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2013-01-21 Clever Disputationsvortrag.pdf - Fachbereich ...

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Gliederung des Vortrags1 Motivation: Erläuterung der Begriffe Optimalsteuerung und PDAE-restringiert2 Anwendungsbeispiel: Abkühlung von Glas (Strahlungstransport-Gleichungen)3 Die Optimierungsumgebung: kontinuierlicher adjungierter Ansatz4 Numerische Ergebnisse: Glaskühlung in 3D5 Schlussfolgerung und Ausblick<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 3


OptimalsteuerproblemeÜberblickZielfunktionalSteuerung uProzessZustand y Maß für Qualität J(y, u)als Differentialgleichungmodelliertvon Steuerung uund Zustand yOptimierungsschrittmodifizieret Steuerung u, sodass der Wert des ZielfunktionalsJ(y, u) kontinuierlich sinkt<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 4(a) Ingenieurwissenschaften(uni-heidelberg)(b) Medizin (unibremen)(c) Finanzwelt (laurasboersenwelt)


OptimalsteuerproblemeÜberblickZielfunktionalSteuerung uProzessZustand y Maß für Qualität J(y, u)als Differentialgleichungmodelliertvon Steuerung uund Zustand yOptimierungsschrittmodifiziert Steuerung u, so dassder Wert des ZielfunktionalsJ(y, u) kontinuierlich sinkt<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 4(a) Ingenieurwissenschaften(uni-heidelberg)(b) Medizin (unibremen)(c) Finanzwelt (laurasboersenwelt)


1 Motivation: Erläuterung der Begriffe Optimalsteuerung und PDAE-restringiert2 Anwendungsbeispiel: Abkühlung von Glas (Strahlungstransport-Gleichungen)3 Die Optimierungsumgebung: kontinuierlicher adjungierter Ansatz4 Numerische Ergebnisse: Glaskühlung in 3D5 Schlussfolgerung und Ausblick<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 6


Herstellung von GlasSchmelzen und Vermischen der Zutaten beiüber 1000 ◦ CFormen und Erhärten des MaterialsFormgebung und unkontrolliertes Kühlenverursachen dauerhafte interne SpannungenReduktion der Spannungen durch Tempern(englisch: Annealing)→ Kontrolliertes Abkühlen in einem HochofenQuelle Abbildungen: Johnson Window Films, Schott Technische Gläser, Richard Downton<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 7


B(T,n)ModellierungHochofentemperatur (Steuerung u) wirkt nur am Rand (räumlich konstant,nach oben und unten beschränkt)Temperaturverteilung im Glas durch drei Formen der Energieübertragung:Wärmeleitung: atomare und molekulare Wechselwirkungen aufgrundungleichförmiger TemperaturverteilungKonvektiver Wärmeübergang: Fortführung der Wärme mittels StrömungStrahlung: globaler Energieaustausch aufgrund von Absorption und Emission-9x103T= 500 CIntensität I(x, t, ν, s):DaPlanckfunktion B(T , ν):<strong>21</strong>T=1000 CT=1500 C<strong>01</strong><strong>01</strong><strong>21</strong>310n141<strong>01</strong>510<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 8


Wärmeleitung mit Strahlungstransport in einemsemi-transparenten MediumIm Innern:∫ ∞ ∫ɛ 2 ∂ t T (x, t) − ɛ 2 ∇ · (k c∇T (x, t)) = − κ(B glass (T , ν) − I(x, t, ν, s))dsdνν 0 S 2ɛs · ∇I(x, t, ν, s) + (σ + κ)I(x, t, ν, s) =σ ∫I(x, t, ν, s)ds + κB glass (T , ν),4π S 2 ∀ν > ν 0Auf dem Rand:ɛk cn · ∇T (x, t) = h c(u(t) − T (x, t)) + απ∫ ν00B air (u, ν) − B air (T , ν)dνQuelle:leica-geosystems.de/de/Schott-DeutschlandI(x, t, ν, s) = ρ(n · s)I(x, t, ν, s ′ ) + (1 − ρ(n · s))B glass (u, ν), (x, s) ∈ ∂Ω × S 2 : n(x) · s < 0mit Glastemperatur T (x, t), (x, t) ∈ Ω × [0, t e],Intensität der Strahlung I(x, t, ν, s), (x, t, ν, s) ∈ Ω × [0, t e] × [0, ∞) × S 2 ,Hochofentemperatur u(t), t ∈ [0, t]und Planckfunktion B m(T , ν) = n2 mc 2 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 92h pν 3e hp ν/(k b T ) −1 .


