตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถใช้จุด P ให้เป็นประโยชน์ในการคํานวณพลังงานจลน์ของวัตถุเพราะจากสมการ (6.63) ไม่มีความจําเป็นที่จะต้องนําพลังจลน์จากการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล1 2หรือ M v เข้ามารวมเข้าด้วยกัน ที่เป็นเช่นนี ้ก็เพราะจุด P นั ้นหยุดนิ่ง2cmหากแต่ในบางสถานการณ์ ดังจะได้เห็นในตัวอย่างโจทย์ต่อไปนี ้ ลักษณะการเคลื่อนที่ของแท่งไม้ปราศจากจุดใดจุดหนึ ่งที่เราจะกําหนดให้มันหยุดนิ่ง ในกรณีเช่นนี ้ เราได้แต่กําหนดให้ center ofmass เป็นจุดกําเนิดภายในวัตถุที่จะใช้ในการคํานวณ moment of inertia I และพลังงานจลน์ของมันตัวอย่างโจทย์แท่งไม้สมํ ่าเสมอยาว (1) เริ่มจากจุดหยุดนิ่งทํามุม 0กับแนวราบ (2) จากนั ้นด้วยความที่ผนังและพื ้นปราศจากความเสียดทาน แท่งไม้ลื่นลงมาด้านล่างและพร้อมกันนั ้นก็หมุนไปเล็กน้อย(3) เมื่อเอียงทํามุมวิกฤต criticalปลายด้านซ้ายหลุดจากผนัง และ (4) ฟาดกับพื ้น จงหา critical(1) เริ่มเคลื่อนที่(2) 0(3) หลุดจากผนังdωdt(4) ฟาดพื้นวิธีทํา เริ่มด้วยการเคลื่อนที่เชิงเส้นของวัตถุ เมื่อพิจารณาแรงทั ้งหมดที่กระทํากับแท่งไม้พบว่าประกอบด้วย normal force จากผนังและพื ้น และแรงโน้มถ่วง ดังแสดงในภาพDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-97N wallMgN floorx cm, y cm cos , sin2 2ในแนวนอน มีเฉพาะ normal force จากผนัง Nwallเท่านั ้น เพราะฉะนั ้นหากเราพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนที่ของ center of mass ดังสมการ (6.64)F(ext)netNwall Mx Mx cmcmเมื่อแท่งไม้เริ่มผละออกจากผนัง แรง Nwallที่ผนังกระทํากับมันย่อมเท่ากับศูนย์ เพราะฉะนั ้นแล้วเมื่อปลายด้านซ้ายเริ่มหลุดจากผนัง หรือ criticalแล้ว xcm 0 ________________ (E.1)ขอเพียงเราสามารถหาเงื่อนไขที่ทําให้สมการ (E.1) เป็นจริง ก็จะตอบโจทย์ข้อนี ้ได้ พิจารณาตําแหน่งในแนวนอนของ center of massxcm หรือcm cmsincos2d xdt x 2ซึ ่งเมื่อทําการ differentiate ข้างต้นเทียบกับเวลาอีกครั ้ง จะทําให้d xcm cmsin cosdt2 2x2 ________________ (E.2)แม้โจทย์ต้องการคํานวณหามุมวิกฤต criticalแต่สมการ (E.2) ข้างต้น ขึ ้นอยู ่กับปริมาณอย่างอื่น2นอกเหนือจากมุม ซึ ่งก็คือ และ ดังนั ้นเราจะต้องทําการวิเคราะห์หาปริมาณทั ้งสองนีเสียก่อน จึงจะวกกลับมาสมการ (E.2)เมื่อพิจารณากฎการอนุรักษ์พลังงาน ตอนเริ่มต้น จุดศูนย์กลางมวลอยู ่สูงจากพื ้น sin0พลังงานรวมประกอบด้วยพลังงานศักย์เพียงอย่างเดียว ดังนั ้น2และDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-98Ebefore Mg sin02__________________________ (E.3)เมื่อกําลังเคลื่อนที่ เราจะคํานวณพลังงานจลน์ของมัน โดยมุ่งไปที่การหมุนรอบ center of mass และการเคลื่อนที่ของจุด CM กล่าวคือ1 1K I Mv2 2 __________________________ (E.4)(CM) 2 2cmเมื่อ คืออัตราเร็วของการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล และด้วยลักษณะเชิงเรขาคณิตของโจทย์ มุมดังกล่าวมีค่าเท่ากับมุมที่แท่งไม้ทํากับพื ้นพอดีx cm, y cm cos , sin2 2112(CM) 2ในกรณีของแท่งไม้ I M ดังนั1 12 24(CM) 2 2 2้น I M 1v2 M และในส่วนของ2เริ่มด้วยการพิจารณาตําแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล ซึ ่งมองจากผู้สังเกตภายนอก เมื่อสมมุติให้มุมห้องเป็นจุดกําเนิดxcm cosและ ycm sin22cmทําการ differentiate เทียบกับเวลาทั ้งสองข้างของสมการ ทําให้x cm sin และ ycm cos 22จากนั ้นยกกําลังสองทั ้งสองข้าง แล้วนํามารวมกันเข้า2 22 2 2 1 2 2cm xcm ycm v sin cos 2 2 4เพราะฉะนั ้น เมื่อรวมพลังงานจลน์ทั ้งสองส่วนเข้าด้วยกันDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-991 1 1 1 1K I Mv M M M 2 2 24 8 6 ________ (E.5)(CM) 2 2 2 2 2 2 2 2cmจากนั ้นผนวกพลังงานศักย์U Mg sin2ก็จะได้พลังงานรวมในขณะนั ้น1 sin6 22 2EafterM Mg __________________________ (E.6)และเมื่อใช้กฎอนุรักษ์พลังงาน ในการกําหนดให้ (E.3) เท่ากับ (E.6) จะได้ว่าEbefore Eafter 1 sin2 6 22 2Mg sin0M Mgซึ ่งลดรูปให้ง่ายขึ ้น3gsinsin2 0 __________________________ (E.7)จากสมการข้างต้น หากเรา differentiate เทียบกับเวลาทั ้งสองข้างทําให้เราทราบว่าd 3g dsindt dt2 3 g cos sin2 0 อัตราเร่งเชิงมุม3g ω cos2__________________________ (E.8)2ทั ้งนี ้ เมื่อทราบปริมาณ และ เราสามารถวกกลับไปยังสมการ (E.2) จะได้ว่า x x 3g 3g sin cos cos sin sin2 2 2 3 3 3 gcos sin gcossin0 gcossin4 2 23 g cos 3sin 2sin 4cm 0cm 0Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-100ความสัมพันธ์ของ xcmข้างต้น เป็นจริงเสมอตราบที่ผนังยังพยุงปลายด้านซ้ายอยู ่ แต่ในขณะที่มันกําลังผละออก จากสมการ (E.1)เริ่มผละจากผนัง criticalxcm 0 gcoscritical 3sincritical 2sin034ทําให้ในท้ายที่สุด2 arcsin sin3critical 0ตอบแบบฝึ กหัด 6.29 จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา จงหาขนาดของแรง normal force Nwall34เฉลย: N Mgcos 3sin 2sinwall 0แบบฝึ กหัด 6.30 จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เมื่อผละออกจากผนัง จุดศูนย์กลางมวลจะเคลื่อนที่ไปด้วยอัตราเร็วตามแนวนอนคงที่เท่าใด ?1 sin sin3เฉลย: 0 g0Physical Pendulumการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง สามารถนํามาประยุกต์ศึกษาพฤติกรรมทางฟิสิกส์ที่มีความสําคัญอย่างยิ่ง นั่นคือ ลูกตุ้ม หรือ pendulum ดังแสดงในภาพ (6.22) ลูกตุ้มที่เราเคยวิเคราะห์โดยทั่วไปในวิชาฟิสิกส์เบื ้องต้น มีลักษณะเป็นทรงกลมขนาดเล็กโดยมี center of mass อยู ่ใจกลาง และอยู ่ห่างจากจุดหมุนเป็นระยะทาง b ลูกตุ้มในลักษณะนี ้มีชื่อเรียกโดยทั่วไปว่า simple pendulumภาพ (6.22)Physical PendulumPbCMy 0y b coscmSimple PendulumPลูกตุ้มรูปทรงแตกต่างกัน แกว่งรอบจุดสมดุลbCMIy 0Mb(P) 2Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-101ในการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม พลังงานมีการถ่ายเทกลับไปกลับมาระหว่างพลังงานศักย์และพลังงานจลน์เริ่มจากใช้มือดึงลูกตุ้มขึ ้นมาเป็นมุม 0กับแนวดิ่ง เนื่องจากวัตถุอยู ่สูงจากจุดสมดุลเล็กน้อย มันจึงมีการสะสมพลังงานศักย์อันเนื่องมาจากสนามโน้มถ่วง เมื่อปล่อยมือจากจุดหยุดนิ่ง ลูกตุ้มจะแกว่งลงมาด้านล่างด้วยอัตราเร็วที่เพิ่มขึ ้น หรืออีกนัยหนึ ่ง พลังงานศักย์ที่สะสมอยู ่ได้ถูกเปลี่ยนให้อยูในรูปของพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ จากนั ้นเคลื่อนผ่านจุดสมดุล ณ 0 และที่ระดับความสูงอันนี ้ พลังงานศักย์ที่เดิมสะสมไว้หายไปจนหมดสิ้น และถูกเปลี่ยนให้อยู ่ในรูปของพลังงานจลน์ทําให้มันมีอัตราเร็วสูงที่สุด ณ จุดนี ้ ลูกตุ้มจะแกว่งเลยสูงขึ ้นไปอีกฟากหนึ ่ง จนมาหยุดนิ่งชั่วขณะ และเริ่มวกกลับมาอีกครั ้งณ0นี ้คือลักษณะการแกว่งของลูกตุ้มที่สลับไปมาอยู ่เช่นนี ้ โดยที่มุม () t มีการเปลี่ยนแปลงกับเวลาแต่จะโดนจํากัดอยู ่แต่เฉพาะในช่วง 0()t 0โดยทั่วไปแล้ว มุม 0สูงสุดที่ลูกตุ้มจะแกว่งขึ ้นไปได้ มีชื่อเรียกว่า amplitude ของการสั่น และระยะเวลาที่มันแกว่งครบหนึ ่งรอบพอดีเรียกว่า คาบของการสั่น หรือ period แทนด้วยสัญลักษณ์ T ถ้าหากการแกว่งมีการเบี่ยงเบนจากจุดสมดุลไม่มากนักbgSimple Pendulum T 2เมื่อ 0 0 ____________ (6.78)แต่ในความเป็นจริง สถานการณ์มีความซับซ้อนมากกว่านั ้น ยกตัวอย่างเช่นถ้าการแกว่งเบี่ยงเบนจากจุดสมดุลเป็นมุมขนาดใหญ่ อาทิ 90 องศาจากด้านขวา แกว่งมา 90 องศาทางด้านซ้าย สลับไปมาเป็นจังหวะ หรือแม้กระทั่งหากรูปร่างของลูกตุ้มเป็นวัตถุรูปทรงที่แตกต่างกัน ซึ ่งมีชื่อเรียกว่าphysical pendulum คําถามที่เราจะทําการศึกษาในลําดับต่อไปนี ้ก็คือ คาบการแกว่งของ physicalpendulum ซึ ่ง Leonhard Euler ได้เคยวิเคราะห์ไว้ในปี 1736ในตอนต้นลูกตุ้มทํามุม 0เริ่มจากจุดหยุดนิ่ง เพราะฉะนั ้นมันมีพลังงานศักย์U Mgbcosเมื่อ b คือระยะทางจากจุดหมุนมายัง center of mass ดังแสดงในภาพ (6.22)0หากกําหนดให้ P เป็นจุดกําเนิด ซึ ่งหยุดนิ่งตลอดการแกว่งของลูกตุ้ม พลังงานจลน์ของมันก็คือ1K I 2(P) 2 ในขณะที่พลังงานศักย์ ขึพลังงาน เราเขียนสมการได้ว่า้นอยู ่กับตําแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล อาศัยกฎการอนุรักษ์Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-10212Eafter Ebefore cos cos(P) 2I Mgb Mgb0หรือจัดให้อยู ่ในรูปd2Mgb cos cos(P)0dt I หรือdt (P)I d2Mgbcos cos0 01/4 ของคาบ 0ดังนั ้นคาบของการแกว่งเมื่อทําการ integrate ทั ้งสองข้างของสมการ โดยในฝั่งขวากําหนดlimit 0, ซึ ่งคิดเป็นเวลา 14 ของคาบพอดี0T 4 0 (P)dt I 1d2Mgbcos cos0 0 00 (P)T I 14d2Mgbcos cos(P)I dT 4 2 Mgb cos cos0 00_________________ (6.79)0 0หากเราสามารถใช้ทักษะทางคณิตศาสตร์ ทําการหาผลเฉลยของ integration ข้างต้น ก็จะนําไปสู ่คาบของ physical pendulum ในทันที น่าเสียดายที่แม้แต่ผู้เชี่ยวชาญทางคณิตศาสตร์ก็ไม่สามารถหาผลลัพธ์ดังกล่าว ออกมาด้วยตัวเองภายในเวลาอันสั ้นซึ ่งความจริง