ModellapproximationReduktion des 7-dimensionalen Phasenraums durchDefinition von mittleren Intensitäten Φ(x, t, ν) = ∫ S 2 I(x, t, ν, s)dsApproximation durch vereinfachte Kugelfunktionen (SP N Approximation):Zerlegung des kontinuierlichen Frequenzspektrums in N ν BänderBeispiele: Rosseland Approximation, Grau-Stufen-Modell (Gray Scale),N ν -Band Modell<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 10


Das Grau-Stufen-Modell (Gray Scale Model)Für N = 1, N ν = 1, erhalten wir das Grau-Stufen-Modell im Zustand y := (T , φ)∂ tT − k c∆T −13(σ + κ) ∆φ = 0ɛ2mit Rand und Anfangsbedingungenk cn · ∇T +4− ∆φ = −κφ + 4πκa2T3(σ + κ)1hcn · ∇φ =3(σ + κ) ɛ (u − T ) + 1 2ɛɛ 23(σ + κ) n · ∇φ = ɛ 2 (4πa2u4 − φ)T (0, x) = T 0(x),( )4πa 2u 4 − φund Strahlungsenergiekoeffizient a 2 = 1.8e−8 und optischer Dichte ɛ < 1.<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 11


Das OptimalsteuerproblemZustandsoperator e gs : V gs → Z ∗ gs , mitU : = L 2 (0, t e; R),W : = L 2 (0, t e; H 1 (Ω)),Y gs : = [X × W ] ∩ [L ∞ (Q)] 2 , X : = {w ∈ W : ∂ tw ∈ W ∗ },Z gs : = W × W × L 2 (Ω),Zielfunktional J : V gs → R, hierJ(y, u) := 1 2∫ te0‖T − T d‖ 2 L 2 (Ω) dt + 1 2+ δge2 ‖∇T (te)‖2 L 2 (Ω) + 1 2∫ teSteuerbeschränkung u ∈ U ad ⊂ U,0∫ te0V gs : = Y gs × Uδ g(t)‖∇T ‖ 2 δeL 2 (Ω) dt +2 ‖(T − Td)(te)‖2 L 2 (Ω)δ u(t)(u − u d) 2 dt + 1 2∫ teU ad := {u ∈ U : u low ≤ u ≤ u up}, u low, u up ∈ U0δ d(t)(∂ tu) 2 dt<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 12


Das OptimalsteuerproblemReduziertes Optimalsteuerproblemminu∈U adˆ J (u) := J(y(u), u), mit e gs (y(u), u) = 0. (2)Voraussetzungen:e gs(y, u) = 0 beschreibt die PDAE des Graustufenmodells inklusive Rand- undAnfangsbedingungen in schwacher Form.Der Zustandsoperator e gs : V gs → Z ∗ gs ist zweimal stetig Fréchet-differenzierbar.Es existiert eine Fréchet differenzierbare Abbildung u ↦→ y(u) ∈ Y gs der jederSteuerung u einen eindeutigen Zustand y(u) zuweist.Das Zielfunktional J : V gs → R ist zweimal stetig Fréchet-differenzierbar.U ad ∈ U ist nicht-leer, konvex und abgeschlossen.<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 13


Optimalitätssystem erster Ordnung(Karush-Kuhn-Tucker System)Lagrange-Funktional L : Y gs × U gs × Z ∗ gs → R,L(y, u, ξ) := J(y, u) + 〈ξ, e gs (y, u)〉 Z ∗ gs ,Z gsKarush-Kuhn-Tucker System (KKT-System)∂ ξ L(ȳ, ū, ¯ξ) = e gs (ȳ, ū) = 0,(Zustandssystem)∂ y L(ȳ, ū, ¯ξ) = ∂ y J(ȳ, ū) + ∂ y e ∗ gs (ȳ, ū) ¯ξ = 0,(Adjungiertes System)P Uad−ū(−∂ u L(ȳ, ū, ¯ξ))= P Uad−ū(−∂ u J(ȳ, ū) − ∂ u e ∗ gs (ȳ, ū) ¯ξ) = 0. (Optimalitätsbedingung)Stationärer Punkt (ȳ, ū): Es existiert ¯ξ, so dass KKT-System erfüllt ist<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 14


Reduzierte Ableitungen des ZielfunktionalsReduzierter Gradient:∇ ˆ J( u) = ∂ uJ(y, u) + ∂ ue ∗ gs(y, u)ξ,mit ξ ∈ Z ∗ gs Lösung des adjungierten Systems∂ y e ∗ gs(y, u)ξ = −∂ y J(y, u).Anwendung der reduzierten Hessematrix auf s u ∈ Uˆ J ′′ (u)s u = ∂ uuJ(y, u)s u + ∂ uue ∗ gs(y, u)ξs u − ∂ ue ∗ gs(y, u)w,mit w ∈ Z ∗ gs Lösung des zweiten adjungierten Systems∂ y e ∗ gs(y, u)w = ∂ yy J(y, u)s y + ∂ yy e ∗ gs(y, u)ξs y ,und s y ∈ Y gs Lösung des linearisierten Zustandssystems∂ y e gs(y, u)s y = −∂ ue gs(y, u)s u.<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 15


Reduzierte Ableitungen des ZielfunktionalsReduzierter Gradient:∇ ˆ J( u) = ∂ uJ(y, u) + ∂ ue ∗ gs(y, u)ξ,mit ξ ∈ Z ∗ gs Lösung des adjungierten Systems∂ y e ∗ gs(y, u)ξ = −∂ y J(y, u).Anwendung der reduzierten Hessematrix auf s u ∈ Uˆ J ′′ (u)s u = ∂ uuJ(y, u)s u + ∂ uue ∗ gs(y, u)ξs u − ∂ ue ∗ gs(y, u)w,mit w ∈ Z ∗ gs Lösung des zweiten adjungierten Systems∂ y e ∗ gs(y, u)w = ∂ yy J(y, u)s y + ∂ yy e ∗ gs(y, u)ξs y ,und s y ∈ Y gs Lösung des linearisierten ZustandssystemsHier: kontinuierlicher adjungierter Ansatz∂ y e gs(y, u)s y = −∂ ue gs(y, u)s u.<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 15


1 Motivation: Erläuterung der Begriffe Optimalsteuerung und PDAE-restringiert2 Anwendungsbeispiel: Abkühlung von Glas (Strahlungstransport-Gleichungen)3 Die Optimierungsumgebung: kontinuierlicher adjungierter Ansatz4 Numerische Ergebnisse: Glaskühlung in 3D5 Schlussfolgerung und Ausblick<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 16


Modularer Aufbau der OptimierungsumgebungPDAE-ModulMultilevel-Optimierungsmodul<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 17


Modularer Aufbau der OptimierungsumgebungPDAE-ModulRaum-Zeit-Adaptivität zu vorgegebenerGenauigkeitSteigerung der Genauigkeit beimoderatem Wachstum der KnotenzahlPDAE übergreifendes Daten- undGittermanagementSimultane Auswertung von FunktionalenBerechnung konsistenter StartwerteBereitstellung globaler FehlerschätzerMultilevel-Optimierungsmodul<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 17