บทวิเคราะห์ทางฟิสิกส์มักเป็นเช่นนี ้ ภายหลังจากที่ใช้หลักการพื ้นฐานในการสร้างสมการขึ ้น ผ่านการจัดรูป และในท้ายที่สุดมักจะเจอทางตันทางคณิตศาสตร์ ที่ลําพังเพียงเราเอง ด้วยเวลาที่กระชั ้นชิด ไม่มีทางหาผลเฉลยออกมาด้วยตนเอง ด้วยเหตุนี ้เราจําเป็นต้องยืมผลการค้นคว้าของนักคณิตศาสตร์ ที่อุทิศเวลาทั ้งชีวิต กว่าจะแจกแจงผลเฉลยในแง่มุมที่หลากหลายของสมการทางคณิตศาสตร์เหล่านี ้ ดังที่นักศึกษาวิชาฟิสิกส์มักจะเคยได้พบกับมันอยู ่บ่อยครั ้ง ก็คือคําว่า specialfunction นั่นเองspecial function ที่เกี่ยวข้องกับสมการ (6.79) มีชื่อว่า Complete Elliptical Integral of the First Kindซึ ่งเป็นอีกผลงานหนึ ่งของ Leonhard Euler โดยมีคํานิยามว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-103Complete Elliptical Integral of the First KindK( x) 2 d_________ (6.80)2 20 1x sin และก่อนที่จะได้เห็นถึงความเชื่อมโยงระหว่างคาบการแกว่งในสมการ (6.79) กับ K( x ) เราจะได้ใช้เวลาส่วนหนึ ่งในการทําความรู้จักกับ special function ดังกล่าวComplete Elliptical Integral of of the the First KindK ( x)20d1 x sin2 22K ( x)3xsin( x) x 3!ex2x 1x2!x 0x 12 2 2 21 2 1 3 4 1 3 5 6 1 3 5 78K( x) 1 x x x x2 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8ภาพ (6.23) Complete Elliptical Integral of the First Kindนอกเหนือจากชื่อที่ยืดยาวผิดปรกติ จากภาพ (6.23) Complete Elliptical Integral of the First KindxK( x ) ก็ไม่ต่างไปจากฟังก์ชันธรรมดาที่เราคุ้นเคยอาทิ sin( x ) หรือ e มากเท่าใดนัก ซึ ่งต่างก็ล้วนเป็นฟังก์ชันที่สามารถนํามาวาดบนกราฟ เป็นลายเส้นโค้งขึ ้นลงตามแต่ลักษณะเฉพาะตัว ต่างก็มีเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของมันเอง และต่างก็ได้ถูกนํามาประยุกต์ใช้เป็นตัวแทนของปรากฏการณ์xทางฟิสิกส์ sin( x ) แทนการเคลื่อนที่ของคลื่นของผิวนํ ้า e สัมพันธ์อยู ่กับการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี และ K( x ) เกี่ยวข้องกับคาบการสั่นของลูกตุ้มหากสังเกตรูปร่างของฟังก์ชัน K( x ) จะพบว่ามันมีค่าเท่ากับ 2 เมื่อ x 0 และมีค่าเพิ่มขึ ้นอย่างต่อเนื่อง จนกระทั่งมีค่าเป็นอนันต์เมื่อ x 1 นอกเหนือจากขอบเขตนี ้ จากคํานิยามในสมการ(6.80) หาก x 1 จะทําให้ค่าภายในรากที่สองติดลบ ส่งผลให้ฟังก์ชันมิใช่จํานวนจริงแบบฝึ กหัด 6.31 อาศัยคํานิยามในสมการ (6.80) เพื่อแสดงให้เห็นว่า K(0)ดังแสดงในภาพ (6.23) ในทํานองเดียวกันกับ sin( x ) หรือ2xe special function K( x ) สามารถDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-104เขียนให้อยู ่ในรูปของ Taylor expansion2 2 2 21 2 1 3 4 1 3 5 6 1 3 5 7 8K( x) 1 x x x x 22 24 246 2468 ____________________________ (6.81)ซึ ่งอันที่จริงเราสามารถพิสูจน์ความสัมพันธ์ข้างต้นได้โดยไม่ลําบากนัก และเป็นโอกาสอันดีที่จะได้ทบทวนเนื ้อหาในบทที่ 1 กลศาสตร์ Newton ใน Section 1.5 ทบทวน Taylor Expansion