Modularer Aufbau der OptimierungsumgebungPDAE-ModulRaum-Zeit-Adaptivität zu vorgegebenerGenauigkeitSteigerung der Genauigkeit beimoderatem Wachstum der KnotenzahlPDAE übergreifendes Daten- undGittermanagementSimultane Auswertung von FunktionalenBerechnung konsistenter StartwerteBereitstellung globaler FehlerschätzerMultilevel-OptimierungsmodulAbleitungsbasierte Verfahren(KKT-System)Geeignet für inexakt-reduzierte Größen,insbesondere unterschiedliche Raumgitterund unterschiedlicheDiskretisierungsstrategienGlobale KonvergenzMechanismus für Steuerbeschränkungen<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 17


Modularer Aufbau der OptimierungsumgebungPDAE-ModulRaum-Zeit-Adaptivität zu vorgegebenerGenauigkeitSteigerung der Genauigkeit beimoderatem Wachstum der KnotenzahlPDAE übergreifendes Daten- undGittermanagementSimultane Auswertung von FunktionalenBerechnung konsistenter StartwerteBereitstellung globaler FehlerschätzerOptimierungsmodulAbleitungsbasiertes Verfahren(KKT-System)Globale Konvergenz (Trust RegionStrategy)Mechanismus für SteuerbeschränkungenMultilevelmodulKontrollmechanismus für Güte inexakterReduktionKonvergenz zu stationärem Punkt desunendlich dimensionalen Problems<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 17


Modularer Aufbau der OptimierungsumgebungPDAE-ModulRaum-Zeit-Adaptivität zu vorgegebenerGenauigkeitSteigerung der Genauigkeit beimoderatem Wachstum der KnotenzahlPDAE übergreifendes Daten- undGittermanagementSimultane Auswertung von FunktionalenBerechnung konsistenter StartwerteBereitstellung globaler FehlerschätzerAuswertungen:Zielfunktionalund (reduzierte)Ableitungenneue Iterierte derSteuerung uOptimierungsmodulAbleitungsbasiertes Verfahren(KKT-System)Globale Konvergenz (Trust RegionStrategy)Mechanismus für Steuerbeschränkungenglobale FehlerschätzerGenauigkeitsanforderungenMultilevelmodulKontrollmechanismus für Güte inexakterReduktionKonvergenz zu stationärem Punkt desunendlich dimensionalen Problems<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 17


Das PDAE-ModulBasierend auf KARDOS (ZIB, Berlin, TU-Darmstadt)Semi-Diskretisierung nach Rothe<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 18


Das PDAE-ModulBasierend auf KARDOS (ZIB, Berlin, TU-Darmstadt)Semi-Diskretisierung nach RotheLinear-implizite Einschrittmethoden vom Rosenbrock-TypSchrittweitensteuerung basierend auf a-posterioriFehlerschätzern mittels eingebetteter Verfahren⎫⎪⎬Zeitdiskretisierung⎪⎭<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 18


Das PDAE-ModulBasierend auf KARDOS (ZIB, Berlin, TU-Darmstadt)Semi-Diskretisierung nach RotheLinear-implizite Einschrittmethoden vom Rosenbrock-TypSchrittweitensteuerung basierend auf a-posterioriFehlerschätzern mittels eingebetteter VerfahrenFinite Elemente auf Intervallen, Dreiecks- oder TetraedergitterLokale Gitterverfeinerung basierend auf a-posterioriFehlerschätzern mittels hierarchischer Basen⎫⎪⎬Zeitdiskretisierung⎪⎭⎫⎪⎬Raumdiskretisierung⎪⎭<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 18


Das PDAE-ModulBasierend auf KARDOS (ZIB, Berlin, TU-Darmstadt)Semi-Diskretisierung nach RotheLinear-implizite Einschrittmethoden vom Rosenbrock-TypSchrittweitensteuerung basierend auf a-posterioriFehlerschätzern mittels eingebetteter VerfahrenFinite Elemente auf Intervallen, Dreiecks- oder TetraedergitterLokale Gitterverfeinerung basierend auf a-posterioriFehlerschätzern mittels hierarchischer BasenIndividuelle räumliche Gitter in jedem Zeitschritt⎫⎪⎬Zeitdiskretisierung⎪⎭⎫⎪⎬Raumdiskretisierung⎪⎭<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 18