แต่เพื่อมิให้ลําดับเนื ้อหาของฟิสิกส์ต้องขาดความต่อเนื่อง เราจะวกกลับมาพิสูจน์เอกลักษณ์ดังกล่าวอีกครั ้งในแบบฝึกหัดท้ายบทอย่างไรก็ตาม รูปแบบของฟังก์ชัน K( x ) ในสมการ (6.81) ประกอบด้วยเทอมจํานวนมาก และบางครั ้งในทางปฏิบัติยากต่อการคํานวณหาค่าของมัน ด้วยเหตุนี ้วิธีที่ได้รับการยอมรับว่ามีประสิทธิภาพที่สุด และมีความแม่นยําในระดับที่ยอมรับได้ ในการคํานวณ special function ( )ชื่อว่า Arithmetic-Geometric Mean (AGM)K x มีSecond Order AGMThird Order AGMK( x)21 1 x2K( x)1 1x2 1x _____________________ (6.82)2 2_________ (6.83)ด้วยความซับซ้อนของคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ที่มาของสมการข้างต้น อยู ่นอกขอบเขตของหนังสือเล่มนี ้ อภัยที่ปล่อยให้เป็นหน้าที่ของนักศึกษาผู้สนใจ ได้ค้นคว้าเพิ่มเติมด้วยตนเอง ถึงแม้ข้างต้นจะเป็นเพียงการประมาณ แต่ก็มีความแม่นยําสูงมาก ดังแสดงในภาพ (6.24) โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของThird Order AGM ที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ ้นมาอีกเพียงเล็กน้อย แต่มีความคลาดเคลื่อนน้อยมาก จากกราฟจะเห็นว่า เมื่อ x 0.8 มันจะมีความผิดพลาดน้อยกว่า 0.01% เลยทีเดียวDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-105เปอร์เซ็นต์ความผิดพลาดของการประมาณ100.11 10 31 10 51 10 71 10 91 10 110.2 0.4 0.6 0.82nd Order AGM3rd Order AGMxภาพ (6.24) เปอร์เซ็นต์ความผิดพลาดของการประมาณ special function K( x ) ด้วยกระบวนการArithmetic-Geometric Mean ภายในช่วง x 0,0.99มาถึงขั ้นนี ้เรามีความคุ้นเคยกับ Complete Elliptical Integral of the First Kind พอสมควร ทั ้งคํานิยามในสมการ (6.80) ลักษณะรูปร่างของฟังก์ชันในภาพ (6.23) การคํานวณค่าที่แท้จริงออกมาในรูปของ Taylor expansion ดังสมการ (6.81) ตลอดจนวิธีการประมาณค่าในทางปฏิบัติตามสมการ(6.82) และ (6.83) ในลําดับต่อไปเราจะได้เชื่อมโยงคาบการแกว่งของลูกตุ้ม ให้อยู ่ในรูปของspecial function ดังกล่าวจากสมการ (6.79) เราจะใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรจาก ให้อยู ่ในรูปของตัวแปร โดยกําหนดให้ทั ้งสองมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี 2 20กําหนดให้ sin sin sin_____________________ (6.84)2sin cos0 0ซึ ่งเมื่อจัดรูป 2arcsin sinsin ทําให้เราทราบว่า d 2 2 d2021sin sin 2หรือd102sin cosd20221sin sin 2_____________ (6.85)และเมื่อแทน d กลับเข้าในสมการ (6.79) จะได้ว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-106T0(P) 2 2sin cosdI 4 22 Mgb0 202cos cos01sin sin 2 _____________ (6.86)ให้สังเกต limit ของการ integrate ว่าอยู ่ในช่วง 0จะส่งผลให้ตัวแปร22 xการใช้เอกลักษณ์ cos 1 2sin 2 ที่เป็นเช่นนี ้ก็เพราะจากสมการ (6.84) เมื่อ0, 2 เรายังสามารถกําจัดเทอม cos cos0ให้หายไปได้ ด้วยx ดังนั ้น2 20 202coscos012sin 12sin 2sin sin 2 2 2 2 sin sin sin2 20และจากความสัมพันธ์ เพราะฉะนั ้นcos cos 2sin sin sin 2 22022sin 1sin 2202cos cos02sin cos 22 0 2 0 2 0 20cos cos 0 2 sin cosซึ ่งเมื่อแทนกลับเข้าสมการ (6.86) จะได้ว่าTI 4 2 Mgb0(P) 2 2sin cos d22sin cos1sin sin 220 02 0 2และเมื่อผ่านการจัดรูปDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-107T 4(P) 2 dเมื่อ x sin 02 20 1x sin 2IMgbให้สังเกตคาบของลูกตุ้มข้างต้น กับคํานิยามของ special function ในสมการ (6.80) เพราะฉะนั ้นแล้วT(P)I4 K( x)Mgbsin 20 เมื่อ x และ K( x ) คือ Complete Elliptical Integral of the First Kind__________________ (6.87)เราสามารถตรวจสอบความถูกต้องในเบื ้องต้นของสมการ (6.87) โดยการวกกลับไปยัง simplependulum ในภาพ (6.22) และสมมุติให้การแกว่งมี amplitude น้อยมาก กล่าวคือ 0 0ในกรณีเช่นนี้ K( x)2(P) 2ค่าเท่ากับ I Mb ส่งผลให้20 เมื่อ x sin 0 อีกทั ้ง moment of inertia ของ simple pendulum มีเมื่อ 0 0TI (P) Mb 2 b4 K( x) 4 2Mgb Mgb 2 gซึ ่งก็ตรงกับที่ได้เกริ่นไว้ในสมการ (6.78) การคํานวณคาบของการสั่นในสมการ (6.87) มีความยืดหยุ่นสูงมาก มิได้จํากัดแต่เฉพาะ simple pendulum หรือการแกว่งเป็นมุมขนาดเล็กเหมือนดังที่นักศึกษาเคยพบในระดับมัธยม รูปร่างของลูกตุ้มจะเป็นเช่นใดก็ได้ ซึ ่งจะมีผลต่อคาบของมันผ่าน(P)ทางตัวแปร I และ amplitude 0ของการสั่นสามารถครอบคลุมตั ้งแต่ 0 ถึง 180 องศา และจะ0ส่งผลต่อการคํานวณ T ผ่านทางตัวแปร x อย่างไรก็ตามขอบเขตของการประยุกต์ใช้งานsin 2ที่กว้างขวางเป็นพิเศษนี ้ ต้องแลกมาด้วยความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ดังที่เราได้ผ่านมาจากสมการ (6.87) เราสามารถคํานวณคาบของ simple pendulum ที่มี amplitude 0แตกต่างกัน โดยอาศัย K( x ) ดังสมการ (6.81) จะได้ว่าSimple PendulumT2 2 2b 1 20 13 40 135 6021 sin sin sin g 2 2 24 2 2462 __________________ (6.88)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

่Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-108สมการข้างต้นแสดงให้เห็นว่า หากแกว่งลูกตุ้มให้มี amplitude มากขึ ้น คาบของมันจะเพิ่มขึ ้นเล็กน้อย ดังในตัวอย่างของภาพ (6.25) สมมุติให้ความยาวแขนของลูกตุ้มเป็น 24.8 cm ซึ ่งเมื่อแกว่งเป็นมุมขนาดเล็กมาก จะมีคาบเท่ากับ 1.00 วินาทีพอดี0 0Simple Pendulum withb 24.8cm 0 45 0 90 0 135bT 1.00secT 1.04secT 1.18secT 1.53secภาพ (6.25) คาบของลูกตุ้มอย่างง่ายซึ ่งมีความยาวแขน b = 24.9 cm ทําให้คาบของมันอยู ่ในช่วงประมาณ 1 วินาที (สมมุติให้ g = 9.8 m/s 2 )เมื่อกําหนดให้ amplitude 0มีค่าเพิ่มมากขึ ้นอาทิเป็น 90 องศา จากสมการ (6.88) เราทราบว่าคาบจะเพิ่มขึ ้นประมาณ 18% จากเดิม มาอยู ่ที่ 1.18 วินาที หรือแม้กระทั่งถ้าแกว่งเป็นมุมถึง 135 องศา ก็จะมีคาบเพิ่มขึ ้นไปอีกถึง 53% ดังแสดงในภาพแบบฝึ กหัด 6.32 อาศัยการประมาณ K( x ) ดังสมการ (6.82) และ (6.83) เพื่อแสดงให้เห็นว่าSecond AGMSimple PendulumT 2b 2g 01cos 2Third