Das PDAE-Modulɛ-Einbettung:y 0 t 0Gegeben:H(t, u)∂ tu = F(t, u), u(0) = u 0,Setze y := (u, z)∂ tu = z,ɛ∂ tz = F(t, u) − H(t, u)z,u(0) = u 0Bestimme konsistenten Startwert y 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-ModulY n1trialt 1Rosenbrockmethode für H konstant:u n+1 = u n +z n+1 = z n +s∑m iY ni,i=1(s∑ i∑)m i g 1(Y ni, z n, τ n) ,j=1i=1Y nsy 0 t 0( )1τ H − Fu(tn, un) Y ninγ∑i−1c ij=F(t i, Y i) − H Y nj + τ nγ iF t(t n, u n)τ nj=1<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-Modulxxr = lestRaumfehlerschätzer mittels hierarchischerBasen:(L nY ni, ϕ) = (R ni, ϕ), ϕ ∈ S q h ,triallest x n+1 = lest x n0 +s∑m ilestni,xi=1(L nlest x ni, ϕ) = (R ni − L nY ni, ϕ), ϕ ∈ Z q+1h.y 0 t 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-ModulRot-Grün-VerfeinerungsstrategieY n1Y nstrialt 1auf Dreiecksgittern in 2dauf Tetraedergittern in 3dy 0 t 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-Modultrialy 1trialt 1y 0 t 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-ModulZeitfehlerschätzer mittels eingebettetes Verfahren:tr = y 1 -y 1trialt 1trial trialVerfahren geringerer Ordnung mitgleichen StufenwertenFehlerschätzer ist Linearkombinationy 0 t 0von Stufenwerten<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-Modulneue Zeitschrittweite (PI)( )τ n+1 =τn tol t r t 1ˆp+1nτ n−1 rn+1 t r τnn+1ty 1 t 1y 0 t 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-Moduly mt my 1 t 1y 0 t 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-ModulZustandssystemyy mt my 1 t 1y 0 t 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das PDAE-ModulZustandssystemyyadjungiertes Systemx 0Zustandssystem:t mt 0vorwärts in der ZeitAdjungiertes System:rückwärts in der Zeity 1 t 1t m-1x m-1Gemeinsames ZeitgitterIndividuelle räumliche Gittery m t mx my 0 t 0t mxIndividuelle Rosenbrock-Schemata<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 19


Das OptimierungsmodulAdaptiver verallgemeinerter Multilevel-SQP-Algorithmus (Ulbrich, Ziems)Approximiere Optimalsteuerproblemminu∈U addurch Folge quadratischer Teilproblemeˆ J (u) := J(y(u), u), mit e gs (y(u), u) = 0min m k(s u ) := J(y k , u k ) + 〈 J ˆ ′ (u k ), s u 〉 U ∗ ,U + 1s u∈U 2 〈 J ˆ ′′ (u k )s u , s u 〉 U ∗ ,U,e gs (y k (u k ), u k ) = 0,u k + s u ∈ U ad ,‖s u ‖ ≤ ∆ k .Passe Genauigkeitslevel an Optimierungsfortschritt an<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 20


Das Optimierungsmodul1Löse Zustandssystem zu vorgegebener Genauigkeit → y h k , Jh (y h k , uh k )2Löse adjungiertes System zu vorgegebener Genauigkeit → ξ h k , ∇ ˆ J h (u h k )3Passe Genauigkeitslevel an Optimierungsfortschritt anAdjungierter-Raum-Fehler zu groß: Gehe zu 2Mindestens einer der anderen Fehler zu groß: Gehe zu 14Überprüfe Abbruchskriterium5Berechne su h als inexakte Lösung des quadratischen Teilproblems<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | <strong>21</strong>


Das Optimierungsmodul6Falls verallgemeinerte Cauchybedingung verletzt ist, ersetzte su h durchprojizierten Gradientenschritt7Akzeptiere bei ausreichender Übereinstimmung von tatsächlicher undvorhergesagter Reduktion des Zielfunktionals, gehe zu 18Ansonsten überprüfe Gradienten BedingungErfüllt: passe Trust Region an und gehe zu 5 (Schrittberechnung)Verletzt: passe Genauigkeitslevel an und gehe zu 1Die Folge der endlich-dimensionalen Steuerungen uk h konvergiert gegen einenstationären Punkt ū des unendlich-dimensionalen Optimalsteuerproblems (Ziems).<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 22


Die Multilevel-StrategieLösen der quadratischen Teilprobleme: Restringierter BICGSTABBICGSTAB: Krylovmethode für nicht-symmetrische Matizen{J ˆ ′′ (u k )s u = −∇J(u ˆ k ), auf ɛ-inaktiver Menges u = ‖P Uad −u k(−∇J(u ˆ k ))‖ U, auf ɛ-aktiver MengeMaß für Optimierungsfortschritt: Kritikalitätsmaßcm k = ‖P Uad −u k(−∇ ˆ J(u k ))‖ UPasse Genauigkeit an Optimierungsfortschritt an, so dass giltq t,esty k≤ c t y cm k q x,esty k≤ c x y cm kq t,estξ k≤ cξ t cm k q x,estξ k≤ cξ x cm k,mit q est := (t e − t 0 ) − 1 2 ‖(0, r 1 , ... , r m )‖ l2 (Toleranzproportionalität)Beende Optimierung, falls cm k ≤ ɛ term,a + ɛ term,r cm 0<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 23


1 Motivation: Erläuterung der Begriffe Optimalsteuerung und PDAE-restringiert2 Anwendungsbeispiel: Abkühlung von Glas (Strahlungstransport-Gleichungen)3 Die Optimierungsumgebung: kontinuierlicher adjungierter Ansatz4 Numerische Ergebnisse: Glaskühlung in 3D5 Schlussfolgerung und Ausblick<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 24


Numerische ExperimenteJ(y, u) := 1 2∫ tep 4p 5p 6yp 1 = (−1, −1, −1),p 3 = (1, 1, −1),p 7p 8p 2xp 10z‖T − T d‖ 2 δeL 2 (Ω)dt +2 ‖(T − Td)(te)‖2 L 2 (Ω) + δu2p 2 = (1, −1, −1),p 4 = (−1, 1, −1),p 5 = (0.5, 0.5, 1), p 6 = (1, 0.5, 1),p 7 = (1, 1, 1), p 8 = (0.5, 1, 1),<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 25Grau Stufen ModellROS3PLLineare Finite Elementeδ e = δ u = t e = 0.1T 0 = 900T d := T 0 · e− log( T 0300 )tteu d = T d , u 0 = T dU ad = [300, 1200]∫ te0(u − u d) 2 dt,3d-Implementierung in Zusammenarbeitmit D. Schröder


Numerische ExperimenteSteueriterationen u k , k = 0, ... , 5900u initInitiale Glastemperaturz = 1yz=-11Optimale Glastemperaturz=-1450 1450yu 1Hochofentemperatur600u 2u 3u 4u optz = 1 3-1-1 1xy1z=0.3333300450-1-1 1xy1z=0.3333300450-1-1 1x300-1-1 1x3003000 0.1Zeit1y=0.545<strong>01</strong>y=0.5450Initiales Raum-Zeit-Gitter: 25.000 KnotenFinales Raum-Zeit-Gitter: 1.755.000 Knoteny = 1 2zz-1-1 1x300-1-1 1x300<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 26


Numerische Experimente,OptimierungsprotokollIteration Zielfunktional Kritikalitätsmaß Rechenzeit0 1.4602e+03 4.0245e+<strong>01</strong> 0,<strong>01</strong>%1 5.4880e+02 2.8733e+00 0,04%1 5.5664e+02 2.9758e+00 0,04%2 5.4908e+02 3.4451e-<strong>01</strong> 0,35%2 5.4507e+02 9.5386e-<strong>01</strong> 0,07%3 5.4478e+02 3.0787e-<strong>01</strong> 1,05%3 5.5319e+02 5.4405e-<strong>01</strong> 0,50%4 5.5302e+02 1.<strong>01</strong>18e-<strong>01</strong> 9,96%4 5.6995e+02 8.5377e-<strong>01</strong> 2,84%5 5.6997e+02 6.8337e-02 85,10%Reduktion der Rechenzeit durch Multilevel-Strategie von 7 auf 2 Wochen<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 27


Numerische Experimente, AdaptivitätZeitschrittweiten und Anzahl der räumlichen Knoten in letzter OptimierungsiterationZeitschrittweite t3.532.5<strong>21</strong>.510.500 0.05 0.14 x 10−3 ZeitAnzahl raeumlicher Knoten76543<strong>21</strong>00 0.05 0.18 x 104 ZeitÄquidistante Zeitschritte mit 4.0e − 4: 250 statt 73 ZeitschritteAdaptives aber festes Raumgitter: 5.52e + 6 statt 1.75e + 6 Raum-Zeit-Knoten<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 28


1 Motivation: Erläuterung der Begriffe Optimalsteuerung und PDAE-restringiert2 Anwendungsbeispiel: Abkühlung von Glas (Strahlungstransport-Gleichungen)3 Die Optimierungsumgebung: kontinuierlicher adjungierter Ansatz4 Numerische Ergebnisse: Glaskühlung in 3D5 Schlussfolgerung und Ausblick<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 29


Schlussfolgerung und AusblickSchlussfolgerungAusblickDas Zusammenspiel des kontinuierlichen adjungierte Ansatzes mitraum-zeit-adaptiven Lösern und individuellen räumlichen Gittern ist vongroßer Bedeutung für die Reduktion der Rechenzeit.Die entwickelte Optimierungsumgebung zeigt ein hohes Potential auch füraufwendigen Optimalsteuerprobleme aus realen Anwendungen Lösungen vonhoher Genauigkeit in moderater Zeit zu liefern.Erweiterung für Zustands- und GradientenbeschränkungenErweiterung für verteilte SteuerungenReduktion der Inkonsistenzen durch diskret-adjungierte Verfahren<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 30


Schlussfolgerung und AusblickSchlussfolgerungAusblickDas Zusammenspiel des kontinuierlichen adjungierte Ansatzes mitraum-zeit-adaptiven Lösern und individuellen räumlichen Gittern ist vongroßer Bedeutung für die Reduktion der Rechenzeit.Die entwickelte Optimierungsumgebung zeigt ein hohes Potential auch füraufwendigen Optimalsteuerprobleme aus realen Anwendungen Lösungen vonhoher Genauigkeit in moderater Zeit zu liefern.Erweiterung für Zustands- und GradientenbeschränkungenErweiterung für verteilte SteuerungenReduktion der Inkonsistenzen durch diskret-adjungierte VerfahrenVielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 30


<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 31


Konvergenzordnungconvergence rate10.90.80.70.60.50.40.30.20.1<strong>01</strong>q k , Gradient Methodq 1 , Newton−Iterative TR Methodkq 2 , Newton−Iterative TR Methodk0 5 10 15 20 25 30 35 40iteration number110.90.90.80.8||u k+1−u opt|| U/||u k−u opt|| U0.70.60.50.40.3||u k+1−u opt|| U/||u k−u opt|| U0.70.60.50.40.30.20.20.1Gradient MethodNewton−Iterative TR Method0.1Gradient MethodNewton−Iterative TR Method00 500 1000 1500 2000 2500computing time [s]00 20 40 60 80 100 120number of function evaluations<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 32


Numerische Experimente, Multilevel-Strategie10 2 OptimierungsiterationKritikalitaetsmassc t y *Zeit-Zustand-Fehler10 110 0cy x * Raum-Zustand-Fehlercξ t*Zeit-Adjungierten-Fehlercξ x * Raum-Adjungierten-FehlerAbbruchstoleranz10 −110 −20 1 2 3 4 5Abbruchskriterium cm k ≤ ɛ term,a + ɛ term,r cm 0 ≈ 0.08249, ɛ term,a = ɛ term,r = 2.0e − 3<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 33