Order AGMSimple Pendulumพร้อมทั ้งอภิปรายความแม่นยําของแต่ละกรณีT 2bg40 01cos 2 cos2 2แบบฝึ กหัด 6.33 physical pendulum ทําจากไม้ยาวสมํ ่าเสมอ โดยห้อยปลายด้านหนึ ่งเป็นจุดหมุนอยูบนเพดาน จงหาความยาวของไม้ที่ทําให้คาบเท่ากับ 1 วินาทีพอดี โดยสมมุติให้ amplitude 0 0เฉลย: ความยาว 37.2 cm เมื่อกําหนดให้ g = 9.8 m/s 2จากLtotI ωAngular Momentum กลายเป็น L I ω พร้อมตัวอย่างโจทย์Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-109แรงลัพธ์F และ torque(ext)(ext)net 0τ net 0สภาพสมดุลพร้อมตัวอย่างโจทย์การกลิ้งการกลิ้งแบบไถลและไม่ไถล พร้อมตัวอย่างโจทย์ อาทิลูกสนุกเกอร์แบบ backspinCenter of Percussionเทคนิคการจับไม้เพื่อตีลูกเบสบอล อย่างไรจะไม่เจ็บมือเมื่อมีการปะทะการชนระหว่างวัตถุแข็งเกร็งเมื่อวัตถุรูปทรงประหลาดชนกัน มันจะกระดอนและหมุนคว้างไปอย่างไรSection 6.7 การหมุนใน 3 มิติ (Optional)มุมของการหมุนใน 3 มิติ , ,Euler AnglesI1ω1 I2 I3 ω2ω3 1I2ω2 I3I1 ω3ω1 2I ω I Iωω 3 3 1 2 1 2 3สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งการเคลื่อนที่ของลูกข่างทั ้งกรณีปราศจากแรงภายนอกมากระทํา (ดาวเทียมกลางอวกาศ) และกรณีปลายปักอยู ่กับที่Stability of Rigid Body Rotationsวัตถุเมื่อหมุนรอบแกน principle axes ทั ้ง 3 อาจจะเป็นการหมุนที่เสถียรหรือไม่เสถียร ขึ ้นอยู ่กับลําดับก่อนหลังของ I I I 1, 2,3Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-110Section 6.8 บทสรุปSection 6.9 ปัญหาท้ายบทแบบฝึ กหัด 6.34 อาศัยการ integrate โดยตรงดังสมการ (6.38) เพื่อแสดงให้เห็นว่า กล่องตันรูปสี่เหลี่ยมซึ ่งมีความยาวด้านเท่ากับ a, b, และ c ดังแสดงในภาพ จะมี inertia tensor รอบจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับzcxbCMay112b c2 20 0(CM) 2 2I M 0 a c0 __________ (6.89)0 0a b2 2(CM)แบบฝึ กหัด 6.35 จงคํานวณ inertia tensor I ด้วย Steiner's Parallel Axis Theorem ของกล่องตันรูปสี่เหลี่ยมซึ ่งมีความยาวด้านเท่ากับ a, b, และ c โดยเริ่มจากการวางจุดกําเนิดไว้ณ มุมยอด ดังสมการ (6.39) จากนั ้นเปรียบเทียบผลลัพธ์กับสมการ (6.89)แบบฝึ กหัด 6.36 อาศัยการ integrate โดยตรงดังสมการ (6.38) เพื่อแสดงให้เห็นว่า ทรงกระบอกกลวงรัศมีภายใน R1,รัศมีภายนอก R2, และ สูง ดังแสดงในภาพ จะมี inertia tensor รอบจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับzxCMR 2y2 2 23 R1 R20 0(CM) 12 2 2I M 0 3R1 R2012 0 0 6R R2 21 2_________________________________ (6.90)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-111แบบฝึ กหัด 6.37 ตรวจสอบว่า ถ้าเริ่มจาก inertia tensor ดังสมการ (6.90) แล้วให้ limit R1 0จะได้คําตอบตรงกับกรณีทรงกระบอกตัน ดังสมการ (6.43)แบบฝึ กหัด 6.38 ตรวจสอบว่า ถ้าเริ่มจาก inertia tensor ดังสมการ (6.90) แล้วให้ limitR1 R2และจํากัดให้ angular velocity ω อยู ่เฉพาะแต่ในแนวแกน z จะได้พลังงานจลน์ของ1 2การหมุนเท่ากับ K I ω2เมื่อ I MR เปรียบเทียบคําตอบกับ ภาพ (6.2) crot2แบบฝึ กหัด 6.39 อาศัยการ integrate โดยตรงดังสมการ (6.38) เพื่อแสดงให้เห็นว่า ทรงกลมตันรัศมี R ดังแสดงในภาพ จะมี inertia tensor รอบจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับzyxCMบอกใบ้: ใช้พิกัดทรงกลม2 MR5R(CM) 21 0 00 1 0 0 0 1I ____________________________ (6.91)แบบฝึ กหัด 6.40 จงแสดงให้เห็นว่า ระบบที่มีความสมมาตรรอบแกน z อาทิเช่นทรงกรวยทรงกระบอก หรือแจกัน จะมีแกน z เป็น principal axis เสมอ และ principal moments of inertiaของอีก 2 แกนที่เหลือ จะมีค่าเท่ากัน ดังแสดงในภาพzz(, rz)rxIxIyyบอกใบ้: ใช้พิกัดทรงกระบอก กล่าวคือ (, rz) zและกําหนดให้ความหนาแน่นของวัตถุไม่ขึ ้นอยู ่กับมุม r, ,Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-112แบบฝึ กหัด 6.41 จงหาเงื่อนไขที่ total angular momentumtotชี ้ในทิศเดียวแกนการหมุนของวัตถุเฉลย: เมื่อวัตถุหมุนรอบ principal axis ของวัตถุ อีกนัยหนึ ่ง ω eˆหรือ 1ω eˆหรือ ω eˆ23L (CM)I 1(CM)I 2แบบฝึ กหัด 6.42 วัตถุแข็งเกร็งประกอบด้วยทรงกลมตันรัศมี Rมวล M สองอันเชื่อมติดกัน จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของการหมุนรอบแกนดังภาพ145(CM) 2เฉลย: I1MR(CM) 2 และ I MR245มวล mแบบฝึ กหัด 6.43 แท่งไม้สมํ ่าเสมอยาว ล้มลงจากจุดหยุดนิ่งซึ ่งเอียงทํามุม 0กับแนวราบ โดยปลายด้านขวาปักอยู ่กับที่มวล M ในขณะเดียวกันลูกเหล็กมวล m ก็หล่นลงมาในแนวดิ่ง จงyแสดงให้เห็นว่า แท่งไม้จะถึงพื ้นก่อนลูกเหล็กถ้ามุม arccos 0P2 3 หรือประมาณ 35 องศา พร้อมทั ้งทดลองโดยใช้ไม้เมตรและลูกปัด2บอกใบ้: กรณีลูกเหล็ก y 2gy yกรณีของปลายไม้ด้านซ้าย y2 3gcos2 y y00บอกใบ้:cmแบบฝึ กหัด 6.44 แท่งไม้สมํ ่าเสมอมวล M ความยาว ตั ้งขึ ้นตรงและหยุดนิ่ง จากนั ้นเริ่มล้มลงมาบนพื ้นที่ปราศจากความเสียดทาน พร้อมทั ้งไถลไปด้วย ดังภาพ จงหาอัตราเร็งเชิงมุม เมื่อมันปะทะกับพื ้น2 3เฉลย: ω 4 gx หยุดนิ่งตลอดเวลาเพราะแรงภายนอกล้วนมีทิศในแนวดิ่งทั ้งสิ้นล้มโดยไม่ไถลล้มและไถลบนพื้นไร้แรงเสียดทานแบบฝึ กหัด 6.45 ลูกบาศก์ตันมวล M ความยาวด้าน ตั ้งขึ ้นบนขอบของมันดังแสดงในภาพ จากจุดหยุดนิ่งมันล้มลงมา ปะทะกับพื ้น จงคํานวณหาอันตราเร็วเชิงมุม ω ของมันในขณะกระทบพื ้น2 3gเฉลย: กรณีล้มโดยไม่ไถล ω 212กรณีล้มและไถลบนพื ้นไร้แรงเสียดทานDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 6 วัตถุแข็งเกร็ง 6-1132 12gω 215บอกใบ้: ใช้กฎอนุรักษ์พลังงาน และเลือกจุดศูนย์กลางของการหมุนให้ถูกต้อง ในแต่ละกรณีแบบฝึ กหัด 6.46 เริ่มจากคํานิยามของ Complete Elliptical Integral of the First Kind ในสมการ(6.80) จงพิสูจน์สมการ (6.81)1บอกใบ้: ใช้ Taylor expansion เพื่อเขียน2 2 x 1 sin 1 2 2 22 213 4 41356 6 x x x จากนั ้นใช้เอกลักษณ์1 sin sin sin2! 4! 6! 2n135 n1 sin d246 n20เมื่อ n เป็นเลขคู่และ n 2Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft April 2013