Adaptiver Newton-iterativer Trust RegionAlgorithmusInitial settingu0Adjust local tolerances(??)tol t ytol x ytol t ξtol x ξSolve state systemEvaluate objective functionalProvide state error estimatorSTOPyesCheck, if terminalcondition (??)holds≥ µ0 : adjust ∆kw.r.t (??)Evaluate aredpredyk+1, J(yk+1, uk+1)y0, J(y0, u0)q t,esty,0 , qx,est y,0nok := k + 1< µ0q t,esty,k+1 , qx,est y,k+1Adjust spatial adjointtolerance (??)tol x ξSolve adjoint systemEvaluate reduced gradientProvide adjoint error estimatoryk, J(yk, uk)q t,esty,k , qx,est y,kξk, ∇Ĵ(uk), q t,estξ,k , qx,est ξ,kSolve state system with ukEvaluate objective functionalProvide state error estimatorno: reduce localtolerancesyes: adjust ∆kw.r.t (??)Check if gradientcondition (??)holdsyesSolve state system withuk+1 := uk + su,projEvaluate objective functionalProvide state error estimatorsu,projyesEvaluate criticalitymeasure cmProject search directionsu,proj := PUad (σsu),−ukwith σ s.t. condition(??) holds or if max.number of it. is reachedsu,projCheck ifgeneralizedCauchy decreasecondition (??)holdsnoProject scaled gradientsu,proj :=PUad (−σ∇Ĵ(uk)),−ukwith σ s.t. condition(??) holdscmsu yessunoCheck, if onlycondition (??)gives rise forrefinementnoCheck, if all errorestimates meetdesired accuracy(??)Update searchdirectionCheck if residuumis small or if max.number of it. isreachedws, Hs, (Hs) IɛSolve second adjoint systemEvaluate acting of Hessianand restricted HessianvsSolve linearized state systemEvaluate actings of fullgradient and full Hessians noyesnoInitial BiCGstab settingSolve linearized state systemvp temSolve second adjoint sys-Update searchIɛp wp, Hp, (Hp) directionyesEvaluate actings of fullEvaluate acting of HessianCheck if residuumgradient and full Hessianand restricted Hessianis small<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 34


Zu Überprüfende Bedingungen1. Wolfe Bedingung:m k (0) − m k (s u,proj ) > −κ 4 〈Ĵ ′ (u k ), s u,proj 〉 U ∗ ,U und ‖s u,proj ‖ U < ∆ kVerallgemeinerte Cauchy-Abstiegs-Bedingung:m k (0) − m k (s u,proj )≥ κ 1 ‖P Uad −u k(−∇Ĵ(u k ))‖ U min { }κ 2 ‖P Uad −u k(−∇Ĵ(u k ))‖ U , κ 3 ∆ kGradientenbedingung:|〈∂ (y,u) J(y k , u k ), (s u , s y )〉 V ∗ ,V − 〈Ĵ ′ (u k ), s u 〉 U ∗ ,U|≤ κ min{‖P Uad −u k(−∇Ĵ(u k ))‖ U , ∆ k }‖s u ‖ U<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 35


Zerlegung von Re(y(u), u) = 0 ⇔ R(y(u), u) = 0.R(y, u) = y + D −1 N(y) + D −1 B(u),D : Y → Z ∗ , N : Y → L ∞ (Q) Nν +2 , B : U → L ∞ Nν +2(Σ)R stetig Fréchet differenzierbarLinearisiertes Zustandssystem Dv + ∂ y N(y)v = −∂ y N(y)g eindeutig lösbarv := w − g: w + D −1 ∂ y N(y)w = g bzw. ∂ y R(y, u)w = g eindeutig lösbarSatz der impliziten Funktionan anwendbar für R, also existiert FréchetAbleitung von y : u ↦→ y<strong>21</strong>.<strong>01</strong>.<strong>2<strong>01</strong>3</strong> | Debora <strong>Clever</strong> | 36

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